余弦定理和正弦定理 测试基础卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

余弦定理和正弦定理基础检测卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 2.在中，已知，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】C 3.已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 , , ，由余弦定理可得，解得（负值舍去）．故选C． 4．记的内角，，的对边分别为，，， ，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由余弦定理得，解得（负值舍去），故.故选B. 5.若的内角，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，所以，设，，，，则.故选D. 6.在中，，， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由余弦定理得， 即，故（负值舍去）.故选B. 7.在中，内角，，所对的边分别是，，，且，， ，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由可得，， 所以（负值舍去）， 所以， 所以.故选B. 8.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】C 【解析】已知. ①当时，，为直角三角形， ，，. ②当时，， 由正弦定理得， 由余弦定理， 得，解得（负值舍去）. 综上可得，或. 故选C. 2． 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由余弦定理可得，化简得，所以为直角三角形，A正确； 对于B，因为，所以 ，或 ，，又，，，所以或，所以为直角三角形或等腰三角形，B错误； 对于C，因为，所以由余弦定理得，又，所以A为钝角，故为钝角三角形，C正确； 对于D，由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，又，所以，D正确. 10.中，内角，，所对的边分别为，，，下列判断正确的有（ ） A. 若， ， ，则三角形有两解 B. 若，， ，则三角形有两解 C. 若，， ，则三角形只有一解 D. 若，， ，则三角形只有一解 【答案】CD 【解析】对于A，由正弦定理，得，，显然有唯一结果，即三角形只有一解，A错误； 对于B，由正弦定理得，无解，B错误； 对于C，由，得 ，由正弦定理得，三角形有唯一解，C正确； 对于D，由，得 ，此时 ，三角形有唯一解，D正确. 11.一艘轮船航行到处时，看到灯塔在的北偏东 方向上，距离为 海里，灯塔在的北偏西 方向上，距离为 海里，该轮船从处沿正北方向继续航行到处时，再看灯塔在其南偏东 方向上，则（ ） A. 海里 B. 海里 C. 或 D. 灯塔在的南偏西 方向上 【答案】ABD 【解析】如图，由题意得 ， ， ，，，则 ， 由正弦定理，得海里，A正确； 由余弦定理得， 海里， B正确； 由，得，故 ，所以灯塔C在D的南偏西 方向上，C错误，D正确. 3． 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则________________. 【答案】 13.已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东 的方向航行，船沿正北方向航行（如图）.若船的航行速度为，1小时后，船测得船位于船的北偏东 的方向上，则此时，两船相距__________________. 【答案】 【解析】由题意得 ， ，， 因为， 即， 所以． 14．在中，，，，点在边上，，则________________. 【答案】 【解析】 在中，，，， 由余弦定理，得，所以（负值舍去）. 设 ，，则 ，，， 在中，由 ， 得 ，① 在中，由， 得 ，② 联立①②，解得，即. 4. 解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.在中，内角，，的对边分别为，，，已知， ，，求未知的边和角 【解析】由正弦定理，得， ，且， 或 . 当 时， ，，由正弦定理得， 当 时， ，，由正弦定理得， ， ， 或， ， . 16.．已知在中，角，，的对边分别为，，，且，，求的周长的最小值. 【解析】，， 由余弦定理可得， . ， 当且仅当时，等号成立， 故的周长的最小值为12. 17.为测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得 ， ， ，同时测得 海里. （1） 求的长度； （2） 求，之间的距离. 【解析】 （1） 由题意得，在中， ， ，故 ，由正弦定理得，所以，所以的长度为 海里. （2） 在中， ， ，所以 ，故，由余弦定理可得，在中，，， ，由余弦定理可得，所以，之间的距离为 海里. 18.在中，为钝角，. （1） 求； （2） 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求边上高线的长. 条件①：；条件②：，. 【解析】 （1） 由题知，由余弦定理可得,即,因为 ，所以. （2） 选条件①：由，可得，代入，解得，，此时存在但不唯一，不符合题意，舍去.选条件②：由正弦定理，可得，设，，由余弦定理得，所以，解得，，.符合题意.设边上高线的长为，由，得，解得.即边上高线的长为. 19.在中，，，分别为内角，，的对边，且. （1） 求； （2） 若，，求的面积； （3） 若，，求边上的中线长. 【解析】 （1） 因为，所以由正弦定理得，由余弦定理可得，因为，所以. （2） 因为，且，所以，解得或（舍去），所以. （3） 因为，所以由正弦定理可得，即，因为，所以，则，所以或，即或，当时，为等边三角形，所以边上的中线长为；当时，，所以为直角三角形，由正弦定理，得，，所以边上的中线长为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 余弦定理和正弦定理基础检测卷 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，且，则为（ ） A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 2.在中，已知，，，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 3.已知的内角，，的对边分别为，，，，，，则等于（ ） A. B. C. 4 D. 4．记的内角，，的对边分别为，，， ，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5.若的内角，，满足，则（ ） A. B. C. D. 6.在中，，， ，则（ ） A. B. C. D. 7.在中，内角，，所对的边分别是，，，且，， ，，则的值为 （ ） A. B. C. D. 8.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，且，，则（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 2． 多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9.中，角，，所对的边分别为，，，则下列命题正确的有（ ） A. 若，则为直角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则为钝角三角形 D. 若，则 10.中，内角，，所对的边分别为，，，下列判断正确的有（ ） A. 若， ， ，则三角形有两解 B. 若，， ，则三角形有两解 C. 若，， ，则三角形只有一解 D. 若，， ，则三角形只有一解 11.一艘轮船航行到处时，看到灯塔在的北偏东 方向上，距离为 海里，灯塔在的北偏西 方向上，距离为 海里，该轮船从处沿正北方向继续航行到处时，再看灯塔在其南偏东 方向上，则（ ） A. 海里 B. 海里 C. 或 D. 灯塔在的南偏西 方向上 3． 填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，，则________________. 13.已知轮船和轮船同时离开岛，船沿北偏东 的方向航行，船沿正北方向航行（如图）.若船的航行速度为，1小时后，船测得船位于船的北偏东 的方向上，则此时，两船相距__________________. 14．在中，，，，点在边上，，则________________. 4. 解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.在中，内角，，的对边分别为，，，已知， ，，求未知的边和角 16.．已知在中，角，，的对边分别为，，，且，，求的周长的最小值. 17.为测量海底两点，间的距离，海底探测仪沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得 ， ， ，同时测得 海里. （1） 求的长度； （2） 求，之间的距离. 18.在中，为钝角，. （1） 求； （2） 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求边上高线的长. 条件①：；条件②：，. 19.在中，，，分别为内角，，的对边，且. （1） 求； （2） 若，，求的面积； （3） 若，，求边上的中线长. 学科网（北京）股份有限公司 $