8.1.1变量的相关关系讲义（知识归纳与试题检测）-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

本讲义聚焦高中数学“变量的相关关系”核心知识点，从相关关系定义出发，通过散点图直观描述成对数据关系，进而区分正相关、负相关、线性与非线性相关，结合微思考问题深化概念理解，构建从概念到直观再到辨析的学习支架。 资料以问题式归纳引导学生对比相关关系与函数关系，培养数学思维；检测题融入小麦产量与施肥量等生活实例，助于用数学眼光观察现实世界；解答题要求绘制散点图分析木材体积与树龄关系，提升数学语言表达能力。课中辅助教师引导探究，课后通过多样题型帮助学生查漏补缺。

8.1.1　变量的相关关系 知识归纳与试题检测(学生版) 【1】问题式教材知识归纳 【1】相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系； 【2】散点图：将样本中n个数据点（）描在平面直角坐标系中得到的统计图叫做散点图，是描述成对数据之间关系的一种直观方法； 【3】正相关与负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量________；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量________； 【4】线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关； 【5】非线性相关与曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关； 【6】【微思考】 （1）相关关系与函数关系有什么区别？ _____________________ （2）若散点不是落在一条直线附近，是否就说明两个变量没有相关性了？ ____________________ 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．正n边形的边数与内角度数之和 2．下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 3．在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（    ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 4．在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（    ） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 5．根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 据此给出以下结论： ①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（    ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 7．对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 8．下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（多选）以下两个变量呈负相关的是（   ） A．学生的学籍号与学生的数学成绩 B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数 C．气温与冷饮销售量 D．变量和变量对应的成对数据关于均值平移后的散点大多数分布在第二象限、第四象限，则变量和变量是负相关 10．下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有线性相关关系的是（  ） A． B． C． D． 11．对小明在连续9次高考模拟数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如图所示的散点图．他的同桌小刚根据散点图对他的数学成绩的分析中，正确的有（    ）． A．小明的数学成绩总的趋势是在逐步提高 B．小明在这连续9次测试中的最高分与最低分的差超过40分 C．小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为负相关 D．小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关 三、填空题 12．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是________． 13．观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是______．    14．变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，.则变量与之间______相关，变量与______相关. 四、解答题 15．某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.1　变量的相关关系 知识归纳与试题检测(详解版) 【1】问题式教材知识归纳 【1】相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系； 【2】散点图：将样本中n个数据点（）描在平面直角坐标系中得到的统计图叫做散点图，是描述成对数据之间关系的一种直观方法； 【3】正相关与负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量________；如果当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量________； 【答案】 正相关 负相关 【4】线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们称这两个变量线性相关； 【5】非线性相关与曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关； 【6】【微思考】 （1）相关关系与函数关系有什么区别？ _____________________ （2）若散点不是落在一条直线附近，是否就说明两个变量没有相关性了？ ____________________ 【答案】 相同点：两者均是指两个变量的关系；不同点：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系；函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系. 只能说明两个变量不是线性相关，但并不一定说明没有相关性，若落在一条折线附近，则称这两个变量非线性相关或曲线相关. 【2】基于教材的检测题 一、单选题 1．在下列两个量之间的关系中，属于相关关系的是（    ） A．匀速直线运动中时间与位移的关系 B．学生的成绩和身高 C．一块农田的小麦产量与施肥量 D．正n边形的边数与内角度数之和 【答案】C 【详解】A、D是函数关系；B是不相关关系，也不是函数关系； C是相关关系，一般来说，农田的施肥量越大，小麦产量一般会越多. 2．下列变量之间的关系不是相关关系的是（   ） A．已知二次函数，其中是常数，取为自变量，因变量为这个函数对应方程的判别式 B．光照时间和果树产量 C．降雪量和交通事故的发生率 D．土地施用肥料量和粮食产量 【答案】A 【分析】根据相关关系的定义可得. 【详解】选项B，C，D中的两个变量都具有相关性，且都是一种不确定的关系，是相关关系. 而A中判别式和变量是一种确定的表达式，是一种函数关系，即一种确定的关系，所以不是相关关系. 故选：A 3．在下列各图中，两个变量具有相关关系的是（    ）． A．①② B．①③ C．② D．②③ 【答案】D 【分析】根据函数关系和相关关系的概念，结合图象作出判断. 【详解】对于①，所有的点都在曲线上，具有函数关系； 对于②，所有的散点分布在一条直线附近，具有相关关系： 对于③，所有的散点分布在一条曲线附近，具有相关关系； 对于④，所有的散点杂乱无章，不具有相关关系， 故选：D． 4．在以下4幅散点图中，对于图中的y和x之间的关系判断不正确的是（    ） A．图（2）（3）（4）中的y和x之间存在相关关系 B．图（2）（4）中的y和x之间呈现正相关关系 C．图（2）（3）中的y和x之间呈现线性相关关系且（2）的相关性一定比（3）强 D．图（4）中的y和x之间呈现非线性相关关系 【答案】C 【分析】根据散点图中点集的分布变化趋势判断正负相关性、是否为线性关系，但从点的分布密度无法判断（2）（3）的相关性强弱，即可得答案. 【详解】由题图，（1）中点没有明显的变化趋势， （2）中点有从左下向右上的线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为线性关系， （3）中点有从左上向右下的线性变化趋势，y和x之间呈现负相关且为线性关系， （4）中点有从左下向右上的非线性变化趋势，y和x之间呈现正相关且为非线性关系， 但（2）（3）相关性强弱不能从图中点的分布密度直接分析得出，故（2）的相关性不一定比（3）强， 综上，A、B、D对，C错. 故选：C 5．根据物理中的胡克定律，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比．测得一根弹簧伸长长度x和相应所受外力F的一组数据如下： 编号 1 2 3 4 5 6 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 3.08 3.76 4.31 5.02 5.51 6.25 据此给出以下结论： ①这两变量不相关；②这两个变量负相关；③这两个变量正相关． 其中所有正确结论的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】根据散点图判断. 【详解】画出弹簧伸长长度x和相应所受外力F的散点图， 可以判断这两变量相关，且为正相关，故①②错误，③正确. 故选：C 6．某公司2018-2023年的年利润x（单位：百万元）与年广告支出y（单位：百万元）的统计资料如表所示． 年份 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x/百万元 12.2 14.6 16.0 18.0 20.4 22.3 y/百万元 0.62 0.74 0.81 0.89 1.00 1.11 根据统计资料，年利润中位数（    ） A．是16，x与y有正线性相关关系 B．是17，x与y有正线性相关关系 C．是17，x与y有负线性相关关系 D．是18，x与y有负线性相关关系 【答案】B 【分析】根据数据分析可直接得出结论. 【详解】由题意，利润中位数是， 而且随着利润x的增加，广告支出y也在增加，故x与y有正线性相关关系． 故选：B． 7．对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图2．由这两个散点图可以判断（   ） A．变量与正相关，与正相关 B．变量与正相关，与负相关 C．变量与负相关，与正相关 D．变量与负相关，与负相关 【答案】B 【分析】根据散点图点的变化关系确定正负相关性即可. 【详解】由变量，的散点图，知随增大，也增大，变量与正相关， 由变量，的散点图，知随增大，减小，与负相关. 故选：B 8．下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由正、负相关的概念逐项判断即可. 【详解】从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关． 结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个． 故选：B 二、多选题 9．（多选）以下两个变量呈负相关的是（   ） A．学生的学籍号与学生的数学成绩 B．坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数 C．气温与冷饮销售量 D．变量和变量对应的成对数据关于均值平移后的散点大多数分布在第二象限、第四象限，则变量和变量是负相关 【答案】BD 【分析】A选项，无相关关系；B选项，具有负相关关系；C选项，具有正相关关系；D选项，由题意得到与具有负相关关系，不妨设，，得到，，所以变量和变量具有负相关关系，D正确. 【详解】A选项中学生的学籍号与学生的数学成绩，两个变量无相关关系； B选项中坚持每天吃早餐的人数与患胃病的人数，两个变量具有负相关关系； C选项中气温与冷饮销售量，两个变量具有正相关关系； D选项中成对数据，以为零点平移， 即均值平移后的散点坐标为， 由于大多数分布在第二象限，第四象限， 故与具有负相关关系，不妨设，， 则，， 则变量和变量具有负相关关系，D正确． 综上可知，两个变量呈负相关的是B，D． 故选：BD 10．下图是两个分类变量x，y取值绘制成的散点图，则图中变量x，y具有线性相关关系的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据散点图的特征逐一验证即可得到答案. 【详解】由题意， 对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：呈正相关关系，分布在一条直线附近，具有线性相关关系；故B正确； 对于C：两个变量具有负相关关系，分布在一条直线附近，具有线性相关关系；故C正确； 对于D：两个变量具有相关性，但不是正相关，也不是负相关，故D错误. 故选：BC. 11．对小明在连续9次高考模拟数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如图所示的散点图．他的同桌小刚根据散点图对他的数学成绩的分析中，正确的有（    ）． A．小明的数学成绩总的趋势是在逐步提高 B．小明在这连续9次测试中的最高分与最低分的差超过40分 C．小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为负相关 D．小明的数学成绩与测试序号具有线性相关性，且为正相关 【答案】ABD 【分析】利用散点显示的各次成绩的情况，逐项分析判断作答. 【详解】散点图从左向右看呈上升趋势，则小明的数学成绩总的趋势是在逐步提高，A正确； 小明在这连续9次测试中的最高分大于130分，最低分小于90分，两者的差超过40分，B正确； 散点落在某条直线附近，小明的数学成绩与测试序号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，C错误，D正确. 故选：ABD 三、填空题 12．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是________． 【答案】② 【分析】结合已知条件，利用相关关系和函数关系的概念以及二者之间的区别即可求解. 【详解】对于①，汽车重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程是负相关的关系，故①错误； 对于②，平均日学习时间和平均学习成绩的关系是一个正相关关系，故②正确； 对于③，立方体的棱长和体积是函数关系，不是相关关系，故③错误. 故答案为：②. 13．观察下列散点图，有三种情况：①正相关，②负相关，③不相关．与散点图的位置相对应的序号依次是______．    【答案】①③② 【分析】由图象分析即可得到答案. 【详解】第一个图大体趋势从左向右上升，故是正相关， 第二个图不相关， 第三个图大体趋势从左向右下降，故是负相关． 故答案为：①③②． 14．变量与相对应的一组数据为，，，，；变量与相对应的一组数据为，，，，.则变量与之间______相关，变量与______相关. 【答案】 正 负 【分析】通过相关系数的知识确定正确答案. 【详解】对于变量与而言，随的增大而增大，故变量与正相关； 对于变量与而言，随的增大而减小，故变量与负相关. 故答案为：①正 ；②负 四、解答题 15．某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系： 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图； (2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？ 【答案】(1)答案见解析 (2)木材的体积与树龄线性近似成线性相关关系且呈正相关． 【分析】（1）根据数据画出散点图即可; （2）根据散点图判断近似成线性相关关系且呈正相关. 【详解】（1）以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示：    （2）由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似成线性相关关系且呈正相关． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $