专项9 三角形中角度的综合探究（word教师用书）-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷专项精炼（华东师大版·新教材 河南专版）

**基本信息** 以新定义和动态旋转为载体，系统构建"定义理解-定理应用-分类探究"的解题体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |新定义类几何探究|3问（发现/拓展/解决）|定义迁移应用、角平分线性质转化、四边形内角和构建方程|对顶三角形定义→内角和定理→角平分线性质→外角关系| |主题式几何探究（旋转）|3问（操作/探究/延伸）|动态位置分类讨论、角平分线多情境应用、双变量旋转方程建模|静态拼图计算→单变量旋转分类→双变量旋转多情况分析|

专项9　三角形中角度的综合探究 1.新考法　新定义类几何探究题  阅读理解：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那么这两个三角形叫做对顶三角形.如图1，△AOB与△COD互为对顶三角形. （1）问题发现：如图1，试说明：∠A＋∠B＝∠D＋∠C； 图1 解：（1）∵∠A＋∠B＋∠AOB＝∠D＋∠C＋∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A＋∠B＝∠D＋∠C. （2）拓展研究：如图2，若AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线，∠B＝m°，∠C＝n°，求∠M的度数；（用含m、n的代数式表示） 图2 解：（2）如图，设AM与BD相交于点E，AC与DM相交于点F. ∵∠AED＝∠B＋∠BAE＝∠M＋∠EDM， ∴∠M＝∠B＋∠BAE－∠EDM. ∵AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线， ∴∠BAE＝∠BAC，∠EDM＝∠BDC. 由（1）知∠BAC＋∠B＝∠BDC＋∠C， ∴∠BAC－∠BDC＝∠C－∠B.∴∠M＝∠B＋∠BAC－∠BDC＝∠B＋（∠BAC－∠BDC）＝∠B＋（∠C－∠B）＝∠B＋∠C＝m°＋n°. （3）解决问题：在（2）的条件下，如图3，若AN与DN分别平分∠PAC与∠QDB，100°＜∠N＜120°，请直接写出m＋n的取值范围. 图3 120＜m＋n＜160. 解析：∵AN与DN分别平分∠PAC、∠QDB，AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线，∴∠NAC＋∠MAC＝∠PAC＋∠BAC＝∠PAB＝90°，∠NDB＋∠BDM＝∠QDB＋∠BDC＝∠QDC＝90°，即∠MAN＝∠MDN＝90°.∴∠N＝360°－∠MAN－∠MDN－∠M＝360°－90°－90°－（m°＋n°）＝180°－（m°＋n°）.∵100°＜∠N＜120°，∴100°＜180°－（m°＋n°）＜120°.∴120＜m＋n＜160. 2.新考法　主题式几何探究题  【操作拼图】 已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中OC与直线MN重合，∠AOM＝33°，∠COD＝30°，∠AOB＝45°. （1）在上述所拼图形中，∠BOD的度数为　72　°； 【问题探究】 （2）在上述所拼图形的基础上，让三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线MN的上方.设三角板AOB的旋转时间为t秒，在旋转过程中，请求出当∠BOC＝2∠BOD时，旋转时间t的值； 解：（2）分两种情况：①当OB在∠COD外部，且∠BOC＝2∠BOD时.∵∠BOC＝∠BOD＋∠COD，∴2∠BOD＝∠BOD＋∠COD.∴∠BOD＝∠COD＝30°. 由（1），得∠BOD＝72°，∴72－4t＝30.解得t＝10.5； ②当OB在∠COD内部，且∠BOC＝2∠BOD时. ∵2∠BOD＋∠BOD＝30°，∴∠BOD＝10°. ∴4t－72＝10.解得t＝20.5. 综上所述，旋转时间t的值为10.5或20.5. 【拓展延伸】 （3）在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角板AOB绕着点O以每秒4°的速度顺时针方向旋转的同时，三角板COD也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转.在旋转过程中，两块三角板均在直线MN的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板COD也停止旋转.设三角板AOB的旋转时间为t秒.在旋转过程中，是否存在某一时刻，使OB、OD、OC三条边中一边是另外两边所成角的平分线？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由. 解：存在，t的值为7或14.5或22. 解析：由33＋45＋4t＝180，得t＝25.5，∴当t＝25.5时，OB与ON重合，此时三角板AOB停止旋转.分三种情况讨论：①如图1，当OD平分∠BOC时，则∠BOD＝∠COD，∴72－4t－2t＝30.解得t＝7.②如图2，当OB平分∠COD时，则∠BOD＝∠BOC＝15°，∴72－4t＋30－2t＝15.解得t＝14.5.③如图3，当OC平分∠BOD时，则∠BOC＝∠COD＝30°.∴4t－72＋2t－30＝30.解得t＝22.综上所述，t的值为7或14.5或22. 图1　　图2　　图3 学科网（北京）股份有限公司 $