山东青岛西海岸新区2025-2026学年高二下学期期中学业水平检测数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦导数、概率统计、排列组合核心内容，通过函数单调性与零点（15、18题）、概率游戏情境（19题）及四棱锥着色（13题），考查数学思维与模型意识，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数运算（2）、二项式展开（4）、瞬时速度（5）|基础概念与运算结合，如第5题位移与导数应用| |多选|3/18|双曲正弦函数性质（11）、概率转移（10）|多维度辨析，如第11题函数单调性与对称性| |填空|3/15|极值点（12）、排列组合（13）|开放与应用并存，如第13题四棱锥着色计数| |解答|5/77|函数证明（16）、随机变量分布列（17）、概率游戏（19）|综合情境设计，如第19题取球游戏考查概率递推与推理能力|

2025-2026学年度第二学期期中学业水平检测 高二数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1--8：C D A A B D B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9．ACD 10．AD 11．AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（或）写一个即可； 13．； 14．． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 解：（1）由题知： 解得： 3分 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增 综上，的递增区间是，；递减区间是 6分 （2）由题知：时，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时， 10分 又因为， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为 13分 16.（15分） 解：（1） 2分 因为，所以 当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增； 所以，所以 6分 （2）由（1）可知，即有， 令， 10分 所以， 得证 15分 17.（15分） 解：（1）的可能取值为， 则，，，， 则的分布列为： 4分 （2）由（1）可知， 6分 因为，由期望的性质可得， 即，解得 9分 （3）记事件“第二次所取卡片的标号大于”， 由（1）可知，所以， ，所以， 所以 15分 18.（17分） 解：（1）当时，， ，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即 4分 （2）函数与函数的零点相同． 令， 当时，若，恒成立，不合题意 6分 下面讨论的情形： 此时，设，， 当时，在区间上恒成立，又， 即在区间上恒成立，所以在区间上单调递增， 所以，不合题意 8分 当时，易知在区间上单调递增， 又因为，， 所以存在唯一的使得 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增 所以是的极小值点，所以 又因为，，所以存在使得， 即 当时，，在区间上单调递增 当时，，在区间上单调递减 当时，，在区间上单调递增 12分 考虑函数，，得， 所以在上单调递增，在单调递减，且时 所以，，即 14分 ，取， ， 又因为， 所以当时，，所以在上存在唯一零点， 即在上存在唯一零点 同理，取， ， 又因为， 所以当时，，所以在上存在唯一零点， 即在上存在唯一零点， 综上，的取值范围为 17分 19.（17分） 解：（1）由题意，当时，可能取的值为 表示：两次取出的是相同数字，或不同数字第一次比第二次大， 所以 2分 所以，， 所以 5分 （2）由题意，的可能取值为 表示：前次取出不同的数字，且从小到大取出， 所以， 9分 （3）由（2）知，当时， 11分 因为为偶数，所以 14分 所以 所以 17分 高二数学参考答案 第4页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学业水平检测 高二数学试题 2026．05 本试题卷共4页，19题．全卷满分150分。考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，那么 A． B． C． D． 2．下列导数运算正确的是 A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列为，则 A． B． C． D． 4．在的展开式中，若的系数为，则 A． B． C． D． 5．某质点沿直线运动，位移（单位:）与时间（单位：）之间的关系为:， 则时的瞬时速度为 A． B． C． D． 6．高二某班级名同学要参加足球、篮球、乒乓球比赛，每人限报一项，其中甲同学不能报名足球，乙、丙、丁三位同学所报项目都不相同，则不同的报名种数有 A． B． C． D． 7．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的一人，则次传球后球在甲手中的概率为 A． B． C． D． 8．设函数，若，则的最大值为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，则 A． B． C． D．除以的余数是 10．某学校有两家餐厅，王同学第天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第天去餐 厅，那么第天去餐厅的概率为；如果第天去餐厅，那么第天去餐厅的概率为 ，则王同学 A．第天去餐厅的概率为 B．第天去餐厅的概率为 C．第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 D．第天去了餐厅，则第天去餐厅的概率为 11．双曲正弦函数与型函数是两个重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的应用，其解析式分别为，则 A．是增函数 B．的值域为 C．点是曲线的对称中心 D．函数有且只有一个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．请写出函数的一个极值点 ． 13．现要用种不同的颜色对一个四棱锥的个面进行着色，要求有公共边的两个面不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数是 ． 14．若，其中，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值与最小值． 16．（15分） 已知，函数． （1）当时，证明：； （2）已知，证明：，． 17．（15分） 盒中有张相同的卡片，其中标记上号的有张，标记上号的有张．现从盒中取卡片，每次随机取一张且取后不放回，记表示第一次所取卡片的标号． （1）求的分布列； （2）若，求的值； （3）记表示第二次所取卡片的标号，求． 18．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在和上各恰有一个零点，求的取值范围． 19．（17分） 箱内有个除编号外都相同的小球，编号为．游戏规则如下：从箱中取出一个小球，记下编号并放回，重复这个过程，直至某次取到小球的编号小于或等于上一次取到小球的编号时，游戏停止．记游戏停止时，取球总次数为． （1）若，求和； （2）求，； （3）当为偶数时，记为偶数的概率为，证明：． 高二数学试题 第 6 页 （共 6 页） 学科网（北京）股份有限公司 $