4.1 数列的概念 教案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

学校 课题 4.1 数列的概念（第一课时） 年级 高二年级 学科 数学 教材分析 1.教材来源：本节课选自《人教 A 版高中数学选择性必修二》第四章《数列》； 2.地位与作用： “数列的概念与简单表示法 ”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数之间的关系等。数列是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中有着重要的应用。学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础， 因此，数列在高中数学中占有重要位置。 数列的概念、通项公式在学习过程中起着承上启下的作用.一方面，在数列概念的归纳提炼及具体问题的解决过程中常会用到函数思想，通过学习数列能进一步加深对函数的认识，深化对函数思想方法的运用；另一方面， 它们是学习本章的后续内容-等差数列、等比数列的基础； 同时，通过这部分内容的学习，可以强化学生的运算能力，提升分析归纳能力.基于以上分析，确定本节课的教学重点：数列的概念和通项公式. 学情分析 1.认知基础：学生小学初中接触过数列的概念，在高一系统学习了函数的概念与性质，基本初等函数等知识，知道研究函数的路径. 2.认知障碍： 从函数的角度认识数列. 3.教学问题诊断：在学习本章之前，学生对于数列并非一无所知，尤其是在函数的学习中，他们已经接触过一些实际上是数列的函数.但学生缺乏对数列内容的总体了解，也不清楚学习数列的一般思路和方法，这是本节教学的第一个难点，教学时可通过“章引言 ”的教学，结合函数学习的思路和方法，让学生对数列的内容及方法有一个大致了解，引起学生对数列内容的关注与兴趣。本节课通过具体实例抽象出数列定义，对数列概念的理解是本节的第二个教学难点。学生可能忽视数列概念的形成过程及对概念内数学的眼光看世界的很好的案例.经历这样并用数学语言进行表达，是一个让学生体验用要的意义. 此外，在把实际问题转化为数列问题，尤其是涉及年份等时间顺序时，学生在用数列进行表达时容易犯错误.在对用数列解决实际问题的教学中，要注意引导学生正确地构建数列，刻画实际问题中的等差关系、等比关系、递推关系等. 教学目标 1． 目标：（1）经历数列概念的抽象过程， 了解数列的定义， 了解数列是一种特殊的函数，了解数列的表示方法，提升数学抽象素养；（2）理解数列的通项公式． 2． 目标解析：达成上述目标的标志是：1）能从具体实例中归纳、概括出数列的共同特征，得到数列的定义和一般形式；能结合函数的定义，认识到数列是一种特殊的函数；能类比函数的表示方法， 了解数列的表格、图象和通项公式三种表示方法.（2）能说明数列的通项公式中各元素的意义；能根据数列的通项公式，写出数列的任意项；能根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式. 教学重难点 重点：数列的有关概念与数列的表示方法 难点：数列的函数特征 教学准备 课件 畅言智慧课堂 教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 智慧课堂应用及分析 1.功能选择 2.应用价值 3.评价体现 时长 创设情境 观察下列这组数的规律，你能完成填空吗？ 1 ， 1 ，2 ，3 ，5 ，8 ， ____ ，_____ ，…… 教师针对学生的不同答案作出适时评价，并指出这是从形的角度给出的判定方法. 学生根据生活经验及初中知识思考并作答. 利用畅言智慧课堂工具栏发起抢答 2分钟 点 问题1 ：如何给“数列 ”下 教师引导学生根据上述三个例 运用畅言互动 1 拨精讲 定义？ 追问（ 1 ）：王芳从1岁到17岁每年的身高依次排成一列数：75 ，87 ，96 ，103 ， 110 ，116 ，120 ，128 ，138 ， 145 ，153 ，158 ，160 ，162 ， 163 ，165 ，168。 它 们 之 间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 子的共同特征，给出数列的定义：一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数 列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 教师让学生认识到数列中的数只要求按一定顺序排列，并没有规定数列中的数必须不同，同一个数可以在数列中重复出现。掌握数列的概念，要抓住 类比探 究，与同桌进行讨论，得出答案，教师巡视， 适当提示. 能，选择抢答让学生回答问题，利用平板拍照展示学生答题情况，并运用“表扬功能”激发学生的学习动机 5分钟 追问（ 2 ）：在两河流 两个关键词：一列数和顺序。 域发掘的一块泥版上就有一 列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5 ，10 ，20 ，40 ，80 ， 96 ，112 ，128 ，144 ，160 ， 176 ，192 ，208 ，224 ，240。 教师引导学生通过数列的定义获得从数学上刻画数列的方法——用正整数表示数列确定的顺序，即用a1 ，a2 ， ··· , an ，…分别表示数列的第 1 项（或称 它们之间能否交换位置？具有确定的顺序吗？ 追 问（ 3 ） ： - 的 n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、 4次幂 ……依次排成一列数： 为首项）、第 2 项、… ，第 n 项，…。数列的一般形式可以写成a1 ，a2 , ··· , an ， ···,简记为{an } 。 教师引导学生认识到an 仅表示数列中的第 n 项这一个数值。而{an } 表示一个数列，通常要在 其 前 面 写 上 “ 数 列 ”这 两 个字，即“数列{an } ”。 教师引导学生回顾第一个例子，一共有17项，第二个例子有15项，这都是含有有限项的数列。而第三个数列就不同了，它有无穷多个项。可以根据数列中项数的有限和无限，将数列分成以下两类：有穷数列（项数有限的数列）；无穷数列（项数无限的数列）。 教师呈现数列各项与序号一一对应的关系： 学生根据教师呈现的数列各项与其序号的对应关系，认识到对于每一个正整数 n，都有唯一的数an 与之对应，所以数列 {an } 中的各项ak 与各项序号 k （k＝1 ，2 ，3 ， ··· , n ， ···)之间的对应关系是函数关系。由此可见，数 根据刚刚的探究， 思考并与同桌交 流，共同得出答 案，做好分享准备. - 1 2 , 1 4 , - 1 8 , 1 16 , … 。 你能仿照上面的叙述，说明这也是具有确定顺序的一列数吗？ 追问（4 ）： 上述例子的共同特征是什么？ 问题2 ：数列的定义是什么？ 追问（1 ）： 1 ，3 ，5 ，7是一个数列， 7 ，5 ，3 ，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？ 追问（2 ）： 1 ，1 ，1 ，1 , 1 …是不是一个数列？ 问题3 ：如何用一般的符号来表示数列？ 追问：在数列中，符号{an } 与 an 所表示的意义是否相同？ 问题4 ：对于不同的数列 ,它们的项数有何特点呢？ 问 题 5 ：数 列 {an } 中 的各项 ak 与各项序号k（ k＝ 1 , 2 ，3 ，··· , n ，··· )之间的 对应关系是什么关系？ ( 1 æ 1 ö - 2 ， - 2 ÷ ø , )2 追问 ： 3 4 æ 1 ö æ 1 ö ··· - 2 ø (÷) , - 2 ø (÷) , , æ 1 ön 1 æ 1 ö2 - 2 ø (÷) , … 和 - 2 ，- 2 ø (÷) ( æ 1 ö æ 1 ö )3 4 , - 2 ø (÷) , - 2 ø (÷)是同一个 数列吗？能否从函数的角度解释一下？ 问题6 ：数列有哪些表示方法？ 追问（1）：数列的图象有什么特点？ 追问（2）：数列通项公式的作用是什么？ 问题 7 ：数列的单调性是怎样定义的？ 列实际上是由序号和项构成的函数。 教师引导学生回顾当初研究函数的时候，学习了函数的概念和构成三要素之后，又学习了函数的表示方法，有列表法、图象法、解析法。数列作为一种特殊的函数，也应当有这三种表示方法。 学生画出某一数列的图象，发现它是离散的，由一些孤立的点构成，不能连在一起，这跟之前见到的大部分函数图象不太一样。教师引导学生思考导致这个现象的原因。学生不难发现根源在定义域： 以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列的自变量只能取一个一个的整数，是离散的数，所以画出的图象自然也就是离散的。 教师给出数列通项公式的定义：如果数列 {an } 的第n项an 与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就是数列的函数解析式，叫做这个数列的通项公式。 教师引导学生用列表法和图像法表示数列 ：75 ，87 ， 96 ，103 ，110 ，116 ，120 ， 128 ，138 ，145 ，153 ，158 , 160 ， 162 ， 163 ， 165 ， 168。 教师让学生从表和图中观察该数列中的项随序号的变化呈现出的特点。学生不难发现从第2项起，每一项都大于它的前一项。教师趁机给出递增数列的定义：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列。类比递增数列的定义，给出递减数列的定义：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。特别地，各项都相等的数列叫做常数列，如前面提到过的1 ，1 ，1 ，1 ，1…。 互动展示 例1 根据下列数列 {an }的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象。 ( （ 2 ） a = cos ( n - 1) p )n 2 例2 ：根据下列数列的前 教师引导学生根据通项公式，令n=1 ，就得到了首项 a1 ,令n=2 ，就得到 a2 ，以此类推，就可分别求出这两个数列的前5项： 1 ，3 ，6 ，10 ，15和1 ，0 ，-1 ，0 ，1。根据前5项的数据进行描点。 思考并与同桌交 流，共同得出答 案，做好分享准备. 运用畅言互动能，选择抢答让学生回答问题，利用平板拍照展示学生答题情况，并运用“表扬功能”激发学生的学习动机 1 2分钟 4项，写出数列的一个通项公式： （ 1 ）1 ，- ， ，- , … ; （ 2 ）2 ，0 ，2 ，0 ，… . 教师提醒学生注意描点后不能连线了，因为数列图象就是由一些孤立的点构成的。 学生在教师的引导下发现第一个数列的特点是有正有负 , 正负相间。教师说明：我们常常用 (- 1)n 或 (- 1)n+1 来表示正负相间的变化规律。学生不难发现，除了正负方面的特征之外，（ 1 ）中数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以 它 的 一 个 通 项 公 式 为an = 。 有 了 第 一 个 的基础， 学生在探究（ 2） 中的数列时，不难发现这个数列前4项的奇数项是2 ，偶数项是0 , 所 以 它 的 一个 通项 公 式 为an =(- 1)n+1 +1 。 课堂练习 1.根据数列 an 的通项公式填表 ： 教师巡视，适当提示. 学生利用平板作 答，并拍照上传 利用教师平板推送到学生平板，学生作答后通过拍照上传 9分钟 n 1 2 … an … 2.观察下列数列的特点，用适当的数填空，并写出数列的一个通项公式： ,…； (2)1， 4 ， 9， 16 ， 25，（ ），49,…； 反思小结观点提炼 （1）这节课我们主要学习了哪些知识？ （ 2） 在 学 习 的 过 程中，体现了哪些数学思想方法？ （3）通过这节课的学习你有哪些感悟？还存在哪些问题？ 学生讨论 2分钟 板书设计 4.1 数列的概念 数列的概念 数列的分类 学科网（北京）股份有限公司 $