安徽合肥市2026届高三年级5月教学质量检测数学试题

合肥市2026届高三年级5月教学质量检测 数学参考答案、提示及评分细则 1.DA∩B={x∈N-1<x≤4}={0,1,2,3,4〉.故选D. 2,A由题意得=3+-2_是=一3，之的虚部是一3.故选A i 3.D因为a=(1,k),a+b=(4,-k),由a⊥(a十b)得4一k2=0,解得k=士2.故选D 4.A因为S,-S,=a8+a=2a8+3=7,所以a8=2.故选A. 5.B函数f(x)的定义域为{xx≠0且x≠a},排除A,C,当x<a时，f(x)>0.故选B. 6.D如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R,圆柱半径为.由题意，圆柱的高为 2r,则有R=√5r=√5，故r=1.所以剩余几何体的表面积为S=2πR2+πR+2πr· 2r=19π.故选D. 7C由已知条件，=18aAB)=4所以P(BA》--号放选C 8.B不妨设|FF2|=√10，则a=1.设|BF2|=x,|AF2|=y,则|BF1|=2+x, |AF2|=2十y.在△BFF2中，由勾股定理可得，(2+x)2+x2=10,所以x=1; 同理，在△AFF2中，由勾股定理可得，(1+y)2十9=(2+y)2,所以y=3.所以 兰-3放选R 9.ACD不妨设<<<<，则y=号∑∈[1，对于A:第二组 数据的平均数为十…十士y_5y士y=y,故A正确：对于B:第一组数据的中 6 6 位数为x,第二组数据为中间两数的平均值，不一定等于x3,故B错误；对于C:记第一组数据的标准差为s, 则第二组数据的标准差为√合[(-P+…十(。-)+(y-)P门=√，故C正确：对于D:第一组数 据第80百分位数为“，第二组数据第80百分位数为第5个数据，两者可能相等，故D正确.故选ACD. 10.ABD 由题意，f(0)=cos9=0,因0<g<π，则p=乏，故f(x)=一sin2x.对于A,fx)的最小正周期为 =元，故A正确：对于B,将f()的图象向右平移背个单位可以得到函数y=一sm[2(x-牙门] -sim(2x-)=sin(2x+号)，故B正确；对于C,当x∈(0，年)时，1=2x∈(0，受)，而函数y=-sin1 在(0，乏)上单调递减，故C错误：对于D.y=f(x+)=一sim(2x+号)x=亚是其对称轴，故D正 确.故选ABD, 11.ABD记AF1|=m,AF2|=n,∠F1AF2=0.对于A:直线1垂直于x轴时，不 妨设A,=,则AS=2,FF=5,因此离心率e=,故A正确：对于 B:当A位于短轴顶点时，∠FAF:<,所以椭圆上存在四个点使得△AFF F. 为直角三角形，故B正确：对于C,mats2==3,则sina十sing sin (a+B)e √3sin(a+)=5sin0,又cos0=m+-4-m+n)2-2m-4=4 B -1 2mn 2mn 17n71 号，当且仅当m==5取等号.所以na十sn-5sn(a+》=im<2 3 ,故C错误；对于D:由2R= EE知R=la sin 0 2+2√3 【高三数学参考答案第1页（共4页）】 16 cos20=- 十8则R-1】十尽≥1十3)，当耳仅当m=取等号，故D正确.故选AD (1m2)2 1n72 12.45(x-1)0=∑Cx0-·(-1),令r=2,则C3x·(-1)2=45x,即as=45. 13.18圆C的圆心C(1,一2)，半径r=1,由题意4，l2互相垂直且均经过定点Q(一2,2)，因此|PM2+ IPNI=PQ:≤(CQ+)=36,PM·PN<PMPN-18.经检验等号成立. 2 14.(-号，0）法一：因为了(x)=a(1+nx)+2bx,若函数有极大值点和极小值点，则y=a(1+lnx)与y= 一2bx至少有两个交点.如下图，易知a<0. -26x v=a(1+In x) 1m y=a(1+In x) y--2bx -2bm=a(1+In m), 记y=一2bx恰与y=a(1+lnx)相切时，切点为(m,一2bn),则有 1-26=4, 解得m=1.由题意 可知a<-2<0.又a<0.所以2∈(-号，0）： 法二：f()=a(1+lnx)十26x,函数有极大值点和极小值点，则f()=0有两正实根.即-么-1+n有 2x 两实根，令ga)=”则g=兰，故6)在0，上增，在1，十o)上减又1)=号0. g(x)-∞；x十∞，g()0,所以名∈(-之，0).经检验a<0时，符合题意. 15.解：1)因为asin B=cos(A-晋)，所以simA·sinB=sinB·cos(A-否）， 即snA=os(A-吾)-号osA+分nA,化简为sinA=5cosA,即amA=5, 因为A∈(0，x),所以A= 3 6分 (2)因为A=晋，所以-血BtnC_2(smB+n0, sin A 又sinB+sinC=sinB+sin(于+B）=√5sin(B+g)】 所以牛c-2sin(B+否）. 9分 0<B<受 又△ABC是锐角三角形，则 0<F-B< 解得石B),…… 10分 所以受<B+吾<sim(B叶晋)∈(，1]，所以生的取值范围为W5,2], …13分 16.(1)证明：连接MC交DB于点O,连接ON. 因为M是AD的中点，AD=C,AD/BC所以把-瓷-号 又P元=3P时.所以合从面，在平面PMC中，有架- 【高三数学参考答案第2页（共4页）】 所以PM∥ON,又PM在平面BDN,ONC平面BDN. 所以PM∥平面BDN. …6分 (2)解：因为PDL底面ABCD,以D为坐标原点，以D心，DP的方向为y 轴，x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D一xyz 则D0,0.0,B3,1.0),N0.号.2A(3,-1,0).P0.0,3). 所以D克=(3,10)，D=(0,号，2)，Ai=(0,2.0),A2=(-5,13). 设m=(,边，之)为平面BDN的法向量， m·Di=0,n/3.十y=0, 则 即 m.Di=0,y十31=0， 可取m=(3,一3,1). 9分 设n=-(x2,2)为平面PAB的法向量， fn·AB=0, 则m=0 即 y2=0, -√32+y%+3x2=0. 可取n=(W3,0,1). 11分 设平面PAB与平面BDN的夹角为0，则cos0=mm m·n 2/13 13 所以1an0=号 所以平面PAB与平面BDN夹角的正切值为 3 15分 17.解：(1)设直线AB方程：x-2=m(y-1). 联立二2my'消去无，化简可得-2my+2m一4=0. 所以y+y2=2m,y1y2=2m-4,则(y一1)(2一1)=y1y2一（y1+2)+1=一3. 所以(yⅥ一1)(y2一1)为定值-3.……6分 (2)令直线AB:x-2=m(y-1),直线CD:x-2=2(y-1), 由(1)知PA·|PB=(1+m)y1-1|y2-1=3(1+m),同理，PC·PD1=3(1+m), 所以3(1十m)=3(1十m),因为m≠2，所以mm2≠0且m1十m2=0. 又AB|=V√1+m2|y-2|=V1+m2·√(y十y2)2-4yy2=2√1+m2·√/m2-2m十4， 所以CD=2w√1+m2·√/m2+2m十4. /m2-2m+4 所以CDVm2+2m十4/1、 4m m2十2m十4· 12分 当AB<GD时，m>0,所以品-V 4m 4 m2+2m十4 4+2 3 2/m· m 当且仅当m=2时等号成立，所以品的最小值为 31 15分 18.(1)解：(1)从5个相同小球中有放回地随机取2次，共有5=25种情况，X2的取值为3,4. X2=3表示2次取球中未被取到的球的个数为3个，即2次取球中取到2个不同编号的球， X2=4表示2次取球中未被取到的球的个数为4个，即2次取球中取到的是同1个编号的球， 所以PX=3》-9-号，PX=)号-台 =51 所以X2的分布列为 X2 3 4 4 y 5 5 5分 (ⅱ)Xm=3表示m次取球中未被取到的球的个数为3个，即m次取球中取到2个不同编号的球，从5个相 【高三数学参考答案第3页（共4页）】 同小球中有放回地随机取m次，共有5"种情况，Xm=3时有C号(2m一2)种情况， 所以X=3的概率为C(2一2=2(2-2 5 5m-1 ，…10分 (2)证明：从n个相同小球中有放回地随机取球m次中，定义随机变量I,其中I=1表示第k个小球未被 取到，I=0表示第k个小球至少被取到1次，则I服从两点分布，所以 Xm=1十12十1十…+1，由题意知，E(Xn)= EI)=2P1=D 又P1=1D=(元）”所以X)=…(")”。 2X)=…2(y=…2(1-”,网为0<1-÷<1所u (1-儿1-（1-)] 1-(1-7） =r-n[1-(1-）]<-n 故∑E(X)<n- 17分 19.解：(1)y=f(x)+f(-x)=b(a+ax),因为a>0,所以a十ax≥2， 当且仅当x=0时等号成立，又y=f(x)十f(一x)的最小值为2， 所以b(十a)≥2b=2,解得b=1.…4分 (②)由1知x)=a-g,则g)=ana-2,令)=g()=ana)-x 则h'(x)=a(na)3-1. 因为a>1,所以h'(x)在x∈(0，+o∞)内单调递增，h'(0)=(na)3-1. (i)a≥e时，h'(x)>h'(0)=(lna)3-1≥0，所以g'(x)在x∈(0，+∞)内单调递增， 则g'(x)>g'(0)=(lna)2>0,所以g(x)单调递增，即a≥e满足题意. (i)l<a<e时，0<(na)3<1,记h'(x)=0的根为to,则ao(lna)3=1.即toln a十3ln(lna)=0. 所以g'(x)在x∈(0，to)递减，在x∈(t,十o)递增. g(x)最小值为g)=a(na)-&。=十3h血，令go)≥0，即1+3h(ha)≥0 In a lna∈[e京，l). 综上，lna∈[e亨，十o∞). 444444444 10分 (3)由(2)知lna∈(0，e言)时，g'(to)<0,又g'(0)=(na)2>0,x→十o∞时，指数函数y=a呈爆炸性增 长，从而g'(x)→+o∞，所以3x1∈(0，t),3x∈(t,十∞)使g'(x0)=g'(x1)=0. 所以g(x)在x∈(0，x1)递增，在x∈(x1,xo)递减，在x∈(xm,十∞)递增. 因为lna+3ln(na)=0,令t=lna∈(0，e寸)，则=-3nL t 令m0)=3nL,则m(0)=一3一h1<0,所以m()在(0，e专)递减 12 则to=m(t)>m(e青)=e言， 又0<lna<e音，则a<e3,所以g(e)=a(lna)-e<e·e号-e青=0. 所以x1<e3<t<xo, 所以g)ge)=a.lna-号e3<ee寸-2c=e 故g号 17分 【高三数学参考答案第4页（共4页）】高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={x∈N|x>一1}，B={x|一3<x≤4)，则A∩B= A.(x|-1<x≤4) B.{x|0<x≤4)》 C.{1,2,3,4} D.{0,1,2,3,4) 2.若2+zi=|3十4i,则z的虚部是 A.-3 B.3 C.-3i D.3i 3.设向量a=(1,k),b=(3,一2k),若a⊥(a十b),则= A.-2 B.-1 C.±1 D.土2 4.设公差为3的等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sg一S,=7,则a8= A.2 B.3 C.4 D.6 5当a<0时，函数)-二a的图象大致是 、 【高三数学第1页（共4页）】 6.如图，半球O的半径为√5，从中挖去一内接圆柱OO.圆柱一个底面在半球圆面上，且轴截面 为正方形，则剩余的几何体的表面积为 A9π B.11π C.15π D.19元 7.盒中有6个相同的小球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中不放回地随机取两次，每次取1个 球.记事件A为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件B为“第二次取出小球的数字为5”， 则P(B|A)= A号 c号 D 8已知双曲线C:后-芳=1a>0,6>0)的左，右焦点分别为R,R,离心率为四，过R的直 线与C的右支交于A,B两点，若BR,LBF,则品的值为 A√1o B.3 C.5 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知两组样本数据x1,x2,,x和x1,x2…,x5,y,其中y是x1,x2,…,x5的平均数，x1,x2, …,x5不全相同，则这两组样本数据的 A平均数一定相等 B.中位数一定相等 C.标准差一定不相等 D.第80百分位数可能相等 10.已知函数f(x)=cos(2x十p)(0<p<π)为奇函数，则 A.f(x)的最小正周期为元 B.将f(x)的图象向右平移受个单位可得到函数y=sin(2.x+哥)的图象 C.∫(x)在区间(0，于)上单调递增 D.直线x=是曲线y=f(x+)的一条对称轴 【高三数学第2页（共4页）】 1.已知椭圆C:专+Y-1(>0)的左右焦点分别为F,F,过点F,且斜率不为零的直线L交 t 椭圆于A,B两点，当直线l垂直于x轴时，△ABF1为等边三角形，则下列说法正确的是 AC的离心率为号 B.存在四个点A使得△AFF2为直角三角形 C.记∠AF,E=a,∠AF,R=A,则sina+sinR的最大值为22 3 D记△AF,F,的外接圆和内切圆半径分别为R,r,则的最小值为子(W3+1) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(x-1)10=a0十a1x十a2,x2+…十a10x0,则a8= 13.已知点P为圆C:x2+y2一2x十4y十4=0上任意一点，过点P分别向直线l1:mx十y十2m 一2=0和2：x-my+2+2m=0作垂线，垂足分别为M,N.则|PM·IPN|的最大值 为 14.已知x,z2分别是函数f(x)=axln x十bx2的极小值点和极大值点.若x>x2,则的取值 范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,已知asin B-=bcos(A-若) (1)求A; (2)若△ABC是锐角三角形，求十S的取值范围， 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥底面ABCD,M是AD的中点，点 N满足PC=3P,PD=3,DA=DB=2. (1)证明：PM∥平面BDN; (2)求平面PAB与平面BDN夹角的正切值， 【高三数学第3页（共4页）】 17.(本小题满分15分) 已知抛物线E:y2=2x,过点P(2,1)的直线交E于A,B两点. (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),证明：(y1一1)(y2一1)为定值； (2②)过点P(2,1D的另一条直线交E于C,D两点，且IPA|·PB1=PC·PD1,求 的最小值. 18.(本小题满分17分) 有编号为1,2,3，…，n的n个相同小球，n≥2，从中有放回地随机取m次，每次取1个球，记 Xm为这n个球中未被取到的球的个数. (1)已知n=5. (1)若m=2,求X2的分布列； (iⅱ)若m≥2，求Xm=3的概率； (2)若X,Y都是离散型随机变量，则E(X+Y)=E(X)+E().证明：∑E(X)<n2- 19.(本小题满分17分) 已知函数fx)=6·a-言x,其中o>1,6>0,函数)=f(x)+f(-x)的最小值为2，g() 为f(x)的导函数. (1)求b的值； (2)若g(x)在(0，十∞)上单调递增，求lna的取值范围； (3)若g(x)在(0，十∞)的极小值点为，证明：g(x)<号e. 【高三数学第4页（共4页）】