云南昆明市第一中学等校2026届新高考自主命题考前自测（二）数学试题

机密★启用前 【考试时间：4月9日 14:30-16:30】 云南省新高考自主命题冲刺金卷（二） 数学 命题人：云南省新高考自主命题研究小组 审题人：云南省新高考自主命题研究小组 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、 草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡 上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.复数：满足(1-i)=3+i,则||= A.3 B.√5 C.3 D.5 2已知集合A=1-3,1,2,31,集合B=x122>,则AnB= A{1} B.{2 C.{1,2} D.{1,2,3} 3.等比数列{an}中，a3与a4的等差中项为80，若a4=128,则a2= A日 B.Z C.2 D.8 4,已知双曲线的一个焦点与抛物线y=六的焦点重合，且一条渐近线方程为y=子，则双曲线的标 3 准方程是 A若-花1 916=1 c后-苦=1 n花-若-1 数学·第1页（共4页） |x(x-1)x≥0， 5.设函数f(x)= 则满足(x)>2的x的取值范围是 2-f(-x)x<0, A.（-0,-1) B.(2,+∞） C.(-1,0)U(2,+∞) D.(-1,0)U(0,2) 6.一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1,2,3,4,5,6，现 从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均 数为2，则 A.中位数可能为3 B.众数可能为4 C.极差可能为5 D.方差可能为1 7.已知AB,CD是半径为2的⊙O的两条直径，且AB与CD成60°角，现将⊙O沿直径AB折成直二面 角，此时，线段CD的长为 A.万 B.22 C.√10 D.23 &.在平面内，圆0上三点A,B,C满足0成，0成=0.0成-0·0心=-号，动点P,M满足=1， P方=M心，则|Bd的最大值是 A.4 B.5 C.35 D.6 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求。全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数x)=cs(2x+p),(0<l<）,若x+）为奇函数，则下列结论正确的是 A2π是函数f(x)的一个周期 B.y=(x)的图象关于直线x=号对称 C函数y=)的-个零点为x=智 D.)在(5，)上单调递增 10.已知点A(0,-1),B(2,-1),P是圆C:x2+y2-2ax+2ay+2a2-4=0上一点，且A应.B= 0,则实数a的取值可以是 A.1 B.2 C.3 D.4 山.已知数列a,满足：4=子，，=2-乙(n≥2)，则下列说法正确的是 an- A.a1=2 B.数列{an}是递减数列 C.若ap,a,a,成等差数列，则p,r,g也成等差数列 D数列为等整数列 数学·第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知离散型随机变量X,Y满足E(X)=2,Y=2X-3,则E(Y)= l3.数列{an}中，an=2n-1,数列{bn}的前n项和Sn=2”,则数列{an·bn}的前n项和Tn= 14.已知函数f(x)=。-x(e为自然对数的底数)有且只有一个零点，则实数k的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分。 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，AC=2√2，sin2B-sin2(A+B)=sinA(√5sinB-sinA). (1)求C; (2)点D在BC边上，且∠CAD=分∠C,求△ADC面积. 16.（15分) 已知棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D1,E,F分别是线段B,C,和C,D1上的两个点，且E,F与 C,不同时重合. (1)证明：EF//平面ABCD; B (2)当E,F,D,B四点共面时，求平面BDFE与平面CDDC,的夹角 的余弦值的取值范围 17.(15分) 已知函数fx)=-子+am2+bx+ab,其中a,6eR (1)若函数f(x)在x=-3处有极值-12，求a,b的值； (2)当x∈[-1,1]，a∈[-1,1]时，设M=f'(x)lmx,求M的最小值. 数学·第3页（共4页） 18.(17分) 某校有A,B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就 餐，近100天选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 (A,A) (A,B) (B,A) (B,B) (午餐，晚餐) 甲 30天 23天 37天 10天 乙 20天 22天 18天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率 (1)记X为甲、乙在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望E(X)； (2)设乙在9天中有k天的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为Pk,当Pk取最大值时，求k 的值； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，0<P(M)<1, 0<P(N)<1,一般来说，在推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠 套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大· 证明：P(M|lN)>P(MI) 19.（17分) 已知椭圆C:三+卡=1(e>6>0)和范物线C:=2(p>0),在C,C上各取两个点，这四 个点的坐标为2，)，（-万，0)，(1，会》，(-4,4， (1)求C1,C2的方程； (2)若直线L过椭圆C,的左焦点F,与椭圆C,交于A,B两点，设点A关于x轴的对称点为C,直 线BC与x轴交于点D,当△DAF的面积最大时，求直线I的方程； (3)设M是C2在第一象限上的点，C2在点M处的切线'与C,交于P,Q两点，线段PQ的中点为 N,过原点O的直线ON与过点M且垂直于x轴的直线交于点R. 证明：点R在定直线上 数学·第4页（共4页） 云南省新高考自主命题冲刺金卷（二） 数学参考答案 题号 1 2 6 8 9 10 11 答案 B A D B D B AC BC ABD 一、单项选择题 1.解析：z= 3+i(3+00+)_3+3i+i-1_2+41 =1+2i,所以z=√5，选B. 1-i1-i1+i) 2 2 2解新：集合4=32，集合8=2-3x<以.则n8=,选A 3.解析：设公比为9，则有 93+44=160 ,解得 a1=2 a4=128 g=4’所以4=a49=8,选D. 4.解析：抛物线y= 女的焦点坐标为0，)，设双曲线方程为号三-1，所以c-=5， 6解得a2=9,2=16.选B. a 3 5.解析：当x≥0时，f(x)>2,解得x>2；当x<0时，f(x)>2,即2-x2-x-2>0, 解得-1<x<0,故x的取值范围是(-1,0)U(2,+o),选C. 6.解析：设取得的数据为x,为，为，x4,则x+x+为+x4=8,不妨设1≤x≤2≤x≤x4≤6， 对于A,中位数为3，则当十=3，所以5+=6，且3≤，此时x+x=2与x≥：≥3 2 矛盾，A错误： 对于B,众数为4，则数据至少有两个4，此时x+x2+x3+x,>8,B错误； 对于C,极差为5，则x=1,x4=6,此时5+x3=1,C错误： 对于D,当x=5=1,飞=龙=3时，方差S=任-2+-2+色-2+，-2-1， D正确；选D, 7.解析：如图所示，过C点作CH垂直AB于H,由半径为2的⊙O,且AB与CD成60°角 能够算得CH=√5，OH=1,利用余弦定理可以算得DH=√7，因为将⊙O沿直径AB折 成直二面角，且CH垂直AB,所以，CH⊥平面ABD,所以有直角三角形CD,所以 CD=3+7=√10，选C C C 0 A 理科数学参考答案第1（共6页） 8.解析：由题可知OA=O=0C=r,且三个向量两两夹角相等为120，所以 r2cos120°=- ?,2=9,r=3.所以△ABC为正三角形，其边长为3W5.取4C中点为E 因为N是PC的中点，所以中位线EM-4P-分所以网-|B4+号-号+日5.选 B. 二、多项选择题 9.解折：由于人+到)co06+骨+=o2x+否+列为奇函数，有否+p=+号】 e五.而0<水受所以=一官f内=co2x-孕.结合离数性质，)在（侣得 上单调递减，A,C正确，选AC. 10.解折：正.丽-0，P在以AB为直径的圆上，圆心为C-,半径万=4=1，圆 C的圆心C(a,-a),半径2=2，由题知，圆C与圆C有公共点，所以2-片≤CCl≤片+2， 即1sa-+a+≤3，解得：2-355a52-5或2+5≤a≤2+35，选BC. 2 2 2 2 1解折：由6，得：马=分则弓所以a=2,A正确： 因为a=2-(a≥2neN).所以o2-女，(aeN, an 11 1 画4图为4-0，所段a4162台。 +1 a a 得11 ，=1,所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1 an-1 =n, a1-1an-1 a-1 得a,=1+,所以D正确： C.若ap,a,a,成等差数列，则2a,=0p+ag, 即2+2-=2+ r 卫q 得2-上+，令p=3,r=4g=6,满足等式，所以C错误： ,得，卫g 选ABD. 理科数学参考答案第2页（共6页） 三、填空题 12.解析：E(Y)=E(2X-3)=2E(X)-3=1. 2n2),则a,b= 13.解析：S,=2,得6，-2a=)1 [(2n-1)-21(n≥2) 2 (n=) 由错位相减法得T=(2n-3)·2”+4. 14解析：)=0，即兰-=0，则k-号，设g)-则g6)--习，令g倒=0 r3 得x=2,当x>2或x<0时，g'(x)>0；当0<x<2时，g'(x)<0,故当x=2时有极小值 gQ)-号，且当x<0时，)>0，故0<k<,所以实数k的取值范围为0，导.。 四、解答题 15.解：()由sin2B-sin2(A+B)=sinA(N3sinB-sin4), 得sin2B-sin2C=√5 sinAsin B-sin2A, 由正弦定理得：b2-c2=5ab-a2, 即a2+b2-c25 ab=之所以osc=3,所以c=刀 …6分 2 a由c-名，可得∠CD-C-吾所以∠40c-经.由正弦定理得： 2 CD=6-万，所以5ae=xW6-万x2x5-1. …13分 16.解：(1)因为正方体ABCD-ABCD,所以平面ABCD/1平面AB,C,D, 又因为E,F分别是BC和CD上的点，所以EFc平面AB,CD, 所以EFII平面ABCD. …5分 (2)当CF=CE时，有EF/1DBI1DB,此时E,F,D,B四点共面， 设CF=CE=a,0<a≤2，以D为原点，DA为x轴， D DC为y轴，DD为z轴构建直角坐标系， 则D(0,0,0),B(2,2,0),F(0,2-a,2), 有DB=(2,2,0),DF=(0,2-a,2), n.DB=0 令平面EFDB的法向量为n=(x,y,),有{ .DF=0 ,有n=(2,-2,2-ad) 理科数学参考答案第3页（共6页） 由正方体ABCD-AB,CD可知平面DCCD有法向量m=(L,0,0), 设平面BDFE与平面CDDC的夹角为O, 所以cos0=cos<n,m> (2,-2,2-a)(1,0,0) 2 ,0<a≤2 J4+4+(2-a)2×1 √a2-4a+12 利用二次函数性质可知， w05 …15分 17.解：(1) 由己知f()=式+am2+r+b,可得∫句)=-+2ax+b, 因为函数f(x)在x=-3处有极值-12， [f'(-3)=-9-6a+b=0 所以 f(-3)=9+9a-3b+ab=-12 ，解得0=1 或a1 b=151b=3’ 经检验， 6=15或16=3满足条件 a=1 或 a=-1 ……6分 (2)设g(x)=/'(x=x2+2m+=(x-a}+b+a,-1sx≤1， 则函数g(x)对称轴方程为x=a. -1<a<0,M=max(g(a),g(1), 所以2M≥g(a)+g)=a2++1+2a+≥2-2a+1=(a-12>1, 从面M> 若0≤a<1,M=max{g(a),g(-1}, 所以2M≥g(a)+g(-1)=a2++-1-2a+≥a2+2a+1=(a+1)2≥1， 从而M≥2所以M的最小值为号· …15分 18.解：(1)由题意知，用频率估计概率，一天中，甲的午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概 率为0.3，甲的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1；乙的午餐和晚餐都选择A餐厅 就餐的概率为0.2，乙的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4，X的所有可能取值为1， 2,则P(X=1)=0.3×0.2+0.1×0.4=0.1,P(X=2)=1-P(X=1)=0.9, 所以X的分布列为 理科数学参考答案第4页（共6页） 1 2 0.1 0.9 所以X的数学期望E(X)=1×0.1+2×0.9=1.9. …5分 (2)一天中，乙的午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4，所以k~B(9,0.4), 所以B=C。×0.4×1-0.4)*,k=0,1,2,,9, 因为会028-82.化8是-209. P 3k 由20-≥1得：k≤4，所以，当k<4时，R随k值的增大而增大，当k≥5时，R随k值 3k 的增大而减小，所以，k=3或k=4时，F取得最大值. …11分 (3)证明：已知PWM0>PwM,所以P(,PM）, P(M)P(M) 因为P(W)=P(NM)+P(NM),所以P(M)=P(W)-P(NM),又因为P(M=1-P(M), 所以P(MM,P()-P(,所以P(MM)-P(M)P(M)>P(w)P(M)-P(M)P(MM), P(M）1-P(M） 即：P(M)>P(N)P(M), 因为P(M)=P(M)+P(NM),所以P(N)P(M)=P(N)P(M)+P(WP(NM), 所以P(M)>P(N)P(M)+P(NPNM),所以P(M)-P(N)P(NM)>P(NP(NM), 所以P(M)1-P(N)>P(W)P(NM),所以P(M)P()>P(N)P(M）, 所以P4、P(M P(N)P(N) ,所以P(MIN)>P(MIN): …17分 19.保：已知，点-反，0，Q,5)在指圆C上，所以子=1，子+亦-1， 解得：a=2,81,所以G:+产=1： 点(2,1)，（-4,4)在抛物线C2上，所以p=2,所以C2:x2=4y.…5分 (2)设A(:,片)，B(2,2),则C(x,-片)，由已知设直线1的方程为：y=k(x+1), 理科数学参考答案第5页（共6页） [y=k(x+1) 由 x 2+y2=1 得：1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0,此时△>0， 4k2 2k2-2 所以x+名=1+2欢派=1+2， 由直线BC的方程：y-为=+当(x-5)得：y=+丛x-+丛， x2-x -为戈-为 令y=0,则x=+-266++)-26+任+2=-2， 当2+片k(+x2)+2k(:+x2)+2 所以D-2,0.此时Sae-DF,所以，当最大时， △DAF的面积最大，而l=1,即：A(O,±)，所以当△DAF的面积最大时， 直线1的方程为：x-y+1=0或x+y+1=0. …11分 (3)设Mm,学(m>0,由2=4y得y=, 2 匠以切线/的方程为：y-=发-m -=6x-m0 设P,⅓)，Q(x,y4),由 42 x2 2+2=1 得：m+3-+-40, m m 由△>0，x+x= 、 你+得：号2m+2代入yT四-m得 42 w20m+2所以kaw==-,所以ow:y=-上， -m2 Xx m x=m 由 1得：y=-1,所以点R在定直线y=-1上 …17分 y=-二x m 理科数学参考答案第6页（共6页） 云南省新高考自主命题冲刺金卷（二）数学双向细目表 学科：数学 题号 题型 分值 考查知识点 难度 题目来源 （原创或改编） 易 中 难 1 单 选 题 5 复数 易 原创试题占100% 2 5 集合 易 3 5 数列 易 4 5 双曲线方程 易 5 5 分段函数与不等式 易 6 5 统计 易 7 5 立体几何 中 8 5 平面向量 中 9 多 选 题 6 三角函数性质 易 10 6 圆与圆位置关系 中 11 6 递推数列 中 12 填 空 题 5 统计 易 13 5 数列求和 易 14 5 函数图象及应用 中 15 解 答 题 13 解三角形 易 16 15 立体几何 中 17 15 导数 中 18 17 概率统计、条件概率 难 19 17 直线与抛物线 难 合计 150 40% 40% 20% 学科网（北京）股份有限公司 $