专题01-2026年九年级数学 中考必刷选择题（浙教版专用）

专题01中考必刷选择题 考点归纳 考点01实数 考点08四边形 考点02代数式 考点09圆 考点03方程 考点10图形的变化 考点04不等式 考点11相似 考点05函数图像 考点12锐角三角函数 考点06相交线与平行线 考点13统计 考点07三角形 考点14概率 考点专练 考点01实数 1.(2026浙江一模)实数3,0，-3，√2中，最小的数是(). A.3 B.0 C.-3 D.√2 【答案】C 【详解】解：：-3<0<√2<3， 最小的数为-3. 2.(2025浙江模拟预测)下列运算中，结果正确的是（) A.V(-5)2=-5B.(x)2=x C.x6÷x3=x2 【答案】D 【分析】该题考查了算术平方根，幂的乘方，同底数幂的除法，有理数的乘方，根据正数的算术平方根是 正数可知A选项错误，根据幂的乘方，底数不变指数相乘B选项错误，根据幂的除法，底数不变，指数相 减C选项错误，根据有理数乘方，负数的平方为正数D选项正确. 【详解】解：A、 V-52=5,A选项错误， B、(x)}=x5,B选项错误 C、x6÷x3=x6-3=x3,C选项错误， D选项正确； 故选：D. 1156 3.(2025浙江湖州二模)下列各数中，是无理数的是() A.√2 D.- 11 B.3.14 c.0 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是无理数的定义，解题关键是熟练掌握无理数的定义， 无理数就是无限不循环小数，结合该定义对选项逐一判断即可得解， 【详解】解：A选项，√2是无理数，符合题意，A选项正确： B选项，3.14是有限小数，是有理数，不是无理数，不符合题意，B选项错误； C选项，0是有理数，不是无理数，不符合题意，C选项错误； D选项，一号是分数，是有理数，不是无周数，不符合题意，D选项错误 故选：A 4.(2025浙江丽水.二模)杭州某A实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，“1200亿"这个数 据用科学记数法表示为() A.1.2×102 B.0.12×10 C.1.2×10 D.12×100 【答案】c 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为a×I0的形式，其中1≤a<10,n为整数.确 定n的值时，要看把原数变成α时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解 即可. 【详解】解：1200亿=120000000000=1.2×101. 故选：C 5.(2025·浙江·模拟预测)我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内 部的某种电解质离子的直径仅为0.0000000023m,将数0.0000000023用科学记数法表示为() A.23×108 B.2.3×109 C.0.23×10-7 D.2.3×10-10 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的一般形式为：axI0”,其中0<a≤1，确定n的值时， 要看把原数变成Q时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】解：0.0000000023=2.3×109， 故选：B 考点02代数式 1.(2025浙江绍兴.二模)下列各式运算正确的是（) A.(-m2）3=m6B.3m3.2m2=6m° C.m+2m2=3m D.2m3÷-m=-2m2 【答案】D 2/56 【分析】本题考查了积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法， 根据积的乘方、单项式的乘法、合并同类项、单项式的除法法则逐一计算后判断即可， 【详解】解：A.（-m2=-m,原计算错误，不符合题意； B.3m3.2m2=6m6,原计算错误，不符合题意； C.m,2m2不是同类项，原计算错误，不符合题意； D.2m3÷(-m=-2m2,原计算正确，符合题意； 故选：D 2.(2025浙江模拟预测)若1<a<3,则a-3+V1-2a+a2=() A.2a-4 B.4-2a C.2 D.a-4 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值、二次根式的性质、完全平方公式等知识，根据题意可得α-3<0， 1-a<0,将a-3+V1-2a+a2整理为a-3到+V1-a)，根据绝对值的性质和二次根式的性质，化简求解即 可 【详解】解：：1<a<3, a-3<0,1-a<0, la-3+-2a+a2=la-3+V1-a2=-(a-3)+[-1-a]=-a+3-1+a=2. 故选：C. 3.(2025浙江杭州模拟预测)下列计算正确的是() A.(a+b2=a2+b2 B.(x2)=x3 c.（-ab)3=-a3b D.2 a+2b=2ab 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，根据完全平方公式，幂的乘方，积的乘方，合并同类项，分别运算即可 判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键.运用运算法则即可求解. 【详解】解：A、(a+b2=a2+2ab+b2,故A不符合题意； B、(x2)=x6,故B不符合题意： C、(-ab3=-ab,故c符合题意； D、2a和2b不是同类项，不能合并，故D不符合题意； 故选：C 4.(2025·浙江杭州模拟预测)若xy=3,x-3y=-5,则2x2y-6xy2的值为（) A.-15 B.-1 C.2 D.-30 3/56 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键。 先将所求式子进行因式分解，再将己知条件代入求值， 【详解】解：：y=3,x-3y=-5, .2x2y-6xy1 =2xy(x-3y) =2×3×-5) =-30. 故选：D 5.(2025浙江·模拟预测)下列因式分解中，正确的是() A.ab-4a+1=ab-4+1 B.-a2+b2=-a+b)(-a-b】 c.a2-2ab+4b2=(a-2b)2 D.-ab2+2ab-a=-a(b-1)2 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解和因式分解的定义，把一个多项式变成几个整式的乘积形式叫做因式分 解，据此可判断A;利用平方差公式可判断B,利用完全平方公式可判断C;利用提公因式法和完全平方公 式可判断D. 【详解】解：A、ab-4a+1=a(b-4)+1等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； B、-a2+b2=(b+a)(b-a≠(-a+b)(-a-b),原式因式分解错误，不符合题意； C、a2-4ab+4b2=(a-2b),原式因式分解错误，不符合题意； D、-ab2+2ab-a=-ab-1)2,原式因式分解正确，符合题意； 故选：D 考点03方程 1.(2025浙江湖州.二模)利用“配方法”解方程x2-4x-7=0,配方结果正确的是() A.(x-2)2=11 B.(x-2)2=3 C.(x-4)2=11 D.(x-4)2=3 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键.直接运用配方法求解即可 【详解】解：x2-4x-7=0, x2-4x=7, x2-4x+4=7+4, (x-2=11. 4/56 故选：A 2.(2025浙江杭州二模)若x,x2是一元二次方程x2-mx+15=0的两个实数根，x1-x2=2,则m的值为 () A.±8 B.8 C.-8 D.±4 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，完全平方公式，熟练掌握定理和灵活进行公式变 形是解题的关键 根据根与系数的关系得出x,+x2=m,xx2=15,再根据（化-x2)=(x+x2)-4xx2,代入求解即可求出答案。 【详解】解：：X,x3是一元二次方程x2-mx+15=0的两个实数根， .X1+x2=m,x1x2=15, (x-x2)2=(x+x2)-4x2 .m2-4×15=4, 解得：m=±8 故选：A. 3.(2025·浙江.二模)若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则的取值可以是() A B.1 c.5 D.2 4 【答案】A 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是知道：(1)△>0台方程有两个不相等的实数根；(2) △=0台方程有两个相等的实数根；(3)△<0台方程没有实数根. 由于所给方程有两个不相等的实数根，可知△>0，求解即可. 【详解】解：由题意，得△>0， 即4-4a>0 解得：a<1 :a的取值可以是子，不能为1或或2。 4 故选：A 82 4.(2025浙江模拟预测)已知实数x,y满足二- 4 =5,2y+y2=5,则-+y4的值为() A B.1+V47 c.V41-1 D. 31 4 4 4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系、利用完全平方公式进行运算等知识，熟练运用 5/56 2 相关知识是解题关键.设二=1，则兰=t2,易得22-1-5=0，再设-y少2=m,则y=m2,进而可得 √x 2m2-m-5=0,可知m、t为方程2z2-z-5=0的两个实根，利用一元二次方程的根与系数的关系可得 1 5 +m2,m=一2，然后利用完全平方公式进行变形求解即可。 【详解】解：设子=1，则=， 2 82 “x左=24-1=5，即2r2-1-5=0, 再设-y2=m,则y4=m2, 2y4+y2=2m2-m=5,即2m2-m-5=0, 则m、1为方程2z2-z-5=0的两个实根， 1 六t+m= 2ms- 2 :4+y=2+m2=(t+m2-2m= x -24 故选：D 5.(2025浙江·模拟预测)已知x、x2是一元二次方程x2+bx+c=0两个不同的根.若0<x<1,0<x2<1 ,则() A.c和1+b+c都小于4 B.c和+b+c至少一个小于号 C.c和I+b+c都大于 D.c和1+b+e至少一个大于} 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若x,x3为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，则x, 飞与系数的关系式：X+5=-。,5西=二 a a 根据根与系数的关系得到b,c与x,x2的关系，通过假设法，推导出A、C错误，此时可假设只有一个大 (小)于子，即c=子，设出一对符合要求的，，求出1+b+c的大小，即可求解。 【详解】解：X、x2是二次方程x2+bx+c=0两个不同的根， 由根与系数的关系得x1+x2=-b,xx2=c, 0<x<1,0<x2<1, .-2<b<0,0<c<1 .-1<1+b+c<2 设f(x)=x2+bx+c,则f(0)=c,f(1=1+b+c, 6/56 假设了10>4f0>好： 1 c>4,1+b+c>4 1 1-(x+x+6>4 (x-g->4 f0=e=>0<<1,0<1, 2x<1,2<为<1， (任-03-<好，与5-训名->4产生矛后， 所以假设不成立， 故C错误； 假设f0<好，f刊<好 1 1 1 c<年1+b+c<4, 1-6++%好 :(x-(x-<4 1 1 :f0)=c=6<4,0<6<1,0<5<1, 1 1 0<X<2,0<5<2 名-训川名->好与-3<产生矛盾， 所以假设不成立， 故A错误； :Bc和1+b+e至少一个小于子，Dc和1+b+c至少一个大于4 :可假设只有一个大（小）于好，即另一个等于号， xX2=c 7/56 13 可设，=4 此时6=-13 : 11 1+b+c=64' 故选：B 6.(2025·浙江杭州二模)《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只 雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”若设 雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为() 5x+6y=16 5x+6y=16 A. 4x+y=5y+x 5x+y=6y+x 6x+5y=16 6x+5y=16 C. D 6x+y=5y+x 5x+y=4y+x 【答案】A 【分析】根据五只雀六只燕共重16两，可得第一个方程：5x+6y=16,互换其中一只后，一方剩余4只雀 和1只燕，另一方剩余1只雀和5只燕，二者重量相等，可得第二个方程：4x+y=5y+x,即可得到答案。 【详解】解：设雀每只x两，燕每只y两， [5x+6y=16 4x+y=5y+x1 7.(2025浙江衢州一模)《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七， 则不足四.问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（) A.8x-3=7x-4 B.8x+3=7x-4 C.8x-3=7x+4 D.8x+3=7x+4 【答案】c 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键.根据题目中的 两种出钱情况，分别用代数式表示物品价格，建立方程即可. 【详解】解：设共有x人， 由题意得，8x-3=7x+4. 故选：C 考点04不等式 1.(2025浙江台州·三模)若m>n,则下列不等式正确的是(） A.m-5<n-5B.m+6<n+6 c.m、n D.-2m>-2n 99 【答案】C 8/56 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两 边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方 向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 【详解】A、:m>n,∴m-5>n-5,原选项错误，不符合题意； B、m>n,m+6>n+6,原选项错误，不符合题意； C、m>n,一g>原选项正确，符合题意 D、:m>n,-2m<-2n,原选项错误，不符合题意； 故选：C 2.(2025浙江杭州三模)不等式组 x+1≥0 的解集在数轴上表示为() 2x-1<1 B. 0 D 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确求得不等式组的解集是解答的 关键.先求解每个不等式的解集，再求得它们的公共部分得到不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即 可，注意端点是空心还是实心 【详解】解：解不等式x+1≥0得x≥-1， 解不等式2x-1<1得x<1, :不等式组的解集为-1≤x<1, 解集在数轴上表示为： 0 故选：B 3.(2025浙江模拟预测）不等式2x) <3x的解在数轴上可以表示为() A. B. -1019 D.-10 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键。 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答， 9156 1 【详解】解：2x-23x, 去括号，得2x-1<3x, 移项，得2x-3x<1, 合并，得-x<1, 解得x>-1, 该不等式的解集在数轴上表示如图所示： -10 故选：A. x-3≥0 4.(2025浙江温州.三模)不等式组 <3 的所有整数解之和是() A.12 B.13 C.16 D.18 【答案】A 【分析】此题考查求不等式组的整数解，先解不等式得到不等式组的解集，即可得解. x-3≥0① 【详解】解： <3② 2 解不等式①得x≥3，解不等式②得x<6, :.不等式组的解集为3≤x<6, :.不等式组的所有整数解为3,4,5， 所有整数解之和是3+4+5=12， 故选：A. 5.(2025浙江温州.二模)已知不等式组 x<。有解，则a的取值范围为() x>2 A.a>2 B.a22 C.a<2 D.a≤2 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式组有解的条件； 根据不等式组有解的条件确定参数的取值范围即可， x>2 【详解】解：若不等式组 有解，则两个解集必须有公共部分，此时需满足a>2, x<a 当a>2时，解集为2<x<a,存在解 当a≤2时，x>2和x<a无公共部分，无解； 因此，a的取值范围是a>2, 10/56 故选：A. 考点05函数图像 1.(2026浙江丽水.一模)抛物线y=-3(x-1)2+2的顶点坐标是() A.(L,-2 B.（-1,2 C.(1,2】 D.(-1,-2 【答案】c 【分析】利用顶点式的特点即可得到顶点坐标 【详解】解：抛物线y=-3(x-1)2+2的顶点坐标是1,2) 2.(2026浙江绍兴.一模)在平面直角坐标系x0y中，点A-2,4),B(3,9),由线段AB与抛物线的一段 y=x2(-2≤x≤3)组成的图形C,如图所示.若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移 1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为() O A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】先求出直线AB的解析式，设点P的横坐标为m,则-2≤m≤3，然后分两种情况：当点P在线段 AB上时，当点P在抛物线y=x2上时即可求解， 【详解】解：设直线AB的解析式为y=c+b, 把点A(-2,4),B(3,9)代入得： [-2k+b=4 k=1 3+6=9,解得： 1b=61 :直线AB的解析式为y=x+6, 设点P的横坐标为m,则-2≤m≤3， 当点P在线段AB上时，此时点P的坐标为m,m+6), :将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上， 点(m+3,m+7)在图形C上， :m+3+6=m+7或(m+3)2=m+7, m=5-7 (舍去)或-5+7 2 当点P在抛物线y=x2上时，此时点P的坐标为m,m2), 11/56 :将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移1个单位后仍在图形C上， 点(m+3,m2+1在图形C上， ·m+3+6=m2+1或(m+3)2=m2+1, ÷m=1-33 (舍去)或1+v33 2 (舍去)或-手 .这样的点P的个数为2个. 3.(2026浙江宁波一模)已知点4Am,乃)，Bm-2,)是反比例函数y=图象上两点，若片>2，则m的 取值范围为() A.m>2 B.m<0 C.0<m<2 D.m<0或m>2 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数性质与一元二次不等式的求解，先根据点在反比例函数图象上表示出y1,y2, 再根据y1>y2列不等式求解即可 【详解】？点Am,y),B(m-2,y)在反比例函数y=二的图象上， 1 1 六y1=二，2= m m-2'且m≠0，m-2≠0， y1>y2, :1 m m-2 m-2)-m -2 移项通分得 m(m-2） ->0, m(m-2>0 .mm-2)<0, 解得0<m<2. 4.(2026浙江绍兴.一模)一个反比例函数的图象经过点A2,和点B(b,-3).若A与B关于坐标原点对称， 则这个反比例函数的表达式为() A.y=6 B.y=-6 C.y=6x 1 D.y=- 1 6x 【答案】A 【分析】由点A,B关于原点对称，可求出a,b的值，即可求出反比例函数的表达式 【详解】解：“A与B关于坐标原点对称， .2+b=0,a-3=0, 解得b=-2,a=3, A2,3, 12/56 设这个反比例函数的表达式为y= 把A2,3代入可得， 解得k=6, 6 所以这个反比例函数的表达式为y=日 5.(2026浙江.一模)己知反比例函数y=《(k≠0)的图象过点(2，-4)，则下列说法正确的是(). X A.k=8 B.函数图象位于第一、三象限 C.图象必过(-2,4 D.y随x的增大而增大 【答案】c 【分析】先计算出k的值，再根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可. 【详解】解：将点(2，-4)代入y=,得k=-8,故A错误， ·反比例函数的解析式为y=-8, k=-8<0, .函数图象在第二、四象限，故B错误， 8 当x=2时，=24： .图象过点(-2,4，故C正确， 对于选项D:举例点(-2,4)和(2，-4， 在x<x2的同时，有>y2,与y随x的增大而增大矛盾，故D错误. 6.(2026浙江温州一模)已知函数片=kx,为=(k,均为常数)的图象都经过点(-2，-)，当 y2>时，x的取值范围是() A.x<-2 B.x<-2或x>2 C.x>2 D.x<-2或0<x<2 【答案】D 【分析】先确定k和飞2，再根据对称性确定两函数的另一交点坐标，然后结合函数图象，写出反比例函数 的图象位于正比例函数图象的上方所对应的自变量的范围即可. 【详解】解：：函数片=kx,为=的图象都经过点(-2，-)， X 13/56 22>0,4,=(-2x-1=2>0, 正比例函数与反比例函数都关于原点对称， :两函数的另一交点为2,1，如图所示， (2.1) 由图象可知，当x<-2或0<x<2时，反比例函数的图象位于正比例函数图象的上方，即y3>, 当y,>y时，的取值范围是x<-2或0<x<2。 7.（2026浙江湖州二模)己知一次函数y=5x+a-3(a为常数)的图象过第一、三、四象限，则a的值可 以是() A.8 B.5 C.3 D.0 【答案】D 【分析】根据一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k>0,b<0时，图象经过一、三、四象限，据此解答即可， 【详解】解：：一次函数y=5x+a-3的图象过第一、三、四象限， .a-3<0,即a<3, 观察选项，只有选项D中的0满足a<3. 8.(2026浙江湖州·二模)已知两个一次函数y=x+5和y=2x+1的图象交于点Am,3),对于一次函数 y=c+5,下列结论正确的是() A.y随x的增大而减小 B.图象经过第一、二、三象限 C.图象与x轴的交点的坐标为5,0) D.图象经过点(3,5) 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性，一次函数的图象经过的象限，求一次函 数的函数值或自变量的值，把点A的坐标代入y=2x+1中求出点A的坐标，再把点A的坐标代入y=c+5中 求出k的值，然后根据一次函数的性质逐一判断即可 【详解】解：在y=2x+1中，当y=3时，2x+1=3,解得x=1, A1,3), 把A1,3代入y=c+5得3=k+5, k=-2, .一次函数y=x+5的解析式为y=-2x+5, 14/56 “在y=-2x+5中，y随x的增大而减小，y=-2x+5的图象经过一、二、四象限，故A结论正确，B结论 错误； 在y=-2x+5中，当y=0时，x=2.5,当x=3时，y=-2×3+5=-1, y=-2x+5的图象与x轴的交点的坐标为(2.5,0)，且不经过点(3,5)，故C和D的结论都错误； 故选：A. 9.(2026浙江杭州，一模)如图，4OB的两点4B在反比例函数y=x>0)的图象上，过B作BD⊥y轴 于点D,交OA于点E.若E为AO的中点，则△AEB的面积是() A.9 B. C.6 D.5 2 2 【答案】A 12 【分析】设Aa, 则可求得点E和点B的坐标，推出BE的长，利用三角形面积公式即可解答 a 12Y 【详解】解： 设Aa,a :E为AO的中点， BD⊥y轴， ·点B的纵坐标为 a :点B在反比例函数上， 12÷6=2a a 6 .B2a a :BE=2a a 3 220，点A到BE的距离为 26_6 aaa 13a6_9 .SAAEB=2'2 a 2 10.(2026浙江舟山一模)如图，平行于x轴的直线交反比例函数y=6的图象于点42,3).当y<3时，x 的取值范围是() 15/56 A.x>2或x<0B.x>2 C.0<x<2 D.x<2 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质解答即可 【详解】解：：平行于x轴的直线交反比例函数y=6的图象于点A2,3), X :反比例函数y=6的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 在第一象限时，当y<3时，x>2, 在第三象限时，y<0恒成立，符合题意， :当y<3时，x的取值范围是x>2或x<0, 考点06相交线与平行线 1.(2026浙江丽水.一模)将a,b,c三根直木条按如图所示的位置摆放，且∠1=100°，∠2=55°，固定 木条Q和C,木条b绕点B顺时针旋转45°，则下列描述正确的是() 16 2入 A.allb B.a⊥b C.bllc D.b⊥c 【答案】A 【分析】根据旋转方向和旋转角可知旋转后L2=100°，根据同位角相等，两直线平行，可得b, 【详解】解：：∠2=55°，木条b绕点B顺时针旋转45°， 可得旋转后∠2=45°+55°=100°， ∠1=100°， ∴.∠1=∠2， ∴.alb 2.(2026浙江衢州一模)小温将含30°角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得∠AFD=55°，则 ∠ABC的度数为() 16/56 A.15 B.250 C.30 D.35 【答案】B 【分析】根据EC∥FD得∠AEC=LAFD=55°，根据三角形外角性质可得∠ABC的度数. 【详解】解：根据题意得：EC∥FD,∠AFD=55°， ∠AEC=LAFD=55°， 又∠AEC=∠A+LABC,∠A=30°， ·∠ABC=∠AEC-∠A=55°-30°=25°. 3.(2026浙江湖州.一模)当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如 图所示).现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=() A.30° B.40° C.50 D.60 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及对顶角相等解答即可. 【详解】解：如图， 4 2 0 根据题意得：a∥b,∠1=∠4， ∠4+∠3=∠2， :∠2=80°，∠3=30°， .∠4=80°-30°=50°， .∠1=50°. 4.(2026浙江金华.一模)如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°，则∠D的度数为() 17/56 E A.35° B.40° C.45° D.55 【答案】A 【分析】根据平行线性质分析求解，即可解题. 解题的关键在于熟练掌握平行线性质， 【详解】解：：AB∥DC,∠B=145°， ∠C+∠B=180°， ∠C=180°-∠B=35°， :BC∥DE, :∠D=∠C=35°. 5.(2026浙江绍兴.一模)如图，已知斜面0A与水平面的夹角∠0=30°，一个木块静止在斜面上，其所受 重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上.若∠1表示G与F两个方向之间的夹角，则∠1的度 数为() d YG A.120° B.130° C.140° D.150° 【答案】D 【分析】根据题意得：∠OME=90°，∠CPB=90°，PB∥OA,根据直角三角形的性质可得 ∠AEP=∠0EM=90°-∠0=60°，再由平行线的性质可得LBPE=180°-∠AEP=120°，即可求解， 【详解】解：如图， B A M YG 根据题意得：∠OME=90°，∠CPB=90°，PB∥OA, :∠0=30°， .∠AEP=∠0EM=90°-∠0=60°， 18/56 :PB∥AE, ∴∠BPE=180°-∠AEP=120°， .∠1=360°-∠CPB-∠BPE=150° 6.(2026浙江温州一模)如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，已知 AB∥DE,在某一时刻∠BAC=35°，∠CDE=135°，那么∠ACD等于() 接触网 滑板 A 上框架 下臂杆 升弓与降弓机构 E 车顶 D 图① 图② A.60° B.70° C.80° D.85o 【答案】C 【分析】过C作CF∥AB,根据AB∥DE得到CF∥AB∥DE,即可得到∠BAC=∠ACF, ∠DCF+∠CDE=180°，即可得到答案 【详解】解：过C作CF∥AB, A B D E :CF∥AB,AB∥DE, .CF∥AB∥DE, ∠BAC=∠ACF,∠DCF+∠CDE=180°， :LBAC=35°，∠CDE=135°， .∠ACF=∠BAC=35°，∠DCF=180°-∠CDE=180°-135°=45°， ∠ACD=35°+45°=80°. 考点07三角形 1.(2026浙江杭州一模)如图，在ABC中，AD是ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,AC=3, AB=5,DE=1,则ABC的面积为() 19/56 E B A.6 B.5 C.8 D.4 【答案】D 【分析】过点D作DF⊥AC于点F,利用角平分线的性质定理可得DF=DE=I,再利用三角形面积公式 求解即可. 【详解】解：如图，过点D作DF⊥AC于点F, D :AD是ABC的角平分线，DE⊥AB,DE=I, E B .DF DE =1, :AC=3,AB=5, Sx=Sm+5m4C-DF+号4B-DE=分3x1+5x5x1=4. 2 2.(2026浙江·模拟预测)如图所示，ABC和ADE都是等边三角形，∠BEC=40°，则∠DBE的度数为 () D A A.90° B.100° C.120° D.160° 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°，再结合角的转换可证明 △CAE≌△BAD,得∠AEC=∠ADB.结合∠BEC=40°，推出LADB+∠BEA=40°，再由ADE内角和得 ∠BDE+LBED=80°，最终由三角形内角和即可求解 【详解】解：：ABC和ADE都是等边三角形， AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°， 20/56 :LDAB+∠BAE=∠CAE+LBAE, ·∠CAE=∠BAD △CAE≌△BAD(SAS), ∠AEC=∠ADB. :∠BEC=40°， ∴∠AEC+∠BEA=∠ADB+∠BEA=40°， 又：∠ADE=∠AED=60° ∠BDE+∠BED =∠ADE+∠AED-LADB+∠BEA =(60°+60）-40° =120°-40° =80°， ∴.∠DBE=I80°-∠BDE+∠BED =180°-809 =100°. 【点晴】本题以共顶点等边三角形为模型，通过“SAS”全等实现角度转化，将已知角与月标角建立关联， 再结合三角形内角和定理完成求解，凸显了全等变换在几何角度计算中的核心作用 3.(2026浙江·二模)如图，在ABC中，AB=BC,∠ABC=90°，按以下步骤作图：①分别以点A,B为 圆心，以大于)AB长为半径作弧，两弧交于点E,F:②作直线EF:③以点B为图心，以BA为半径画弧 交直线EF于点G;④连接BG交AC于点P.则∠APB=() G B日 A.60° B.70° C.75° D.80° 【答案】C 【分析】连接AG,由作法得EF垂直平分AB,根据线段垂直平分线的性质可证明△ABG为等边三角形， 则∠ABG=60°，然后根据三角形内角和可计算出∠APB的度数. 【详解】解：连接AG,如图， 21/56 G 由作法得EF垂直平分AB, :.GA=GB, BG=BA, .AB=BG=AG, ·△ABG为等边三角形， ∠ABG=60°， :AB=BC,∠ABC=90°， ∠BAP=45°， ∠APB=180°-∠ABG-∠BAP=180°-60°-45°=75° 4.(2026浙江·模拟预测)如图，有一格点ABC,现要找一点P,使得BP平分∠ABC,甲、乙两位同学 给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否正确() 图1 图2 A.甲、乙都对B.甲、乙都错 C.甲错、乙对 D.甲对、乙错 【答案】A 【分析】对于甲同学的作法，先证明AB=AP进而得到∠ABP=∠APB,然后利用平行线内错角相等即可得 出结论；对于乙同学的作法，先证明∠BED=90°，然后通过构造Rt△BEP≌RtABCP(HL),即可得出结论. 【详解】解：设每个单元格的边长为1， 根据甲同学的作法，AP=5. 在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2 =V32+4 =5. :.AB AP. ∠ABP=∠APB :AP∥BC, ∠APB=LCBP. 22/56 :LABP=LCBP,故甲同学的作法是对的： 对于乙同学的作法，如图， "tan∠BAC=tan∠CDP=?: 图2 ∠BAC=∠CDP, :LBAC+∠ABC=∠CDP+∠ABC=90°， :∠BED=90°， .BE=BD·sin∠BDE=BD·sin∠BAC=5x4 :BE =BC. 连接BP,对于RtABEP和Rt△BCP, BE=BC BP=BP :.RtA BEPS≌RtABCP(HL. ∠EBP=∠CBP. :乙同学的作法也是对的。 【点睛】本题以格点为背景，甲借助等腰三角形和平行线转化角，乙通过三角函数与L全等构造角平分线， 两种方法均体现了数形结合与构造思想，验证了格点中角平分线作图的可行性. 5.(2026浙江嘉兴.一模)如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,点D在边BC上（点B,D不重合， CD>BD),将△ACD沿AD折叠后得到△AED,DE交AB于点F,若AD=AF,则∠EAD与∠BAC的数 量关系正确的是() 3 A.∠EAD=∠BAC B.∠EAD=2∠BAC 4 C.∠EAD= BAC D.∠EAD= 5 【答案】B 【分析】设∠BAC=,∠EAD=x,利用折叠对应角相等、等腰三角形底角相等，结合三角形外角与内角 和定理建立方程，化简推导两角数量关系即可 23/56 【详解】解：设∠BAC=a,LEAD=x, :将△ACD沿AD折叠得到△AED, ∠CAD=∠EAD=x, .∠BAD=∠BAC-∠CAD=a-x, AB=AC, ÷∠B=∠C=180°-a 2 :∠ADC=∠B+∠BMD=1800-&+a-刘=90°+ 2 2x, 由折叠得∠ADE=∠ADC=90°+ 2x, AD AF, ∠ADF=∠AFD, 在△ADF中，LBAD+LADF+LAFD=I80°即LBAD+2LADF=180°， a-+290+号小=180. .a-x+180°+Q-2x=180°， 2a=3x, 2 x=20, 3 即∠EAD-2BAC 考点08四边形 1.(2026浙江杭州一模)正六边形的一个内角度数为() A.720 B.60° C.120 D.108° 【答案】c 【分析】先利用多边形内角和公式求出正六边形的总内角和，再根据正六边形各内角相等，计算得到一个 内角的度数。 【详解】解：正六边形的内角和为(6-2)×180°=720°， :正六边形的一个内角度数为720°÷6=120°， 2.(2026浙江.一模)如图，平行四边形ABCD,E为线段AD中点，G为BC延长线上一点，连接AG分别 交BE、CD于点H、点F,己知△AHE,△ABH的面积分别为1和3，则△FCG的面积为(). 24/56 A.1 8.4 C. 5 D.2 3 【答案】B 【分析】根据题意可得 S8H3由平行四边形的性质容易证明&4 EHVAGBH,则仁-EH=, S.AUE=EH1 BG BH3' SAEH EH SGH BH 9 因此5am:9,5as=12.结合E为线段4D中点可海8背，由平行可判定 △FCG∽△ABG,则SG 最后计算出△FCG的面积即可. S △ABG BG 【详解】解：：△AHE,△ABH的面积分别为1和3， .S.AME=EH1 S.an BH 3 :四边形ABCD是平行四边形， AD∥BC,AD=BC,AB∥CD, :△AEH∽aGBH, AEEH1 S.=EH1 BG-BH3'S.BH S.BGH=9S.4EH=9 S.ABG =S.BGH+S.4BH =12, :E为线段AD中点， AE=AD=BC :AE=、BG, 3 BC 2 BG-3 CG 1 BG3' AB∥CD, .△FCG∽△ABG, .S.= S。ABG BG 9 4 S.FCG= 3 3.(2026浙江·模拟预测)如图，口ABCD中，DE∥BG,AF∥CH,E,G分别在AF,CH上，连接FH, 25/56 ∠AFB=120°，若△AFB≌△HEF,△AED与AHEF的面积相等，则二的值为() EF F C A B. c.5-1 D.5-1 2 2 2 【答案】D 【分析】设EF=1,AE=k,根据全等可得AF=EH=k+1,BF=EF=I,过点H作HK⊥AF于点K,过 点D作DG⊥AF于点G,延长DE交AB于点M,延长BG交CD于点N,在RtaEHK中，求出 K=5+,则S-:,利用平行西边形的判定和性质，正明△MBP≌C0HAS,得出 2 4 DE=k+2,在10GE中，求出DG=5+2,则5m-51k+2.再结合5m=3am列方程求解 2 4 即可. 详解】解：设EF=1.AE三k,则三kk>0,AP=AE+EF上 ,△AFB≌△HEF, :AF EH =k+1,BF EF =1, 如图，过点H作HK⊥AF于点K,过点D作DG⊥AF于点G,延长DE交AB于点M,延长BG交CD于 点N, G K D :DE∥BG,∠AFB=120° G ∠DEF=120°， .∠AEH=60°， 在RtEHK中，sin∠HEK=H EH .E#.sin05En) 2 2 1x4.型 2 4 26/56 :四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,AB=CD, :DM∥BN, 1 四边形BNDM是平行四边形， :∠MBN=∠NDM, :DE∥BG,AF∥CH, 四边形EFGH是平行四边形， .∠EFG=∠EHG, .∠BFE=LDHG, 在△ABF和△CDH中， ∠ABF=∠CDH ∠AFB=∠CHD, AB=CD .△ABF≌aCDH(AAS, .DH BF =1, :DE EH +DH=k+1+1=k+2, 在Rt DGE中，LDEG=60°，sin∠DEG=DG DE' DG=DE.sin603(k2) 2 -4E00-x+35+2 2 4 SAAED=SAHEF, √3k(k+2)5(k+1 4 整理得：k2+k-1=0, 解得：k=-1±V5 2 由>0，则k=-1+V5 2 4.(25-26九年级上陕西渭南·期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E在AD边上， 连接BE交AC于点F.若LOCD=60°，∠BED=130°，则∠BFO的度数为(） 27/56 A.95° B.105° C.100° D.110 【答案】c 【分析】根据矩形的性质得到OA=OB,OD=OC,∠BAE=90°，证明△AB0是等边三角形，进而求解 【详解】解：如图， A :四边形ABCD是矩形， 0A=0B,0D=0C,∠BAE=90°， :∠0CD=60°， ∠0CD=∠0DC=∠C0D=60°=A0B, .△ABO是等边三角形， ∠AB0=60°， :∠BED=130°， .∠AEB=180°-130°=50°， ∠ABE=40°， ∠FB0=60°-40°=20°， ∠BF0=180°-60°-20°=100°. 5.(2026河南商丘一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC的中点，连接AC,DE交 于点O,则A0的长度为() D E A.4V3 8.9 c.3f3 D. 6 3 2 5 【答案】A 【分析】勾股定理求出AC,证明△A0D∽△COE,列出比例式，进行求解即可. 【详解】解：：矩形ABCD,AB=4,BC=6, 28/56 .∠ABC=90°，AD I BC,AD=BC=6, AC=VAB2+BC2=2V3,△A0D∽aC0E, AO AD OC CE :点E是BC的中点， :CE=IBC=1AD, 2 2 A0 AD 1 OC-CE-2 40=4C=4E 3 6.(2026浙江杭州.一模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,BM⊥CD,垂足为点M,BM交 AC于点N,若0C=4,ON=1,则DC的长为() A.17 B.5 C.25 D.5 【答案】c 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD,OB=OD,通过互余关系证明LOBN=LOCD,进而证得 △BON∽△COD,利用相似比求出OD的长，最后在RtACOD中利用勾股定理求出DC的长 【详解】解：：四边形ABCD是菱形， .AC L BD,OB=OD, .∠B0N=∠C0D=90°， :BM⊥CD, ∴.∠CMN=90°， ∠MCN+∠CNM=90°， :∠0BN+∠BN0=90°，∠BN0=∠CNM, ∠OBN=∠MCN,即∠OBN=∠OCD, .△BONm△COD, ON OB OD OC :0C=4,0N=1,0B=0D, 1 OD OD 4' 29/56 0D=2, .在RtaC0D中，DC=V0D2+C02=V22+42=2V5. 7.(2026浙江杭州一模)如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交 DC的延长线于F,交BC于M,若DE=MF,且AE=√2，则线段CF的长为() D B A.2 B.2 C.1 D.22 【答案】A 【分析】首先，添加辅助线，然后，证得四边形DGEH是矩形，四边形CGEN是正方形，再由EH⊥AD, AE=,sin ZDAE=EH ,得EH=DG=1,接着，证得aCFM≌aGED,得CF=GE,CM=GD=1, 最后，证得CM是aEFG的中位线，得GE=2CM=2,即CF=2. 【详解】解：如图，过点E作EH⊥AD于点H,EG⊥CD于点G,EN⊥BC于点N, D G M B :四边形ABCD是正方形，E为对角线AC上一点， .∠ADC=∠BCD=∠BCF=90°，∠DAE=∠ACD=45°， :EH⊥AD,EG⊥CD,EN⊥BC, ∠ADC=∠DHE=∠DGE=90°，∠CGE=∠BCD=∠CNE=90°，∠CEG=90°-LECG=45°=LECG,即 CG=EG, :四边形DGEH是矩形，四边形CGEN是正方形， .DH=GE=CG,DG=EH, :EH⊥AD,AE=√2， ∴.∠DHE=∠AHE=90°， sin∠DAE= EH AE ，即sin45°=EH-V2 22 :EH =DG=1, EF⊥DE, ∠EDG+∠CFM=90°， 30/56 :∠EDG+∠GED=90°， ∴∠CFM=∠GED, 在△CFM和aGED中， ∠DGE=∠MCF=90° ∠CFM=∠GED MF=DE .ACFM≌AGED(AAS), .CF=GE,CM=GD=1, .CF=CG, :∠FCM=∠FGE=90°， .CMGE, .MF=ME, ∴.CM是△EFG的中位线， ∴GE=2CM=2, .CF=2. 【点晴】添加辅助线证得四边形DGEH是矩形，四边形CGEN是正方形，由sin∠DAE=EH AE 得到 EH=DG=1,再证得△CFM≌△GED,得CF=GE,CM=GD=1是解决问题的关键 8.(2026浙江杭州一模)勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图”的证明简明、 直观，是世界公认最巧妙的方法.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来备受人们 的喜爱.小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接BH并延长，交AD于点N,交AF于点M.若点M是EF的 中点，则△DNH与aBFM的面积比为() D G H B A. 3 B.1 4 C.7 D. 【答案】C 【分析】延长CH交4D于点T,先求出m3==·然后证明∠I=L4=3=∠2，再证明ND=N 则SADNH=一SADm,最后证明S△Dm=S△BPw,即可等量代换求解 2 【详解】解：延长CH交AD于点T, 31/56 G T A 由“赵爽弦图"可得，四边形HEFG为正方形，△DAE≌△ABF≌△CDH HE=EF=GH=GF,HE∥GF,∠5=∠1，∠HEM=∠BFM=90°=∠DHT=∠BGH,AE=BF, DH=BF :点M是EF的中点， :EM =MF-7EF=2 2 tan∠3= EM 1 HE 2 :HE∥GF, ∴∠3=∠4， HG HG HG 1 .tan∠4= BG GF+BF HG+BF2 ∴HG=BF .EF AE BF :tan∠5=BF=BF 1 AF AE+EF 2 ∠5=∠4， ∠1=∠4=∠3=∠2， .ND NH, :∠NTH=90°-∠1，∠NHT=90°-∠2 .∠NTH=∠NHT, .NT=NH :ND NT, ·.SADN=,SADHT' :∠1=∠4， tan∠A=tan∠4=7l-M DH BF DH =BF, :TH =MF, .SADHT=S△BFM， 32/56 :.SADNH= SABFM 2 SpNH= S△BRW 考点09圆 1.(2026浙江丽水.一模)如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC是直径，连接BD,若BD=CD,AB=8, BC=6,则AD的长为() A B A.3 B.10 C.2W5 D.2W5 【答案】B 【分析】过点D作DH⊥BC于点H,连接OB,由AC是直径，得到∠ABC=∠ADC=9O°，由勾股定理可 得AC=I0,由三线合一定理得到BH=3,证明O、D、H三点共线，求出DH的长，进而求出BD的长即可 得到答案。 【详解】解：如图所示，过点D作DH⊥BC于点H,连接OB, D B :AC是直径， ∠ABC=∠ADC=90°， :AB=8,BC=6, AC=AB2+BC2=10, :OB=4C=5: 2 :BD=CD,DH⊥BC, :BH=BC=3,∠DHB=90°=∠ADC: 33/56 又：0B=0C, .0H⊥BC, O、D、H三点共线， 在RtaB0H中，由勾股定理得0H=V0B2-BH2=4, 又0D34C=5 DH=0H+0D=9, BD=DH2+BH2=310, ∴.BD=CD=3V10, AD=AC2-CD2=10 2.(2026浙江温州.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4,BD为AC边上的高， 以点B为圆心，BD长为半径画圆弧分别交边AB,BC于点E,F,则EF的长为() A.3 8.5 c.3 D. 4 2 4 【答案】B 【分析】根据30°直角三角形的性质求出BC=2,AB=2√5，再利用等面积法求出BD=√5，利用弧长公式 进行计算即可. 【详解】解：：∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4, BC三)Ac=2 :AB=VAC2-BC2=V42-22=25, ∠C=60°， :BD为AC边上的高线， BCCD 即BD=√5， :BE BD BF=3, EF=nrr=90×πxV5V5 180 180 2. 34/56 3.(2026浙江杭州模拟预测)如图，PA,PB是00的切线，A,B为切点，连结OP,OP长为2， ∠APB=120°，则⊙0的半径为(). A.1 B.2 C.5 D.25 【答案】C 【分析】由切线的性质可得PA=PB,∠0AP=∠0BP=90°，进而可证明△OAP≌△OBP(SSS),则 ∠0PM=∠0B=2∠AB=60°，使用三角函数计算出0A的值即可. 【详解】解：：PA,PB是⊙O的切线， PA=PB,∠0AP=∠OBP=90°， 在△OAP和aOBP中， OA=OB OP=OP, PA=PB △OAP≌△OBP(SSS）, ÷∠0A=∠0m=∠Am=60, 在RIAOAP中，0A=OP·sin∠0PA=2·sin60°=V3. 4.(2026浙江台州.一模)如图，在圆内接四边形ABCD中，AB是圆的直径，过点C作CE1AB于点E, 连接AC,若BC=CD,AE=9,BE=4,则△ACD的面积为() D B A.16 B.15 C.12 D.10 【答案】B 【分析】过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F,证明△BCE∽△CAE,求出CE=6,分别证明 RtaCBES≌RtACDF(HL),Rt△ACF≌Rt△ACE得出DF=4,AF=9,得出AD=5,根据三角形面积公式可 求出S。AcD=15 35/56 【详解】解：过点C作CF⊥AD,交AD的延长线于点F,如图， F B :AB是OO的直径， ∠ACB=90°， ∠BAC+∠ABC=90°， :CE⊥AB, .∠CEB=∠CEA=90°， ∠BCE+∠B=90°， .LBCE=∠CAE, △BCE∽△CAE, BE CE CE AE .CE2=AE·BE, AE=9,BE=4, .CE2=36, .CE=6(负值舍去)， BC=CD, ∠BAC=∠DAC, :CE⊥AB,CF⊥AD, .CF=CE=6; 在Rt△CBE和Rt△CDF中， CB=CD CE=CF' :RtaCBE≌RtACDF(HL), :DF =BE=4; 在RtAACE和Rt△ACF中， AC=AC CE=CF' :Rt△ACF≌Rt△ACE(HL :AF=AE=9, 36/56 ∴AD=AF-DF=9-4=5, 4DXCF=1x5x6=15 5.(2026浙江湖州模拟预测)如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点 D,AE⊥CE于点E,交半圆于点F,己知AE=6,CE=8,则OD的长为() E 15 A. B.4 c. 9 25 4 2 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是连接OD，利用切 线性质得OD⊥CD再证△AEF∽aODC或利用平行线分线段比例求OD,由AE⊥CE,OD⊥CD,得AE IIOD 则AE=CE OD CD 结合勾股定理求出AC=10,设OD=r表示CD、OC在Rta0DC中用勾股定理建立方程求解。 【详解】解：：CD切半圆于点D, OD⊥CD, :AE⊥CE, ∴.ODI AE 在RIAAEC中AE=6,CE=8, AC=VAE2+CE2=V62+82=10, 设0D=r,则OA=OB=I,OC=AC-OA=10-r, :AE∥0D, :△COD∽△CAE AE AC OD OC 6-10 10-元' 15 r=- 4 6.(2026浙江温州一模)如图，已知ABC内接于O0,AB=AC,BO交AC于点D,过点D作 DH⊥AC,垂足为H.若2AH=CH,BC=10,则BD的长度为() 37/56 A. 25 2 B.15 c.5V5 D.65 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关运算，设AH=x, 运用圆周角定理得∠BAD=∠BCD=90°，利用勾股定理表示出BD2,故9x2+AD2=100+CD2,同理得 CD2-AD2=3x2,结合圆周角性质和三角函数建立方程求解，即可作答. 【详解】解：设AH=x, :2AH =CH, :.CH=2x,AC=3x, AB=AC, :AB =3x, 由图可知B,O,D共线且D在⊙0上， BD为直径， ∠BAD=∠BCD=90°， 在Rt△BAD中，BD2=AB2+AD2=9x2+AD2, 在Rt△BCD中，BD2=BC2+CD2=100+CD2, .9x2+AD2=100+CD2① :DH⊥AC, ·在Rt&ADH和Rt△CDH中，DH=AD2-AH=CD2-CH .AD2-x2=CD2-4x2, 即CD2-AD2=3x2② 将②代入①得：9x2=100+3x2, 解得6x2=100, 即9x2=150, :弧AB=弧AB :ZADB=ZACB 作AM⊥BC于M, 38/56 D AB=AC, M MC=LBC=5 在RIA AMC中，cos∠ACB=MC-5, AC 3x 在Rt△BAD中，cOS∠ADB=AD BD AD 5 BD3x 即A0-D 150 6 .BD2=9x2+AD2, BD2=150+1BD2, 6 BD2=150, 6 解得BD2=180 :BD=V180=6√5. 考点10图形的变化 1.(2026浙江舟山·一模)下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是() 专·浴※ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可. 【详解】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意； B.不是中心对称图形，故此选项不合题意； C.不是中心对称图形，故此选项不合题意； D.是中心对称图形，故此选项符合题意； 39/56 故选：D. 2.(2026浙江杭州.一模)下列图标中，是中心对称图形的是() c 【答案】C 【分析】中心对称图形绕着某个点旋转180°后能与原来的图形重合，据此逐项判断即可. 【详解】解：选项A、该图形绕中心旋转180°不能与原图形重合，故A不是中心对称图形； 选项B、该图形绕中心旋转180°不能与原图形重合，故B不是中心对称图形： 选项C、该图形绕中心旋转180°能与原图形重合，故C是中心对称图形： 选项D、该图形是轴对称图形，绕中心旋转180°不能与原图形重合，故D不是中心对称图形 3.(2026浙江衢州一模)如图，将A0B绕点O逆时针方向旋转45°得到△A'0B',若∠A0B=13°，则 ∠AOB的度数是() ⊙ A B A.13° B.23° C.32° D.45° 【答案】C 【详解】解：：A0B绕点O逆时针方向旋转45°得到△A'0B', 旋转角LB0B=45°， 又：∠A0B=13°， .∠A0B'=∠B0B'-∠A0B=45°-13°=32°. 4.(2026浙江宁波.一模)在平面直角坐标系中，若点P(-1,2)先向右平移再向下平移，则点P可能移动到 下列哪个点的位置() A.（-4,1 B.-4,3) C.(4,3) D.4,1 【答案】D 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，解题思路是根据平移方向确定平移前后横、纵坐标的 关系，再结合各选项判断即可. 【详解】解：设平移后点的坐标为a,b),由平移方向可知平移后点的横坐标满足a>-1,纵坐标满足b<2 A选项，横坐标-4<-1，故A选项不符合题意； B选项，横坐标-4<-1，故B选项不符合题意； 40/56 C选项，纵坐标3>2，故C选项不符合题意： D选项，横坐标4>-1，纵坐标1<2，故D选项符合题意. 5.(2026浙江台州一模)如图，在ABC中，∠B=90°.将ABC向右平移得到△ABC,点B,B,C, C在同一直线上，边AB与边AC交于点G.若CC=3,A,G=2,则AG的长为() C B C C A.V10 B.25 c.3 D.5 【答案】C 【分析】根据平移的性质求得四边形BA4,B,是矩形，AA1=BB,=3,∠A4G=90°，再利用勾股定理求解即 可 【详解】解：由平移的性质得BB,=CC1=3,AB=A,B,AB∥A,B, :LB=90°， .四边形BAAB,是矩形， AA1=BB1=3,∠AAG=90°， A,G=2, ÷AG=VAA2+AG2=V32+22=13 考点11相似 1.(2026浙江.一模)如图，平行四边形ABCD,E为线段AD中点，G为BC延长线上一点，连接AG分别 交BE、CD于点H、点F,己知△AHE,△ABH的面积分别为1和3，则△FCG的面积为(). A.1 B 4 C.5 D.2 3 【答案】B 【分析】根据题意可得 SmBH3,由平行四边形的性质容易证明4EHn△GBH,则5-EH-={ S.AME=EH=1 BG BH3' EH2 1 BH 因此5em=9,90=12.结合E为找段4D中点可得8背，由平行可到判定 9 41/56 △FCG∽△ABG,则S= CG。,最后计算出△rcG的面积即可 BG 【详解】解：：△AHE,△ABH的面积分别为1和3， S.AUE=EH=1 S.4on BH3' :四边形ABCD是平行四边形， ·AD∥BC,AD=BC,AB∥CD, .△AEH∽△GBH, AE EH 1 BG-BH3'S.acn S.BGH =9SE=9, S.ABG =S.BGH+S.ABH =12, :E为线段AD中点， AE=AD=BC 2 AE-3BG. BC 2 BG 3' CG 1 BG3' :AB∥CD, .△FCG∽△ABG, (CG)1 SABG BG g' 4 SrcG= 5 31 2.(2026浙江舟山一模)如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形.若 2,AD=34ABC的面积为。6，则△DEF的面积为 42/56 A.20 B.32 C.30 D. 36 5 5 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，根据位似图形的性质得到AC-01=? DF OD5' 由相似三角形的性质得到，相似三角形的面积比等于相似的平方，代入计算即可求解. 【详解】解：：△ABC和aDEF是以点O为位似中心的位似图形， OD2+354CIDF，△ABCDEF, 0A22 ∴△OAC0DF, AC OA2 DF OD5' .S. 4C)2 4 SDEF DF 25 :.S.DEF 2 4 S。ABC 25×16=20, 45 故选：A· 3.(2026浙江温州模拟预测)如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动 到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q,设点P运动的路程为x,AQ的长 为y,其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是() D 123 图1 图2 A.AB=4 B.m=2√13 C.n=45 D.点(6,5)在该函数图象上 【答案】D 【分析】分情况讨论：当点Q运动到点B处或点P运动到点D处或点P运动到点C处时，点Q与点C重合或 路程AP=6,利用直角三角形的性质和垂线的性质易证得△PH0∽△ADC,进而得到OL-CD 据此列 PH AD 方程求解即可。 【详解】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，AQ为4，即AB为4，故选项A正确： 如图，当点P运动到点D处时，路程AP为8，即AD为8， 43/56 D(P) AC⊥PQ, B Q C .∠CAD+∠QDA=90°， :∠QDA+∠QDC=90°， .∠CAD=∠QDC, :∠ADC=∠DCQ=90° ∴△ADC∽△DCQ, AD CD 84 cnc0,即4c0, ∴.CQ=2, B0=6, ∴m=AQ=V42+62=2√3， 故选项B正确； 当点P运动到点C处时，点Q与点C重合，此时n=AC=√42+82=4√5， 故选项C正确； 当路程AP=6时，如图，过点P作PH⊥BC于点H, D .AD‖BC, B O H C PH⊥AD, LAPH=90°， .POL AC, .∠CAP+∠APQ=90°， ∠APQ+∠QPH=90°， ∠QPH=∠CAD, ∠PHQ=∠D=90°， .△PHQ∽△ADC, 4-CD,即4-4 PH AD 48 QH=2, ∴.BQ=6-2=4, 44/56 .AQ=V4+42=4V2≠5， ·点6,5)不在该函数图象上， 故选项D错误 4.(2026浙江杭州.一模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,BM⊥CD,垂足为点M,BM交 AC于点N,若0C=4,0N=1,则DC的长为() A.V17 B.5 C.25 D.5 【答案】c 【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD,OB=OD,通过互余关系证明∠OBN=∠OCD,进而证得 △BON∽△COD,利用相似比求出OD的长，最后在RtACOD中利用勾股定理求出DC的长. 【详解】解：：四边形ABCD是菱形， .AC L BD,OB=OD, ∴∠B0N=∠C0D=90°， :BM⊥CD, ∴∠CMN=90°， .∠MCN+∠CNM=90°， :∠OBN+∠BN0=90°，∠BNO=∠CNM, ∴.∠OBN=∠MCN,即∠OBN=∠OCD, .△B0N∽aCOD, ON OB OD OC :0C=4,0N=1,0B=0D, 1 OD OD 4 .0D=2, “在RtaC0D中，DC=V0D2+C02=V22+42=2V5. 5.(2025浙江模拟预测)如图，在ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，连接DE,EF, 已知四边形BDEF是平行四边北，-若ADE的面积为3，则平行四边形BDEF的面积为C 45/56 A.9 B.12 C.15 D.18 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键，利用平行四边形的性质先 说明△ADE∽△ABC、△CEF∽△CAB,再利用相似三角形的性质求出ADE、ABC、△CEF的面积，最 后利用面积的和差关系得结论 【详解】解：：四边形BDEF是平行四边形， .DE∥BC,EF∥AB, ∠ADE=∠B,∠A=∠A △ADE∽△ABC, 同理可得△CEF∽△CAB, DE 1 BC-3' AE 1 AC3' EC 2 AC3 S。ABC 9’SBC :S。ADE=3, :.S.4C =27,S.CEF =12, S.ADE +S.CEF SOBDEF=S.ABC ·.SB0Br=27-3-12=12. 故选：B。 6.(2025浙江杭州.一模)如图，在平面直角坐标系中，正ABC与正BDE是以原点O为位似中心的位似 图形，且面积比为1：9，点A,B,D均在x轴上，若点C的坐标为2，V5),则点E的坐标为() 46/56 A D A.4,2V3 B.(5,25 c.(6,35 D.(8,35 【答案】C 【分析】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点 为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k· 根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的 比等于k或-k,即可求得答案。 【详解】解：正ABC与正BDE是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为1：9， △ABC∽△BDE, 相似比为1：3， :点C的坐标为2，V⑤， “点E的坐标为2×3，V5×3,即(6,35)， 故选：C 考点12锐角三角函数 1.(2026浙江杭州.一模)图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图.机器人上半身CD与底座 AB垂直，DG为屏幕支撑架，且DG∥AB,己知AC=CD=a,当∠CAB=a时，则支撑架DG到AB的距 离为() B 图1 图2 A.a+asina B.a+acosa C.a+atana D.acosa 【答案】A 【分析】延长DC交AB于点H,利用锐角三角函数求出CH的长，再根据CD⊥AB可知D到AB的距离 为CH+CD,从而得出答案。 47/56 【详解】解：如图，延长DC交AB于点H, 由已知，DC⊥AB C ∴.∠AHC=90°， A -B H 图2 在Rt ACH中，AC=a、∠CAB=a, CH=AC.sin∠CAB=asina, :DG∥AB、CD⊥AB, :支撑架DG到AB的距离为CD+CH=a+asina, 2.(2026浙江杭州模拟预测)如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中 AD∥BC,CD1AC,4D1AB,已知4B长为m,am∠ACB-},则AD的长为() A.4 B.5 c.5 4 D.25 4 【答案】D 【分析】利用正切的定义结合已知条件求得AB的长度，再用勾股定理求出AC的长度，由平行线的性质可 得到ZDAC-Z4CB,从而得到tan ZACB=an∠DAC=:同瘦利审切的定义和勾股定理即可求得目标 结果 【详解】解：在RtABC中，tan∠ACB=4B-3 BC 4' 4B 3cm, 3=3 8C4,即BC=4cm, .AC=AB2+BC2=5, AD∥BC, ∠DAC=∠ACB, 48/56 3 .tan∠ACB=tan∠DAC= 在Rt△ACD中，CD⊥AC, tan∠DAC= CD 3 4 CD= 4cm, AD=VAC2+CD=25 cm. 3.(2026浙江金华.一模)己知某仓储中心有一个斜坡AB,B,C在同一水平地面上，∠B=30°，其横截面 如图。现有一个侧面图为正方形DEFG的正方体货柜，其中DE=?米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最 大高度限制（即点D离BC所在水平面的高度DH的最大值）为3√5米，则BG的长度应不超过()米 A M G H B A.6 B. 5 C.4V5 D.21V5 5 【答案】D 【分析】根据正方形的性质以及已知条件得到∠DGM=∠DHB=90°，再根据三角形内角和定理得到 ∠GDM=∠B=30°，根据余弦和正切的定义求出DM、MG,然后根据线段的和差求出HM,再解直角三 角形求出MB,最后求得BG即可. 【详解】解：：正方形DEFG, DG=DE=号∠DGM=90. 9 :∠DGM=∠DHB=90°， :∠DMG=∠BMH, ÷∠GDM=∠B=30°， 9 DG 5 ∴.DM= 185, coS∠GDM c0s30° 15 MG=DG-tan∠GDM=5×3=7S3 .DH=33, 49/56 HM=DH-DM=3V5-185_27V3 1515 HM .sin B= MB .MB= HM 183 sin B 5 BG=MG+MB=213 5 4.(2026浙江温州.一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为0C上一点，连接 DE,将ADE沿DE翻折得到aFDE,EF交CD于点G,连接BE,CF.当四边形BCFE为平行四边形时， 若sin DAC=k,则GE的值为() GF 0 G B A.k B.2V1-k2-1 C.2V1-k2+1 D. 2V1-k2-1 【答案】B 【分析】设AD=a,由菱形的性质和sin∠DAC=k得DO=ak,由折叠得DF=DA=a,由勾股定理得 A0=a-k2,AC=2aV-k,证明四边形AEFD是平行四边形，得AE=DF=a,CE=a2V1-k-1, 再证明aECG∽△FGD,根据相似三角形的性质可得结论 【详解】解：四边形ABCD是菱形， AC⊥BD,AD=BC,AD∥BC,且AC=2AO, sin∠DAC=k, =k, AD 设AD=a,则DO=ak, 由折叠得DF=DA=a, 在Rt△AD0中，A0=√AD2-D02=a2-(ak)2=aV-2, AC=2A0=2aV1-k2, 又四边形BCFE是平行四边形， ∴EF∥BC,BC=EF, 50/56 AD∥EF,AD=EF, :四边形AEFD是平行四边形， AE DF=a, :CE=AC-AE=2av-k-a=a(2V-k2-1), :EC∥DF, ∴△ECGn△FGD, GE CE a(2v1-k2-1) =2-k2-1 GF FD 5.(2025浙江杭州.三模)如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB,O为AB的中点，它的支撑柱OH垂 直于地面，垂足为点H,当AB一端A着地时，∠BAH=a,则支撑柱OH的长可表示为() B 0 120 A.120.sinacm B.120.tanacm C. 120 cm D. -cm sina cosa 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据线段中点的定义可得04=48=120cm,然后在R1达40H 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可. 【详解】解：：0为AB的中点，AB=240cm, :0A=AB=120cm, 2 在Rt△AOH中，∠BAH=Q, .OH =0A.sina =120.sinacm, 故选：A, 考点13统计 1.(25-26九年级下.湖北荆州月考)下列说法中，正确的是() A."打开电视，CCTV1正在播放《新闻联播"是必然事件 B.“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 C,描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图 D.调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查 【答案】B 【详解】解：：必然事件是一定会发生的事件，打开电视时CCT1不一定正在播放《新闻联播》， 51/56 ,A选项错误； :随机事件是可能发生也可能不发生的事件，掷质地均匀的骰子，向上一面的数字可能为1到6中任意一个， 得到数字2是可能发生也可能不发生的事件，即是随机事件， B选项正确； :折线统计图适合反映数据的变化趋势，扇形统计图仅能反映各部分占总体的比例，要描述一周内最高气温 的变化情况，适宜用折线统计图， C选项错误； :全面调查适用于范围小，易完成的调查，长江某段水域范围大，无法对所有鱼类进行全面调查，适宜用抽 样调查， D选项错误 2.(2026·浙江湖州模拟预测)为坚特“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节.其中， 甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示.下列说法中，正确的是() 20位评委对甲的打分情况的条形统计图 人数（人） 8------------ m 0 708090100得分（分） A.m的值是3 B.20个分数中，最高分是90分 C.20个分数中，中位数是85分 D.20个分数中，众数是70分 【答案】C 【分析】用总人数减去4、6、8可得m的值判断A:20个分数中100分有2人，故最高分是100分，可判 断B;根据中位数定义可求出中位数，可判断C;最多的分数是90分，故可判断D. 【详解】解：A、m=20-6-4-8=2,不是3，故选项A错误 B、20个分数中100分有2人，故最高分是100分，不是90分，故选项B错误； C、20个分数，按从小到大排列，第10和1个分数为80分和90分，故中位数为80+90=85（分》，故选 2 项C正确： D、20个分数中，最多的分数是90分，不是70分，故选项D错误. 3.(2026浙江宁波.一模)某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直 方图，则样本中70.5~80.5这一分数段的频率是() 52/56 某班科技知识测试成绩频数分布直方图 ◆人数 12 9 6 50.560.570.580.590.5100.5分数 A.20 B.0.24 C.0.18 D.0.4 【答案】D 【分析】先求出样本中70.5~80.5这一分数段的频数，再根据频率=频数÷样本容量即可得出结果。 【详解】解：由图可得：样本中70.5~80.5这一分数段的频数为50-3-6-9-12=20， 故样本中70.5~80.5这一分数段的率是20÷50=0.4 4.(22-23七年级上·山东济南·期末)随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟 测试，并将测试成绩整理， 绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是() 第1月全体学生测试成绩统计图 第1-4月测试成绩“优秀” 学生人数占比统计图 百分比 人数 20% 300 ·17% 5 250 15% 200 10% 13% 150 150 10% 100 90 50 -10- 5% 72% 优秀良好及格不及格成绩 0 第1月第2月第3月第4月月份 A.共有500名学生参加模拟测试 B.从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C.第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多 D.第4月测试成绩"优秀”的学生人数达到100人 【答案】D 【分析】本题考查了条形统计图和折线统计图，根据条形统计图和折线统计图逐项判断即可求解，看懂统 计图是解题的关键， 【详解】解：A、:10+250+150+90=500, :共有500名学生参加模拟测试，该选项结论正确，不符合题意； B、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长，该选 项结论正确，不符合题意； C、由折线统计图可得，第3月增长的“优秀”人数为500×13%-10%)=15人，第4月增长的“优秀”人数为 53/56 500×17%-13%)=20人， 20>15, 二第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多，该选项结论正确，不符合题意： D、:500×17%=85<100, :第4月测试成绩“优秀”的学生人数没有达到100人，该选项结论错误，符合题意； 故选：D. 5.(2026浙江模拟预测)政府制定相关优惠政策鼓励企业提升新质生产力，发展人工智能.某地统计了1-5 月各月新增人工智能项目的企业数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图. 1-5月各月新增人工智能项目的企业 1-5月各月新增人工智能项 数量占前五月总量百分比扇形统计图 目的企业数量折线统计图 数量/家 5月 1月 4月 2月 3月 25% 1月2月3月4月5月月份 则该地1月份新增人工智能项目的企业数量为() A.5家 B.4家 C.3家 D.2家 【答案】A 【分析】本题考查了折线统计图与扇形统计图的综合运用.利用3月份新增人工智能项目的企业数量及其 占比求得1-5月各月新增人工智能项目的企业数量，再减去2-5月各月新增人工智能项目的企业数量，即可 求解 【详解】解：4÷25%=16， 16-2-4-3-2=5, :.该地1月份新增人工智能项目的企业数量为5家. 故选：A. 考点14概率 1.(2026浙江衢州.一模)在一个不透明箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同.从箱 子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出1个球.这样先后摸到的两球均为红球的可能有() A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【答案】D 【分析】画出树状图即可得解， 54/56 【详解】解：画出树状图如下， 开始 红1 红2 白红1红2 白红1红2 白红1红2 根据树状图，可得，先后摸得的两球均为红球的情况有4种. 2.(2026浙江杭州模拟预测)一个不透明的袋子里装有3个除标有的数字不同外，其他都相同的小球，分别 标有数字1,2,3，随机摸出一个小球，摸到偶数的概率是() A B. 2 C.7 D. 3 3 【答案】A 【分析】根据概率公式，用摸到偶数的结果数除以所有等可能的总结果数即可得到答案 【详解】解：袋子中共有3个小球，随机摸出一个小球的所有等可能性的结果总数为3，其中标号为偶数的 小球只有1个，即摸到偶数的结果数为1， “摸到偶数的概率为 3 3.(2026浙江舟山一模)小普计划周末在“朱家尖大青山"“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随 机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅.他选中“塘头最美公路”的概率为() A. B.1 C.1 D. 1 6 3 【答案】D 【分析】根据“概率=所求情况数与总情况数之比”解答即可.。 【详解】解：在“朱家尖大青山”“展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随机选择一个地点来一个说走 就走的赌青之旅。小音选中~糖头最美公路”的概率为写 4.(2026浙江温州·一模)在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任 意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是() A.2 3 B. 3 c. D. 5 8 8 【答案】c 【分析】根据概率公式，事件A的概率等于事件A发生的可能结果数与所有可能结果数的比值，代入计算 即可 【详解】解：：袋子中共有3个红球，5个白球，所有球除颜色外都相同， :.球的总个数为3+5=8（个），摸出红球的可能结果数为3， 55/56 “摸出红球的概率为3 5.(2024辽宁盘锦三模)有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人 物画像的卡片，卡片正面人物如下图.现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中 任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是() 孙悟空 诸葛亮 关羽 猪八戒 张飞 A. 2 B. 2 c. D. 3 3 5 5 【答案】c 【分析】先画出树状图，然后根据概率公式求出两张图片的人物恰好属于同一部名著的概率， 【详解】解：将孙悟空记为A,猪八戒记为B,诸葛亮记为C,关羽记为D,张飞记为E,画树状图如下： 开始 小明 小亮 BCDE ACDEABDEABCEABCD :一共有20种等可能的情况， 其中A,B)、(B,A)、(C,D)、(C,E)、(D,C)、(D,E)、(E,C)、(E,D)共有8种可能的情况的两张图片 的人物恰好属于同一部名著， ÷P(两张图片的人物恰好属于同一部名著)=8=？ 205 56/56专题01中考必刷选择题 考点归纳 考点01实数 考点08四边形 考点02代数式 考点09圆 考点03方程 考点10图形的变化 考点04不等式 考点11相似 考点05函数图像 考点12锐角三角函数 考点06相交线与平行线 考点13统计 考点07三角形 考点14概率 考点专练 考点01实数 1.(2026浙江一模)实数3,0，-3，√2中，最小的数是(). A.3 B.0 C.-3 D.√2 2.(2025浙江·模拟预测)下列运算中，结果正确的是() A.V-5)=-5B.(x2y2=x C.x5÷x=x2 -16 3.(2025浙江湖州二模)下列各数中，是无理数的是() A.√2 B.3.14 C.0 D.-11 7 4.(2025浙江丽水.二模)杭州某A1实验室训练模型时，单日处理数据量约为1200亿条，"1200亿"这个数 据用科学记数法表示为() A.1.2×102 B.0.12×102 C.1.2×10 D.12×100 5.(2025浙江·模拟预测)我国在新能源电池技术领域取得新的突破，研发出一款高性能的固态电池，其内 部的某种电解质离子的直径仅为0.0000000023m,将数0.0000000023用科学记数法表示为() A.23x10-8 B.2.3×109 C.0.23×10-7 D.2.3×100 考点02代数式 1.(2025浙江绍兴.二模)下列各式运算正确的是（) A.（-m2）°=m6B.3n32m3=6m9C.m+2m2=3m3D.2m3÷(-m=-2m2 2.(2025-浙江模拟预测)若1<a<3,则la-3到+V-2a+a2=() 1/18 A.2a-4 B.4-2a C.2 D.a-4 3.(2025浙江杭州模拟预测)下列计算正确的是（) A.(a+b)2=a2+b B.(x2）=x c.(-ab)3=-a3b D.2 a+2b=2ab 4.(2025浙江杭州模拟预测)若xy=3,x-3y=-5,则2x2y-6xy2的值为() A.-15 B.-1 C.2 D.-30 5.(2025浙江·模拟预测)下列因式分解中，正确的是() A.ab-4a+1=ab-4+1 B.-a2+b2=-a+b)(-a-b) C.a2-2ab+4b2=a-2b2 D.-ab2+2ab-a=-a(b-1)2 考点03方程 1.(2025浙江湖州二模)利用“配方法”解方程x2-4x-7=0,配方结果正确的是(） A.(x-2)2=11 B.(x-2)2=3 C.(x-4)2=11 D.(x-4)2=3 2.(2025浙江杭州二模)若x1,x2是一元二次方程x2-mx+15=0的两个实数根，x-x2=2,则m的值为 () A.±8 B.8 C.-8 D.±4 3.(2025·浙江.二模)若关于x的一元二次方程x2+2x+a=0有两个不相等的实数根，则的取值可以是() A B.1 D.2 82 4.(2025浙江模拟预测)已知实数x,y满足 xx =5,2y+少=5，则4+少的值为《) A B.1+V47 c.41-1 4 4 头 5.(2025浙江·模拟预测)己知x、x2是一元二次方程x2+bx+c=0两个不同的根.若0<x<1,0<x2<1, 则() A.c和1+b+c都小于 B.c和1+b+c至少一个小于4 C.c和1+b+c都大于号 D.c和1+6+e至少一个大于} 6.(2025浙江杭州二模)《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只 雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重.问每只雀、燕的重量各为多少？”若设 雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为() 5x+6y=16 5x+6y=16 A. B. 4x+y=5y+x 5x+y=6y+x 2/18 6x+5y=16 6x+5y=16 c. D. 6x+y=5y+x 5x+y=4y+x 7.(2025浙江衢州一模)《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七， 则不足四.问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程() A.8x-3=7x-4 B.8x+3=7x-4 C.8x-3=7x+4 D.8x+3=7x+4 考点04不等式 1.(2025·浙江台州.三模)若m>n,则下列不等式正确的是() A.m-5<n-5B.m+6<n+6 C.mn D.-2m>-2n 99 x+1≥0 2.（2025浙江杭州三模)不等式组 的解集在数轴上表示为() 2x-1<1 A. B. 0 C. D. 0 0 3.(2025浙江模拟预)不等式2：3x的解在数能上可以表示为() A.10 .23101 c.-10 .10 x-3≥0 4.(2025·浙江温州三模)不等式组 的所有整数解之和是() <3 2 A.12 B.13 C.16 D.18 x>2 5.(2025浙江温州·二模)已知不等式组 有解，则a的取值范围为() x<a A.a>2 B.a22 C.a<2 D.a≤2 考点05函数图像 1.(2026浙江丽水.一模)抛物线y=-3(x-1)2+2的顶点坐标是() A.(1,-2) B.（-1,2 C.(1,2) D.（-1,-2 2.(2026浙江绍兴.一模)在平面直角坐标系x0y中，点A(-2,4),B(3,9),由线段AB与抛物线的一段 y=x2(-2≤x≤3)组成的图形C,如图所示.若将图形C上的一点P先向右平移3个单位，再向上平移 3/18 1个单位后仍在图形C上，则这样的点P的个数为() B A.1 B.2 C.3 D.4 3.(2026浙江宁波一模)已知点Am,),B(m-2,,)是反比例函数y=图象上两点，若y>为2，则m的 取值范围为() A.m>2 B.m<0 C.0<m<2 D.m<0或m>2 4.(2026浙江绍兴.一模)一个反比例函数的图象经过点A2,和点B(b,-3).若A与B关于坐标原点对称， 则这个反比例函数的表达式为() A.y=6 B.y=-6 C.y=1 D.y=-1 6x 6x 5.(2026浙江.一模)已知反比例函数y=二(k≠0)的图象过点(2，-4)，则下列说法正确的是(). A.k=8 B.函数图象位于第一、三象限 C.图象必过(-2,4) D.y随x的增大而增大 6.(2026浙江温州一模)已知函数片=kx,乃=上(k,飞均为常数)的图象都经过点(-2，-1)，当 y2>时，x的取值范围是() A.x<-2 B.x<-2或x>2 C.x>2 D.x<-2或0<x<2 7.(2026浙江湖州二模)己知一次函数y=5x+a-3(a为常数)的图象过第一、三、四象限，则a的值可 以是() A.8 B.5 C.3 D.0 8.（2026浙江湖州二模)己知两个一次函数y=x+5和y=2x+1的图象交于点Am,3),对于一次函数 y=x+5,下列结论正确的是() A.y随x的增大而减小 B.图象经过第一、二、三象限 C.图象与x轴的交点的坐标为(5,0) D.图象经过点3,5 9.(2026浙江杭州一模)如图，A0B的两点AB在反比例函数y=12(x>0)的图象上，过B作BD⊥y轴 于点D,交OA于点E.若E为AO的中点，则△AEB的面积是() 4/18 A. 2 C.6 D.5 10.(2026浙江舟山一模)如图，平行于x轴的直线交反比例函数y=6的图象于点A2,3).当y<3时，x 的取值范围是() A.x>2或x<0B.x>2 C.0<x<2 D.x<2 考点06相交线与平行线 1.（2026浙江丽水.一模)将a,b,c三根直木条按如图所示的位置摆放，且∠1=100°，∠2=55°，固定 木条Q和C,木条b绕点B顺时针旋转45°，则下列描述正确的是() a B A.allb B.a⊥b C.blle D.b⊥c 2.(2026浙江衢州一模)小温将含30°角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得∠AFD=55°，则 ∠ABC的度数为() A.15° B.25° C.30° D.35 3.(2026浙江湖州一模)当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如 图所示).现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2=80°，∠3=30°，则∠1=() 5/18 、2 A.30° B.409 C.50° D.60 4.(2026浙江金华.一模)如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°，则∠D的度数为() B D A.350 B.40° C.45° D.550 5.(2026浙江绍兴.一模)如图，己知斜面0A与水平面的夹角∠0=30°，一个木块静止在斜面上，其所受 重力G方向竖直向下，支持力F方向垂直于斜面向上.若∠1表示G与F两个方向之间的夹角，则∠I的度 数为() A YG A.120 B.130° C.140° D.150° 6.(2026浙江温州一模)如图①，高铁顶上“受电弓”保证了高铁高速顺畅的运行，其示意图如图②，己知 AB∥DE,在某一时刻∠BAC=35°，∠CDE=135°，那么∠ACD等于() 接触网 滑板 B 上框架 下臂杆 升弓与降机构 E 车顶 D 图① 图② A.60° B.70° C.80° D.85° 考点07三角形 1.(2026浙江杭州一模)如图，在ABC中，AD是ABC的角平分线，DE1AB于点E,AC=3, AB=5,DE=1,则ABC的面积为() 6/18 D E B A.6 B.5 C.8 D.4 2.(2026浙江·模拟预测)如图所示，ABC和ADE都是等边三角形，∠BEC=40°，则∠DBE的度数为 () A.90° B.100° C.120° D.160° 3.(2026浙江·二模)如图，在ABC中，AB=BC,LABC=90°.按以下步骤作图：①分别以点A,B为 圆心，以大于B长为半径作强，两弧交于点E,F:②作直线EF:@以点B为圆心，以B1为半径画颜 交直线EF于点G;④连接BG交AC于点P.则∠APB=() G A.60° B.70° C.75° D.80° 4.(2026浙江模拟预测)如图，有一格点ABC,现要找一点P,使得BP平分∠ABC,甲、乙两位同学 给出了他们的作法见图1、图2，请判断两人的作法是否正确() 图1 图2 A.甲、乙都对B.甲、乙都错 C.甲错、乙对 D.甲对、乙错 5.(2026浙江嘉兴.一模)如图，在三角形纸片ABC中，AB=AC,点D在边BC上（点B,D不重合， CD>BD),将△ACD沿AD折叠后得到△AED,DE交AB于点F.若AD=AF,则∠EAD与∠BAC的数 7/18 量关系正确的是() BAC A.∠EAD=3 B.∠EAD= c.∠EAD=∠BAC D.∠EAD=4∠BAC > 考点08四边形 1.(2026浙江杭州一模)正六边形的一个内角度数为() A.720° B.60° C.120° D.108° 2.(2026浙江.一模)如图，平行四边形ABCD,E为线段AD中点，G为BC延长线上一点，连接AG分别 交BE、CD于点H、点F,已知△AHE,△ABH的面积分别为1和3，则△FCG的面积为(). E A.1 B.4 c D.2 3.(2026浙江·模拟预测)如图，口ABCD中，DE∥BG,AF∥CH,E,G分别在AF,CH上，连接FH, LAFB=12O°，若△AFB≌△HEF,△AED与AHEF的面积相等，则AE的值为() EF A B. c.3-1 0.5-1 2 2 2 4.(25-26九年级上陕西渭南期末)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,点E在AD边上， 连接BE交AC于点F.若LOCD=60°，∠BED=130°，则∠BFO的度数为() 8/18 D C A.95 B.105° C.100° D.110 5.(2026河南商丘一模)如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点E是BC的中点，连接AC,DE交 于点O,则A0的长度为() D E A.413 8.9 c.3v13 8 2 o.g 6.(2026浙江杭州一模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,BM⊥CD,垂足为点M,BM交 AC于点N,若OC=4,ON=1,则DC的长为() A.√17 B.5 C.2√5 D.5 7.(2026浙江杭州.一模)如图，正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE,过点E作EF⊥DE交 DC的延长线于F,交BC于M,若DE=MF,且AE=√2，则线段CF的长为() D M B A.2 B.2 C.1 D.22 8.(2026浙江杭州一模)勾股定理的证明方法丰富多样，其中我国古代数学家赵爽利用“弦图"的证明简明、 直观，是世界公认最巧妙的方法.“赵爽弦图”已成为我国古代数学成就的一个重要标志，千百年来备受人们 的喜爱.小亮在如图所示的“赵爽弦图”中，连接BH并延长，交AD于点N,交AF于点M.若点M是EF的 中点，则△DNH与aBFM的面积比为() 9/18 D G H M E A.1 B. 3 4 C.7 D. 考点09圆 1.(2026浙江丽水一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC是直径，连接BD,若BD=CD,AB=8, BC=6,则AD的长为() D A B A.3 B.√10 C.23 D.25 2.(2026浙江温州.一模)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，AC=4,BD为AC边上的高， 以点B为圆心，BD长为半径画圆弧分别交边AB,BC于点E,F,则EF的长为() D A.3 B.3 C.3 D.刀 3.(2026浙江杭州模拟预测)如图，PA,PB是O0的切线，A,B为切点，连结OP,OP长为2， ∠APB=120°，则⊙0的半径为(). A.1 B.2 c.5 D.25 10/18 4.(2026浙江台州.一模)如图，在圆内接四边形ABCD中，AB是圆的直径，过点C作CE⊥AB于点E, 连接AC.若BC=CD,AE=9,BE=4,则△ACD的面积为() 0 E A.16 B.15 C.12 D.10 5.(2026浙江湖州模拟预测)如图，AB为半圆O的直径，C为AB延长线上一点，CD切半圆于点 D,AE⊥CE于点E,交半圆于点F,己知AE=6,CE=8,则OD的长为() A.15 B.4 c.g D.25 6.(2026浙江温州一模)如图，己知ABC内接于⊙0，AB=AC,B0交AC于点D,过点D作 DH⊥AC,垂足为H.若2AH=CH,BC=10.则BD的长度为() H A.2 B.15 2 c.5V5 D.65 考点10图形的变化 1.(2026浙江舟山一模)下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是() 专火萧※ 2.(2026浙江杭州一模)下列图标中，是中心对称图形的是() 11/18 3.(2026浙江衢州.一模)如图，将A0B绕点O逆时针方向旋转45°得到△A'0B',若∠A0B=13°，则 ∠AOB的度数是() B y A A.13° B.23° C.32° D.45° 4.(2026浙江宁波.一模)在平面直角坐标系中，若点P(-1,2)先向右平移再向下平移，则点P可能移动到 下列哪个点的位置() A.（-4,1 B.（-4,3 C.(4,3) D.4,1 5.(2026浙江台州一模)如图，在ABC中，∠B=90°.将ABC向右平移得到△AB,C,点B,B,C, C在同一直线上，边AB与边AC交于点G.若CC=3,A,G=2,则AG的长为() G B A.10 B.25 C./13 D.5 考点11相似 1.(2026浙江.一模)如图，平行四边形ABCD,E为线段AD中点，G为BC延长线上一点，连接AG分别 交BE、CD于点H、点F,己知△AHE,△ABH的面积分别为1和3，则△FCG的面积为(). A.1 c. D.2 2.(2026浙江舟山一模)如图，△ABC和aDEF是以点O为位似中心的位似图形.若 =2,4D3a4BC的面积为6，则ADEF的面积为C 12/18 ○ A.20 C.30 D. 5 3.(2026浙江温州模拟预测)如图1，在矩形ABCD中，点P从点A出发沿边AD→DC匀速运动，运动 到点C时停止.过点P作对角线AC的垂线，交矩形ABCD的边于点Q,设点P运动的路程为x,AQ的长 为y,其中y关于x的函数图象如图2所示，则下列选项错误的是() D n 4 8 12x 图1 图2 A.AB=4 B.m=2√13 C.n=45 D.点(6,5)在该函数图象上 4.(2026浙江杭州.一模)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O,BM⊥CD,垂足为点M,BM交 AC于点N,若OC=4,ON=1,则DC的长为() A.17 B.5 C.25 D.5 5.(2025浙江模拟预测)如图，在ABC中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，连接DE,EF, 己知四边形BDEF是平行四边形， DE=;.若ADE的面积为3，则平行四边形BDEF的面积为（） D E F A.9 B.12 C.15 D.18 13/18 6.(2025浙江杭州.一模)如图，在平面直角坐标系中，正ABC与正BDE是以原点O为位似中心的位似 图形，且面积比为1：9，点A,B,D均在x轴上，若点C的坐标为(2，V⑤，则点E的坐标为() o A B D A.4,2V5） B.(5,25 c.(6,35 D.(8,35 考点12锐角三角函数 1.(2026浙江杭州.一模)图1为实时通讯的视频机器人，图2为其侧面示意图.机器人上半身CD与底座 AB垂直，DG为屏幕支撑架，且DG∥AB,已知AC=CD=a,当∠CAB=a时，则支撑架DG到AB的距 离为() 图1 图2 A.a+asina B.a+acosa C.a+atana D.acosa 2.(2026浙江杭州模拟预测)如图是由四个全等的叶片组成的风车，点A是风车中心，其中一个叶片中 AD8C,CD1AC,AD上A8,已知B长为3m,m∠4CB=子，则AD的长为() A.4 B.5 c.5 0.25 3.(2026浙江金华.一模)已知某仓储中心有一个斜坡AB,B,C在同一水平地面上，∠B=30°，其横截面 如图.现有一个侧面图为正方形DEFG的正方体货柜，其中DE=?米，该货柜沿斜坡向下时，若点D的最 14/18 大高度限制（即点D离BC所在水平面的高度DH的最大值）为3√3米，则BG的长度应不超过()米. D G F B A.6 C.4V5 D.21V5 5 4.(2026浙江温州一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点0，点E为0C上一点，连接 DE,将ADE沿DE翻折得到△FDE,EF交CD于点G,连接BE,CF.当四边形BCFE为平行四边形时， 若sin∠DAC=k, GE的值为() G D G A B k A.k B.2V1-k2-1 C.21-k2+1 D. 21-k2-1 5.(2025浙江杭州.三模)如图，游乐场有一个长240cm的跷跷板AB,O为AB的中点，它的支撑柱OH垂 直于地面，垂足为点H,当AB一端A着地时，∠BAH=Q,则支撑柱OH的长可表示为() B 0 Hh A.120.sina cm B.120.tana cm C.120 cm 120cm D. sina cosa 考点13统计 1.(25-26九年级下·湖北荆州·月考)下列说法中，正确的是() A."打开电视，CCTV1正在播放《新闻联播》”是必然事件 B.“掷一次质地均匀的正方体骰子，向上一面的数字是2”是随机事件 C.描述沙市一周内每天的最高气温的变化情况，适宜采用扇形统计图 D.调查长江某段水域现有鱼的种类，适宜采用全面调查 2.(2026浙江湖州模拟预测)为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节.其中， 15/18 甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示.下列说法中，正确的是() 20位评委对甲的打分情况的条形统计图 人数（人） 8 4 7080 90100得分（分）》 A.m的值是3 B.20个分数中，最高分是90分 C.20个分数中，中位数是85分 D.20个分数中，众数是70分 3.(2026浙江宁波.一模)某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直 方图，则样本中70.5~80.5这一分数段的频率是() 某班科技知识测试成绩频数分布直方图 人数 2 50.560570.580.590.510.5分数 A.20 B.0.24 c.0.18 D.0.4 4.(22-23七年级上山东济南·期末)随着初中学业水平考试的临近，我校连续四个月开展了学科知识模拟 测试，并将测试成绩整理， 绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟考试的学生人数不变），下列四个结论不正确的是() 第1月全体学生测试成绩统计图 第1-4月测试成绩“优秀” 学生人数占比统计图 百分比 人数 20% 300 ·17% 250 250 15% 200 50 10% 13% 150 10% 100 90 50 10- 5% 0 优秀 良好及格不及格成绩 2% 第1月第2月第3月第4月月份 A.共有500名学生参加模拟测试 B.从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C.第4月增长的“优秀”人数比第3月增长的“优秀”人数多 16/18 D.第4月测试成绩“优秀"的学生人数达到100人 5.(2026浙江模拟预测)政府制定相关优惠政策鼓励企业提升新质生产力，发展人工智能.某地统计了1-5 月各月新增人工智能项目的企业数量，并将结果绘制成如下两种不完整的统计图. 1-5月各月新增人工智能项目的企业 1-5月各月新增人工智能项 数量占前五月总量百分比扇形统计图 目的企业数量折线统计图 数量/家 5月 1月 4月 2月 3月 25% 1-----L--- 0 1月2月3月4月5月月份 则该地1月份新增人工智能项目的企业数量为() A.5家 B.4家 C.3家 D.2家 考点14概率 1.(2026浙江衢州.一模)在一个不透明箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同.从箱 子里摸出1个球，放回，摇匀后再摸出1个球.这样先后摸到的两球均为红球的可能有() A.1种 B.2种 C,3种 D.4种 2.(2026浙江杭州模拟预测)一个不透明的袋子里装有3个除标有的数字不同外，其他都相同的小球，分别 标有数字1,2,3，随机摸出一个小球，摸到偶数的概率是() A吉 c D.3 3.(2026浙江舟山一模)小普计划周末在“朱家尖大青山"展茅田园综合体”“塘头最美公路”三个地点中随 机选择一个地点来一个说走就走的踏青之旅.他选中“塘头最美公路”的概率为() A 8. C.1 6 0 4.（2026浙江温州.一模)在一个不透明的袋子里装有3个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任 意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是() A C.3 D.5 8 5.(2024辽宁盘锦三模)有五张反面完全相同，正面分别印有古典名著《西游记》和《三国演义》中的人 物画像的卡片，卡片正面人物如下图.现将卡片全部反面朝上混合均匀，小明和小亮同时从这五张卡片中 任意各抽出1张，则抽出的两张卡片中正面人物图像恰好属于同一部名著的概率是() 17/18 孙悟空 诸葛亮 关羽 猪八戒 张飞 A. 8.2 D. 3 18/18