山东淄博市2025-2026学年度高三教学质量阶段性检测数学试题

参照秘密级管理★启用前 2025一2026学年度高三教学质量阶段性检测 数学 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上. 写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的， 1.已知M= 3,」 则集合M∩N的子集个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 2,已知三条不同的直线1，m,n和两个不同的平面a,B,下列四个命题中正确的是 咖 A.若m⊥1，n⊥l,则m∥n B.若∥a,I⊥B,则a⊥B 类 C.若1∥a,lⅡB,则a∥B D.若Wm,mca,则l∥a 3.设a,beR,则“a>b”是“d>b”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.Q+0+了展开式中F的系数为 A.56 B.42 C.84 D.120 5.已知向量a,不共线，且=xa+6,d=2a+(2x-3)b,若c与d共线，则实数x的 值为 y A.2 B C.2或-月 D.2或 6.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则'()-f()= A.0 B.2 C.-2 D.-1 7.“区块链技术”作为一种新型的信息技术，已经广泛的应用于人们的生活中.在区块 链技术中，若密码的长度为128比特，则密码一共有22种可能性，因此为了破译此密 码，最多需要进行2”次运算。现有一台机器，每秒能进行×10”次运算，假设这台机 器一直正常运转，则这台机器破译长度为128比特的密码所需要的最长时间约为（参考 高三数学试题 第1页（共4页） Quark夸克 高清扫描还原文档 数据：1g2≈0.30110013≈1.349) A.1027×1.349秒B.1028×1.349秒C.1029×1.349秒 D.1030×1.349秒 8.记Sn为数列{a,}的前n项和，若4=1，a2=2,且a42= 则S2026= A.32026-1012 B.3226+1012C.31013-1012 D.31013+1012 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数z=cosx+isina,z2=cosB-isinB,a3=cos(a+)+isin(a+),z4=1, 复数乙，2,3,24在复平面内对应的点分别为R,乃，￡，A,则下列说法中正确的是 A.OR -OP B.3-z4=22-z4 c.0A0i=0正.0E D.OA.OP=OP.OP 10.已知抛物线Cy2=2px(p>0)的焦点F在直线1：x=my+1上，直线1与抛物线交 于A、B两点，点A在第一象限，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别是D、H, 则下列说法中正确的是 A.以线段AB为直径的圆与y轴相切 B.2AF+BF的最小值为3+2N2 C.DF-HF≥8 D.若向量AF-2FB,则S。oa= 32 2 11如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，点E、F D 分别是直线AD、BC上的动点，M是正方形ABCD内动点（包 含边界)，AM与△AB,D,相交于P,记直线AM与EF所成角 为心，若a的最小值为二，则下列说法中正确的是 7 3 A.M的轨迹是双曲线的一部分 B.P的轨迹是椭圆的一部分 C,四楼锥P-ABCD体积最大值为V6-2 D.M的轨迹长度为 5π 高三数学试题 第2页（共4页） Quark夸克 高清扫描还原文档 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.随机变量X的取值为0,1,2，若P(X=0)=3,B(X)=1,则DX门=一 13箱圆C:三+兰=1的左右焦点分别为R,R,点40，)，P为C上一动点，则P+P4 43 的最小值为 14.己知两个相同的正四面体的四个面分别标有数字1,2,3,4，某人每次同时投掷这 两个正四面体，规定每次两个正四面体的底面上的数字之和为所得数字，共投掷3次， 则3次所得数字之积能被10整除的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤， 15,在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知tanC= sinA+sinB os4+cosBc=2. (1)求C (2)若sinB+sinA=2sinC,求△ABC的面积， 16.下图是某校高一学生“运动与健康”评价得分的频率分布直方图，评分在区间[90,100]， [70,90),「60,70)，[50,60)上，分别对应A,B,C,D四个等级为了进一步加强 学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变；对其余学生学校 将进行一次复评复评中，原获B等级的学生有的概率提升为A等级；原获C等级的学 生有，的概率提升为B等级：原获D等级的学生有的概率提升为C等级，未提升等级 的保持等级不变假设用频率估计概率，且每名学生复评结果相互独立 (1)求该校高一学生“运动与健康”评价得分的平均值x(同一组中的数据用该组区间的 中点值作代表)： (②)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的 人数为X,求X的分布列和数学期望E(X): 颜率 0.032 组距 (3)从全体高一学生中任选1人，在已知该学生是复评 0.028 提升等级的条件下，求该学生初评是B等级的概率， 0.020 0.015 0.005 05060708090100评分1分 高三数学试题 第3页（共4页） Quark夸克 高清扫描还原文档 1.如图，在等题榜形ABCD中，MB=BC=CD=4D=2,A=60,E是D的中 点现将AABE沿BE翻折至△PBE,此时，三棱锥P-ABE 的体积首次达到 2 (I)求证：PC⊥CD: (2)若点G在线段PC上且GB=GC,求GD与平面PBE 所成角的正弦值. 18.如图，在正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，AB=2,AA,=1,将直线AC绕直线AD 旋转一周，旋转后所得的图形与平面ABCD的交线为T, (1)E为AC上靠近A的三等分点，求E绕直线AD旋转一周后所得图形的周长： (2)在平面ABCD内以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立 平面直角坐标系， (i)求T的轨迹方程： (ii)P(m,n)为平面ABCD内且不在厂上的定点，过P的 直线l与T有2个交点M、N,若M、N在直线AD的 两侧，求PMPW的最小值（用m,n表示）· 19. 已知函数f(x)=(x-ae-bx2+a,x∈(0，+o),a,b∈R, (1)当a=1时，若函数f(x)有一个零点，求b的取值范围： (2)当a=0,b=0且0<1<1时，令h(x)=f(x) cosx+sinx 设n是h(x)从 小到大的第n个极值点，证明：数列{h(:)}是等比数列： (3)当a=-l且b=0时，令gn(x)=f(x)-n,且Vn∈N,gn(x)有唯一的正零 点x,证明：2Vn+2-回)<+++上<2+n+2血n Xn 高三数学试题第4页（共4页） Quark夸克 高清扫描还原文档参照秘密级管理★启用前 2025一2026学年度高三模拟考试参考答案 选择题： 2 5 6 8 9 10 11 B C B D AC BCD BCD 填空题： 2 15 4-√5 32 解答题： tanC=. sinA+sinB sinC sinA+sinB 15.(1)因为 cos4+cosB,cosC cos4+cosB 整理可得sinCeosB-sinBcosC=sin4cosC--sinCcos4,即sin(C-B)=sin(A-C), …3分 因为4，B,C∈(0，)，则C-B∈（元，A-C∈（元，）， 则C-B=A-C或C-B+A-C=π或C-B+A-C=-π， 即A+B=2C或B-A=-π（舍去）或B-A=π（舍去），…6分（每种情况各1分） Cπ 且A+B+C=3C=n,解得3.…7分 (2)因为sinB+sinA=2sinC,由正弦定理的边角互化可得，b+a=2c=4, …9分 由余弦定理可得，c2=b2+a2-2 bacosC,即4=b2+a2-ba,…11分 所以4=(b+a)2-3ba,解得ba=4,…12分 高三数学试题 第1页（共4页） 14x5-万 S.c=basinC=x4x 则 2 2 2 …13分 16.(1)由题意，-=55×0.05+65×0.15+75×0.32+85×0.28+95×0.2=79.3； …3分 (2)的取值为0,1,2,3；…4分 则（=0)=×x=（=1)=号x×+×××=克(=2=× ×+号×××=（=3)=号××-…8分（每个1分） 1.11 3 所以的分布列为： 0 2 3 3 1 13 1 16 48 24 …9分（概率写在分布列内，结果正确不扣分，结果有错误的，只得概率结果正确的 分数) 所以()=1×+2×号+3×六=名…10分 7 (3)设该学生复评晋级为事件，该学生复评前是等级为事件1，该学生复评前是等级 为事件1，该学生复评前是等级为事件1， 所以（)=（)：(1)+（)(1)+()：(1)=0.6×+0.15× +0.05x=0…13分 所以(l)=（卫=〔)(1卫=06x=80 () () 99 …15分 99 400 (或者是()=)（」 0.6x () 0.6×+0.15×4+0.05×9 17(1)如图：连接AC,交BE于O,再连接OP,CE. 因为四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=)AD=2,∠A=60 所以四边形ABCE为菱形，所以BE⊥AC.…2分 根据翻折的性质，可得BE⊥OP,BE⊥OC,…4分 又OP,OCc平面POC,OP⌒OC=O,所以BE⊥平面POC. …5分 高三数学试题 第2页（共4页） 又PCc平面POC,所以BE⊥PC. 又BE/1CD,所以CD⊥PC.…6分 (2) 因为AB=BC=CD=4D=2,所以OP=OC=5,OB=OE=1. 己知AB=2,AE=2,∠A=60°，所以SAABE=V3,设点P到平面ABE的距离为h, 又因Vp-AB腿=SAEh-号所以h字…8分 以O为原点，OB,OC所在的射线为x,y轴的正方向，向 上的方向为z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系。 B 53 P0, 所以 2’2 B10,0).E(-1,0,0),C05,0） …9分 由BE=CD得D(-2,V3,0) 设G(xyz)PG=PC,则(xy,z-多(0,3，-)，x0,y31-,无 G0,9x-9号-0 因GB-GC,所以1+(91-)2+（层-2=0+(91-9）2+-月 12号2受A=号…1分 2 所以 0,33 03'3,则 BE=(-2,0,0) BF-(4,-3,3 22, -2x=0 n.BE=0 3 设平面PBE的法向量n=(xy,z), n.BP=0 r- 2 2=0 2 令y=V5,则x=0, 高三数学试题 第3页（共4页） z=l,则n=(0,5,),…13分 设直线GD与平面PBE所成线面角为B, 62 GD.n 0+ sin0=cos GD,n> 33 13 GDn 12.4 13 1/4+ V3+1 99 √13 所以直线GD与平面PBE所成线面角的正弦值为13.15分 18.(1)E旋转一周所得图形为圆过E作EF⊥A,D,垂足为F,过F作FH⊥AD, 垂足为H,连接EH .'EF⊥平面ADD,A,ADC平面ADD,A ∴.EF⊥AD FH⊥AD EF∩FH=F EF、FHc平面EFH.∴.AD⊥平面EFH EHc平面EFH .AD⊥EH 即E到AD的距离为EH EF-2 FH=1 :EH= 13 E绕直线AD旋转一周后所得图形的周长为 2W13 3 32 …4分（结果正确得满分) (2)(1)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标 系 G为AC,上任意一点，旋转后与平面ABCD的交点为G',设G'(x,y)旋转过 程中G到AD的距离与G'到AD的距离相等且垂足相同 G到AD的距离为 x ……6分 G到AD的距离为V1+y2 ……8分 ..=v1+y2 整理得x2-y2=1…9分 (i)由题意知l的斜率存在，设为k l:y-n=k(x-m) M(x,y1)N(x2,y2) y=kxc+n-km 联立 整理得： 1-k2)x2-2k(n-am)x-(n-m)2-1=0 1x2-y2=1 2k(n-km) X1+x2= -[a-kamP+l1分 1-k2 X1X2= 1-k2 高三数学试题 第4页（共4页） M、N在y轴的丙制六x飞-[-+0即1-A,0 1-k2 .0≤k2<113分此时△>0恒成立 PMPN=+k2-m+k22-m=(1+k2)kx;-m)(x2-m) =(1+k2)xx2-mx+x,)+m2 代入韦达定理整理得 PMP州--n-司0s<1)1s分 Pwpw-m--发=m-2-2 |PMPW最小时， k2=0 即PM小PW的最小值为m2-n2-1.…17分 19.(1)当a=1时，f(x)=(x-1)e*-bx2+1, 则f'(x)=xe-2bx=x(e-2b),…1分 当b≤时，f(x)>0,所以函数f(x)在(0，+∞)单调递增，此时f(x)>f(0)=0: 所以f(x)在(0，+∞)上无零点；…2分 当b>时，令f()=0,则x=n(2). 当x∈(0，n(2b)时，f'(x)<0,则函数f(x)在(0，n(2b)单调递减， x∈(n(2b),+o)时，f'(x)>0,则函数f(x)在(n(2b),+o)单调递增， 由于f(0)=0,所以f(n2b)<0, 高三数学试题 第5页（共4页） 且当x趋于+o时，f(x)趋于+o0, 所以f(x)在(0，+∞)有一个零点，符合题意， 综所运，6e*小 …4分 (2)因为h(x)=e*(cosx+元sinx),所以f'(x)=e*[(+l)cosx-(1-)sinx] =-eV2(22+1)sin(x-p),…5分 1+元 1-元 1+2 其中sinp ,C0S0= ,tan V2(22+ V2(2+1 1-: 因为0<<1，所以sm0>c0s>0,根据周期性，可取经9<行 4 令(x)=0,即sin(x-p)=0,由x>0得x-p=km(k∈N),解得x=p+kπ(k∈N).… 7分 keN,当2km<x-p<(2k+1)π，即p+2km<x<p+(2k+l)π时，f'(x)<0: 当(2k+1)π<x-p<(2k+2)π，即p+(2k+1)π<x<p+(2k+2)π时，f'(x)>0. 因此，在正数范围内的区间(p+(n-)元，p+m)与(p+nπ，p+(n+1)π)，n∈N上， h(x)的符号总相反，所以x=p+π，neN是f(x)的极值点，…8分 所以tn=p+(n-I)π(n∈N). h(tn)=e{cos[(n-)π+p]+元sin（n-)π+p], 假设)-0，则am[a-+o]-=amp=京 而a0=壮子，-+名无实数解，所以)≠0.9分 1-元’元1-刀 所以 h(t)e[cos(n+)+isin(m+) h(t,)e{cos[(n-)π+p]+元sin(n-l)π+p] 高三数学试题第6页（共4页） e[cos(m+p)+2sin(m+】-e,为非零常数， -e[cos(nr+p)+元sin(n+p)】 所以数列{(t)}是等比数列.…10分 (3)8n(x)=(r+l)e-1-n,(x>0),gn'(x)=(x+2)e>0,所以8n(x)单调递 增，由题意可知n+1=(xn+l)e，(xn>0) 易知e*≥x+1,所以e>x,+l,所以n+1=(x,+1)e>(xn+1) 即n+1>(xn+1),也即Vn+1>xn+1,可得Vn+1>xn>0,…12分 +8-可. 1.12 故 L+1++1>2(5-2+4-5++n+2-n+可)=2(n+2-2) X1 X2 Xn …13分 又易知x-1≥lnx, 根据题意可知n+l=(xn+l)e,即ln(xn+)+xn=ln(n+1), 从而有-龙，=n(3,+1)-ln(m+1)=n名+1s+1-1, n+1n+1 即1-5乏+x,可得x,之八，进一步得≤1+名 2 n+1n+1 n+2’ Xn n X1 X2 3 易知1-1≤nr, 令x=”得1-m-11 n-1 sIn-n nn n-1 ，(n≥2) 高三数学试题 第7页（共4页） m1+分行*t片1+n子+n++h片=1*na,a2) 2 3 1 n- 当n=1时，81 号nc++分时对小a+20a.分 袋上2a-+女2++2h 高三数学试题 第8页（共4页）