甘肃靖远县第一中学等校2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题

高一期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：湘教版必修第一册第6章，必修第二册第1章、第2章、第3章。 的 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.为了了解某中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每 天平均体育运动时间为1.5h.这里的总体是 A.该校所有学生 B.该校所有学生的每天平均体育运动时间 C.所调查的100名学生 岸 D.所调查的100名学生的每天平均体育运动时间 興 2.若复数'之满足x(1沙÷2i,则之的虚部为 A.-i B.-1 C.1 D.i 3.已知向量a,b,则“|a=|b且a∥b”是“a=b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 掘 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 如 4.已知A,B两地相距5km,B,C两地相距10km,若测得∠ABC=120°，则A,C两地间的距离 为 A.5√7km &9知 C.5√/5km D.5 km 5.已知两个单位向量a和b夹角为60°，则向量a一b在向量a方向上的投影为 A.-1 B.1 c-号 D 6.已知cos(a-)= 5,coscos=号，则cos(2a十2)= A器 B.- 23 7 7 25 C.25 D.一25 7.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且csin A=acos B十bcos A,则△ABC一定是 A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.直角三角形 8.已知O为△ABC的外接圆圆心，OA=2,∠BAC=45°，则AB·OC的最大值为 A.√2 B.2 C.4 D.2√2 【高一期中·数学第1页（共4页）】 ZH260418A 风汉王扫描王 扫描识别王中王 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要 求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分 9.某城市连续7天的最低温度（单位：℃）为0,2,5,5,6,7,3，则这组数据的 A.极差为7 B.40%分位数为4 C.平均数为4 D.方差为9 10.设之1,2是复数，则下列命题中的真命题有 A.若|21一2|=0，则之1=之2 B.若1=2，则之1=之2 C.若=2，则·1=2·之2 D.若||=2，则好= 11.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成 以O为圆心的两个扇形（如图2），若∠AOB=150°，OA=2OC=2,点F在AB上，∠BOF= 120°，点E在CD上，O元=xO元+yOi(x,y∈R),则 0 图1 图2 A.O龙.EF的取值范围为[-2,1] B.O元.E的取值范围为[一3,1] C.当O龙LEF时，x+y=1+√3 D.当OE⊥E时，x十y=2十√3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12计算7器- 13.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=2,b=√6，B=60°，则A= 14.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与 DE交于点M,则∠EMF的余弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 已知向量a=(1,2),b=(x,3), (1)若a⊥b,求x的值； (2)当x=2时，求|a+b; (3)若向量a,b的夹角为锐角，求x的取值范围， 【高一期中·数学第2页（共4页）】 ZH260418A 凤汉王扫描王 扫描识别王中王股。 16.(15分) 已知复数z=1十bi(b∈R,i为虚数单位)，x在复平面上对应的点在第四象限，且满足之·z=4. (1)求实数b的值； (2)若复数之是关于x的方程px2+2x十g=0(p≠0，且.p,q∈R)的一个复数根，求p十q的值. 17.(15分) 频率 个组距 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的0.035 成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩x(单位：分，0.025 得分取正整数，满分为100分)作为样本进行统计，将成绩进行 0.020 整理后，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分为 5组，得到如图所示的频率分布直方图. 05060708090100竞赛成绩/分 (1)求图中a的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在[80,100]内的学生中采用分层随机抽样的方法抽 取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在[90,100]内被抽取的人数. 【高一期中。数学第3页（共4页）】 ZH260418A 凤汉王扫描王 扫描识别王中王服美 18.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.已知(2 acos C-+2 ccos A)cosA=b. (1)求角A; (2)若a=2,AC.AB=2,求△ABC的周长； (③)如图，∠BAC的平分线AD交BC于点D,AD-2,求D+品的取值范围， 19.(17分) 如图，设Ox,Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1,e2分别是与x轴、 3 y轴正方向同向的单位向量.若向量OM=x81十e2,则把有序实数对 (x,y)叫做向量Oi在坐标系Oxy中的坐标，记作OM=(x,y).在此坐标 系Oxy中，若OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2),F是BP的中点，AF 与OP交于T点. (1)求0P; (2)求OT的坐标； (3)若过点P的直线l分别与x轴、y轴正方向交于M,N两点，求△OMN面积的最小值. 【高一期中·数学第4页（共4页）】 ZH260418A 凤汉王扫描王 扫描识别王中王数学试卷参考答案、解析及评分细则 1.B根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选B. 2C依题瘦得：=产-1+i所以：的雕都为1.放法心 3.B若a与b是相反向量，且均不为零向量，显然满足a=b且a∥b,但得不到a=b,若a=b,由相等向量 的定义知a=|b且a∥b,所以“a=|b且a∥b”是“a=b”的必要不充分条件.故选B. 4.A由余弦定理得，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,即|AC|2=52+102-2×5×10 ×(-2）=175,则AC=57.故选A. 5.D由题意可知：a·b=1X1Xcos60=分a·(a-b)=a2-a·6=1-号-分据此可得向量a-b在向量 a方向上的投影为：日D》-三-宁故法D a 6.B由cosa-g)=c0sac0s计=号而c0=号，可得sin asin月=号，所以cos(2a+2g)= 2 2os3o+》-1=2(es60sg-in9y-1=2X(号-君）广-1=器放选B 7.D根据正弦定理得，sinC·sinA=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B).因为在△ABC中A+B=π-C, 进而sin Csin A=sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,故sin Csin A=sinC.因为C∈(0，π)，A∈(0，π)，所以 sinC≠0，进而sinA=1,解得A=交.所以△ABC为直角三角形.故选D. 8.C如图所示.因为O为△ABC的外接圆圆心，OA=2,∠BAC=45°，所以∠BOC=2 ∠BAC=90°，且1OA|=|OB=1OC=2,所以AB.OC=(OB-OA)·OC=OB.OC OA.OC=-OA.OC=-4cos(OA,O心)，故当OA,OC共线反向时，AB·OC取到最大值4. 故选C. 9.ACD将这7个数据从小到大排序为0,2,3,5,5,6,7，则极差为7-0=7，A正确；7×40%=2.8,40%分位 数对应排序后第3个数，为3，B错误；平均数为0+2+3十5+5+6十7=4，C正确：方差为 7 0-4+2-4)+3-4+(5-4+5-4+6-4)+7=)-9D正确.故选ACD 10.ABC对于A,若之1一2=0，则1一2=0,1=2，所以1=之2为真；对于B,若1=之2，则1和2互为 共轭复数，所以之1=x2为真；对于C,设1=a1十bi,2=a2十b2i,a1,b1,a2,b2∈R,若z1=z2,则 √a十b=√a十b,1·之1=a好十b所，之2·x2=a十b,所以1·之1=z2·22为真；对于D,若z1=1,22=i, 则之=z2为真，而号=1，z=一1，所以好=z为假.故选ABC. 11.AD对于A,O元.E=O元.(O示-O元)=O元.O求-O=O尼.O京-1=2cos∠E0F-1,因为∠E0F ∈[0]所以c0s∠B0F∈[-21小所以2eos∠E0F-1∈[-2.1.即O.Ee[-2.1,A正确：B 【高一期中·数学参考答案第1页（共4页）】 ZH260418A 错误；对于C,如图，当OE⊥EF时，可判断E为BF中点，OF=2OE=2,则∠OFE =∠AOF=30°，OA∥BF,作EM∥OB,则四边形OBEM为平行四边形，则O龙= 360 B OM+Oi,OM=BE=EF=√3，所以OM=√3OC,OB=2OD,所以OE=OM+OB 3 =√3OC+2OD.所以x+y=2+√3，C错误，D正确.故选AD. 2号2·3m46-号 in Asin B可得simA=asnB2X 13.45°由正弦定理a。=b b后2=所以A=45或A=135,因a<,则A3 B,故A为锐角，即A=45°. 14 如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系， B 则D(0,6),E(3,0),A(0,0),F(6,2),.DE=(3,-6),AF=(6,2),∠EMF即为DE,AF的夹角， ∴.cos∠EMF= D龙.A 18-12 D能g+36·√36十6，∠EF的余弦值为品 15.解：(1)由题设，a⊥b得1×x+2×3=0,即x十6=0， 所以x=一6. 4分 (2)当x=2时，b=(2,3), 所以a+b=(1,2)十(2,3)=(3,5)， 6分 故a十b=√32+5=√34.…8分 (3)由题设，a·b=x十6>0，故x>一6，………………11分 ax=1, 当a,b同向共线时，有a=b且入>0，此时 3λ=2， 可得=多，此时不清足ab夹角为锐角， 等上>-6且≠名 所以x的取值范围为(-6，)U(受+∞) 13分 16.解：(1)依题点(1，b)在第四象限，则b<0,…………………………2分 由之。之=4，得(1十bi)(们-bi)=4,……………………… 4分 即b=3,所以b=一√5.………7分 (2)由(1)知，x=1一√3i,由复数z是关于x的方程px2+2x十g=0的根， 得p(1-3i)+2(1-√3i)+q=0, 整理得(-2p十q十2)十（-2√3b-2√3)i=0,而p,q∈R,…10分 【高一期中·数学参考答案第2页（共4页）】 ZH260418A -2p+q十2=0， 因此 ………12分 -2v3p-23=0, p=-1, 解得 14分 9=-4, 所以p十q=一5. 15分 17.解：(1)由频率分布直方图性质，各矩形面积和为1，组距为10，可得： (a+0.020+0.025+0.035+a)×10=1,即(0.080+2a)×10=1,解得a=0.010. 4分 (2)设中位数为m, 因为(0.010+0.020)×10=0.3<0.5，而(0.010+0.020+0.025)×10=0.55>0.5， 所以中位数m在[70,80)内，………………6分 根据中位数的定义可得：0.3十(m一70)×0.025=0.5， 解得m=78.因此，这100名学生这次竞赛成绩的中位数为78.… 9分 (3)由[80,90)的频率为：0.035×10=0.35，可得人数为：100×0.35=35人， 由[90,100]的频率为：0.010×10=0.10，可得人数为：100×0.10=10人， 11分 所以[S0,10]内总人数为35十10=45人，可得分层抽样的比为器-多 …13分 因此，这100名学生这次竞赛成绩在[90.10]内被轴到的人数为10×号-6人. ……15分 18.解：(1)，(2 acos C+2 ccos A)cosA=b, 由正弦定理可得(2 sin Acos C+2 sin Ccos A)cosA=sinB, 在△ABC中，B=π-(A+C),sinB=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 化简得2 sin Bc0sA=SinB,…………3分 :snB>0,则cosA=号又：A∈0，x),则A=子 ………………………………………… 5分 (2)在△ABC中，A=晋Ai,AC=c0sA=2c=2,所以c=4,7分 又a=2,由余弦定理得a2=-b2+c2-2 bccos A=b+c2-bc,得b2+c2=bc+4, 配方得(b十c)2=4十3bc,于是(b十c)2=16,得b十c=4,………10分 所以a十b十c=6, 故△ABC的周长为6.……11分 (3)在△ABD中，由正弦定理可得AD BD sin B sin∠BAD' BDAD元=sinB’ 同理△ACD中，有CD-sinC 13分 BD+CD-sin B+-sinC.A=音，B+C- ÷sinB+sinC=sinB+sin(B+号)=5sin(B+）: ……………15分 B∈(o)mB+晋)（合1小…D+De(停w5] 17分 【高一期中·数学参考答案第3页（共4页）】 ZH260418A 19.解：1)依题意可得e·e:=e·e.60=1x1X3-, Op=(3,2)=3e1十2e2,。 2分 .1o22=(3e+2e)2=9e2+12e·e+4e,2=9+12×7+4=19. .10p1=19. 4分 (2)OA=(3,0),OB=(0,2).Op=(3,2), .OA=3e1,Oi=2e2,Op-3e1+2e2, .02=0A+O, 所以四边形OAPB是平行四边形，即OA∥BP,…6分 .△PFT∽△OAT, F是BP的中点，OA==号， 8分 0i-o成， 又0P=(3,2), ∴0i-(2,4)月 44 10分 (3)设OM=(x,0),O=(0,y)(x,y>0), 则OM=xe1.ON=e2,… 11分 因为M,P,N三点共线，则设M产-AMN(0<<1), ..OP-OM=(ON-OM). .(3e+2e2)-(xe1+0e2)=λ[(0e1+ye2)-(xe1+0e2)], ∴.(3-x)e1+(2-0)e2=入[(0-x)e1+(y-0)e2], 13分 2=λy, ∴.SAMN= 0M.0Nm60=9y-35,是 2A(1-λ) △33 1 2 λ+(1-λ)1 63,当且仅当入三之时取等号，… 16分 2 所以S△aMN的最小值为6√3. 17分 3-x=一入x, 或者：由 得2x十3y=xy,x>3,y>2,…13分 2=λy, 所以2x十3y=xy≥2√6xy,所以xy≥24，当且仅当x=6,y=4时取等号，…15分 OM.ONsin x≥6V3,当且仅当x=6,y=4时取等号， 所以S公OwN的最小值为6V3。…17分 【高一期中·数学参考答案第4页（共4页）】 ZH260418A