精品解析：广东深圳市桃源居中澳实验学校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

高一数学Grade 10 MATH 2025-2026学年第二学期期中考试试卷 一、单选题：本题共10小题，每题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6. 【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为， 侧面积，解得， 则，故圆锥轴截面的周长为． 2. 给出下列命题，正确的有（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 已知为实数，若，则与共线 C. 的充要条件是且 D. 若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量的概念即可判断A，举反例即可反驳BC，根据相等向量的含义即可判断D. 【详解】对A，向量相等只需满足方向相同且模相等即可，故A错误； 对B，若时，此时与可以不共线，故B错误； 对C，、为相反向量时，也满足且，但此时，故C错误； 对D ，若是不共线的四点，且，则， 则四边形为平行四边形，故D正确. 故选：D. 3. 已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形求两点距离即得答案. 【详解】将该四棱锥沿PA剪开，展成平面图形，如图，根据两点之间线段最短.，蚂蚁爬行的最短的路线为线段， 由可得，， 由余弦定理，， 从而最短距离为. 4. 已知点为所在平面内一点，且，则（ ） A. 点在线段上 B. 点在线段的延长线上 C. 点在线段的反向延长线上 D. 点在射线上 【答案】D 【解析】 【分析】将已知向量等式变形，得到点相对于点的位置向量与方向向量共线且同向，从而判断点在射线上. 【详解】由，得，所以， 所以点在射线上． 故选：D. 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，，， 则向量在向量上的投影向量为. 6. 已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（ ） A. B. C. 11 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以， 又A、C、D三点共线，所以，所以，解得. 7. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可得解. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 8. 已知向量，且，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得，由可得，最后应用模长公式即可求解. 【详解】因为，所以， 展开整理得，由， 得，即， 所以，即，所以. 9. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求解作答. 【详解】在正方形ABCD中，以点A为原点，直线AB，AD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则，， ，因， 于是得，解得， 所以的值为. 故选：B 10. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（ ） A. 两解 B. 一解 C. 无解 D. 无穷多解 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的值，结合正弦函数的图像和三角形内角和得到结论. 【详解】，，，， ，， ，或 当时，，，不符合三角形内角和定理，故舍去， 则只有一个解，故此三角形只有一个解. 故选：B. 二、填空题：本题共5小题，每题6分，共30分. 11. 已知复数满足，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】设的代数形式为代入已知方程，利用两个复数相等得的方程组，解方程组可得. 【详解】设，则， 则， 可得，解得， 即，所以. 12. 已知向量，若，则_________. 【答案】0 【解析】 【详解】因为向量，所以， 若，则，解得. 13. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出直观图矩形的面积，再根据原图形与直观图面积关系求出四边形的面积. 【详解】由题意，， 原图形面积与斜二测直观图形面积之间的关系为， 可得． 故答案为：． 14. 如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，求得直线和的方程，联立方程组，求得，结合，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线为轴，以过点垂直轴的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，则， 可得， 所以直线的方程为，直线的方程为， 联立两直线方程，解得，即， 所以， 因为，所以，解得，所以． 故答案为：. 15. 设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据余弦定理求出角的大小，再求出角的范围，再利用正弦定理用表示c计算范围即可 【详解】因为，所以，根据余弦定理 因为是锐角三角形，，因此​，得，即 因为三个角都是锐角，所以，解得，所以 又​，，所以 因为，所以 三、解答题：本题共4小题，每题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得的值，可求； （2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，进而利用正弦定理可求得，进而可求的面积． 法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，利用正弦定理可求得，进而利用可求解. 【小问1详解】 由正弦定理知． ∴，∵，∴， ∴，，∴． 【小问2详解】 法一：由（1）知，，∴． ∴，∴，∴． 法二：由（1）知，，∴． 由正弦定理可得． ∴． 17. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数的定义列不等式组求解即得； （2）根据第二象限内的点的特征列不等式组求解即得. 【小问1详解】 由是纯虚数，可得， 由①解得或，因时，，不合题意， 故的值为； 【小问2详解】 由在复平面内对应的点在第二象限， 可得，由③解得；由④解得或， 故得，即的取值范围为. 18. 已知向量的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义得出数量积的值，并根据，代入即可求解； （2）将条件转化为且与不共线时，计算，解不等式即可得到结果． 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角； （2）若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理角化边，再由余弦定理解三角形求解即可； （2）由三角形面积公式可得，再由结合向量数量积运算律计算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，因为，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为D为线段BC中点，所以， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学Grade 10 MATH 2025-2026学年第二学期期中考试试卷 一、单选题：本题共10小题，每题6分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 给出下列命题，正确的有（ ） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同 B. 已知为实数，若，则与共线 C. 的充要条件是且 D. 若是不共线的四点，且，则四边形为平行四边形 3. 已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（ ） A. 6 B. C. D. 4. 已知点为所在平面内一点，且，则（ ） A. 点在线段上 B. 点在线段的延长线上 C. 点在线段的反向延长线上 D. 点在射线上 5. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（ ） A. B. C. 11 D. 7. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，且，则（    ） A. B. C. D. 9. 在正方形ABCD中，M是BC的中点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则此三角形有（ ） A. 两解 B. 一解 C. 无解 D. 无穷多解 二、填空题：本题共5小题，每题6分，共30分. 11. 已知复数满足，则___________. 12. 已知向量，若，则_________. 13. 已知水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，则四边形的面积为______ 14. 如图所示，在梯形中，与交于点，若，则__________ ． 15. 设锐角的三边长为，若的三边满足等式：，则的取值范围为__________． 三、解答题：本题共4小题，每题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 在中内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 17. 已知复数，其中i为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围． 18. 已知向量的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． （1）求角； （2）若，的面积为，D为线段中点，求中线的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $