云南保山市第八中学等校2026届高三下学期5月模拟预测数学试题

高三数学参考答案 题序1 45 6 10 11 12 13 14 答案 C A D B A C B CADABDACD y=-3x+3 √2-1 √2+1 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分 【3】第12题的答案还可写成3x十y一3=0. 【4】第13,14题，凡与答案不符的均不得分 1.C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养. 由x+1>0,得x>-1,则A∩B={2,3. 2.A【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养。 2+i+|=|1+i=√2 3.D【解析】本题考查指数、对数的大小比较，考查逻辑推理的核心素养 3.2>3.1>21.1>2,l0g23<2,则b>a>c. 4.B【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算的核心素养. 由题可得g(x)=sinx,则g(x)的最小正周期为2π. 5.A【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养 由(a+b)(sinA-sinB)>csin C,可得(a+b)(a-b)>c2,则a2>b2+c2,则cosA= b十c2一a<0,则A为钝角，故△ABC的形状是钝角三角形. 2bc 6.C【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养， 因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以由f(x)<0在[一3，一1]上恒成立，可得f(x)>0 在[1,3]上恒成立.若-？<1，即a>-2,则f(x)在[1,3]上单调递增.则f)=1-a>0, 得-2<a<1.若1<-g<3,即-6<a≤-2，则a2+8a<0,得-6≤a≤-2.若-2>3，即 a<-6,则f(x)在[1,3]上单调递减，则f(3)=9十a>0,得一9<a<一6.综上所述，a的取 值范围为（一9,1）. 7.B【解析】本题考查排列组合，考查逻辑推理的核心素养 若甲在第三个参演，则不同的参演顺序有A=24种；若甲不在第三个参演，则不同的参演顺 序有C2CA=36种.根据分类加法计数原理可知，不同的参演顺序共有24十36=60种 【高三数学·参考答案第1页（共9页）】 ·YN· 8C【解析】本题考查三棱锥的外接球，考查直观想象的核心 素养 如图，由题可知，△BCD外接圆的圆心O是CD的中点.设三 棱锥A-BCD外接球的球心为O1,连接OO1,则OO1⊥平面B BCD.过A作AA1⊥BD,与BD的延长线交于点A1,则由平 ○ 面ABD⊥平面BCD,可得AA1⊥平面BCD.因为∠ADB=120°，AD=BD=6,所以A1D=3, AA1=35.取BD的中点E,连接OE,OA1,可得OE⊥BD,OE=2BD=3,则OA, √OE+A1E=3√5.设OO1=x,连接O1C,O1A,则x2+(3√2)2=(33-x)2+(3√5)2， 解得x=3√3，故三棱维A-BCD外接球的表面积为4π(x2十18)=180π. 9.AD【解析】本题考查统计，考查数学运算的核心素养. 由题可知，该城市这周共有5天的空气质量等级为“优”，A正确.该城市这周PM2.5日平均 浓度的数值按从小到大的顺序排列为19,23,26,27,34,43,45，因为7×40%=2.8，所以该城 市这周PM2.5日平均浓度数值的40%分位数为26，极差为45-19=26，B不正确，C不正 确，该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为34+27+43+23+45+26+19=31， 7 D正确， 10.ABD【解析】本题考查三角恒等变换，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 若a=3,则显然m=n,若m=n,则m一n=sina一cosa-sin3十cos3=0,整理得sina )=sin(g-),由a8(0,)得a-∈(-不，)g-年∈(-，买)，则a- g-T,则a=BA正确.m十n=2sin(a+不)+2sin(B+于)，由a,8∈(o,2),得a+ ∈（牙，3）8+∈(，3），则sime+）∈（号]，sim(+）∈（号1]，则mtn的 取值范围为(2,22]，B正确.由a十B=,得cos月=sina,sinB=cosa,则mm 4 sin acos a=2sin2a≤2，C不正确.m2+n2=(sina+cos3)2+(cosa+sin3)2=2+ 2sin(a十B)<4,当且仅当a十B=5时，等号成立，D正确。 11.ACD【解析】本题考查曲线的方程与性质，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， 将T方程中的x,y互换可知T的方程不变，所以T关于直线y=x对称，A正确.设P(x, y).由3x2+3y2-2xy-8=0,得3x2+3y2-8=2xy≤x2十y2,当且仅当x=y时，等号成 立，则x2+y2≤4，从而1OP|≤2，B不正确.(PA|+|PB|)2=[√(x一1)十(y-1)+ 【高三数学·参考答案第2页（共9页）】 ·YN· √(x+1)2+(y+1)2]2=2(x2+y2)+4+2W/(x2+y2+2)2-4(x+y)2=2(x2+y2)+4+ 2W/(x2+y2)2-12(x2+y2)+36=2(x2+y2)+4+2(6-x2-y2)=16,则1PA+PB= 4,是定值，C正确.由选项C可知，Γ是以A,B为焦点，4为长轴长，2√2为焦距的椭圆.因为 PI PA+PBI T是△PAB的内.Q在AB上.所以Q-PO0.则040中B07 4=2,则1PI=2QI.D正确。 2√ 12.y=一3.x十3【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养， 由y=nx-2x2+2,可得y/=-4,当x=1时y=-3,则曲线y=nx-2x2+2在 点(1,0)处的切线方程为y=一3x十3. 13.√2一1【解析】本题考查椭圆与抛物线的性质，考查逻辑推 理与数学运算的核心素养. M 如图，因为F是E1,E2的公共焦点，F1是E1的另一个焦点， 所以E2的准线经过点F1.根据对称性，不妨令M在第一象 F日 限.因为△F1MN是等腰直角三角形，所以∠MF1F=45°.过 M作E2准线的垂线，垂足为M1,则△MM1F1是等腰直角三 角形，则MM1=|MF,.又|MMI=|MF,所以|MF|= MF|,即MF⊥FF1.设FF1=x,则|MF1|+MF|= (2十1)x,则E,的离心率为1，=2-1 √2+1 14.√2十1【解析】本题考查平面向量，考查逻辑推理的核心素养 因为这5个单位向量互不相等，且恰有1对向量互相平行，所以这2个向量互为相反向量， 不妨令a1=-a2,则|之a,=a,十a,十a.若a3a4,a中有2个或3个向量与a1垂直， 则这些向量也与α2垂直，所以这5个向量中，至少有4对向量互相垂直，不符合题意.若a3, a4,a,均不与a1垂直，也不与a2垂直，则a3,a4,a5两两垂直，不符合平面向量的性质.故 a3,a4,a5中恰有1个向量同时与a1,a2垂直，不妨令a3⊥a1,a3⊥a2,则由题可知a4⊥a5, 从而|a4十a5=√2，则a3十a4十a5≤a3|十a4十a5|=√2+1，当且仅当a3与a4十a同 向时，等号成立，经检验，此时满足题设条件.故α的最大值为2十1. 15.【解析】本题考查数列的性质，考查数学运算的核心素养 解：(1)因为an=2”,所以b1=a1十a2,b2=a2十a3十a4,b3=a3十a4十a5十a6,…3分 所以b1-b2十b3=a1十a5十a6=2十25十26=98.…5分 【高三数学·参考答案第3页（共9页）】 ·YN· (2)因为a,=n,所以b,=a,十a+1+…十a=n十n十1十…十2n=n+2)n+1D 2 3n(n+1) …7分 1 …9分 …10分 2 …1门分 则(Wt-1)(Wt-2)≤0，得1≤t≤2， …12分 则1≤t≤4，即t的取值范围为[1,4幻.…13分 16.【解析】本题考查空间向量与立体几何，考查直观想象的核心素养 (1)证明：连接BD1,与A1C交于点O,可知O为BD1的中点.…3分 连接OE.因为E是AB的中点，所以OE∥AD1.…4分 又AD1￠平面A1CE,OEC平面A1CE,所以AD1∥平面 A1CE.…6分B (2)解：不妨设正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为2，则由E, F分别为AB,DD1的中点，可得A1E=CE=A,F=CF=√5. …8分 连接OF,则OE⊥A,C,OF⊥AC,所以∠EOF即为二面角 E-A1C-F的大小.… …… 9分 A,C=25,则0E=0F=AE2-(A9-2.…10分 连接DE,EF,则DE=√5，EF=√DF2+DE=√6」 …11分 在△OEF中，cos∠EOF=OE+OF2-EF22+2-6 2OE·OF …13分 2X√2X√2 2 则二面角E-A,CF的正弦值为、1-(-) …15分 B 【评分细则】 本题也可以用如下方法作答： 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，显然AB,AD,AA1两两垂直， 则以A为坐标原点，AB,AD,AA1所在直线分别为x,y,之轴建 B 【高三数学·参考答案第4页（共9页）】 ·YN· 立如图所示的空间直角坐标系.…1分 不妨设正方体ABCD-A1BC1D1的棱长为2，则A(0,0,0),D1(0,2,2),A1(0,0,2),E(1, 0,0),C(2,2,0),F(0,2,1).… 2分 (1)证明：AD=(0,2,2),A1E=(1,0,-2),A1C=(2,2,-2).…3分 设平面A1CE的法向量为m=(x1,y1,之1)， A1E·m=0, x1一221=0， 则由 可得 ………………………4分 AC·m=0, 2x1+2y1-2z1=0, 令之1=1，得m=(2,-1,1).… 5分 因为AD·m=0X2+2X(-1)十2X1=0,所以AD1⊥m.…7分 又AD1庄平面A1CE,所以AD1平面ACE.…8分 (2)解：A1F=(0,2,一1).设平面A1C℉的法向量为n=(x2y2,之2)，… 9分 A1F·n=0,2y2-z2=0, 则由 可得 10分 A1C.n=0, 2x2+2y2-2x2=0, 令y2=1,得n=(1,1,2).…11分 cos(m,n〉= m·n31 m n 6 2 …13分 故二面角EA,CF的正弦值为√1-(2) 15分 17.【解析】本题考查概率与随机变量的期望，考查数学运算与数据分析的核心素养 解：(1)当n=1时，记事件A为“顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球”，事件B为“顾 客可以获得奖金”，… …1分 则P(B)=P(A)·P(B|A)+P(A)·P(BA) 4分 品×导+品×是- 6分 (2)当n=1时，记顾客获得的奖金为X元，则X的所有可能取值为0,30,40，…7分 且p(X=0=1-88pX=0=8×98p0X=40)8×号7 …9分 则E(X)=0x8+30×g+40×}-空 …10分 当n=2时，记顾客获得的奖金为Y元，则Y的所有可能取值为0,60,80，…11分 …13分 则m-0X号+60X+0X- …14分 【高三数学·参考答案第5页（共9页）】 ·YN· 因为尊< ,所以当n=2时，顾客获得奖金金额的期望更大。…15分 【评分细则】 第(1)问也可以用如下方法作答： 由题可知，当=1时，顾客所选的箱子中有2个白球和2个红球，且该顾客获得奖金的概率 …2分 颐客所选的箱子中有1个白球和3个红球，且该顾客获得奖金的概率P,二×子=3 4 8，… …4分 则当n1时，顾客可以获得奖金的概率P=P+P,+名-8， …6分 18.【解析】本题考查双曲线的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养. a=b, (1)解：由题可知，c=√2， …1分 c2=a2+b2, 解得a=b=1,… 2分 则C的方程为x2一y2=1.…3分 (2)证明：(1)依题可设直线AB的方程为x=my十n,A(xA,yA),B(xB,yB). 由 y二可得(0m2-1)y2+2my十n2-1=0, x=my+n, 则4m2n2-4(m2-1)(n2-1)=4(m2+n2-1)>0,且m2-1≠0， yA十yB= m2-FyAy=n2-1 2mn m2-1' …5分 所以xAxB=(myA十n)(myB十n)=m2yAyB十n(yA十yB)十n2 m2(n2-1)-2m2n2+n2(m2-1)-m2-n2 n2-1 m2-1· …6分 因为A,B是C右支上两个不同的点，所以-” 2>0.…7 又m2+n2-1>0,所以m2-1<0. (A,B)-taca-yaya-1-m:-2n2 m2-1 =-1+,2m 1-m2 8分 由m2十n2-1>0,m2-1<0,得n2>1-m2>0,…9分 则-1t>1+2=1,故A,B)>1 …10分 【高三数学·参考答案第6页（共9页）】 ·YN· （i)设A1(x1,y1),A2(x2,y2),A3(x3,y3).由A1,A2〉=〈A2,A3〉=t和(i)可得t>1, …11分 x1x2一y1y2=t, 且 则A1,A3均在直线l:x2x一y2y一t=0上.…12分 x2x3-y2y3=t, x=t, 若y2=0,则x2=1,l的方程为x=t,由 x2-y2=1 可得y2-t2+1=0,则y1y3=1一t2, 则(A1,A3》=x1x3y1yg=2t2-1.…13分 若0.则1的方程可化为y一 ly= -x- y2y2可得(y号-x)x2+2x2tx x2-y2=1, t2-y=0.因为x号-y=1,所以上式可化为x2-2x2tx十t2+x-1=0,…14分 此时△=4x号t2-4t2-4x号+4=4(x2-1)(t2-1)>0,且x1+x3=2x2t>0,x1x3=t2+ x号-1>0，…15分 则(A1,A3〉=x1x3一y1y3=x1x3 （x2x1-t)(x2x3-1)_-x1x3十x21(x1十x3)-t2 yi x2-1 1-1x十2x2-272-1.…16 x2-1 综上所述，〈A1,A3)为定值，且该定值为2t-1. …17分 【评分细则】 第(2)（ⅰ）问也可用如下方法作答： 设A(xA,yA),B(xB,yB),xA≥1，xB≥1， xi一y=1, 则 ……4分 x6一y6=1. (A,B〉=xAxB一yAyB, 则A,B)2-1=(xAxB-yAyB)2-(xA一y)(x元一y) 5分 =(xAyB一xByA)2≥0，… …6分 当且仅当xAyB一xyA=0,即A,B与坐标原点共线时，等号成立， 这与A,B是C右支上两个不同的点矛盾，则(xAyB一xByA)2>0,即(A,B)2>1.·7分 因为x?=1十y房，所以xA=√/1十y房>yA,同理可得xB|>yB,…8分 则xAxB>yAyB≥yAyB,从而〈A,B）=xAxB一yAyB>0,…9分 则由(A,B)2>1,可得(A,B》>1.…10分 19.【解析】本题考查导数与三角函数的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 (1)解：由f(x)=(e+er)cosx,得f'(x)=(e-e)cosx-(e十er)sinx.…1分 【高三数学·参考答案第7页（共9页）】 ·YN· 令g(x)=(e-er)cosx-(e十ex)sinx,则g'(x)=-2(e-er)sinx.…2分 因为x∈[0，]，所以e一-e≥0，sinx≥0，则g'(x)<0在[0，]上恒成立，则g(x)在 [0,]上单调递减.… 3分 又g(0)=0,所以g(x)<0,即f(x)≤0在[0，]上恒成立，则fx)在[0，]上单调递 减，则f(x)在[0，】]上的最大值为f0)=2,最小值为f()=0.…4分 (2)e"cos(x+y)+ecos(x-y)=e(cos xcos y-sin xsin y)+e(cos xcos y+ sin xsin y)=cos xcos y(ev+e )-sin xsin y(e-ey).................................5 因为0<≤r<,所以由1)可知，cosy(e十e)<2,则(e十e)<2cosx. 6分 又sinx>0,siny>0,e'-e'>0,所以sin xsin y(e'-ey)>0, …7分 则cosco(e+e)--sin xsin y(e-e)<2cosx,故Vx∈(0，)，y∈(0，x], eyc0s(x+y)十eyc0s(x-y)<2c0sx.…8分 (3)解：由题可知，Hx∈(0，开），ec0s3x十ecos-kc0s2x<0. 令a）eo3eos-kms2x,则u0-2-a7》=-号e-。i)心 若2-k>0,则u(0)>0,根据函数零点存在定理可知，3x1∈(0，不)，u(x1)=0,不符合题 意，故k≥2.…9分 同理可得Vx∈(0，不)，ecos十ecos3x-kcos2x>0. 令r）=eosx+ecas3x-cas2z.则00)=2-6(）-e-。5)>0 若2一k<0,则u(0)<0,根据函数零点存在定理可知，月x,∈(0，开)0(，)=0，不符合题 意，故k2.…10分 综上所述，k=2是原不等式成立的必要条件，下面证明当k=2时，原不等式成立， 即Vx∈(0，T）,ecos3x+ecos<2cos2x<cos+ecos3x.11分 对于左侧不等式e'cos3.x十e cos x<2cos2x, 由x∈(0，T),可得2x∈(0，)，且2a>x, …12分 【高三数学·参考答案第8页（共9页）】 ·YN· 则由(2)可得ecos3x+ecos x=ecos(2x+x)十ecos(2x-x)<2cos2x,不等式 成立.……13分 对于右侧不等式2cos2x<e"cos a十e'cos3.x, 设常数C∈(0,2)，令h(y)=ecos(C-y)十e'cos(C+y)y∈[0，C],…14分 h(y)=e*cos(C-y)+e*sin(c-y)-e cos(C+y)-e *sin(C+y). (y)=e*cos(C-y)+e'sin(C-y)-e cos(C+y)-e sin(C+y), (y)=2e'sin(C-y)+2e sin(C-y). 由C∈(，)y∈[0，C],可得sin(C-y)≥0，sin(C+y)>0,则g'(y)>0,从而g(y)在 [0,C]上单调递增，则o(y)≥o(0)=0在[0，C]上恒成立，即h'(y)≥0在[0，C]上恒成立， 则h(y)在[0，C]上单调递增，所以h(y)≥h(0)=2c0sC.…15分 令C=2x,y=x,满足x∈(0，买)，代人h(y),即可得2cos2x<ecos十ecos3z,不等 式成立. ……16分 综上所述，k=2.………17分 回▣ 【高三数学·参考答案第9页（共9页）】 ·YN·高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合A={-2,一1,2,3}，B={xx十1>0}，则A∩B= A.{-2,-1,2} B.{-1,2,3} C.{2,3) D.{-1,2} 2.|2+i+|= A.√2 B.√10 C.10 D.2 3.已知a=211,b=32,c=1og23,则 A.ac>b B.b>c>a C.a>6>c D.b>a>c 4,将函数f(x)=sin2x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 g(x)的图象，则g(x)的最小正周期为 A B.2π C.π D.4π 5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sinA一sinB)>csnC,则 △ABC的形状是 A.钝角三角形 B.直角三角形 C,锐角三角形 D.无法确定的 6.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2十ax一2a,若f(x)<0在 [一3，一1]上恒成立，则a的取值范围为 A.(-8,0) B.(-∞，-8)U(0,十∞) C.(-9,1) D.(1,十∞) 7.现有甲、乙等五名学生参加“弘扬中华文化”的演讲比赛，已知甲既不在第一个参演，又不在最 后一个参演，且乙不在第三个参演，则不同的参演顺序共有 A.120种 B.60种 C.72种 D.96种 8.如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,△ABD和 △BCD都是等腰三角形，且∠ADB=120°，BC⊥BD,BD=6,则三 棱锥A-BCD外接球的表面积为 A.260π B.220π C.180π D.300元 【高三数学第1页（共4页）】 .YN 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.PM2.5是空气中的细小污染物，其浓度（单位：μg/m3)越高，空气质量越差，浓度越低，空气 质量越好.我国现行PM2.5国家标准规定：若PM2.5日平均浓度不超过35，则当天空气质 量等级为“优”；若PM2.5日平均浓度超过35但不超过75，则当天空气质量等级为“良”.某 城市一周内PM2.5日平均浓度如下表，则 星期 二 三 四 五 六 日 PM2.5日平均浓度 34 27 43 23 45 26 19 A.该城市这周共有5天的空气质量等级为“优” B.该城市这周PM2.5日平均浓度数值的40%分位数为27 C.该城市这周PM2.5日平均浓度数值的极差为28 D.该城市这周PM2.5日平均浓度数值的平均数为31 10.已知a,8∈(0，)，且sna十cosP=m,cos&十sinB=m,则下列结论正确的是 A.“a=B”是“m=n”的充要条件 B.m十n的取值范围为(2,2√2] C若a十B=受，则m的最大值为号 D.m2+n的最大值为4 11.已知P是曲线T:3x2+3y2-2xy-8=0上的动点，点A(1,1),B(-1,-1),△PAB内切 圆的圆心记为I,直线PI与直线AB交于点Q,则 A.T关于直线y=x对称 B.存在点P,使得|OP|>2(O为坐标原点) C.IPAI+IPB|为定值 D.PI=2 QI 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线y=1nx一2x2+2在点(1,0)处的切线方程为 ▲ 18.已知F是精圆E1系+片-1(a>b>0)和抛物线E:y°=2x(>0)的公共焦点，F,是 E1的另一个焦点，M,N是E1与E2的交点，若△F:MN是等腰直角三角形，则E,的离心 率为▲ 14.已知平面内有5个互不相等的单位向量a1,a2,a3,a1,as.若这5个向量中恰有1对向量互 相平行，恰有3对向量互相垂直，则1之a:的最大值为▲一、 【高三数学第2页（共4页）】 ·YN- 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知数列{an}和{bn}满足bn=am十an+1十…十a2m (1)若an=2",求b1一b2十b3的值； ②者a,-,且时十公+…十片<后-后恒成立求：的取值范阻 16.(15分) 如图，在正方体ABCD-A:B1C1D1中，E,F分别为AB,DD1的中点. (1)证明：AD1平面A1CE (2)求二面角E-A:C-F的正弦值 B 17.(15分) 为促进消费，某商场面向顾客开展抽奖活动，规则如下：现有10个不透明的箱子，每个箱子 内装有4个除颜色外其他完全相同的小球，其中5个箱子各装有2个白球和2个红球，另外 5个箱子各装有1个白球和3个红球，顾客从10个箱子中随机地选取1个箱子，记所选的箱 子中红球的个数为m,顾客可从选中的箱子中一次性取出n(n∈{1,2)个球，若取出的均是 红球，则顾客可获得奖金，元，香则无法获得关金 (1)当n=1时，求顾客可以获得奖金的概率； (2)当n取何值时，顾客获得奖金金额的期望更大？ 【高三数学第3页（共4页）】 ·YN, 18.(17分) 已知双曲线C乙-=1(@>0，b>0)的实轴长与虚轴长相等，且C的焦距为2w@ (1)求C的方程. (2)对于C上的任意两点M(xM,yM),N(xN,yN),定义：(M,N)=xMxN一yMyN. (1)若A,B是C右支上两个不同的点，证明：(A,B)>1. (ⅱ)若A1,A2,A3是C右支上三个不同的点，且存在常数t,使得(A1,A2)= (A2,Aa)=t,证明(A1,A3)为定值，并求该定值（用t表示）. 19.(17分) (1)求函数f(x)-(e+e)cosx在[0，]上的最值. (2)证明：Vx∈(0，)，y∈(0，x],e'cos(x+y)+ecos(x一y)<2cosx. (3)若Vx∈(0，F),ecos3x十C0S<kcos2x<ef cos十ecos3x,求k的值. 【高三数学第4页（共4页）】 ·YN·