天津市实验中学滨海学校2025-2026学年第二学期高一年级期中质量监测（数学）试卷

2025—2026年度第二学期高一年级期中质量监测 （数学）试卷 命题人：李丹 审核人：郭军霞 满分：150分 考试时长：100分钟 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 已知复数，则z的虚部为（ ） A. 3 B. 3i C. -3 D. -3i 2. 已知平面向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则是异面直线 D. 若，则或是异面直线 5. 圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，、两点在河的两岸，为了测量、之间的距离，测量者在的同侧选定一点，测出、之间的距离是，，，则、两点之间的距离为（ ）． A. 50 B. C. 100 D. 7. 如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则＝（    ） A. B. C. D. 8. 已知高为4的正四棱锥的所有顶点都在球的表面上，若球被平面所截得的截面面积为，则四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 9. 已知球的半径为1，圆柱的上､下底面圆周都在球的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正三棱柱的棱长均为为的中点，则四面体的体积为（ ） A. B. C. D. 11. 中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若且，则的形状是（ ） A. 顶角为120°的等腰三角形 B. 等边三角形 C. 等腰直角三角形 D. 无法确定 12. 如图，以边长为2的正六边形的六条边为直径向外作六个半圆，是这六个半圆弧上的一动点，则的最大值是（ ） A. 6 B. C. 7 D. 二、填空题（每小题5分，共40分） 13. 已知复数（是虚数单位），则它的模______ 14. 已知中，，，，则______，______． 15. 古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 16. 已知一个正四棱锥的底面边长为，内切球的体积为，则这个正四棱锥的体积为______. 17. 我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积，意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为3，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为__________． 18. 如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 19. 如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则__________，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为___________． 20. 在棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．给出下列四个结论： ①平面； ②点轨迹的长度为； ③三棱锥的体积恒为定值； ④平面截正方体所得的截面面积为． 其中所有正确结论的序号是___________． 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 21. 已知长方体中，，. （1）求证：平面； （2）求三棱锥的体积. 22. 在中，角，，的对边分别为，，（），已知，. （1）求； （2）求，的值. 23. 已知的内角所对应的边分别为，且． （1）求； （2）若，求的面积． （3）若，的面积为，求的最大值． 24. 如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点在线段上，且. （1）设平面平面，证明：； （2）线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由. 2025—2026年度第二学期高一年级期中质量监测 （数学）试卷 命题人：李丹 审核人：郭军霞 满分：150分 考试时长：100分钟 一、单选题（每小题5分，共60分） 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 【11题答案】 【答案】C 【12题答案】 【答案】C 二、填空题（每小题5分，共40分） 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. ## ②. ## 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】 【19题答案】 【答案】 ①. ②. 【20题答案】 【答案】①②④ 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 【21题答案】 【答案】（1） 在长方体中， 可得且， 所以四边形是平行四边形. 所以 且平面，平面， 所以平面. （2）6 【22题答案】 【答案】（1） （2） 【23题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【24题答案】 【答案】（1）证明: 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以； （2）存在，且，证明如下： 过作，交于点，过作交于点， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又平面，，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为平面，又平面，所以， 所以，又，则， 由，，所以 因为，， 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $