甘肃天水市第二中学等校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷 考试时间：120分钟；试卷满分：150分 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．对于以下四个函数：①；②；③；④．在区间上函数的平均变化率最大的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】①，②，③，④． 2. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】对于A，因为(为常数),所以，故A错误； 对于B，，故B错误；对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 3. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】关于轴的对称点坐标为，即.故选：B. 4. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】. 5. 某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为.则时，弹簧振子的瞬时速度为（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是. 6. 已知两个向量，，且，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 6 【答案】C 【详解】因为， 所以存使得，即， 所以. 7. 若函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由题意可得在上恒成立，故在上恒成立， 由，故. 8. 若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】， 由函数有两个不同的极值点，故函数有两个变号零点， 即当时，有两个不同正实数根，令方程有两个不同正实数根为、， 则有，，则，解得， 即实数a的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ACD 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 10. 定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. -2是函数的极大值点，-1是函数的极小值点 B. 0是函数的极小值点 C. 函数的单调递增区间是 D. 函数的单调递减区间是 【答案】BC 【详解】由题意可得，当时，， 当时，，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以0是函数的极小值点，所以B，C正确，A，D错误. 11. 若函数的导函数是偶函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的图象关于中心对称 B. 在点处的切线方程为： C. 最小值为 D. 对任意，，都有 【答案】ABD 【详解】因为，则， 又是偶函数，所以，即， 所以对任意的恒成立，所以，解得，则，定义域为， 且，即为奇函数， 所以的图象关于中心对称，故A正确； ， ，所以在处的切线方程为，即 ，故B正确； ，故C错误； 设任意，则，，则， 又， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以对任意，都有，故D正确； 第II卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为________. 【答案】 【详解】，， 切线斜率，故切线方程为，即. 13. 函数的单调增区间是___________. 【答案】或 【详解】解： 由得， 故的单调递增区间是. 14. 在棱长为3的正方体中，为线段靠近的三等分点.为线段靠近的三等分点，则直线到平面的距离为______. 【答案】 用点到平面的距离公式求得结果. 【详解】如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系 ， 则， 所以，所以， 而平面，平面，故平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离. 又，， 设平面的法向量为， 故，即，取，则， 又， 故点到平面的距离为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知空间三点，设 （1）求； （5分） （2）若向量与互相垂直，求实数k的值. （8分） 【答案】（1） （2）或 解：（1）由题意，，则； 【小问2详解】 由（1）可得 因向量与互相垂直，则得：， 解得，或. 16.（15分）已知函数在时取得极大值4. （1）求实数a，b的值； （7分） （2）求函数在区间上的最值. （8分） 【答案】（1）； （2）最大值为4，,最小值为0 解：（1），由题意得，解得. 此时，， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以在时取得极大值. 所以 （2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又因为，，，， 所以函数在区间上的最大值为4，,最小值为0. 17.（15分） 如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是，BC的中点． （1）求证：平面ABD；（7分） （2）求异面直线AC与BD所成角的余弦值．（8分） 【答案】（1）证明见解析 （2）． 解：（1）如图，取AB的中点F，连接DF，EF， 因为E是的中点，所以，且， 又，，D是的中点， ∴，，∴四边形是平行四边形． ∴，又平面ABD，平面ABD， ∴平面ABD． （2）以B为坐标原点，BA，BC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 从而，． ∴， ∴直线AC与BD所成角的余弦值为． 18.（17分） 如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，. （1）求二面角的余弦值；（7分） （2）线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（10分） 【答案】（1） （2） 解：（1）取的中点为. 平面平面平面，平面平面， 平面. 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴， 建立如图的空间直角坐标系， ， ，，， 设平面的法向量为即 令，则. 又平面的法向量为，则， 设二面角的平面角为，由图形知为锐角， ，即二面角的余弦值为. （2）设，， . 又平面的法向量为平面，∴， ∴，，即. ∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是. 19. （17分）已知函数． （1）讨论的单调性；（7分） （2）若有两个极值点，求证：．（10分） 解：（1）定义域为， ，，①当时，恒成立，函数在上单调递增；②当时，由得， 或时，，时，， 函数在递增；在递减； （2）若存在两个极值点，则是方程的两个根， ∴，，， 令，所以在上单调递减， 则，又，故，所以，即． 学科网（北京）股份有限公司 $2025一2026学年度第二学期期中检测试卷 高二数学 注意事项： 1答题前填写好自己的娃名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第1卷（选择题) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 的 龄 一项是符合题目要求的. 1. 对于以下四个函数：①y=x;②y=:③y=x;④y=1.在区间[L,2]上函数的平均 铷 变化率最大的是 A.① B.② C.③ D.④ 2.下列导数运算正确的是 () A sin- B. (3=3 C.(og; xIn2 g倒 长 在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于y轴的对称点为点B, 则点B的坐标是( 女 A. （-1,-2-3) B.（-1,2,-3 c.(1,-2,3) D.(1,2,-3) 茶 4. 已知a=02,1),6=(2,-4,1),则2a+6等于 () 数 A. (4,-2,0) B.(4,0,3) C.(-4,0,3) D.(4,0,-3) 5.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为 称 y=12cos 则t=8s时，弹簧振子的瞬时速度为 () 中之湖 御 A. -3πmm/s B.0mm/s C.3元mm/s D.12 mm/s 6. 己知两个向量a=(2,m,3),b=(4,-1,n),且a1/b,则mn的值为 () A.1 B.-2 C.-3 D.6 若函数了()=-瓜+4在区间L4上单调道减，则口的取值范图是() 7. 高二数学共4页（第1页） A.(24,+oo) B.[24,+o) D. 8.若函数f)=-x2+4r-2anx有两个不同的极值点，则实数4的取值范围是（) A.(-0,1) B.(0,1) C.(0,2) D.（-o0,2) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知平行六面体ABCD-A'B'CD',点E是CC'的中点，下列结论中正确的是(). A.AB+AD=AC B.AB-AA=BA' D' C.AB+AD+A4=AC D.AB+BC+1CC=A正 10.定义在R上的可导函数f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.-2是函数f(x)的极大值点，-1是函数f(x)的极小值点 B.0是函数f(x)的极小值点 C.函数f(x)的单调递增区间是(0，+∞) D.函数f(x)的单调递减区间是(-2，-1) 1山.若函数f(,=3x+(a+1x+x的导函数f'()是偶函数，则下列说法正确的是（） A.f(x)的图象关于(0，O)中心对称 B.f(x)在点(3，f(3)处的切线方程为：8x-y-18=0 Q1最小值为子 卫对在意，50，南/卢生5水飞上 2 高二数学共4页（第2页) 第1卷（非选择题) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=xnx,则曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为 13.函数f(x)=(x-3)e*的单调增区间是： 14.在棱长为3的正方体ABCD-A,B,CD,中，E为线段DD,靠近D,的三等分点.F为线段BB,靠 近B的三分点，则直线FC到平面ABE的距离为 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC (1)求ab: (2)若向量ka+b与ka-2b互相垂直，求实数k的值. 16.(15分)已知函数f(x)=x3+ax2+b在x=-2时取得极大值4. (1)求实数a,b的值； (2)求函数f(x)在区间[-3,1]上的最值. 17.(15分)如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥BC,AC=2BC=CC1=2,D,E分别 是AC1,BC的中点， (1)求证：CE∥平面ABD (2)求异面直线AC与BD所成角的余弦值. 高二数学共4页（第3页） 18.(17分)如图，已知平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等腰直角三角形， ∠APD=90°，四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB, AB L AD,AB=AD=2,POl/DC,PO=DC=1. (1)求二面角Q-BC-A的余弦值； (2)线段QB上是否存在点M,使得AM⊥平面QBC? OM 若存在，求 的值；若不存在，请说明理由， 國 OB 牌 擗 字 X 19.(17分)已知函数f)=aln(x+2)+号x2,a>0. 烟 (1)讨论y=f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个极值点，x2,求证：1<∫(x)+(x2)<2. 鸣 高二数学共4页（第4页)