2026年安徽中考数学圆大题练习

2026年安徽中考数学圆大题练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，是的外接圆，D是直径上一点，的平分线交于点E，交于另一点F，． (1)求证：； (2)设，垂足为M，若，求的长． 3．已知四边形内接于，对角线是的直径．    (1)如图1，连接，若，求证；平分； (2)如图2，为内一点，满足，若，，求弦的长． 4．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD． (1)如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长； (2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB． 5．如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E． （1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长； （2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：． 6．如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆所在圆的切线，与的延长线相交于点， 求证：； 若求平分． 7．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5． （1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E(保留作图痕迹，不写作法)； （2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长． 8．如图，在四边形中，，，不平行于，过点作交的外接圆于点，连接.    （1）求证：四边形为平行四边形； （2）连接，求证：平分. 9．在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ． （1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度； （2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值． 10．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年安徽中考数学圆大题练习》参考答案 1．(1)详见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 2．(1)见详解 (2)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等知识，掌握这些性质以及定理是解题的关键． （1）由等边对等角得出，由同弧所对的圆周角相等得出，由对顶角相等得出，等量代换得出，由角平分线的定义可得出，由直径所对的圆周角等于可得出，即可得出，即． （2）由（1）知，，根据等边对等角得出，根据等腰三角形三线合一的性质可得出，的值，进一步求出，，再利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又与都是所对的圆周角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 故， 即． （2）由（1）知，， ∴， 又，， ∴，， ∴圆的半径， ∴， 在中． ， ∴ 即的长为． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用垂径定理的推论和圆周角的性质证明即可． (2)证明四边形平行四边形，后用勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵对角线是的直径， ∴， ∴， ∴平分． （2）∵对角线是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形平行四边形， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理的推论，直径所对的圆周角是直角，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握垂径定理的推论，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 4．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形的性质（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半）及勾股定理可求出OD，进而求出AD的长； （2）根据切线的性质可得OCCD，根据同一个圆的半径相等及等腰三角形的性质可得∠OCA=∠OAC，由各个角之间的关系以及等量代换可得答案． 【详解】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30 ∴CD=2⋅ OC=2 ∴ ∴ （2）证明：∵DC与⊙O相切 ∴OCCD 即∠ACD+∠OCA=90 ∵OC= OA ∴∠OCA=∠OAC ∵∠ACD=∠ACE ∴∠OAC+∠ACE=90 ∴∠AEC=90 ∴CEAB 【点睛】本题考查切线的性质，直角三角形的性质，勾股定理以及等腰三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键． 5．（1）；（2）见解析． 【分析】（1）根据M是CD的中点，OM与圆O直径共线可得，平分 CD，则有，利用勾股定理可求得半径的长； （2）连接AC，延长AF交BD于G，根据，，可得，，利用圆周角定理可得，可得，利用直角三角形的两锐角互余，可证得，即有． 【详解】（1）解：连接OC， ∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线 ∴，平分CD， ． 在中． ∴圆O的半径为 （2）证明：连接AC，延长AF交BD于G． ， 又 在中 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，勾股定理等知识点，熟练应用相关知识点是解题的关键． 6．证明见解析；证明见解析． 【分析】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论； 利用等腰三角形的性质证明： 再证明 利用切线的性质与直径所对的圆周角是直角证明： 从而可得答案． 【详解】证明： 为直径， ． 证明： 为半圆的切线， 平分． 【点睛】本题考查的是圆的基本性质，弧，弦，圆心角，圆周角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，三角形的全等的判定，切线的性质定理，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 7．（1）画图见解析；（2）CE= 【分析】（1）以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别与AB、AC有交点，再分别以这两个交点为圆心，以大于这两点距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，过点A与这点作射线，与圆交于点E ，据此作图即可； （2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推导得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的长，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的长． 【详解】解：（1）如图所示，射线AE就是所求作的角平分线； （2）连接OE交BC于点F，连接OC、CE， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2， 在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC==， 在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE==． 【点睛】本题考查了尺规作图——作角平分线，垂径定理等，熟练掌握角平分线的作图方法、推导得出OE⊥BC是解题的关键． 8．（1）详见解析.（2）详见解析. 【详解】试题分析：（1）根据平行四边形的定义来证明；（2）根据角平分线的判定定理证明. 试题解析：(1)证明：∵，，∴， ∵，∴. ∴，∴. ∴四边形是平行四边形. (2)证明：过点作，，垂足分别为、. ∵四边形是平行四边形，∴. 又，∴，∴，∴平分.    考点：平行四边形的判定，角平分线的判定. 9．（1）；（2）． 【分析】（1）在Rt△OPB中，由OP=OB·tan∠ABC可求得OP=，连接OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理可得PQ的长；（2）由勾股定理可知OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最大．根据垂线段最短可知，当OP⊥BC时OP最小，所以在Rt△OPB中，由OP=OB·sin∠ABC求得OP的长；在Rt△OPQ中，根据勾股定理求得PQ的长． 【详解】解：（1）∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB． 在Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=． 连接OQ，在Rt△OPQ中，． （2） ∵ ∴当OP最小时，PQ最大，此时OP⊥BC． OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=． ∴PQ长的最大值为． 考点：解直角三角形；勾股定理． 10．9， 【分析】由OE⊥AB得到∠OEF=90°，根据圆周角定理由OC为小圆的直径得到∠OFC=90°，可证明Rt△OEF∽Rt△OFC，再根据相似比可求得CD=9，接着在Rt△OCF中，根据勾股定理可得，由于OF⊥CD，根据垂径定理得CF=DF，所以． 【详解】解：∵OE⊥AB， ∴∠OEF=90°， ∵OC为小圆的直径， ∴∠OFC=90°， 而∠EOF=∠FOC， ∴Rt△OEF∽Rt△OFC， ∴OE：OF=OF：OC，即4：6=6：CD， ∴CO=9； 在Rt△OCF中，OF=6，OC=9， ∴， ∵OF⊥CD， ∴CF=DF， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识点，证得Rt△OEF∽Rt△OFC成为解答本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $