辽宁省实验中学2025-2026学年下学期期中阶段测试高一数学试卷

辽宁省实验中学2025—2026学年度下学期期中阶段测试 高一数学试卷答案 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：高二数学组校对人：高二数学组 21-121-i0-1-i 【俗D样因为；0+面产罗 所以2+2=|1-i+2=3-i=V32+(-1)2=√0 2.【答案】C【详解】由长方体结构知AAI1CC且AA=CC,则ACCA为平行四边形，故AC/1AC,所以直 线4G和直线BC所成角，即为∠ACB或其补角，而BC-2,4C=4,4B-25,所以cos∠ACB=,则 ∠ACB=60°」 D B 3.【答案】B【详解】由正弦定理得C=b 所以sinB=bsinc-6x5V2 sinC sinB 322 因为c>b,所以C>B,所以B=45°，则A=180°-60°-45°=75°， 4.【答案】A【详解】由any=m,Bny=n,若a/B,由面面平行的性质知：ml/n,所以“a∥B”是“mln的充 分条件；由any=m,Bny=n,若mlln,则alIB或a与B相交， 所以“a∥B”是“m/n”的不必要条件.则“aB”是“m/n”的充分不必要条件 m 5.【答案】A【详解】正四棱台的上底面边长为1，故上底面积S=12=1;下底面边长为2，故下底面积Sx=22=4, 棱台高6=3所以y-3×0+4+x4)=1x5+2)=7。 6.D 7.【答案】C【详解】如图所示，连接对角线AC交BD于点O,连接OQ, 因为正四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，所以O是AC的中点. 因为PA/I平面BDQ,PAc平面PAC,且平面PAC∩平面BDQ=OQ,由线面平行的性质得PA/OQ 因此o0是sPAC的中位线，故Q是PC的中点，即PQ-PC, 设正四校锥P-ABCD的底面积为S,高为A,则总体积，n 3% 因为△4CD的面积是正方形面积的一半，即S,4m=2 因为O是PC中点，所以Q到底面ABCD的距离为 。一 商以=w=长ww分号方，所 1 Vp-0=12 1 Vp-ABCD 1 -Sh 4 8.【答案】A【详解】由题知sin(A+C) cosB+cosC） sin A B=..sin c cos B,cosC sin b b c sin C 即cosB+cosC_2v5sinA b c 3sinC 由正弦定理化简得c~cosB+b-cosC=2V5 besin4_25ab 3sin C 3 sin CcoscoCsin sin(BC)=sin=23sin 4 3 3 .b=3.B=I a b 3“sin A"sin B=sinc=I a+c=sin 4+sin C=sin d+sin(2 3-4)-sin 4+3co 3 2 2 c0s 4=3sin(A+02n 6 3 <A+g<5g5<5sin(H+马s5即5<a+es5 6 662 6 2 9.AD ,【答案】AC【详解)对于A:因为圆锥的底面半径为1，高为B,所以体积V=S= 3πx1Px5=3 故A正确： 对于B:设圆锥的母线为1则1=2+=P+(5=2, 设圆锥的侧面展开图的圆心角为日，由弧长公式得：lB=2πr,即28=2n,解得：B=元，故B错误； 对于C:显然当圆锥截面S4B为轴截面时，其面积最大，此时S=】2rh=}25=5,故C正确： 2 2 对于D:由B可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆， 所以从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为4，故D错误； 11.【答案】BCD【详解】正方体ABCD-ABCD中，连接AD1,FD,GF,BC,设GC nBC,=P,GCnEF-O, 如图： B 对A根据BG/cC,BGCG,可得GPPC,又EF为△BCC中位线可得C0-C,GPP0-C0,故 GO=2CO,点C与点G到直线EF的距离不相等，故点C与点G到平面AEF的距离也不相等，故A错误；对 B,因点E,F是BC,CC,中点，则EFBC,而正方体ABCD-AB,CD的对角面ABCD1是矩形，则ADi//BC1//EF, 连GF,因G是棱BB1中点，则GFI/BICIlIAD1,且GF=B,C=A,D1,即四边形AGFD1是平行四边形，AGDE, DFC平面AEF,AGc平面AEF,于是AG平面AEF,故B正确：对C,因EF∥AD,A1GDF,则异面直 线AG与EF所成角是∠AD,F或其补角，作FM I AD于M显然AE=D,F+2 1 5 即四边形AEFD, 是等腰梯形，AD-2EF-V2,DM=4D-EF-2 Y2,eos∠ADE==是0 故C正确；对D, 2 DF 510 FM=D,F2-D,M2= 《汽-（宁-5，半面BF横正方体所得的藏面是等膜稀形B0,其面积 4 S-4AD+EFPM22+5.32-?,故D正确故选：BCD 4 4 12.【答案】5。 ？【详解】易知圆锥的母线长1=2，设圆锥的底面半径为，则2=)×2x2,:,=1,则高 2 h=P-子-5.则圆锥的体积-A 3πx1PxV5=3π 3 13.2 14.【答案】[V2,6]【详解】过F作FG1/DD,交AD于点G,交AD于H,则易知FG1底面ABCD, C B .EF2=EG+FG=AE2+AG+FG=AE2+AF2且+AF.·EF/1平面 B BDD,B,又易得FG/I平面BDD,B,EFnFG=F,且EF,FGC平面EFG,·平面EFGI平面BDDB,又GEI 平面EFG,.GEII平面BDD,B,又平面ABCD∩平面BDD,B=BD,GEi平面ABCD∴.GE/IBD,E为AB 中点，.G为AD中点，则H为AD中点，即F在线段GH上，.AF=AG=1,AFmx=AH=V1+4=5 ∴.EF=V+1=2,EF=+5=V6,则线段E长度的取值范围为：「V2,v6],故答案为：「V2,V6]。 15.【详解】(1)在VABC中，由asin B=√3 bcos4及正弦定理，得sin Asin B=√3 sin Bcos A,--2分 而8∈0.即snB≠0.则mA=V5cosA小，即anA=5,又Ae0,d,所以4-号6分 (2)由V1BC的面积为10n5,得besin-105,解得be=40,--9分 由VABC的周长为20，得a+b+c=20,即b+c=20-a,由余弦定理得a2=b2+c2-2 becos A,即 a2=(b+c)2-2bc-bc,于是a2=(20-a)2-3×40,解得a=7,所以a=7.---13分 16.【详解】(1)因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形，所以MN//PD,NQ/1AD, 又MN丈平面PAD,PDc平面PAD,则MN/平面PAD,-- -3分 同理NQ￠平面PAD,ADc平面PAD,可得NQI/平面PAD, -6分 又MN nNO=N,MN,Ngc平面MWQ,所以平面MNQ/平面PAD.- .-9分 (2)因为底面ABCD为平行四边形，所以BC/AD,又BC￠平面PAD,ADC平面PAD,所以BC/I平面 PAD--- --12分 又BCc平面PBC,平面PBC∩平面PAD=I,所以BC/Il. -15分 17.(1)设AB=ā，AC=b,则d=3,b=V2, MN =MD+DB+BN =ME+EC +CN 所以MN=号DB+EC)=La+6 .4分 63 面Ar-a子五N-ar.线w与r行 .7分 (2)BC--a+6MNLBC(a+6)(-d+B)=0. 3 整理得：a2+2b2-db=0,则ab=1, 又a-6=6 cos o4=6 .15分 18.【详解】(1)：c+a=sinC-sinB b sinC-sina,4=c-b --2分 b c-a .c2-a2=bc-b2,.b2+c2-a2=bc,由余弦定理得cosA= b2+c2-a2 bc 1 2bc2 -4分 2be 又A∈(0，π)，A= 3 -5分 (2)由∠BAC的角平分线将VABC的面积分为两部分， 则5.c=5m+5m∠BD=∠CD-若于是-7分 4 BADsinB∠4D+54CA0sm<CAD=-Csin子25， 即4 ADsin2+3 ADsin=123,解得AD=245,所以AD的长为245 ；-------10分 7 7 (3)由三角形面积公式得S.c=)besim 1 …2C 2 2=2 ，--12分 由正弦定理得c-sinC_si血[-(A+B】_ inB+π 3 sin 5co B 2 -14分 b sinB sin B sinB sin B 2 tanB 0<B< .三角形为锐角三角形， 2 得亚<B< 6 2 tanB>3 0≤ 3 3 √5 2 3 --15分 tan B .c). -17分 19.【详解】(1)连接BD交AC于点O,连接OE,因为ABCD是正方形，所以O为BD中点，所以在△PBD中， OE为中位线，OE/PD,又：PDt平面AEC,OEC平面AEC,PD/平面AEC;…4分 3 (2)取PD的中点O,因为O为BD中点，所以在△PBD中，QO为中位线，所以OO1PB, Q0-1PB 2 2 所以∠QOA为异面直线PB与AC所成角（或其补角）， ,7分 在001中，40=aD-D0=4-=5A04C=万00 2 os∠M01=400-4g、2 2+352 2A0Q0 由余弦定理可得 2x5×32 2 ，又∠00Ae(0,m) 所以∠Q0A为锐角， 5V2 所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为24； --11分 (3)当F是棱PC中点时，BFII平面AEC 证明如下：取PE中点M,连接FM,DM,则FMI/CE, .FM文平面AEC,ECC平面AEC,FM/平面AEC,-13分 在△BDM中，E为BG中点，O为BD中点，OEIIDM DMt平面AEC,E0C平面AEC,所以DM/平面AEC；-15分 DM OMF=F,所以平面DFGI平面AEC; DFc平面DFG,∴.DFI1平面AEC-17分 M D辽宁省实验中学2025一2026学年度下学期期中阶段测试 高一数学试卷 考试时间：120分钟 试题满分：150分 命题人：高二数学组校对人：高二数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 2 1+ 1.若复数z= 则z+2=() A.2 B.√2 C.10 D.V10 2.在长方体ABCD-4BCD中，AB=25,AD=AA,=2,则直线AC和直线BC所成角的大小为() A.30° B.459 C.60° D.90° 3.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若C=3,b=V6,C=60°，则A=() A.45° B.75° C.105° D.135° 4.已知a,B,Y是三个不同的平面，m,n是两条不同的直线，且any=m,Bny=n,则“a∥B”是“m/n” 的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是两个 等高的几何体，如果在同高处的截面积都相等，那么这两个几何体的体积相等，一个上底面边长为1，下底 面边长为2，高为3的正四棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为(）· A.7 B.10 C.7π D.10m 6.已知平面向量a,方，c满足a=5=1,=V2且a+i+c=0,则向量a-c和向量-c的夹角的余弦值 为() A4 B.、3 C. D. 5 5 7.在正四棱锥P-ABCD中，点Q在棱PC上运动，当PA/平面BDQ时，三棱锥 P-ADQ与四棱锥P-ABCD的体积之比为() A. 1 B.3 C. D.I 6 8.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin(A+C) OsB+cosC=n2,B=3,则a+c■ b +c= 的取值范围是() D.[ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.对于任意两个非零向量a和6，下列命题中正确的是（) A.aap B.a2-BHa+Bl-la-Bl c.a D.向量 a b a b +同 与向量 垂直 10.已知圆锥的底面半径为1，高为√，S为顶点，A,B为底面圆周上两个动点，则() A.圆锥的体积为5元 3 B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为π C.圆锥截面SAB的面积的最大值为√5 D.从点A出发绕圆锥侧面一周回到点A的无弹性细绳的最短长度为3√3 11.正方体ABCD-ABCD,的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC,BB,的中点，则() D A B F G D B A.点C与点G到平面AEF的距离相等 B.直线AG与平面AEF平行 C.异面直线A,G与EF所成角的余弦值为V10 10 D.平面AEF截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是 1以.已知平面向量云=1同=2云6=)子面向量满是石--(G-可)=0，月的最大值和技小值分别为 m、n,则m-n的值是 14.如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA,D,D内一点（包括边界）， 若EF/I平面BB,D,D,则EF长度的范围为 D C A B F D C E B 四、解答题：本题共5小题。第15题满分13分，第16题、第17题满分15分，第18题、第 19题满分17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知a,b,c分别为VABC三个内角A,B,C的对边，满足asin B=V3 bcosA. (1)求A. (2)若△ABC的周长为20，面积为10√3，求a. 16.如图，正四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形.M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点.设平面PAD 与平面PBC的交线为I. B (I)求证：平面MNQ/平面PAD; (2)求证：BC/I; 17.如图，在△4BC中，AB=V5,AC=V2,AD=2B,AE=AC, BF =2FC.DM=ME,BN NC (1)判断并证明直线MN与AF的位置关系； (2)若MN⊥BC,求cosA的值. I8.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,G已知c+a_sinC-simB b sinC-sinA (1)求角A的大小； (2)若AD为∠BAC的角平分线，且AB=8,AC=6,求角平分线AD的长度； (3)若△ABC为锐角三角形，且b=2,求△ABC面积的取值范围. 19.如图所示，四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形，AD=2,△PAD为正三角形，PB=PC=3,点 E在PB上. (I)若E为中点，求证：PD/平面AEC; (2)求异面直线PB与AC所成角的余弦值； (3)若PE:EB=2:1,在棱PC上是否存在一点F,使DF11平面AEC?并证明你的结论