内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期七年级阶段试卷（四）数学学科

**基本信息** 初一数学周测试卷立足基础，融合几何直观与代数运算，通过动点规律探究（如第8题）、购物优惠决策（第17题）等题设计，考查抽象能力、模型意识与推理意识，适配周测巩固与能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|对顶角、平方根、坐标系|垂线段性质辨析（第4题）结合几何直观| |填空题|4/12|二元一次方程、平移面积|平移距离与阴影面积关联（第11题）| |计算题|2/20|实数运算、解方程组|分步骤考查运算能力| |解答题|4/44|几何证明、坐标平移、优惠决策|平行线与角平分线综合（第18题）体现推理能力，购物优惠题（第17题）培养模型意识|

2025-2026学年第二学期初一年级周测试卷（四） 数 学 学 科 （试卷共5页 考试时间：70分钟 满分100分） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面的四个图形中，与是对顶角的是(    ) A. B. C. D. 2.下列说法正确的是(    ) A. 的立方根是 B. C. 的平方根是 D. 的算术平方根是 3.在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是(    ) A. 线段的长是点到直线的距离 B. 线段的长是点到直线的距离 C. 、、三条线段中，最短 D. 线段的长是点到直线的距离 5.如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是(    ) A. 南偏西方向上的米处 B. 北偏东方向上的米处 C. 南偏西方向上的米处 D. 距离学校米处 6.下列说法正确的有(    ) 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的角叫对顶角；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；两点之间的距离是两点间的线段；在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7.利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则(    ) A. B. C. D. 8.如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从运动到点，第次运动到点；第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，第次运动到点(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知，用含的代数式表示，则           ． 10.若是关于的二元一次方程，则的值是      ． 11.如图，在三角形中，，将三角形沿着的方向平移至三角形，若平移的距离是，则图中阴影部分的面积为          ． 12.如图，将三角形沿方向平移个单位得到三角形，若四边形的周长为，则三角形的周长为          ． 三、计算题：本大题共2小题，共20分。 13.计算： ； 14.解方程组： ； ． 四、解答题：本题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 根据下列证明过程填空： 如图，，，、分别为垂足，且， 求证： 证明：， _________________理由：        _________理由：       _________理由：       _______ ________理由：        理由：        16.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，． 在坐标系中画出三角形并写出三角形的面积为______． 点是三角形内任意一点．将三角形平移至三角形的位置，点、、、的对应点分别是、、、若点的坐标为，在坐标系中画出三角形． 17.本小题分 某商店计划购买一批水果出售，据了解箱苹果、箱梨的进价共计元；箱苹果、箱梨的进价共计元． 求每箱苹果、梨两种水果的进价分别为多少元？ 某商店需要购买苹果箱，梨箱，现商家推出活动，优惠一：苹果满箱打折；优惠二：总购物金额满元减元两种优惠不同时享受，问该商店如何购买更划算？ 18.本小题分 如图，直线，直线与直线，分别交于点，，的平分线交于点． 求证：； 点是射线上一个动点点不与点，重合，的平分线交直线于点，过点作交直线于点， 当点在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和之间的数量关系，并证明； 当点在线段的延长线上时，直接写出用等式表示的和之间的数量关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初一年级周测试卷（四） 数学学科答案解析 （试卷共5页 考试时间：70分钟 满分100分） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面的四个图形中，与是对顶角的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题考查了对顶角，有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，掌握对顶角的定义是解决本题的关键． 根据对顶角的定义逐个分析得结论． 【详解】解：根据题意得，与是对顶角的是选项． 故选：． 2.下列说法正确的是(    ) A. 的立方根是 B. C. 的平方根是 D. 的算术平方根是 【答案】D  【解析】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐一分析各选项． 【详解】解：．的立方根是，故 A错误； B.，故 B错误； C.的平方根是，故 C错误； D.的算术平方根是，故 D正确． 故选：． 3.在平面直角坐标系中，点所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B  【解析】【分析】本题考查了点的坐标，掌握各象限内点的坐标规律是解决问题的关键根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【解答】 解：点的横坐标为负数，纵坐标为正数， 点在第二象限内． 故选B． 4.如图，点是直线外的一点，点、、在直线上，且，垂足是，，则下列不正确的语句是(    ) A. 线段的长是点到直线的距离 B. 线段的长是点到直线的距离 C. 、、三条线段中，最短 D. 线段的长是点到直线的距离 【答案】B  【解析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解题的关键． 根据点到直线的距离判断、、选项；根据垂线段最短判断选项． 【详解】解：、线段的长是点到直线的距离，故选项 A正确，不合题意； B、应是线段的长是点到直线的距离，而不是，故选项 B不正确，符合题意； C、、、三条线段中，垂线段最短，即最短，选项 C正确，不合题意； D、线段的长是点到直线的距离，选项D正确，不合题意； 故选：． 5.如图，学校相对于小明家的位置下列描述最准确的是(    ) A. 南偏西方向上的米处 B. 北偏东方向上的米处 C. 南偏西方向上的米处 D. 距离学校米处 【答案】B  【解析】此题主要考查了方向角，根据以正西，正南方向为基准，结合图形得出北偏东的角度和距离来描述物体所处的方向进行描述即可． 【详解】解：， 由图形知，学校在小明家的北偏东方向上的米处， 故选：． 6.下列说法正确的有(    )连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；相等的角叫对顶角；过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；两点之间的距离是两点间的线段；在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】本题考查常见几何性质，涉及垂线段最短、对顶角定义、平行公理、垂直判定、两点之间距离、平面内直线的位置关系等知识，熟记常见几何性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确，符合题意； 相等的角不一定是对顶角，原说法错误，不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法错误，不符合题意； 两点之间的距离是两点间线段的长度，原说法错误，不符合题意； 在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交，原说法正确，符合题意； 综上所述，说法正确的有，共个， 故选：． 7.利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了算术平方根的变化规律，正确找出一般规律是解题关键．通过观察表格数据，发现当被开方数的小数点每向右或向左移动两位，其算术平方根的小数点相应向右或向左移动一位，据此规律求解即可得． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右或向左移动两位，其算术平方根的小数点相应向右或向左移动一位， ， ， 故选：． 8.如图，动点按图中箭头所示方向运动，第次从运动到点，第次运动到点；第次运动到点，第次运动到点，第次运动到点，按这样的运动规律，第次运动到点(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】本题主要考查了点的坐标规律探索，解题的关键是发现点的横坐标、纵坐标的规律． 观察点的坐标变化可知，每个点的横坐标为次数减，纵坐标是，，，四个数一个循环，第次运动到点的横坐标为，又，即第次运动到点的纵坐标为，从而求出第次运动到点为． 【详解】解：第次从原点运动到点； 第次接着运动到； 第次运动到点； 第次运动到点； 第次运动到点； 发现每个点的横坐标为移动次数减，纵坐标是，，，四个数一个循环， 第次运动到点的横坐标为， ， 第次运动到点为， 故选：． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知，用含的代数式表示，则           ． 【答案】  【解析】解：方程， 解得：． 故答案为：． 【分析】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看做已知数求出． 把看做已知数求出即可． 10.若是关于的二元一次方程，则的值是      ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二元一次方程的定义和绝对值，能根据二元一次方程的定义得出且是解此题的关键．根据二元一次方程的定义得出且，再求出即可． 【解答】 解：是关于，的二元一次方程， 且， 解得：， 故答案为． 11.如图，在三角形中，，将三角形沿着的方向平移至三角形，若平移的距离是，则图中阴影部分的面积为          ． 【答案】  【解析】先根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：直角沿边平移个单位得到直角， ，， 四边形为平行四边形， 平行四边形， 即阴影部分的面积为． 故答案为：． 12.如图，将三角形沿方向平移个单位得到三角形，若四边形的周长为，则三角形的周长为          ． 【答案】  【解析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得，再由四边形周长计算公式可得，则可得到，据此可得答案． 【详解】解：将三角形沿方向平移个单位得到三角形， ， 四边形的周长为， ， ， ， ， 三角形的周长为， 故答案为：． 三、计算题：本大题共2小题，共20分。 13.计算： ； 【答案】(1)解； ； (2)解： ． 【解析】  本题主要考查了实数的运算，熟知实数的运算法则是解题的关键． 先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案；  先去括号和去绝对值，再计算加减法即可得到答案． 14.解方程组： ； ． 【答案】(1)解：①②，得，解得， 把代入①，得，解得， ∴原方程组的解为：． (2)可变形为：， ②①，得，∴， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为：． 【解析】  加减消元法解题；  去分母，加减消元法解方程组． 四、解答题：本题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 根据下列证明过程填空： 如图，，，、分别为垂足，且， 求证： 证明：， _________________理由：        _________理由：       _________理由：       _______ ________理由：        理由：        【答案】证明：，已知， 垂直的定义， 同位角相等，两直线平行， 两直线平行，同位角相等． ， ， 内错角相等，两直线平行， 两直线平行，同旁内角互补． 故答案为：；；垂直定义；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【解析】先由垂直的定义得到；然后由同位角相等，两直线平行得到；再由两直线平行，同位角相等得到；然后根据等量代换得到；再根据内错角相等，两直线平行得到；最后由两直线平行，同旁内角互补即可证． 16.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点分别是，，． 在坐标系中画出三角形并写出三角形的面积为______． 点是三角形内任意一点．将三角形平移至三角形的位置，点、、、的对应点分别是、、、若点的坐标为，在坐标系中画出三角形． 【答案】(1)解；如图，即为所求， ​​​​​​​的面积为：． 故答案为5；   (2)解：如图，即为所求． 【解析】  本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化平移，熟知相关知识是解题的关键． 先描出、、并顺次连接、、，再利用割补法求出对应的三角形面积即可；  根据点和点的坐标可知平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此可得、、的坐标，描出、、病顺次连接、、即可． 17.本小题分 某商店计划购买一批水果出售，据了解箱苹果、箱梨的进价共计元；箱苹果、箱梨的进价共计元． 求每箱苹果、梨两种水果的进价分别为多少元？ 某商店需要购买苹果箱，梨箱，现商家推出活动，优惠一：苹果满箱打折；优惠二：总购物金额满元减元两种优惠不同时享受，问该商店如何购买更划算？ 【答案】每箱苹果的进价分别为元，每箱梨的进价分别为元  该商店选择优惠一购买更划算  【解析】解：设每箱苹果的进价为元，每箱梨的进价为元， 根据题意得：， 解得， 答：每箱苹果的进价分别为元，每箱梨的进价分别为元； 选择优惠一所需费用为：元； 选择优惠二所需费用为：元； ， 该商店选择优惠一购买更划算． 设每箱苹果的进价为元，每箱梨的进价为元，根据“箱苹果、箱梨的进价共计元；箱苹果、箱梨的进价共计元”列方程组求解； 分别计算两种方案的费用从而作出比较． 本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组是解题的关键． 18.本小题分 如图，直线，直线与直线，分别交于点，，的平分线交于点． 求证：； 点是射线上一个动点点不与点，重合，的平分线交直线于点，过点作交直线于点， 当点在线段上时，依题意补全图形，用等式表示和之间的数量关系，并证明； 当点在线段的延长线上时，直接写出用等式表示的和之间的数量关系． 【答案】(1)证明；∵， ∴， ∵的平分线交于点P， ∴， ∴； (2)解：①当点G在线段上时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当点G在线段的延长线上时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴． 【解析】  本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角性质： 根据两直线平行，内错角相等以及角平分线的性质可得到结果；  先根据情况把图画出来，根据两直线平行内错角相等以及角平分线的性质可得到结果； 熟悉几何图形的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $