甘肃靖远县第一中学等校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

高二期中考试 数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：湘教版选择性必修第二册第1章、第2章。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.如果函数f(x)在x=1处的导数为2，则1imf+2A)-f()= △+0 △x A.2 B.1 c号 D.4 2.已知点M(2,1,一3)是空间直角坐标系O-xyz中的一点，则点M关于xOz平面对称的点的坐 标为 A.(2,-1,-3) B.(-2,-1,-3) C.（-2,1,3) D.2,1,3) 3.直线1的一个方向向量为m=（一4,2,2)，平面a的一个法向量为n=(2,一1，x),若l∥平面a, 则x= A.-5 B.5 C.-1 D.1 4.下列求导运算正确的是 A.(sina)'=-cos x B.()'=Inz C.(a*)'=xa*-1 D.(1n2x)'=1 5.已知函数f(x)=alnx十ax2的图象在点(1，f(1)处的切线与直线3x一y-5=0平行，则a= A.-1 B司 C.1 D号 6.在正方体ABCD-A1B1CD,中，M是AD的中点，N是C1D1的中点，则异面直线DM与DN 所成角的余弦值为 A亨 B号 c号 D 【高二期中·数学第1页（共4页）】 ZH260419B 凤汉王扫描王 扫描识别王中王 7.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体 积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱 柱.如图，在堑堵ABCA1B1C中，M是A,C的中点，G是MB的中 B 点，若AG=xAB+yAA)+xAC,则x十y十z= A是 B.2 c是 D.1 &已知a=2,b3c则 21 A.c>6>a B.b>c>a C.b-a>c D.a>b>c 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.若{a,b,c}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是 A.a,a+b,a-b B.a,b十c,b-c C.a+b,a-b;c D.a+b;a+b+c;c 10.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中，E,F分别为棱AA1和BB1的中点，则 以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，下列结论正确的 是 A,EF∥平面ABCD B.D1E⊥CF C.a=(1,0,2)是平面EFD1的一个法向量 D.点C到平面EFD,的距离为45 5 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(t)=e(x一1).则下列结论正确的是 A.当x<0时，f(x)=e(x十1) B.函数f(x)有五个零点 C.若关于x的方程f(x)=m有解，则实数m的取值范围是f(一2)≤m≤f(2) D.Hx1,x2∈R,|f(x2)-f(x1)|<2恒成立 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知函数f(x)=2e2十ax在x=0处取得极值，则a的值为 13.已知m∈R,向量a=(1,m,-2),b=(m,2,3),若a·b=6,则|a= 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4,BC=3,CC1=2,E是AD的中点，点P满足B1P= λB1C(∈R),当A1P∥平面DCE时，λ的值为 【高二期中·数学第2页（共4页）】 ZH260419B 凤汉王扫描王 扫描识别王中王。 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 15.(13分) 已知函数f(x)=-xlnx十2x十1. (1)求函数f(x)的单调区间以及极值； (2)求函数f(x)在区间[1，e2]上的最小值. 16.(15分) 如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D是AB的中点，E在CD上，且D范=2E式，记OA a,OB=b,OC=c. (1)用向量a,b,c表示向量OE; (2)求OE的长. e-.m. 17.(15分) 已知四棱锥P-ABCD,AD∥BC,AB=BC=1,AD=3,DE=PE=2,E是AD上一点，PE⊥ AD. (1)若F是PE中点，证明：BF∥平面PCD (2)若AB上平面PED,求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值. 【高二期中·数学第3页（共4页）】 ZH260419B 凤汉王扫描王 扫描识别王中王 18.(17分) 已知函数f(x)=号x+ax2+bz+1,在x=1和z=号取得极值。 (1)求实数a,b的值； (2)求函数f(x)的单调区间和极值； (3)若关于x的方程f(x)=C(C∈R)在区间[0,2]上有唯一实数根.求实数C的取值范围. = B 19.(17分) 已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a十1)x. (1)当a=一1时，比较f(1)与f()的大小； (2)讨论f(x)的单调性； (3)当a<0时，证明f)≤-名-2。 【高二期中·数学第4页（共4页）】 ZH260419, 风汉王扫描王 扫描识别王中王数学试卷参考答案、解析及评分细则 1.D由题意可得f1)=2,所以1imf1+2△)-f)=21imf1+2)-f1)-2f1)=4.故选D. △x 2△x 2.A点M(2,1,一3)关于Ozx平面对称的点的坐标为(2，一1，一3).故选A. 3.B因为1∥平面a,则m⊥n,所以m·n=一8一2十2x=2x一10=0，解得x=5.故选B. 4.D对于A:((sin)=cos,A错误.对于B:(}-一是B错误.对于C:当a>0且a≠1时，(a) ana.C错误.对于D:(h2zy/-立·2-士D正确：故选D 5.C由题意知直线3x-y-5=0的斜率为3，又f(x)=+2ax,则f(1)=a+2a=3a,因为函数f(x)= alnx十ax2的图象在点(1，f(1))处的切线与直线3x-y-5=0平行，所以3a=3,解得a=1.故选C. 6.D如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则D(0,0,0),M(1,0,0), D1(0,0,2),N(0,1,2),所以D1M=(1,0,-2),DN=(0,1,2),设异面直线D1M与DN所成的角为0，则 cos 0=cos(D,M,DN=D.M.DN 4 DM DN 5X5 手故选D 21 D N M A A 7.A连接AM,因为G是MB的中点，所以AG-2(A立+A).因为三棱柱ABC-ABG是底面为直角三角形 的直棱柱，所以四边形ACCA,为长方形，又因为M是AC的中点，所以AM= AA+AM=AA+?AC,则AG=号(AM+A=?(AA+2AC+2A店=CK x2 号+AA+A心.又因AG=x+yAM+:AC.所以可得y-是， 1 所以x十y叶=子放选A 8C设x)-则了)-n,当>e时，广()<0，故f)在(e,十e∞)上单调递减，而a=2 2 故6>a>,故选C 9.BC依题营a,bc)构成空间的一个基底，对于A选项，由于a=号(a十b)十号(a-b).所以a,a+6,a-b 共面，故A不正确；对于B选项，由于不存在实数x,y使a=x(b+c)+y(b一c),所以a,b十c,b一c不共面，B 正确；对于C选项，由于不存在实数x,y使c=x(a十b)+y(a一b),所以a十b,a一b,c不共面，故C正确；对 于D选项，由于a十b十c=(a十b)十c,所以a+b,a十b十c,c共面，故D不正确.故选BC. 10.ACD对于A,由于E,F分别是AA1,BB:的中点，所以EF∥AB,又ABC平面ABCD,EF在平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD,故A正确；对于B,C(0,2,0),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1),故D1E= 【高二期中·数学参考答案第1页（共4页）】 ZH260419B (2,0,-1),C京=(2,0,1)，D立.C京=4十0-1≠0，故D1它与C京不垂直，进而可得DE与CF不垂直，故B 错误；对于C,D1E=(2,0,一1)，D1F=(2,2,-1),设平面D1EF的法向量为n=(x,y,z),则 n·D1E=2x-x=0, 令x=1,则y=0,之=2，所以平面D1EF的一个法向量为n=(1,0,2),故C正 n·D1F=2x+2y-z=0, 晚对于D.C元=0，一2,2.点C到平面D,EP的距商为可m-看-4.放D正确放连ACD n 5 11.AD因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，设x<0,则一x>0,所以f(-x)=e(一x一1)=一e· (x+1)=-f(x),所以当x<0时(x)=e(x十1)，故A正确：当>0时f(x)=。,所以f(x)= C=2。.令r)=,解得=2，当0<<2时fx>0:当>2时f)<0.所以两数 (e)2 f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减，故当x=2时，函数f(x)取得极大值e2>0,当0<x< 2时，f(0)·f(2)<0,又f(1)=0,由零点存在定理知函数f(x)在(0,2)仅有一个零点1；当x>2时， f(x)=1>0,所以函数f(x)在(2，十∞)没有零点，所以函数f(x)在(0，十)上仅有一个零点，又因 e 为函数f(x)是定义在R上的奇函数，故函数f(x)在（一∞，0）上仅有一个零点一1，又f(0)=0,所以函数 f(x)在定义域R上有3个零点，故B错误；作出函数f(x)的大致图象，如图： -3-2-10/123x 若关于x的方程f(x)=m有解，则实数m的取值范围是-1<m<1,故C错误；由图可知，对Hx1,x2∈R, |f(x2)-f(x1)<1-(-1)=2,故D正确.故选AD 12.-2由题f(x)=2e*十a,因为f(x)在x=0处取得极值，所以f'(0)=2e°+a=0,所以a=-2,此时 f(x)=2e-2x,f'(x)=2e-2=2(e-1)为增函数，令f(0)=0→x=0,所以当x∈(-o∞，0)时， f'(0)<0;当x∈(0，十o∞)时，f(0)>0,所以函数f(x)=2e-2x在x=0处取得极值，故a=-2. 13.√21由a·b=6得，a·b=m+2m-6=6,解得m=4,所以a=√21 14.号如图所示，以D为坐标原点，DA.DC,DD分别为x,y,之轴建立空间直角坐标 系，A:(3,0,2),D(0.0,2),C(0,4,0),E(0.0B,(3,42),BC= B (-3,0,-2),A1B=(0,4,0),B1P=λB1C=1(-3,0,-2)=(-3x,0,-2x), A1P=A1B+B1户=(0,4,0)十(-3x,0,-2入)=(-3入，4，-2x),设平面D1CE的 -个法向m=(e)武-（号4,0小D.C-(0-2).则号+y-0令）3.有=8.-6 3 4y-2x=0, 所以n=(8,3,6),由于AP∥平面DCE,则A户.n=0,即-24以+12-12A=-361+12=0,解得A=号 15.解：(1)函数f(x)=-xlnx十2x+1的定义域是(0，十o∞) 又f(x)=1-lnx,令f(x)>0,得0<x<e,令f(x)<0,得x>e,…2分 故函数f(x)的单调递增区间为(0，e),单调递减区间为(e,十∞)，…………4分 所以函数f(x)的极大值为f(e)=e十1，无极小值. 6分 (2)由(1)可知，f(x)在[1，e]上单调递增，在(e,e2门]上单调递减，… 8分 所以f(x)在[l,e2门上的最小值为min{f(1),f(e2)}.…10分 因为f(1)=3,f(e2)=1,所以f(e)<f(1), 所以函数f(x)在[1,2]上的最小值为1.………… ………13分 【高二期中·数学参考答案第2页（共4页）】 ZH260419B 16.解：(1)连接OD, 则0=Oi+D=0i+号D心=0i+号(o心-OD)=}oi+号0心 6(0A+0B)士名0C=ab计名C心…7分 (2)由(1)得Oi=合(a+b+4c), O=6a+b+4c)2=6a+B+16c2+2ab+86·c+8c·a) =6(1+1+16+2x2+8×2+8×号）= 13分 O-停，即0E的长为号 15分 17.(1)证明：取PD的中点为S,连接SF,SC.则SF∥ED,SF=2ED=1,… 2分 而ED∥BC,ED=2BC,故SF∥BC,SF=BC,故四边形SFBC为平行四边形， 4分 故BF∥SC,而BF中平面PCD,SCC平面PCD, 所以BF∥平面PCD.…… 6分 (2)解：因为ED=2,故AE=1,故AE∥BC,AE=BC, 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB,所以CE⊥平面PAD, 而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED, 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 则PA=(0,-1,-2),PB=(1,-1,-2),PC=(1,0,-2),PD=(0,2,-2), ……9分 设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,之)， m·PA=0, 则由 7可得{厂y一22二0，取m=（0,-2,1) m·PB=0 x-y-2x=0, 11分 设平面PCD的一个法向量为n=(a,b,c), n·PC=0 则由nPi= a-2c=0:取n=(2,1,1), 可得2b-2c=0, 13分 设平面PAB与平面PCD的夹角为0， 则cos0=mn 2-1 30 m n √5×√6 30 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为D. 30 15分 18.解：1由fx)-号x+ar+x+1可得了(x)=2x+2ax中b, 1分 由于x=1和x=2是极值点，放f1)=0且f(2)=0, 2+2a十b=0, 即占+a+- 0,解得a=-一号6=1： 此时f(x)=2x2-3x十1=(2x-1)(x一1)， 由f(x)>0可得x<2或x>1;由f(x)<0可得2<<1， 则函数f(x)在(-，)1，十○)上单调递增，在（合1）上单调递减。 故x=1和x= 是极值点，符合题意故=一6=1 …4分 【高二期中·数学参考答案第3页（共4页）】 ZH260419B (2)由1)知f)的单调递增区间为(-©，)，(1，十∞，单调递减区间为（分，1， ……6分 则f)的极大值为/（号）=号×（合）广-2×（合）广 29 Γ24 8分 极小值为f1)=号-名+1+1= 6 ………………………10分 (3)由(2知，)在[0，]上单调避增，且/0)=1（合）器 在（兮，1）上单调递减，且f1)=名，在1,2]上单调递增，且f2)=号…13分 > 作出函数f(x)在[0,2]上的图象如下. 要使f(x)=C在[0,2]上有唯一实根，需使y=C与y=f(x)仅一个交点， …14分 由图知，当C∈[1，)时=C与y=f(x)只有一个交点故方程f()=C有唯一解： 当C(·号]时y=C与y=f()识有-个交点，敢方程1)=C有唯一解。 故实数C的取值范围是1，)U(器号] 17分 29 x=2 19.解：(1)当a=-1时，f(x)=lnx-x2-x,f(x)的定义域为(0，十∞)， 则f()=-2x-1=-2,+1-+102:-), 1分 x 故当x∈(0,2)时f(x)>0:当x∈(2+∞)时，f(x)<0. 故f(x)在(0,2)上单调递增，在(2，十∞)上单调递减，…… 3分 又？<1<e,故f1)>f). 4分 (2)f(x)的定义域为(0，+∞)，f()=+2ax+2a+1=+1)2a+) 5分 若a≥0，则当x∈(0，+∞)时，f(x)>0,故f(x)在(0，十∞)上单调递增， …7分 若a<0.则当xe(0,-)时(x)>0,当x(一云+∞)时f)<0 故f(x)在(0，一a)上单调递增，在（一a十∞）上单调递减。 10分 (3)由(2)知，当a<0时，f(x)在x=- 云取得最大值，最大值为f(一a)=(一云)-1- ，…12分 所以)长一是-2等价于n(-a）-1-。-表-2，即1a(-方》十云+1c0.…18分 设g)=1nx-x+1.则g)=}-1. 当x∈(0,1)时，g'(x)>0,当x∈(1，+o∞)时，g'(x)<0. 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 故当x=1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)=0,… 15分 所以当x>0时，g(x)≤0， 3一2 从面当a<0时，l(一云)十名+1<0，即f()≤-品 17分 【高二期中·数学参考答案第4页（共4页）】 ZH260419B