精品解析：山东菏泽市巨野县第二中学、成武县第二中学等校2025-2026学年第二学期高二期中学情检测数学试题

2025—2026学年度第二学期高二期中学情检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I部分（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，令，，则，又因为，所以，故D正确. 2. 已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】A 【解析】 【详解】解：因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大， 所以． 3. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由导数进行单调性判断即可． 【详解】对于A项，在上单调递减，故A项错误； 对于B项，，由得，，则在内为增函数，故B项正确； 对于C项，，则在内单调递减，故C项错误； 对于D项，，由得，，则在内单调递减，故D项错误． 4. 如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中各随机选取2个数，组成无重复数字的四位偶数，这样的偶数有（ ）个 A. 360 B. 540 C. 720 D. 1440 【答案】C 【解析】 【详解】因为五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，所以阳数有1、3、5、7、9，阴数有2、4、6、8， 因为从四个阴数和五个阳数中各随机选取2个数，所以选法有种， 因为要组成无重复数字的四位偶数，所以只需要个位是偶数，而十位、百位、千位没有限制，所以排法有种， 故满足条件的偶数共有个. 5. 已知函数，若.则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由导数定义结合求导法则可得答案. 【详解】注意到， 由求导得. 6. 某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则观看比赛的不同方案种数为（） A. 630 B. 1260 C. 105 D. 1890 【答案】A 【解析】 【分析】名同学分到三场比赛且每场至少人,只能按2,2,3人数分组,先算出并除以消除平均分组重复情况,再乘以三组对应三场比赛的排列,代入计算即得总方案数。 【详解】7名学生分配到三场比赛，每场至少2人，唯一分组形式为. 先对7人进行分组，由于存在两组人数相同，需消除重复分组，分组数为. 再将分好的三组分配到三场不同比赛，进行全排列，排列数为. 总方案数为. 7. 已知函数，若与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用转化法，构造新函数，结合函数导数与函数单调性、最值分析求解即可. 【详解】若与的图象恰有两个交点等价于方程 有两个不同的实数根， 即方程有两个不同的实数根， 因为，所以有， 问题等价于函数与函数有两个不同的交点， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，，函数的图象如下图所示： 所以要使得函数与函数有两个不同的交点， 则，所以实数的取值范围为. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则， 所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若为正整数且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】已知为正整数且，利用组合数对称性质验证A，借助组合数递推公式判断B，依据排列数阶乘公式推导C，再把组合数展开化简验证D，即可得出正确选项为ACD. 【详解】选项A：由组合数性质，得，正确. 选项B：由组合数性质，得，错误. 选项C：由排列数公式，，，正确. 选项D：化简得，正确. 10. 已知函数，则（） A. 是的极小值点 B. 有两个不同零点 C. 若函数的对称中心为，则 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题可按选项逐一分析，对A，先求导，根据导数符号判断单调性，确定为极大值点，A错误；对B，因式分解得，可知零点为（二重根）和，共两个不同零点，B正确；对C，利用三次函数对称中心公式，求得对称中心为，故，C正确；对D，先确定时，再求在该区间的值域为，D正确． 【详解】，， 令，得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是极大值点，是极小值点． 对于A，是的极大值点，A错误； 对于B，， 由，得，所以有两个不同零点，B正确； 对于C，对于三次函数，对称中心为， 若函数的对称中心为，则， ， 所以，C正确； 对于D，当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 且，，， 所以，D正确． 11. 在平面直角坐标系中，已知两点连线的斜率为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义和直线的斜率公式进行证明，构建辅助函数，将交点转化为函数的零点，然后通过求导对辅助函数的单调性进行分析从而证明. 【详解】对选项AB：设，易知， 求导可得单调递增，故的图象上某点处的切线的斜率随着自变量的增大而增大， ，即， 所以，且，故AB正确； 对选项CD：设直线的方程为， 则和是函数的两个零点，， 求导可得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要证明，只需证明， 因为，且在上单调递减， 所以证明，即证明， 因为，所以即证明， 设， 求导可得， 所以在上单调递增，所以， 因此，即， 则，，故C正确，D错误. 第II部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求导数，解得，代入解得 【详解】因为，所以，代入得，解得， 因此，所以 13. 参加实践活动的2名教师和甲，乙，丙，丁4名志愿者站成一排合影留念，其中教师相邻，且甲，乙不相邻的方法有__________种 【答案】144 【解析】 【分析】先将两位老师看作一个人，与丙，丁两人排列，再将甲，乙两人放进上述“3人”排列所形成的4个空位中，据此可得答案. 【详解】先将两位老师看作一个人并内部排序，再与丙，丁两人排列有种方法， 再将甲，乙两人放进上述“3人”排列所形成的4个空位中，有种方法， 故共有种排法. 14. 已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由“不等式对一切 恒成立”可先取特殊值，得到关于的必要条件；再设研究其在区间上的单调性，验证这个必要条件同时也是充分条件. 【详解】设 题意要求恒成立, 先求必要条件,因为当时，不等式也应成立， 所以即 设则 所以在上单调递增, 又 故由可得 下面证明这个条件也是充分的. 当时，对， 因为所以且 于是 又由于所以 故在上单调递增，从而 而当时， 因此对一切都有 所以正实数 的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极小值． （1）求的值； （2）求在点处的切线方程． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，即可得到的值． （2）根据导数的几何意义结合条件即得． 【小问1详解】 ，的定义域为， ， 因为在处取得极小值，所以， 即，解得，，经检验满足题意， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得，， 因为，， 所以在点处的切线方程为， 即． 16. 在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为. （1）求的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）， （2）系数最大的项为第 项： 【解析】 【分析】（1）先写出二项展开式的通项，由第项与第项的系数比求出；再由通项中的指数等于求常数项； （2）考查二项展开式中“系数最大项”的判断，可用相邻两项系数作比来确定最大值出现的位置. 【小问1详解】 二项式的展开式通项为 所以第项为，第项为 因为第3项和第4项的系数比为，所以化简得 所以， 于是，解得 当时， 则第项的系数为第项的系数为， 即第3项和第4项的系数比为，满足题意，故， 此时通项为 要使展开式中出现常数项，应有，解得 所以常数项为 故且常数项为 【小问2详解】 由（1）知其系数为 考察相邻两项系数之比： 当时，系数递增；当时，系数递减. 由得即 所以当时，系数递增；当时，系数递减. 因此系数最大的项对应即第项. 第项为 故展开式中系数最大的项为 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求在区间的最小值. 【答案】（1）当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）时，的最小值为；时，的最小值为. 【解析】 【分析】通过求导，利用导数的正负情况来分析函数的单调性，根据参数的范围进行分类讨论； 利用第一小问的单调区间，根据参数的范围进行分类讨论从而求解最小值. 【小问1详解】 ， 求导可得， 分类讨论， 当时，当时，，单调递减； 当时，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 综上所述， 当时，在区间上单调递减， 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【小问2详解】 由可知，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 分类讨论， 当，即时，在上单调递增，所以最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以最小值为， 综上所述，时，的最小值为；时，的最小值为. 18. 已知 （1）若，求实数的值. （2）已知展开式的所有二项式系数之和为128，且 （i）求展开式中含项的系数； （ii）设，求除以所得余数. 【答案】（1） （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用赋值进行求解； （2）（i）由，得，由二项式的展开式的系数求解； （ii）由，分析其展开式的项，即可求解． 【小问1详解】 令得，， 令得，， 则，得． 【小问2详解】 展开式的所有二项式系数之和为128， 得，得， 则的通项公式为：， 得， 得，得， （i）， 则展开式中含项的系数为：． （ii）由得，， 因为， 所以余数为． 19. 已知函数（）． （1）当时，求函数的最大值； （2）当时，求的单调区间； （3）若对，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间. （3） 【解析】 【分析】（1）求出，得到函数的单调区间，从而求得函数的最大值； （2）分，和以及四种情况讨论函数的单调性； （3）将问题转化为，令，结合导数求出的最小值即可. 【小问1详解】 当时，，令，则，于是可列表如下： 1 0 单调递增 极大值 单调递减 ∴当时，取最大值为. 【小问2详解】 （）， 当时，令或， ①当时，由或，由， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由或，由， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时，由，则函数在上单调递增. 综上： 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为和，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，减区间为； 当时，函数的单调增区间为，无减区间. 【小问3详解】 ，则不等式转化为， 设， 令（），则，由，由， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，，则函数在内存在唯一的零点， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 所以， 又， 得，则， 即，所以，即实数的取值范围为. 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二期中学情检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第I部分（选择题共58分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列求导数的运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二项式的展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则的值为（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 3. 下列函数中，在内为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.若从四个阴数和五个阳数中各随机选取2个数，组成无重复数字的四位偶数，这样的偶数有（ ）个 A. 360 B. 540 C. 720 D. 1440 5. 已知函数，若.则的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 6. 某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则观看比赛的不同方案种数为（） A. 630 B. 1260 C. 105 D. 1890 7. 已知函数，若与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 若为正整数且，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（） A. 是的极小值点 B. 有两个不同零点 C. 若函数的对称中心为，则 D. 当时， 11. 在平面直角坐标系中，已知两点连线的斜率为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第II部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的导函数为，且，则的值为__________. 13. 参加实践活动的2名教师和甲，乙，丙，丁4名志愿者站成一排合影留念，其中教师相邻，且甲，乙不相邻的方法有__________种 14. 已知当时，不等式恒成立，则正实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在处取得极小值． （1）求的值； （2）求在点处的切线方程． 16. 在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为. （1）求的值及展开式中的常数项； （2）求展开式中系数最大的项. 17. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求在区间的最小值. 18. 已知 （1）若，求实数的值. （2）已知展开式的所有二项式系数之和为128，且 （i）求展开式中含项的系数； （ii）设，求除以所得余数. 19. 已知函数（）． （1）当时，求函数的最大值； （2）当时，求的单调区间； （3）若对，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $