题号猜押08 福建中考数学20-21题（6大考点，解答题）（福建专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押08 福建中考数学20-21题（解答题） 考点1 概率与统计 1．（2025·福建厦门·二模）为增强学生的安全意识，某校开展了安全知识讲座．为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了安全知识测试，根据测试成绩（成绩为整数，满分为10分）绘制统计图如下． (1)求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数． (2)求七年级被抽取的50人的平均成绩． (3)现决定从七年级选一人A，从八年级选两人B，C，去市里参加安全知识演讲比赛，A，B，C三人依次上场，则B和C相邻上场的概率是多少？ 【答案】(1)6人 (2)8分 (3) 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，求加权平均数，树状图法或列表法求解概率，扇形统计图等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用八年级抽取的人数乘以成绩为10分的人数占比即可得到答案； （2）先求出七年级抽取的50人的总得分，再除以50即可得到答案； （3）画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到B和C相邻上场的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：人， ∴抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数为6人； （2）解：分， ∴七年级被抽取的50人的平均成绩为8分； （3）解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中B与C相邻的结果有4种， ∴B和C相邻上场的概率是． 2．（2026·福建漳州·一模）为了解学生的环保意识，某校举办环保知识竞赛．现从中随机抽取20名男生和20名女生的竞赛成绩（ 百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（ 成绩得分用x表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 20名女生的竞赛成绩为：65，66，67，67，72，82，83，85，85，85，85，86，86，88，90，96，97，97，98，100． 20名男生的竞赛成绩在C组的数据是：82，89，86，87，84，88，89． 所抽取的学生竞赛成绩统计表     性别 女生 男生 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 78 所抽取的男生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 (2)根据以上数据分析，你认为该校男生还是女生的环保知识竞赛成绩较好？请说明理由； (3)该校有1000名女生、800名男生参加了此次环保知识竞赛，估计该校参加此次环保知识竞赛成绩优秀（）的学生有多少人？ 【答案】(1)，， (2)女生成绩较好，理由见解析 (3)人 【分析】（1）根据众数，中位数的定义，百分比计算方法计算解答． （2）比较中位数，众数，平均数的大小作出决策． （3）利用样本估计总体思想解答即可． 【详解】（1）解：出现次数最多的数据是85， 故a为85； 根据题意，C组的百分比为， ， 故， A组的人数为（人），B组的人数为（人）， 根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即（分）； （2）解：女生掌握情况较好，理由如下： 由样本数据可知：女生成绩的中位数85大于男生的中位数83，女生成绩的众数85大于男生的众数78， 故女生成绩更好； （3）解：根据题意，有1000名女生、800名男生参加了此次环保知识竞赛， 成绩为优秀的总人数为：（人）， 答：成绩为优秀的总人数为460人． 3．（2026·福建南平·二模）某超市在“五一劳动节”期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸球抽奖机会，摸球规则：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，顾客不放回地随机进行两次摸球，且每次只摸出1个球，摸球抽奖活动分别设置一、二、三等奖． (1)某购物满300元的顾客参与抽奖，求第一次摸到黑球的概率； (2)请你设置摸球获奖（一、二、三等奖）的规则，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率． 【答案】(1) (2)示例规则：若两次摸出1个红球和1个黑球则获一等奖，若两次摸出1个红球和1个白球则获二等奖，其余情况获三等奖，规则不唯一，满足概率要求即可。 【分析】（1）根据概率公式计算即可 （2）先计算不同结果的概率，再按照题目要求的概率大小关系设计兑奖方案 【详解】（1）解：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，共4个球， 第一次摸到黑球的概率是； （2）解：列表： 红 黑 白1 白2 红 红，黑 红，白1 红，白2 黑 黑，红 黑，白1 黑，白2 白1 白1，红 白1，黑 白1，白2 白2 白2，红 白2，黑 白2，白1 共有12种等可能的情况，其中两次摸出1个红球和1个黑球的有2种，两次摸出1个红球和1个白球的有4种，两次摸出1个黑球和1个白球的有4种，两次都摸出白球的有2种， ∴两次摸出1个红球和1个黑球的概率是， 两次摸出1个红球和1个白球的概率是， 其余情况的概率是， 设计方案：若两次摸出1个红球和1个黑球则获一等奖，若两次摸出1个红球和1个白球则获二等奖，其余情况获三等奖， 4．（2025·福建厦门·二模）近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得调查的人数，用乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中A的百分比，即可得出答案； （2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可； （3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，调查的人数为（人）， 扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是． 估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有（人）． 故答案为：；． （2）组的人数为（人）， 组的人数为（人）， 补全条形统计图如图所示． （3）列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：甲，乙，乙，甲，共2种， 甲和乙两名学生同时被选中的概率为． 考点2 较复杂几何题 1．（2026·福建南平·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点C是对应点，且点D恰好落在的延长线上，点E恰好落在的延长线上． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）由旋转性质得：，，对应角相等；由等腰三角形性质推出：；结合外角性质、，推出；由等角对等边得，证明是等腰三角形． （2）由旋转性质和三角形内角和，证得，结合公共角，推出；由相似三角形周长比等于相似比，得；设，则，；利用列方程，解得，得；由旋转性质，得． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，得，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：由旋转的性质，得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 2．（2025·福建南平·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明，则可得到AE＝CF； （2）连接BF，DE，由，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形． 【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形 ∴OA＝OC，BE∥DF ∴∠E＝∠F 在△AOE和△COF中 ∴ ∴AE＝CF （2）当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下： 如图：连结BF，DE ∵四边形是平行四边形 ∴OB＝OD ∵ ∴                           ∴四边形是平行四边形 ∵EF⊥BD， ∴四边形是菱形 3．（2025·福建南平·二模）如图①，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，（如图②）． （1）在图②中，　 　；（用含的式子表示） （2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）．理由见解析. 【分析】（1）如图②，利用旋转得，再利用四边形为正方形，求出∠AOD，从而求出∠AOF; （2）如图②，利用四边形为正方形，得到，，又因为为等腰三角形，所以OF=OE,再证明即可. 【详解】解：（1）如图②， 绕点逆时针旋转角， ， 四边形为正方形， ， ； 故答案为； （2）． 理由如下： 如图②，四边形为正方形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中 ， ， ． 4．（2025·福建三明·三模）如图，在矩形中，，对角线，，相交于点，是上一点，，垂足为，点在延长线上，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，正切函数等； （1）与交于，由矩形的性质得，由等腰三角形的性质得，由余角的性质得，即可求解； （2）过作交于，由正切函数得，结合等腰三角形的性质可求 ，，设，，可得，由三角形的面积即可求解； 掌握矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，能熟练利用正切函数进行求解是解题的关键． 【详解】（1）证明：与交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过作交于， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，， ， ， ， 解得：， ， ， ． 考点3 方程与函数应用题 1．（2025·福建三明·三模）某批发市场出售甲、乙两种货物，已知甲种货物比乙种货物每件贵元，1件甲种货物和2件乙种货物的售价共元． (1)分别求出甲、乙两种货物每件的售价； (2)某商家计划从该批发市场购进这两种货物共200件，且甲种货物的数量不多于乙种货物数量的，求该商家购买这两种货物所需资金的最大值． 【答案】(1)甲种货物每件的售价为元，乙种货物每件的售价为元 (2)商家购买这两种货物所需资金的最大值为元 【分析】本题主要考查一元一次方程，一元一次不等式，一次函数求最值的计算，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设甲种货物每件的售价为元，则乙种货物每件的售价为元，由此列方程求解即可； （2）设甲种货物的数量为件，则乙种货物的数量为件，根据不等式得到，设商家购买这两种货物所需资金为元，可得一次函数，结合一次函数的最值计算即可求解． 【详解】（1）解：甲种货物比乙种货物每件贵元， ∴设甲种货物每件的售价为元，则乙种货物每件的售价为元， ∵1件甲种货物和2件乙种货物的售价共元， ∴， 解得，， 则元， ∴甲种货物每件的售价为元，乙种货物每件的售价为元； （2）解：设甲种货物的数量为件，则乙种货物的数量为件， ∵甲种货物的数量不多于乙种货物数量的， ∴， 解得，， 设商家购买这两种货物所需资金为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，是最大值， ∴商家购买这两种货物所需资金的最大值为元． 2．（2025·福建福州·三模）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法，将点代入反比例函数表达式求出参数； （2）通过将给定的照度值代入已求出的函数表达式，求出对应的透明度，从而确定透明度的范围． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 把代入得，． 与之间的函数表达式为； （2）解：智能玻璃的透明度应控制在范围内， 理由如下： 把和别代入得， 且在第一象限随的增大而减小， 智能玻璃的透明度应控制在范围内． 3．（2025·福建南平·三模）阅读下列材料，解答问题． 【背景】为建设宜居宜业和美乡村，某乡镇筹集资金2000万元，准备购买污水处理设备，分别安装在10个村专门设置的场地，用于处理排放的污水，经办人员了解到如下信息． 【信息】①市场上有甲、乙两种污水处理设备，每套乙种设备价格比甲种高； ②用360万元恰好可以购买3套甲种设备和1套乙种设备； ③安装1套甲种设备需占地，1套乙种设备需占地； ④安装污水处理设备前期准备工程的费用不少于总资金的． 【解答问题】 (1)甲、乙两种污水处理设备每套的价格分别是多少万元？ (2)若每个村需要2套污水处理设备，求该乡镇安装污水处理设备总占地面积的最小值． 【答案】(1)甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元； (2)． 【分析】此题考查了一元一次方程、一次函数、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程、函数、不等式是关键． （1）设甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元，用360万元恰好可以购买3套甲种设备和1套乙种设备，据此列出方程并解方程即可； （2）设购买套甲种污水处理设备，则购买乙种污水处理设备，安装污水处理设备前期准备工程的费用不少于总资金的．据此列出不等式求出的取值范围，再设该乡镇安装污水处理设备总占地面积为，安装1套甲种设备需占地，1套乙种设备需占地，据此列出一次函数，根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元， 则， 解得， ∴， 答：甲种污水处理设备每套的价格为万元，则乙种污水处理设备每套的价格为万元； （2）设购买套甲种污水处理设备，则购买乙种污水处理设备， 则， 解得， 设该乡镇安装污水处理设备总占地面积为，则 ， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵且为正整数， ∴当时，取得最小值，最小值为， 答：该乡镇安装污水处理设备总占地面积的最小值为． 4．（2025·福建福州·三模）【问题背景】某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下： 单位面积产量（单位：亩）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 种植成本（单位：万元）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 销售价格：万元． 【问题解决】 (1)求总产量为时的种植面积（总产量单位面积产量×种植面积）； (2)求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）； (3)该科研机构计划种植这种药材的成本不超过180万元，所获利润不低于300万元，直接写出种植面积的范围． 【答案】(1)12亩 (2)时（万元） (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意列方程求解即可； （2）设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为万元，得到，得出则时（万元） （3）根据题意得到，解不等式组即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ∴， 解得：， ∴种植面积为12亩； （2）解：设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为万元， ， ∴， 则时（万元）． （3）解：根据题意得：， 解得：． 考点4 三角函数应用题 1．（2025·福建宁德·二模）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东方向的B处． (1)求渔船从A处到B处的航行过程中，与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）； (2)求的长（结果精确到1海里，参考数据：，，）． 【答案】(1)海里 (2)200海里 【分析】本题主要考查解直角三角形和方位角的应用， 过点M作于点D，根据题意可知，结合余弦定义可求得即为所求； 分别在直角三角形中求得和，利用即可求得答案． 【详解】（1）解：过点M作于点D，如图， 根据题意可知， ∵海里， ∴海里． 故小岛M之间的最小距离为海里． （2）在中，海里． 在中， ∴， ∴(海里)， 则 (海里)， 故AB的长为200海里． 2．（2025·福建福州·三模）如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离． 数据应用：已知图中点均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】该风力发电机塔杆的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点作于点，作于点，由题意得：，，根据三角函数的定义得到，，根据矩形的性质得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，作于点， 由题意得：，， 在中，∵，， ∴，． ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ， ∴． 在中，， ∴， ∴． 答：该风力发电机塔杆的高度为． 3．（2025·福建泉州·二模）2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 【答案】任务一：，作图见解析,任务二：当时，通信线路取得最小值 【分析】（1）根据题意，作出线段的垂直平分线，再根据外角性质得出，结合勾股定理算出，，则，即可作答． （2）在等腰直角三角形中，，过点B作，使得，先证明，得出，即，则当A、N、D三点共线时， 有最小值，，得出米，即可作答． 【详解】解：任务一：如图所示， 作的垂直平分线交于点D， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 设，则， ∴， ∴ ． 任务二： 在等腰直角三角形中，， 过点B作，使得，如图， ∴， ∵，又， ∴， ∴， ∴， 则当A、N、D三点共线时，如图所示： 当时，有最小值， 过点A作交的延长线于点E， ∴为等腰直角三角形， ∵，， ∴米，， ∴米， 即当时，通信线路取得最小值． 4．（2025·福建厦门·二模）学校为丰富学生校园生活，准备修建校园主题文化长廊，并面向全校师生征集设计方案．以下是数学兴趣小组提供的设计表． 校园主题文化长廊设计表 设计图 相关数据 点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．其中，，， 请根据设计表提供的信息完成下列问题： (1)求文化长廊的最大宽度的长； (2)求文化长廊的最高点E到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 【答案】(1)文化长廊的最大宽度的长为； (2)文化长廊的最高点E到地面的距离为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作延长线于H，证明四边形为矩形，得到，，即可求解 根据解直角三角形得到，再根据矩形的性质得到，得到，再根据解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：过点作延长线于H，如图： ∵， ∴， 在中，， ， ∵垂直平分垂直平分，， ∴四边形为矩形， ，， ∴， ∴， 答：文化长廊的最大宽度的长为； （2）解：在中，， ， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ∴， 答：文化长廊的最高点E到地面的距离EF为． 考点5 一元二次方程根与系数的关系 1．（2025·福建福州·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方根根与系数的关系． （1）利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）设方程的一个根为，则另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得，求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 故方程总有两个实数根； （2）解：∵方程的一个根为另一个根的3倍， ∴设方程的一个根为，则另一个根为， 由题意可得：， 解得：，或， ∴m的值为或． 2．（2025·福建泉州·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求k的整数值． 【答案】(1) (2)整数k的值为或0 【分析】此题考查了一元二次方程根的求出求参数，根与系数的关系， （1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入得到不等式，求解即可． 【详解】（1）解：，， 由已知得， 所以； （2）由根与系数得关系可知，， 因为， 所以， 解得， 由（1）知， 所以，， 所以，整数k的值为或0． 3．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 4．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查含参方程的根的个数以及一元二次方程根与系数的关系，注意判别方程的形式是解题的关键． （1）由于题干未明确方程形式，故对与进行分类讨论，要使方程有根，一次方程满足题意要求，二次方程需满足，计算得出的取值范围即可； （2）既然方程有两个根，即为二次方程，故根据二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 解得：， ∴符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴，解得， 综上所述，的取值范围为； （2）解：∵和是方程的有两个根， ∴，， ∵，即， ∴， 解得，满足， 经检验，是分式方程的解，且符合题意． ∴的值为． 考点6 圆的切线证明以及结合三角函数的计算 1．（2025·福建厦门·二模）如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的性质、等腰三角形性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．掌握圆中直径所对圆周角为直角、等腰三角形等边对等角，以及利用勾股定理和相似三角形求线段长度等知识点是解题的关键． （1）利用圆中边与角的等量关系，逐步进行角的等量代换，最终证明，证明是圆的切线． （2）先利用勾股定理求出，再通过作辅助线，根据角的关系证明三角形相似，利用相似三角形性质求出，进而求出的长度． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ，所对的弧是同弧， ． 是 的直径， ， ， ， 即， 是 的切线； （2）解：在中，， ，， ， 作， ， ， ， ， ， ∴， ， ，， . 2．（2025·福建福州·三模）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据已知条件可证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，等量代换可得，即可得出答案； （2）连接，由（1）中结论可计算出的度数，根据圆周角定理可计算出的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接，如图， 由（1）得， ∵， ∴， ∴的长． 3．（2025·福建福州·三模）如图，在△ABC中，，O为边上的一点，以O为圆心，为半径的圆与切于点E，与交于另一点D． (1)求证：平分； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，切线的性质推出，得到，等边对等角得到，进而得到，即可； （2）连接，过点作，勾股定理求出的长，等积法求出的长，角平分线的性质，得到，，推出，根据余弦的定义即可得解． 【详解】（1）证明：连接，则：， ∴， ∵以为圆心，为半径的圆与切于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接，过点作， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵平分，，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·福建三明·一模）如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）连接，先由圆周角定理求解，即可求解，再由四边形内角和等于求解即可； （2）过点O作，垂足为D，先由等腰三角形得到，再解即可求解半径． 【详解】（1）解：证明：连接 ∵，， ∴ ∵， ∴ ∵与相切于点A ∴ 又∵，， ∴ 又∵点B是上的一点 ∴是的切线； （2）解：过点O作，垂足为D ∵，， ∴ 在中，， ∵，， ∴ ∴的半径为2． 1．（2025·福建宁德·二模）某县为了调研该县初中学校落实国家“双减”政策情况，随机调查了部分初中学生课后完成作业的时间t，按完成时间长短划分为A、B、C、D（A：小时，B：1小时小时，C：小时小时，D：小时）四个层次进行统计，并绘制了下面不完整的两幅统计图，请根据有关信息解答问题． (1)本次共调查了_________名学生，并补全条形统计图； (2)若该县有20000名初中生，请估计全县完成作业小于1.5小时的学生约有多少人？ (3)完成作业时间最短的前四各学生中恰好为2名男生和2名女生．现从中随机抽取两名学生进行“你是怎样能尽快完成作业的？”经验分享，试用列表法或树状图求出刚好选中1名男生与1名女生的概率． 【答案】(1)200，条形统计图见解析 (2)人 (3) 【分析】（1）根据时段B的人数以及百分比，即可求得调查的学生人数，求得时段C的人数，补全统计图即可； （2）根据样本中“完成作业不超过1.5小时的学生”所占百分比以及全县初中学生人数求解即可； （3）利用树状图求解概率即可． 【详解】（1）解：由题意可得，时段B的人数为72，所占百分比为36%， ∴总人数为：（人）， 时段C的人数为（人）， 则条形统计图如图所示： （2）解：“完成作业不超过1.5小时的学生”所占百分比为， 全县初中学生完成作业不超过1.5小时的人数约为（人）， 答：全县完成作业不超过1.5小时的学生约有人； （3）解：用树状图表示选取的情况，如图： 选取的总可能数为12，一男一女的可能数为8， 则刚好选到1名男生与1名女生的概率为． 2．（2025·福建厦门·二模）2025年春晚节目《秧》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后，节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分）．并根据得分绘制了以下不完整的统计图： 两个观众群体对《秧》打分样本数据的平均数、中位数、众数如表二： 表二 平均数 中位数 众数 现场 7.6 8 c 线上 a b 7 (1)直接写出结果：______，_____； (2)求a的值； (3)小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】(1)7，8 (2) (3)同意他的说法，理由：线上调查的样本容量大，更准确 【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据加权平均数即可得出答案； （3）根据样本估计总体思想求解即可． 本题考查了中位数、众数以及加权平均数，掌握题意读懂统计图是解题的关键． 【详解】（1）解：∵线上观众打分为6分的占，7分的占， ∴线上打分的中位数分； 现场评分的众数为8分，故， 故答案为：7，8； （2）解：， 线上打分的平均数（分）； （3）解：同意，因为线上观众群体对《秧》打分样本数据样本容量大，更能体现实际情况． 3．（2025·福建厦门·二模）智慧食堂是一种结合了计算机、大数据、物联网和人工智能等先进技术的新型餐饮管理模式．智慧食堂的核心理念是以用户为中心，提供个性化的就餐体验，并通过优化食堂全流程的ERP 系统来提升管理效率．某学校食堂管理员通过智慧食堂软件系统，随机抽取中午在学校食堂用餐的20名学生，收集到他们午餐消费金额x（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a． 20名学生午餐消费金额数据：14， 14， 15， 15， 17， 17， 18， 18， 18， 18， 19， 19， 19， 19， 19，19， 20， 20， 20， 20． b．20名学生午餐消费金额数据的频数分布表： 消费金额 频数 4 2 a 4 根据以上信息，回答下列问题： (1)该调查属于 调查，表格中a的值为 ． (2)该组数据的众数为 ，中位数为 ． (3)为了合理膳食结构，学校食堂推出，，三种价格不同的营养汤．据调查，午餐消费金额在的学生中有选择营养汤，消费金额在≥的学生中有选择营养汤，其余参与调查的学生选择营养汤或营养汤或不选营养汤．若每天中午约有名学生在食堂用餐，则估计食堂每天中午需准备营养汤的份数． 【答案】(1)抽样，10； (2)，； (3)准备B营养汤的份数为份． 【分析】本题考查了频数分布表、众数和中位数，以及用样本估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）根据抽样调查和全面调查的定义可知，该调查属于抽样调查；用样本人数减去其余三组的人数，即可求出a的值； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）用总人数乘以样本中选择B营养汤的人数作战的比例求解即可． 【详解】（1）解：该调查属于抽样调查， 表格中a的值为， 故答案为：抽样，10； （2）解：该组数据中，出现了次，次数最多， 该组的众数为； 把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数分别为18，19， 中位数为， 故答案为：，； （3）解：（份）， 即估计食堂每天中午需准备B营养汤的份数为份． 4．（2025·福建泉州·二模）如图，在一个的棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一枚棋子），如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠” (1)如果随机放入枚棋子，出现“三连珠”的概率是______． (2)如果随机放入枚棋子，求棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的结果有个，再由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：棋盘内已有四枚棋子，在剩余的个方格内随机放入一枚棋子，能出现“三连珠”的位置是1、2、3、5四个位置， ∴出现“三连珠”的概率是． 故答案为：． （2） 画树状图如图： 共有个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的有、、、，共个结果， ∴棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为． ∴棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为． 5．（2026·福建漳州·一模）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）先证四边形是平行四边形．再证平行四边形是矩形，则，得，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证明是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ， ， 即的长为． 6．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，．将绕点C顺时针旋转得到，点D在上．求的度数． 【答案】 【分析】由直角三角形两锐角互余可得，由旋转的性质可得，，利用等边对等角可得，最后利用平角列式计算即可． 【详解】解：∵在中，，． ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到，点D在上， ∴， ∴， ∴． 7．（2026·福建泉州·一模）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质、三角形中线的定义得到，根据平行四边形的判定即可得到结论； （2）证明是直角三角形，且， 根据直角三角形的性质和勾股定理求出相应的边长，即可求出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵是中边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵，， ∴，， ∴点A，B，C都在以为直径的圆上， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴． 8．（2025·福建厦门·二模）如图，某品牌的电水壶启动后需要6分钟将 的水加热到 ，然后水温逐渐降回，降温过程中的水温 y（）与水壶启动后用时x（分）成反比例关系、据研究，当水温降至 时，比较适宜饮用． (1)求降温过程中的水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式．并写出自变量的取值范围． (2)直接回答：一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？ 【答案】(1)（） (2)分钟 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法； （1）由题意可得当时，，由待定系数法求出解析式，当时， 求出，即可求解； （2）当时，求出，即可求解； 理解、的实际意义，能熟练利用待定系数法进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：设， 当时，， ， 解得：， ， 当时， ， 解得：， ， 故水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式：（）； （2）解：当时， ， 解得：， （分钟）， 故一壶水烧开后，经过分钟时间适宜饮用． 9．（2025·福建厦门·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】(1)小时，小时 (2)小时 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确找出等量关系或不等关系是解题的关键． （1）设乙数据中心的数据迁移速度为小时，则甲数据中心的数据迁移速度为小时，根据“甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时”列式求解即可； （2）设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时，根据“共用小时至少完成的数据迁移” 列式求解即可． 【详解】（1）解：设乙数据中心的数据迁移速度为小时， 则甲数据中心的数据迁移速度为小时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为小时，小时； （2）解：设甲数据中心工作小时，则乙数据中心工作小时， 根据题意，得， 解得：， 即甲数据中心至少需要工作小时． 10．（2025·福建厦门·二模）在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元 (2)购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元 【分析】本题考查的是分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，理解题意是关键． （1）设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是．根据用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同．再建立方程求解即可； （2）设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元，再列不等式求解m的范围，再根据建立的函数关系及其性质可得答案． 【详解】（1）解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是元． 根据题意，得， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的根，且符合题意．． 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元． （2）解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型台，购买A型和B型机器人模型共花费W元， 由题意得：，解得． ，即， ， 随m的增大而增大． 当时，，此时． 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元． 11．（2025·福建厦门·二模）某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如表：    已知该运动服的进价为每件150元． （1）售价为x元，月销量为y件． ①求y关于x的函数关系式： ②若销售该运动服的月利润为w元，求w关于x的函数关系式，并求月利润最大时的售价； （2）由于运动服进价降低了a元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足（1）中函数关系式．结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低15元，则a的值是多少？ 【答案】（1）①；②元；（2）30元 【分析】（1）①设y关于x的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求解即可； ②月利润w=（x-150）（-2x+600），整理并配方，然后根据二次函数的性质可得答案； （2）设调整后的售价为t元，则调整后的单件利润为（t-150+a）元，销量为（-2t+600）件，写出月利润关于x的函数，并根据二次函数的性质得出月利润最大时的t值，从而得出关于a的方程，解出a即可． 【详解】解：（1）①设y关于x的函数关系式为y=kx+b，把（200，200），（210，180） 代入得： 解得：， ∴y关于x的函数关系式为y=-2x+600； ②月利润w＝（x﹣150）（﹣2x+600）＝﹣2x2+900x﹣90000 ＝﹣2（x﹣225）2+11250． ∵﹣2＜0， ∴w为开口向下的抛物线， ∴当x＝225时，月最大利润为11250元； ∴w关于x的函数关系式为w＝﹣2x2+900x﹣90000，月利润最大时的售价为225元； （2）设调整后的售价为t元，则调整后的单件利润为（t﹣150+a）元，销量为（﹣2t+600）件． 月利润w＝（t﹣150+a）（﹣2t+600） ＝﹣2t2+（900﹣2a）t+600a﹣90000， ∴当时，月利润最大，则＝210， 解得a＝30． ∴a的值是30元． 12．（2020·福建福州·二模）如图，在足够大的空地上，某人利用直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个中间隔开的矩形花园（图中虚线为篱笆），设． （1）若花园的面积为，求的值； （2）求矩形花园面积的最大值． 【答案】（1）5或10；（2） 【分析】（1）根据题意得出长×宽=100，进而得出答案； （2）由题意可得出：，再利用二次函数性质求得最值； 【详解】解：（1）由题意，得 解得， ∴的值为5或10； （2）花园面积 ∴当时，， ∴花园面积的最大值为． 13．（24-25九年级下·陕西汉中·阶段检测）图1是一张电子琴照片，图2是其侧面示意图，其中支撑杆的长度可调节，琴架底座长为，电子琴底部长为长为，已知，，当点调至同一直线上时，求此时点到直线的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，连接，过点G作于点H，则四边形AHGF为矩形，据此可得，解得到，解，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图解，连接，过点G作于点H， ∵点E、F、A在同一直线上，， ， ∴四边形AHGF为矩形， ∴， ， ∵在中，， ， ， ∵在中，， ， ， ∴此时点E到直线的距离约为． 14．（2025·江西九江·一模）图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯的顶部到地面的距离．已知该小组测得，，．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，过点作于点，则，．先求出，再根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， ∴，． 在中，， ， ． 答：路灯顶部到地面的距离约为． 15．（2025·江西新余·一模）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，（结果都保留小数点后一位）． (1)连接，交于点，若，求的长（即雕塑的高度）； (2)求点到的距离（参考数据：，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意可得，，在中，解直角三角形，分别求出，即可得出结果． （2）先证明四边形是矩形，得，把数值代入以及进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ， ， ，， ， ， 在中，， ； ， ， 在中，， ， ， 答：（即雕塑的高度）的长为． （2）解：如图，过点分别作，， ∴， 则四边形是矩形， ． ，且由（1）得 则在中， 由（1）得 ． 16．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 17．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为， 且求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的根与系数的关系等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）结合该一元二次方程有两个实数根，由一元二次方程的根的判别式列出不等式并求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，结合，求出m的值即可获得答案． 【详解】（1）解：在方程中，， 当方程有两个实数根时，， ∴ 解得：； （2）解：由根与系数的关系得：，   ∵ ，   ∴，   解得：， 由（1）可知 ， ∴． 18．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式． （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）时，方程变为，利用根与系数的关系得到，，再将变形代入求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 解得； （2）解：时，方程变为， 设方程的两个实数根分别为，， ，， ． 19．（2025·福建泉州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）根据根的判别式解答即可；． （2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可． 【详解】（1）证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． （2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 20．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据圆的切线的性质推出，利用平行线的性质和等边对等角的性质，得出，即可得证； （2）连接、，由直径可得，由同角的余角相等以及等边对等角，得出，从而证明，得到，再根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：如图，连接、， 是直径， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ． 21．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，过点A作交于点F，D为边上一点，使得，以为直径作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由等边对等角，得到，由圆周角定理得到，进而得到，推出，进而得到，即可得证； （2）作，交的延长线于点，作，连接，根据，设，，由勾股定理求出，证明，得到，证明，进而求出的长，由勾股定理求出的长，根据，，求出的长，证明，求出，三线合一求出的长，进而求出比值即可． 【详解】（1）证明：连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：作，交的延长线于点，作于H，连接， ∵为直径， ∴，， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，点在的边上，以为直径的经过点，连接，且，交于点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，同弧所对的圆周角相等等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据已知条件结合三角形外角的性质和三角形内角和定理可证明，再由平行线的性质和同弧所对的圆周角相等可证明，则可证明，据此可证明结论； （2）可证明，再证明，得到，则，，即可得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明： ，， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的直径为6， ∴的半径为3． 23．（2025·山东临沂·二模）如图，在中，点O在上，以O为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了切线的性质和判定定理、解直角三角形、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质定理得到，，由推出，进而得出，，再利用切线的判定定理即可证明； （2）在中利用余弦的定义求出的长，利用勾股定理求出的长，通过证明得到，设的半径为r，代入数据解出r的值即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切， ，， ， ， ， ， ， ， ， 半径于点C， 为的切线． （2）解：由（1）知， 在中，， ， ， ，， ， ， 设的半径为r，则有， 解得：， 的半径为3． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押08 福建中考数学20-21题（解答题） 考点1 概率与统计 1．（2025·福建厦门·二模）为增强学生的安全意识，某校开展了安全知识讲座．为了解学生的学习情况，在七、八年级各抽取了50名学生进行了安全知识测试，根据测试成绩（成绩为整数，满分为10分）绘制统计图如下． (1)求抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数． (2)求七年级被抽取的50人的平均成绩． (3)现决定从七年级选一人A，从八年级选两人B，C，去市里参加安全知识演讲比赛，A，B，C三人依次上场，则B和C相邻上场的概率是多少？ 2．（2026·福建漳州·一模）为了解学生的环保意识，某校举办环保知识竞赛．现从中随机抽取20名男生和20名女生的竞赛成绩（ 百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（ 成绩得分用x表示，共分成四组：；；；），下面给出了部分信息： 20名女生的竞赛成绩为：65，66，67，67，72，82，83，85，85，85，85，86，86，88，90，96，97，97，98，100． 20名男生的竞赛成绩在C组的数据是：82，89，86，87，84，88，89． 所抽取的学生竞赛成绩统计表     性别 女生 男生 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 78 所抽取的男生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 (2)根据以上数据分析，你认为该校男生还是女生的环保知识竞赛成绩较好？请说明理由； (3)该校有1000名女生、800名男生参加了此次环保知识竞赛，估计该校参加此次环保知识竞赛成绩优秀（）的学生有多少人？ 3．（2026·福建南平·二模）某超市在“五一劳动节”期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸球抽奖机会，摸球规则：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，顾客不放回地随机进行两次摸球，且每次只摸出1个球，摸球抽奖活动分别设置一、二、三等奖． (1)某购物满300元的顾客参与抽奖，求第一次摸到黑球的概率； (2)请你设置摸球获奖（一、二、三等奖）的规则，使得获一等奖的概率小于获二等奖的概率，获二等奖的概率小于获三等奖的概率． 4．（2025·福建厦门·二模）近期，国产大模型的强势崛起，在全球科技领域掀起热潮，随着等中国大模型的持续发展和广泛应用，未来中国将在全球领域扮演更加重要的角色．市区某校信息科技课外实践小组为了调研该校学生对国产大模型应用场景的了解情况，从全校3000人中抽取了部分学生展开随机调查，调查结果分为四种：非常了解，比较了解，基本了解，不太了解．实践小组把这次调查结果整理并绘制成下面不完整的条形统计图和扇形统计图． 请结合图中所给的信息解答下列问题： (1)扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是______；估计全校非常了解国产大模型的应用场景的有______人； (2)补全条形统计图； (3)学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产大模型的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学生同时被选中的概率． 考点2 较复杂几何题 1．（2026·福建南平·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点C是对应点，且点D恰好落在的延长线上，点E恰好落在的延长线上． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 2．（2025·福建南平·二模）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F． （1）求证：AE＝CF； （2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由． 3．（2025·福建南平·二模）如图①，等腰直角三角形的直角顶点为正方形的中心，点，分别在和上，现将绕点逆时针旋转角，连接，（如图②）． （1）在图②中，　 　；（用含的式子表示） （2）在图②中猜想与的数量关系，并证明你的结论． 4．（2025·福建三明·三模）如图，在矩形中，，对角线，，相交于点，是上一点，，垂足为，点在延长线上，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 考点3 方程与函数应用题 1．（2025·福建三明·三模）某批发市场出售甲、乙两种货物，已知甲种货物比乙种货物每件贵元，1件甲种货物和2件乙种货物的售价共元． (1)分别求出甲、乙两种货物每件的售价； (2)某商家计划从该批发市场购进这两种货物共200件，且甲种货物的数量不多于乙种货物数量的，求该商家购买这两种货物所需资金的最大值． 2．（2025·福建福州·三模）光照强度是指单位面积上所接受可见光的光通量，简称照度，智能玻璃可以通过自动调节其透明度而使室内达到合适的照度．学习小组通过查阅资料，发现照度是透明度的反比例函数，其图象如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)福州市花茉莉花承载着幸福吉祥的寓意．它适宜在照度为的室内生长，那么智能玻璃的透明度应控制在什么范围内？请说明理由． 3．（2025·福建南平·三模）阅读下列材料，解答问题． 【背景】为建设宜居宜业和美乡村，某乡镇筹集资金2000万元，准备购买污水处理设备，分别安装在10个村专门设置的场地，用于处理排放的污水，经办人员了解到如下信息． 【信息】①市场上有甲、乙两种污水处理设备，每套乙种设备价格比甲种高； ②用360万元恰好可以购买3套甲种设备和1套乙种设备； ③安装1套甲种设备需占地，1套乙种设备需占地； ④安装污水处理设备前期准备工程的费用不少于总资金的． 【解答问题】 (1)甲、乙两种污水处理设备每套的价格分别是多少万元？ (2)若每个村需要2套污水处理设备，求该乡镇安装污水处理设备总占地面积的最小值． 4．（2025·福建福州·三模）【问题背景】某科研机构计划种植一种药材，收集信息如下： 单位面积产量（单位：亩）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 种植成本（单位：万元）与种植面积（单位：亩）的关系为：； 销售价格：万元． 【问题解决】 (1)求总产量为时的种植面积（总产量单位面积产量×种植面积）； (2)求该科研机构种植这种药材能获的最大利润（利润销售额种植成本）； (3)该科研机构计划种植这种药材的成本不超过180万元，所获利润不低于300万元，直接写出种植面积的范围． 考点4 三角函数应用题 1．（2025·福建宁德·二模）如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东方向的B处． (1)求渔船从A处到B处的航行过程中，与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）； (2)求的长（结果精确到1海里，参考数据：，，）． 2．（2025·福建福州·三模）如图1是要测量的风力发电机，图2为测量示意图，已知斜坡长为，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离． 数据应用：已知图中点均在同一平面内，．请根据上述数据，求该风力发电机塔杆的高度．（结果精确到；参考数据：，，） 3．（2025·福建泉州·二模）2025年，泉州市紧跟“数字中国”战略步伐，全面推进“数字泉州”建设工程，重点扶持科技园区的通信基础设施升级与优化，旨在打造东南沿海数字经济新高地．在“信号升格”专项行动中，某校数学社团受邀参与该项目，通过数学建模与工程实践结合的方式，探索数学在新型基建中的实际应用价值． 任务一：信号塔支架的角度设计是确保信号稳定传输的关键环节，为了提供精确数据支撑，助力信号塔高效运作，同学们仿照学习特殊角三角函数值时求的方法，构造含有角的直角三角形，如图1．请结合尺规作图，求的值．（作图保留作图痕迹，不要求写作法） 任务二：依据泉州市2025年通信建设“降本增效、绿色集约”的政策要求，需对园区线路布局进行优化以实现资源最大化利用．如图2，在等腰直角三角形区域中，米，、为通信线路．为减少材料损耗、降低施工成本，若米，求当a取何值时，通信线路的长度有最小值． 4．（2025·福建厦门·二模）学校为丰富学生校园生活，准备修建校园主题文化长廊，并面向全校师生征集设计方案．以下是数学兴趣小组提供的设计表． 校园主题文化长廊设计表 设计图 相关数据 点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，垂直平分，垂足为F，垂直平分，与交于点G．其中，，， 请根据设计表提供的信息完成下列问题： (1)求文化长廊的最大宽度的长； (2)求文化长廊的最高点E到地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，，，） 考点5 一元二次方程根与系数的关系 1．（2025·福建福州·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的一个根为另一个根的3倍，求m的值． 2．（2025·福建泉州·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)若两个实数根和满足，求k的整数值． 3．（2026·江西九江·一模）若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 4．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于的方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，分别为和，当时，求的值． 考点6 圆的切线证明以及结合三角函数的计算 1．（2025·福建厦门·二模）如图，已知是的直径，是的弦，，连接交于点E，连接，，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 2．（2025·福建福州·三模）如图，内接于⊙O，交⊙O于点D，交于点E，交⊙O于点F，连接． (1)求证：； (2)若⊙O的半径为3，，求的长（结果保留π）． 3．（2025·福建福州·三模）如图，在△ABC中，，O为边上的一点，以O为圆心，为半径的圆与切于点E，与交于另一点D． (1)求证：平分； (2)若，，求的值． 4．（2026·福建三明·一模）如图，是的直径，与相切于点A，点B是上的一点，且，． (1)求证：是的切线； (2)若弦，求的半径． 1．（2025·福建宁德·二模）某县为了调研该县初中学校落实国家“双减”政策情况，随机调查了部分初中学生课后完成作业的时间t，按完成时间长短划分为A、B、C、D（A：小时，B：1小时小时，C：小时小时，D：小时）四个层次进行统计，并绘制了下面不完整的两幅统计图，请根据有关信息解答问题． (1)本次共调查了_________名学生，并补全条形统计图； (2)若该县有20000名初中生，请估计全县完成作业小于1.5小时的学生约有多少人？ (3)完成作业时间最短的前四各学生中恰好为2名男生和2名女生．现从中随机抽取两名学生进行“你是怎样能尽快完成作业的？”经验分享，试用列表法或树状图求出刚好选中1名男生与1名女生的概率． 2．（2025·福建厦门·二模）2025年春晚节目《秧》以机器人表演传统秧歌为主题，广受好评．演出结束后，节目组随机抽取了50名现场观众进行评分，同时统计出5000名线上观众评分（满分10分）．并根据得分绘制了以下不完整的统计图： 两个观众群体对《秧》打分样本数据的平均数、中位数、众数如表二： 表二 平均数 中位数 众数 现场 7.6 8 c 线上 a b 7 (1)直接写出结果：______，_____； (2)求a的值； (3)小明认为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据更能贴合实际，你同意他的说法吗？简要说明理由． 3．（2025·福建厦门·二模）智慧食堂是一种结合了计算机、大数据、物联网和人工智能等先进技术的新型餐饮管理模式．智慧食堂的核心理念是以用户为中心，提供个性化的就餐体验，并通过优化食堂全流程的ERP 系统来提升管理效率．某学校食堂管理员通过智慧食堂软件系统，随机抽取中午在学校食堂用餐的20名学生，收集到他们午餐消费金额x（单位：元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出部分信息： a． 20名学生午餐消费金额数据：14， 14， 15， 15， 17， 17， 18， 18， 18， 18， 19， 19， 19， 19， 19，19， 20， 20， 20， 20． b．20名学生午餐消费金额数据的频数分布表： 消费金额 频数 4 2 a 4 根据以上信息，回答下列问题： (1)该调查属于 调查，表格中a的值为 ． (2)该组数据的众数为 ，中位数为 ． (3)为了合理膳食结构，学校食堂推出，，三种价格不同的营养汤．据调查，午餐消费金额在的学生中有选择营养汤，消费金额在≥的学生中有选择营养汤，其余参与调查的学生选择营养汤或营养汤或不选营养汤．若每天中午约有名学生在食堂用餐，则估计食堂每天中午需准备营养汤的份数． 4．（2025·福建泉州·二模）如图，在一个的棋盘内已有四枚棋子，在剩余的方格内继续随机放入棋子（每一方格内最多放入一枚棋子），如果有三枚棋子在同一条直线上，我们称之为“三连珠” (1)如果随机放入枚棋子，出现“三连珠”的概率是______． (2)如果随机放入枚棋子，求棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 5．（2026·福建漳州·一模）如图，对角线，相交于点O，过点D作且，连接，，． (1)求证：是菱形； (2)若，，求的长． 6．（2026·福建厦门·一模）如图，在中，，．将绕点C顺时针旋转得到，点D在上．求的度数． 7．（2026·福建泉州·一模）如图，是中边上的中线，与相交于点E，且，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求的面积． 8．（2025·福建厦门·二模）如图，某品牌的电水壶启动后需要6分钟将 的水加热到 ，然后水温逐渐降回，降温过程中的水温 y（）与水壶启动后用时x（分）成反比例关系、据研究，当水温降至 时，比较适宜饮用． (1)求降温过程中的水温y（）与水壶启动后用时x（分）的函数关系式．并写出自变量的取值范围． (2)直接回答：一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？ 9．（2025·福建厦门·二模）年，掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”．已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的倍，且甲数据中心迁移数据比乙数据中心迁移数据所需时间少小时． (1)分别求甲、乙两个数据中心的数据迁移速度（单位：小时）； (2)现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 10．（2025·福建厦门·二模）在2025年春晚舞台上，有扭秧歌的宇树人形机器人和．它们身着大红棉袄、扭着秧歌转着手绢，凭借流畅的舞姿和精准的互动，成为“科技顶流”．为了更好地开设智能机器人编程的校本课程，东莞某学校打算购买A，B两种型号的机器人模型用于教学．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多100元，用1000元购买A型机器人模型和用600元购买B型机器人模型的数量相同． (1)求A型、B型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买A型和B型机器人模型共20台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 11．（2025·福建厦门·二模）某公司经过市场调查，发现某种运动服的销量与售价是一次函数关系，具体信息如表：    已知该运动服的进价为每件150元． （1）售价为x元，月销量为y件． ①求y关于x的函数关系式： ②若销售该运动服的月利润为w元，求w关于x的函数关系式，并求月利润最大时的售价； （2）由于运动服进价降低了a元，商家决定回馈顾客，打折销售，这时月销量与调整后的售价仍满足（1）中函数关系式．结果发现，此时月利润最大时的售价比调整前月利润最大时的售价低15元，则a的值是多少？ 12．（2020·福建福州·二模）如图，在足够大的空地上，某人利用直角墙角（两边足够长），用长的篱笆围成一个中间隔开的矩形花园（图中虚线为篱笆），设． （1）若花园的面积为，求的值； （2）求矩形花园面积的最大值． 13．（24-25九年级下·陕西汉中·阶段检测）图1是一张电子琴照片，图2是其侧面示意图，其中支撑杆的长度可调节，琴架底座长为，电子琴底部长为长为，已知，，当点调至同一直线上时，求此时点到直线的距离．（结果精确到）（参考数据：，，，，，） 14．（2025·江西九江·一模）图1是某路灯的实物图，图2是其平面示意图．某数学项目学习小组要测量某路灯的顶部到地面的距离．已知该小组测得，，．根据以上测量结果，请你帮助该小组计算路灯顶部到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，） 15．（2025·江西新余·一模）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得，，，，（结果都保留小数点后一位）． (1)连接，交于点，若，求的长（即雕塑的高度）； (2)求点到的距离（参考数据：，，）． 16．（2024·内蒙古·中考真题）实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． (1)求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） (2)实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 17．（2024·广东东莞·一模）已知一元二次方程 (1)若方程有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程的两个实数根为， 且求m的值． 18．（2024·四川南充·三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求实数的取值范围， (2)当时，设方程的两个实数根分别为，求的值． 19．（2025·福建泉州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 20．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 21．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，过点A作交于点F，D为边上一点，使得，以为直径作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 22．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，点在的边上，以为直径的经过点，连接，且，交于点，交于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径． 23．（2025·山东临沂·二模）如图，在中，点O在上，以O为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点D，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www zxxk com 题号猜押08福建中考数学20-21题 押题预测 考点1概率与统计 1.(1)解：50×(1-14%-24%-22%-28%)=6人， ∴.抽取的八年级学生中测试成绩为10分的人数为6人： (2)解： 6×2+14×7+19×8+12×9+3×10=8分， 50 .七年级被抽取的50人的平均成绩为8分； (3)解：画树状图如下： 开始 B C 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中B与C相邻的结果有4种， :B和C相邻上场的概率是4=？ 63 2.(1)解：出现次数最多的数据是85， 故a为85； 根据题意，C组的百分比为乙x10%=35%, 20 1-35%-25%-20%=20%=m%, 故m=20, A组的人数为20×20%=4（人），B组的人数为20×25%=5（人)， 根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即6=82+84=83（分）； 2 (2)解：女生掌握情况较好，理由如下： 由样本数据可知：女生成绩的中位数85大于男生的中位数83，女生成绩的众数 故女生成绩更好； (3)解：根据题意，有1000名女生、800名男生参加了此次环保知识竞赛， 1/33 上好每一堂课 (解答题) 85大于男生的众数78， 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 成绩为优秀的总人数为：1000× 6+800×20%=300+160=460(人)， 2 答：成绩为优秀的总人数为460人. 3.（1)解：不透明的奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黑球和2个白球，共4个球， 第一次摸到黑球的概率是4： (2)解：列表： 红 黑 白1 白2 红 红，黑 红，白1 红，白2 黑 黑，红 黑，白1 黑，白2 白1 白1，红 白1，黑 白1，白2 白2 白2，红 白2，黑 白2，白1 共有12种等可能的情况，其中两次摸出1个红球和1个黑球的有2种，两次摸出1个红球和1个白球的有 4种，两次摸出1个黑球和1个白球的有4种，两次都摸出白球的有2种， “两次摸出1个红球和1个黑球的概率是2=。 126 两次摸出】个红球和1个白球的概率是4=}， 123’ 其余情况的概率是1-11-1 Γ632， 设计方案：若两次摸出1个红球和1个黑球则获一等奖，若两次摸出1个红球和1个白球则获二等奖，其 余情况获三等奖， 4.（1)解：由题意得，调查的人数为24÷40%=60（人）， :扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°×15=90°. 60 估计全校非常了解国产AⅡ大模型DeepSeek的应用场景的有3000×40%=1200（人）· 故答案为：90°；1200。 (2)D组的人数为60x5%=3(人)， B组的人数为60-24-15-3=18（人)， 补全条形统计图如图所示. 2/33 函学科网·上好课 www zxxk.com 个人数 24 21 18 15 9 6 3 0 A BCD类别 学生对国产AI大模型 DeepSeek应用场景的了解情况 (3)列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁) 乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁) 丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙) 共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有： 21 ：甲和乙两名学生同时被选中的概率为 126 考点2较复杂几何题 1.(1)证明：由旋转的性质，得∠ABC=∠DBE,∠ACB=∠DEB,B ∠BD-<8D1-10°，48D,∠BCE=BKC-1-∠DBE 2 2 :ZBAD ZBDA=ZBCE=LBEC, :LACB=∠CAD+∠BDA,∠DEB=∠BEC+∠DEA, :ZCAD ZDEA, :DA=DE, .△DAE是等腰三角形； (2)解：由旋转的性质，得LBAC=∠BDE, .∠ACB=∠DCE, .∠ABC=∠DEC, 又：∠ABC=∠DBE, 3/33 上好每一堂课 (甲，乙)，（乙，甲），共2种， A=BD,BC=BE, 函学科网·上好课 www zxxk.com ∠DEC=∠DBE, :ZCDE ZCDE, .△DCE∽△DEB, CD-DE_C△cE-I ED DB C△BDE2 设CD=x,则ED=2x,DB=4x, CD+BC=BD, x+3=4x, 解得x=1, .AB=BD=4. 2.证明：(1)：四边形ABCD是平行四边形 ∴.OA=OC,BEDF .∠E=∠F 在△AOE和△COF中 「∠E=∠F ∠AOE=∠COF OA=OC .△AOE≌COF(AAS】 ..AE=CF (2)当EF⊥BD时，四边形BFDE是菱形，理由如下： 如图：连结BF,DE :四边形ABCD是平行四边形 .OB=OD :△A0E≌△C0F .OE=OF .四边形BFDE是平行四边形 4/33 系一母拼丁 学科网·上好课 WW .EF⊥BD, ∴四边形BFDE是菱形 3.解：(1)如图②， :△OEF绕点O逆时针旋转角， :ZDOF ZCOE=a, :四边形ABCD为正方形， ∠A0D=90°， LA0F=90°-a; 故答案为90°-a; (2)AF =DE. 理由如下： 如图②，：四边形ABCD为正方形， .∠A0D=∠C0D=90°，0A=0D, ZDOF =ZCOE=a, .∠A0F=∠DOE, :△OEF为等腰直角三角形， 0F=0E, 在△AOF和AD0E中 AO=DO ∠AOF=∠DOE, OF=OE .△AOF≌△DOE SAS), :AF DE. 4.(1)证明：AB与CD交于0， 四边形ABCD是矩形， B :AC=BD v zxxk com 5/33 系一母拼丁 函学科网·上好课 WW W ODD 0A=0D, .∠0AD=∠0DA, :BE⊥AC,DG⊥BD, .∠0AD+∠AEB=90°， ∠EDG+L0DA=90°， .∠AEB=∠EDG, LAEB=∠DEG, .∠EDG=∠DEG, :DG=EG (2)解：过G作GH⊥AD交于H, G E D H 四边形ABCD是矩形， B .∠BCD=∠ADC=90°， AD=BC=8, BC ∴.tan∠BDC= CD 84 63 ∠BDC+∠BDE=90°， ∠BDE+∠EDG=90°， .∠BDC=∠EDG, .∠EDG=∠DEG ∴.tan∠DEG= 4 3 :an∠AEB= 4 AB 4 AE 3 Zxx k com 6/33 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ·设DH=3x,GH=4x, :DE =2DH =6x, AE=8-6x, 64 8-6x3’ 解得：x=2 .GH=4 77 123 DE=6× ,7_7 122’ S.too-DE-GH 177 223 49 12 考点3方程与函数应用题 1.(1)解：甲种货物比乙种货物每件贵20元， .设甲种货物每件的售价为x元，则乙种货物每件的售价为x-20)元， :1件甲种货物和2件乙种货物的售价共140元， .x+2(x-20)=140, 解得，x=60, 则x-20=60-20=40元， ∴甲种货物每件的售价为60元，乙种货物每件的售价为40元： (2)解：设甲种货物的数量为y件，则乙种货物的数量为200-y)件， :甲种货物的数量不多于乙种货物数量的， y220-列 解得，y≤120， 设商家购买这两种货物所需资金为w元， .w=60y+40(200-y=20y+8000, .20>0, 7/33 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 w随y的增大而增大， :.当y=120时，w=20y+8000=20×120+8000=10400是最大值， :.商家购买这两种货物所需资金的最大值为10400元. k 2.(1)解：设y与x之间的函数表达式为y=二， 把(30,2000)代入y=得，k=30×2000=60000. y与x之间的函数表达式为y=60000 x (2)解：智能玻璃的透明度x应控制在12≤x≤30范围内， 理由如下： :把y=2000和5000别代入y=60000 x得， x-600-30,x=600 =12, 2000 5000 且在第一象限y随x的增大而减小， 智能玻璃的透明度x应控制在12≤x≤30范围内， 3.(1)解：设甲种污水处理设备每套的价格为x万元，则乙种污水处理设备每套的价格为1+50%)x万元， 则3x+(1+50%x=360, 解得x=80, .(1+50%)x=120, 答：甲种污水处理设备每套的价格为80万元，则乙种污水处理设备每套的价格为120万元： (2)设购买m套甲种污水处理设备，则购买10×2-m乙种污水处理设备， 则80m+120(10x2-m)≤2000×1-8： 1 解得m≥65」 4 设该乡镇安装污水处理设备总占地面积为wm，则 w=50m+4010×2-m=10m+800, .10>0, ∴w随着m的增大而增大， :m≥65且m为正整数， 4 8/33 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.当m=17时，w取得最小值，最小值为10×17+800=970， 答：该乡镇安装污水处理设备总占地面积的最小值为970m. 4.(1)解：根据题意得(1200-50x)·x=7200, .x2-24x+144=0, 解得：x=12, .种植面积为12亩； (2)解：设该科研机构种植这种药材能获的最大利润为w万元， w=0.08(1200-50x)x-(84+8x), .w=-4x2+88x-84=-4x-11+400, 则x=11时Wmax=400（万元). 84+8x≤180 (3)解：根据题意得： -4x2+88x-84≥3001 解得：6≤x≤12. >考点4三角函数应用题 1.(1)解：过点M作MD⊥AB于点D,如图， 北 45 60° F B 根据题意可知∠AMD=90°-45°=45°， AM=180海里， ·MD=AM cos45°=90√2海里. 故小岛M之间的最小距离为90√2海里 (2)在Rt△AMD中，MD=AD=90V2海里. 在Rt△MDB中，∠BMD=90°-60°=30 9/33 函学科网·上好课 www zxxk.com tan30°= BD MD90W231 BD=30V6(海里)， 则AB=AD十BD=90V2+30√6≈200（海里）， 故AB的长为200海里. 2.解：过点D作DF⊥AB于点F,作DH⊥BE于点H, 20° ■ 60 B C HE 由题意得：CD=20m,∠DCH=60°， 在RIA DCH中，：c0s600=CH CD sin60°=DH CD .CH=CD·cos60°=10m,DH=CDsin60°=10V3m≈17.3m. :∠DFB=∠B=∠DHB=90°， ·四边形DFBH为矩形， ∴.BH=FD,BF=DH, .BH=BC+CH=(30+10)m=40m, ∴.FD=40m. 在△AFD中，an20°=AF FD .AF=FD.tan20°≈40×0.36=14.4m, .AB=AF+BF=(14.4+17.3m=31.7m≈32m. 答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m. 3.解：任务一：如图所示， 22.50 才 10/33 系一母拼丁 命学科网·上好课 作AC的垂直平分线交AB于点D, 则AD=CD, .LA=∠ACD, ∠CDB=2∠A=45°， :∠B=90°， .∠BCD=45°， 即CB=BD, 设BC=x,则AD=CD=Vx2+x2=√2x, :AB=2x+x=V2+1x, tan22.50= BC =2-1 AB √2+1x 任务二： 在等腰直角三角形ABC中，AB=AC, 过点B作BD⊥BC,使得BD=BA,如图， .BD =CA, M D :AM=BN,又∠MAC=∠DBN=90°， ∴.△ACM≌△BDN(SAS), .CM=DN, .AN +CM AN DN 则当A、N、D三点共线时，如图所示： 当BN=BN'时，AN+DN有最小值AD, 过点A作AE⊥DB交DB的延长线于点E, ww.zxxk com 11/33 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk.com .△ABE为等腰直角三角形， :AB=BD,∠ABE=45°， :BD=100米，∠BDN=∠ABE=22.5, :BW'=BD.tan22.5°=100×V2-l=100V2-100米， 即当a=100√2-100时，通信线路AN+CM取得最小值. 4.(1)解：过点B作DH⊥AB延长线于H,如图： E F H :∠ABD=130°， .∠HBD=50°， 在RtADHB中，∠DHB=90°， BH=BDxc0s50°≈1.5x0.64=0.96m, :EF垂直平分AB,EF垂直平分CD,DH⊥AB, .四边形DHFG为矩形， FB-4B15m,CD-2DG. .DG=FH=FB+BH=1.5+0.96=2.46m, .CD=2DG=4.92≈4.9m, 答：文化长廊的最大宽度CD的长为4.9m; (2)解：在Rt DHB中，∠DHB=90°， DH=BD×sin50°≈1.5×0.77=1.155m, :四边形DHFG为矩形， .DH=GF=1.155m, :FH‖DG, .∠BDG=180°-∠ABD=50°， .LGDE=∠BDE-∠BDG=98°-50°=48°， 在Rt DGE中，∠DGE=90°， 12/33 系一母拼丁 函学科网·上好课 www.zxx k.co m EG=DG×tan48°≈2.46×1.11=2.7306m, .EF=EG+GF=2.7306+1.155=3.8856≈3.9m, 答：文化长廊的最高点E到地面AB的距离EF为3.9m· H ◆考点5一元一次方程根与系数的关系 1.(1)证明：由题意可得：△=(-22-4×1×-m2-2m=4m2+8m+4 故方程总有两个实数根； (2)解：：方程的一个根为另一个根的3倍， .设方程的一个根为a,则另一个根为3a, a+3a=2 由题意可得： a.3a=-m2-2m 1 1 解得：a= 或3 2 2’ 3 m的馆为一2或2 1 2.(1)解：a=1,b=2,c=k+1 △=b2-4ac =22-4×1×(k+1) =-4k 由已知得，-4k≥0 所以k≤0； (2)由根与系数得关系可知，x+x2=-2,xx2=k+1, 因为1+x2-xx2<-1, 所以，-2-k+1)<-1 解得，k>-2 13/33 上好每一堂课 =(2m+22≥0， 函学科网·上好课 www zxxk.com 由(1)知k≤0， 所以，-2<k≤0， 所以，整数k的值为-1或0. 3.(1)解：由题意得，△=-4)2-4k-2 =16-4k+8 =24-4k≥0， 解得k≤6； (2)解：由题意得，x+x2=4,x·x2=k-2, :x1+x2-xx2=1 4-k-2)=1, 解得k=5<6,符合题意 4.(1)解：当k=0时，原方程为-3x+1=0, 都：弓 .k=0符合题意； 当k≠0时，原方程为一元二次方程， :该一元二次方程有实数根， 4=-3}-4xk×1≥0，解得k≤ 综上所述，k的取值范围为k≤4： 9 (2)解：：X和x2是方程x2-3x+1=0的有两个根， 3 1 .x1+x2= 1+xx2=4-x2,即x1+x2+xx2=4, 2+1=4, 解得k=1,满足k≤2， 经检验，k=1是分式方程的解，且符合题意. k的值为1. 14/33 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 考点6圆的切线明以及结合三角函数的计算 1.(1)证明：：BC=BD, ∠BCD=LD, :ED=EB, ∠EBD=∠D, ∠EBD=LBCD, :∠BCE,∠BAE所对的弧是同弧， :ZBCE ZBAE AB是O0的直径， ∠AEB=90°， :LBAE+∠ABE=90°， ∠EBD+∠ABE=90°， 即LABD=90°， .BD是OO的切线； (2)解：在Rt△AEB中，∠AEB=90°， :AB=5,AE=4, .BE=3, 作EF⊥BD, 0 ∠ABD=90°， .AB‖EF, ∴.∠ABE=∠BEF, :∠AEB=∠BFE=90°， .∴△AEB∽△BFE, BF BE ·AEAB 15/33 函学科网·上好课 WW 0号 :ED=EB,EF⊥BD, BC=BD=2BF=24 2.(1)证明：AD∥BC,DF∥AB, :四边形ABED为平行四边形， ∠B=LD, .∠AFC=∠B,∠ACF=∠D, .LAFC=∠ACF, .AC=AF. (2)解：连接AO,CO,如图， A D F 由(1)得∠AFC=∠ACF, :∠AFC=180°30°=75°， 2 .∠A0C=2LAFC=150°， AC的长1=150×πx3=5π 180 2 3.(1)证明：连接OE,则：0E=0B, A D B ..∠OBE=∠OEB, :以O为圆心，OB为半径的圆与AC切于点E, OE⊥AC, w Zxxk com 16/33 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com .∠0EA=90°=∠C, OE∥BC, .ZOEB=ZCBE .∠OBE=∠CBE, BE平分∠ABC; (2)解：连接DE,过点E作EF⊥BD, A E Q B :BD为直径， .LBED=90°， .0B=6, .BD=12, DE=√BD2-BE2=3V7, :EF⊥BD,∠BED=90°， DB:BE=BD:EF，即：37x9E2EF ·EF=95 4 :BE平分∠ABC,EF⊥BD,∠C=90°， CE=EF= 4 :OE∥BC, :E40 CE OB 9√7 :AE CE =437, A00B6 8 :OE⊥AC, .∠AE0=90°， 17/33 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com osA=E3V万 A08 4.(1)解：证明：连接OB A B .OA=OB,∠BAC=30°， .∠B0C=2∠BAC=60° :LA0B+∠B0C=180°， .∠A0B=180°-∠B0C=120° :PA与O0相切于点A .∠0AP=90 又：∠A0B+∠0AP+∠0BP+∠APB=360°，∠APB=60°， .∠0BP=360°-∠A0B-∠0AP-∠APB=90° 又：点B是⊙0上的一点 .PB是OO的切线 (2)解：过点O作OD⊥AB,垂足为D A :0A=0B,OD⊥AB,AB=25 .AD-BDB5 在RtaA0D中，∠OAD=30°， :cos∠OAD=A OA'AD=3, AD 3 ∴.OA= =2 cos∠DAD cos30° 00的半径为2. 18/33 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 通关特训 1.(1)解：由题意可得，时段B的人数为72，所占百分比为36%， :总人数为：72÷36%=200（人)， 时段C的人数为200-8-72-40=80（人）， 则条形统计图如图所示： +人数 80 80 70 60 50 40 40 30 20 105 A B D层次 (2)解：“完成作业不超过1.5小时的学生所占百分比为200-8×100%=96%， 200 全县初中学生完成作业不超过1.5小时的人数约为20000×96%=19200（人)， 答：全县完成作业不超过1.5小时的学生约有19200人： (3)解：用树状图表示选取的情况，如图： 开始 第一次 男1 男2 女1 女2 第二次男2女1女2男1女1女2男1男2女2男1男2女1 选取的总可能数为12，一男一女的可能数为8， 则刚好选到1名男生与1名女生的概率为号号 2.(1)解：：线上观众打分为6分的占12%，7分的占40%， 线上打分的中位数b=7分； 现场评分的众数为8分，故c=8, 故答案为：7,8； (2)解：m%=1-6%-12%-40%-30%=12%, 19/33 画学科网·上好课 www zxxk com 线上打分的平均数a=6x12%+7×40%+8x30%+9×12%+10×6% (3)解：同意，因为线上观众群体对《秧BOT》打分样本数据样 3.(1)解：该调查属于抽样调查， 表格中a的值为20-4-2-4=10， 故答案为：抽样，10： (2)解：该组数据中，19出现了6次，次数最多， :该组的众数为19； 把这组数据从小到大排列后，第10个和第11个数分别为18,19， :中位数为18+19=18.5， 2 故答案为：19,18.5； (3)解：30×”60%+3020x50%=120(份， 即估计食堂每天中午需准备B营养汤的份数为120份， 4.(1)解：棋盘内已有四枚棋子，在剩余的5个方格内随机放入 3、5四个位置， 出现“三连珠”的概率是： 故答案为： 4 5 (2) 画树状图如图： 开始 共有20个等可能的结果，棋盘内同时出现三个“三连珠”的有(1,3) 4=1 ∴.棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为 205 :棋盘内同时出现三个“三连珠”的概率为亏 20/33 上好每一堂课 7.6(分)； 本容量大，更能体现实际情况 枚棋子，能出现“三连珠”的位置是1、2、 (3,1、（3,5、5,3),共4个结果， 函学科网·上好课 www zxxk.com 5.(1)证明：DE∥AC,DE=OC, .四边形OCED是平行四边形 OE=CD, :.平行四边形0CED是矩形， ∠C0D=90°， .AC⊥BD, ABCD是菱形； (2)解：：四边形ABCD是菱形， ..OA=OC.CD=AB=BC=2.AC L BD. :∠ABC=60°， ABC是等边三角形， :AC=AB=2, ∴.OA=OC=1, 在Rt△OCD中，由勾股定理得：0D=VCD2-0C2=√5， 由(1)可知，四边形0CED是矩形， CE=0D=V3,∠0CE=90°， .AE=VAC2+CE2=V22+(W3)2=√7， 即AE的长为√7. 6.解：：在Rt△ABC中，LACB=90°，LABC=25°. .LA=90°-∠ABC=65°， :将ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点D在AB上， .AC=DC,∠CDE=∠A=65 .LADC=∠A=65°， .LBDE=180°-∠ADC-∠CDE=50°. 7.(1)证明：：AF∥BC, .∠AFE=∠DBE, 又：FE=BE,∠AEF=∠DEB, :△AEF≌△DEB(ASA, 21/33 系一母拼丁 品学科网·上好课 www.zxxk com .AF =DB, :AD是ABC中BC边上的中线， :DB=DC, .AF =DC, :.四边形ADCF为平行四边形； (2)解：：DA=DC=5,DB=DC, DA=DC=DB=BC.BC=10 :点A,B,C都在以BC为直径的圆上， :ABC是直角三角形，且∠BAC=90°， ∴.AB=VBC2-AC2=8, 1 S.4c=2AB.AC=2×8×6=24. 2 k 8.(1)解：设y=二， 当x=6时，y=100, ·100=k 6 解得：k=600, 600 ∴.y= 当y=30时， 30=600 解得：x=20, .6≤x≤20， 故水温y(℃)与水壶启动后用时x(分)的函数关系式：y= (2)解：当y=40时， 40s600 x 解得：x=15, :15-6=9(分钟)， 故一壶水烧开后，经过9分钟时间适宜饮用. 9.(1)解：设乙数据中心的数据迁移速度为xTB/小时， 22/33 600 (6≤x≤20)； 盖系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则甲数据中心的数据迁移速度为5xTB/小时， 根据题意，得100-30-5， 5x x 解得：x=2, 经检验x=2是原方程的解，且符合题意， .5x=10, 答：甲、乙两个数据中心的数据迁移速度分别为10TB/小时，2TB/小时； (2)解：设甲数据中心工作y小时，则乙数据中心工作(8-y)小时， 根据题意，得10y+2(8-y)≥56， 解得：y≥5， 即甲数据中心至少需要工作5小时. 10.(1)解：设A型机器人模型单价是x元，则B型机器人模型单价是x-100)元. 根据题意，得1000.600 xx-1001 解这个方程，得x=250. 经检验，x=250是原方程的根，且符合题意.x-100=150. 答：A型机器人模型单价是250元，B型机器人模型单价是150元. (2)解：设购买A型机器人模型m台，则购买B型机器人模型(20-m)台，购买A型和B型机器人模型共 花费W元， 由题意得：20-m≤3m,解得m≥5. .W=250×0.8m+150×0.820-m,即W=80m+2400, :80>0, W随m的增大而增大. ·当m=5时，W最小=80×5+2400=2800，此时20-m=15. 答：购买A型机器人模型5台和B型机器人模型15台时花费最少，最少花费是2800元. 11.解：(1)①设y关于x的函数关系式为ykx+b,把(200,200)，(210,180) 200k+b=200 代入得： 210k+b=180 23/33 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k=-2 解得： b=6001 ∴y关于x的函数关系式为y=-2x+600; ②月利润w=(x-150)（-2x+600)=-2x2+900x-90000 =-2(x-225)2+11250. -2<0, .w为开口向下的抛物线， .当x=225时，月最大利润为11250元： .w关于x的函数关系式为w=-2x2+900x-90000,月利润最大时的售价为225元； (2)设调整后的售价为t元，则调整后的单件利润为(t-150+a)元，销量为(-2t什600)件. 月利润w=(t-150+a)(-2+600) =-22+(900-2a)+600a-90000, :当1=450-0时，月利润最大，则450-a=210, 2 2 解得a=30. .a的值是30元 12.解：(1)由题意，得x(30-2x=100 解得x=5,x2=10 :x的值为5或10： 225 当x= 5时，S大 225 2 :花园面积s的敏大首为空m。 13.解：如图解，连接FA,过点G作GH⊥AB于点H, G D A H B C 24/33 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点E、F、A在同一直线上，DF∥AB,∠EFD=90°， FA⊥AB,FA∥GH,FG∥AH, .四边形AHGF为矩形， .FG=AH,AF=GH, :HB=AB-AH AB-FG=28cm, :在Rt△BGH中，∠GBH=65°， GH=HB.tan∠GBH=28×tan65°≈59.9cm, AF=GH≈59.9cm, :在RtAEFD中，∠E=75°，DF=GF+DG=10+30=40cm, ..EF DF 40 tanE tan70° ≈10.7cm, EA=EF+AF=10.7+59.9≈71cm, ∴.此时点E到直线AB的距离约为71cm. 14.解：如图，过点A作AH⊥MW于点H,则四边形ABNH是矩形， .AH BN 2m HN AB =1.6m. C.M B 在Rt△AMH中，tana=MH AH MH=AH.tan58°≈2×1.60=3.2m, .MN=MH+HN=3.2+1.6=4.8m. 答：路灯顶部到地面的距离MN约为4.8m. 15.(1)解：根据题意得：∠EAM=90°，∠ABF=∠ECF=90°， :∠BAM=52°， ∠BAF=38°， :AB⊥BC,DE⊥BC, AB∥DE, .∠CEF=∠BAF=38°， 25/33 命学科网·上好课 在Rte ABF中，AB=2.37m, .AF= AB2.37 cos∠BAF0.79 =3.0(m); :DE=2CE=1.24m, CE=0.62m, 在RtAECF中，CE=0.62m, ..EF= CE 0.62 =0.78m, cos∠CEF cos38° .AE=3.0+0.78=3.78≈3.8m, 答：AE(即雕塑的高度)的长为3.8m. (2)解：如图，过点D分别作DK⊥MN,DP⊥AE, E B M -N A K .LPAK=∠AKD=∠DPA=90°， 则四边形AKDP是矩形， .AP DK :DE=1.24m,且由(1)得∠CEF=38 则在Rt△DEP中，EP=DE×cos∠CEF≈1.24×0.79≈0.98m 由(1)得AE=3.8m DK=AP=AE-EP=3.8-0.98≈2.8m. 16.1)解：：4B=24cm,BE-写48， .BE =8cm 由题意可知，BG⊥DE, 在Rt△BEG中，∠ABG=12°， .BG=BE.cos /ABG =8 cos12cm 答：试管口B与铁杆DE的水平距离BG的长度8cosI2°cm (2)解：如图，过点B作BP⊥CF于点P,过点M作MQ⊥BP 26/33 上好每一堂课 于点， 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E B G D P N F 则四边形BPDG和四边形MNPQ都是矩形， ∴∠PBG=90°，DP=BG=8cosl2cm,BP=DG,PQ=MN=8cm,PN=QM, 在Rt△BEG中，∠ABG=12°，BE=8cm, .EG=BE.sin∠ABG=8sinl2°cm, DE =28cm, .BP =DG=DE-EG =(28-8sin 12 cm, ∴B9=BP-P9=20-8sin12°）cm, :∠ABM=147°，∠ABG=12°，∠PBG=90°， ∴.∠MBQ=45°， ∴.Rt△BMQ是等腰直角三角形， .QM=B9=20-8sin12)cm, .DN=DP+PN=DP+QM=(8cosl2°+20-8sin12）cm, 答：线段DN的长度为8cos12°+20-8sin12)cm. 17.(1)解：在方程x2+(2m-1)x+m2=0中，a=1,b=2m-1,c=m2, 当方程有两个实数根时，△≥0， b2-4ac=(2m-12-4×1×m2≥0 解得：m≤4 1 (2)解：由根与系数的关系得：x+x2=-(2m-1),xx2=m2, X1+x2+xx2-1=0, .∴.-2m+1+m2-1=0, 解得：m=0,m2=2, 27/33 函学科网·上好课 由(1)可知m≤4 ∴.m=0 18.(1)解：根据题意得△=[-1-2k)]2-4(k2-3)>0, 解特号 (2)解：k=2时，方程变为x2+3x+1=0, “设方程的两个实数根分别为X,x2, .x1+x2=-3,xx2=1, :x3-xx+4x2+x3+3 =x(x2-x)+4x2+x号+3 =x[(x+x2)x-x2】+4x+x号+3 =-3x(x-x2)+4x2+x+3 =-3x2+3xx2+4x2+x号+3 =3xx2+x2+x号+3 =(x+2)2+xx2+3 =9+1+3 =13. 19.(1)证明：△=[-3(m-1)]-4m2m-3 =m2-6m+9=(m-3)2≥0. ∴该方程有两个实数根 (2)解：存在整数m,使得该方程的两个实数根均为正整数， 由求根公式，得：x=3(m-)±(m-3) 2m 即5=1,5=2m-3 23 m m ~m为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， 6=23必为正整数， m m=-1或m=±3， 即当m=-1或m=±3时，该方程的两个实数根均为正整数. 28/33 上好每一堂课 理由如下： 函学科网·上好课 www zxxk.com 20.(1)解：如图，连接OB, D E 4:BC是O0的切线， ○ OB⊥BC, AD⊥CB, .OB∥AD, .∠BAD=∠ABO, :0A=0B, :∠AB0=LBA0, .∠BAD=LBAO, :AB平分∠CAD; (2)解：如图，连接BF、BE, D B :EF是直径， F ∠EBF=90°， ∠EB0+∠0BF=90°， :∠EBO+∠DBE=90°， :LOBF=∠DBE, 0B=0F, :∠OBF=∠OFB, :∠DBE=LOFB, 又：LBDE=LFDB, ∴.△BDE∽△FDB, 29/33 系一母拼丁 高学科网·上好课 BE DE 1 FB BD =3’ :在RtABEF中，tanF= BE 1 FB3' BEBE, .∠EAB=∠F, tan∠EAB=tanF= 3 21.(1)证明：连接OA,则：0A=0B, .∠OAB=∠OBA, :∠ABD=∠CAF, .∠OAB=∠CAF, .BD为⊙O的直径， .∠BAD=90°， ∴.∠0AB+∠0AD=90°， .∠CAF+∠0AF=90°， .∠0AC=90°， .0A⊥AC, :OA为00的半径， .AC是⊙0的切线； (2)解：作CG⊥AC,交AF的延长线于点G, H :BD为直径， w.zxxk.com 上好每一堂课 作GH⊥BC于H,连接DE, 30/33 可学科网·上好课 www.zxxk.com .∠BAD=90°，∠BED=90°， ·sin∠ABD=AD1 BD 3 设AD=x,则：BD=3x, AB=√BD2-AD2=2V2x, .AB=AC, :AC=2V2x,∠ABC=∠ACB, :∠ACG=90°=∠BAD,∠ABD=∠CAF,AB=AC, .△ACG≌△BAD, .CG=AD=x,AG=BD=3x, :∠ABC+∠AFB=90°，∠ACB+∠BCG=90°， LBFA=∠BCG, :∠CFG=∠BFA, .ZCFG ZBCG .CG=GF=x, .AF=AG-FG=2x, .DF AF-AD =x, 在RtAABF中，BF=VAB2+AF2=2V3x, :sin∠AFB=DE=AB22_V6 DFBF2V5=3°，cos∠AFB=EE-4F DF BF DE-16 DF= 3 3 Dr= 3 :CG=GF,CH⊥BC, .HF-CH-CF, :∠DEF=∠GHF=90°，∠DFE=∠GFH,DF=FG=x, .△DEF≌△GHF, ·F=EF= 3t, CF-2HF=2 3 -x, 31/33 上好每一堂课 25 253 可学科网·上好课 BF_23x=3 CF 23x 3 22.(1)证明：：∠ABC+∠A+∠ACB .∠ACB=∠ABD, :DE∥AB, ∴.∠BDE=∠ABD, .∠BDE=∠BCE, .∠BCE=∠ACB, :.CB平分∠DCE; (2)解：由(1)可得∠BCE=∠ACB, tan∠BCE=)3 1 .tan∠ACB= .CD是⊙O的直径， ∴.∠CBD=90°， BD 1 ∴tan∠ACB= BC 2 :∠A=∠A,∠ACB=∠ABD, △ACB∽△ABD, AB AC BC AD AB BD =2, .AB=2AD=4,AC=2AB=8, .CD=AC-AD=6, .00的直径为6， ⊙0的半径为3. 23.(1)证明：如图，连接0D, EE/ZE ‘081=0087+087‘08I 山0)'1XXZ'MMM 上好每一堂课 ∠BDC=∠A+∠ABD, 面学科网·上好课 ○ :AB与0O B D ,∠0DB=90°，∠B+∠B0D=90°， .0C=0D, .∠0CD=∠ODC, ∴.∠BOD=2∠BCD, ∠A=2∠BCD, .∠A=∠BOD, ∠B+∠A=90°， .∠ACB=90°， :半径OC⊥AC于点C, :AC为⊙0的切线 (2)解：由(1)知LACB=90°， :在Rt△ABC中，CoSA= AC 3 &B早ACX60 BC=VAB2-AC2=V102-62=8, '∠A=∠BOD,∠B=∠B, △ABC∽△OBD, AC AB OD OB .610 设⊙0的半径为，则有 r 8-r 解得：r=3, .00的半径为3. www zxxk.com 相切， 33/33 系一母拼丁