假期必刷26 椭圆-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

三0022 假期必刷26 椭圆 青，取之于蓝而青于蓝 完成日期： 思维整合室 (3)弦长的求解方法 1.椭圆的定义 ①当弦的两端点坐标易求时，可直接利用 平面内与两个定点F,F2的距离的和等于常 两点间的距离公式求解 数（大于FF,)的点的轨迹叫做 .其 ②当直线的斜率存在时，斜率为k的直线( 数学表达式：集合P={MF+|MF2 与椭圆相交于A(x1y1),B(x2,y2)两个不 =2a},|FF2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c 同的点，则弦长公式的常见形式有如下 为常数： 几种： (1)若 ,则集合P为椭圆； (2)若 ,则集合P为线段； AB|=√1+k21x1-x2 (3)若 ,则集合P为空集 =/(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]; 2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x 1AB1=1+-(≠0) a2 62 =1(a>b>0) =1(a>b>0) 62 yA2 =1++)-4]. 图形 b及 A EOCE A 【《技能提升台 B, 1.已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正 A 确的是 ( 范围 一ax≤a -b≤x≤b -b≤y≤b -asy<a A长轴长为) B能距为 对称性 对称轴：坐标轴：对称中心：原点 A1(-a,0）,A2(a C短轴长为 A1(0,-a),A2(0,a), D岗心率为号 顶点 0),B1(0,-b),B2 B1(-b,0),B2(b,0) (0,b) 2设椭圆C后+=1a>D.C:着+y=1 轴 长轴A1Az的长为 :短轴B1B2的长为 的离心率分别为e1,e2,若e2=3e1,则a= 焦距 IFF2= 离心率 e-cE 4.23 3 B.√2 C.3 D.√6 a,b,c的关系 c2= 3.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多 3.直线与椭圆的位置关系 年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活 (1)将直线L的方程Ax+By+C=0(A、B不 动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场 同时为0)代入椭圆方程F(x,y)=0.消去 地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为2√3 y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程 的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线 ax2+bx+c=0(ay2+by+c=0). 当△>0时，直线1与椭圆相交；△=0时，直线 与地面夹角为30°时，伞面在地面形成了一个 1与椭圆相切；△<0时，直线1与椭圆相离. 椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长 (2)弦及弦中点问题的解决方法 轴上，该椭圆的离心率e= ①根与系数的关系：直线与椭圆方程联立， 消元，利用根与系数关系表示中点； ②点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作 7刀刀7刀777 差构造中点、斜率间的关系.若已知弦的中 A. 2 点坐标，可求弦所在直线的斜率， 3 B.2 c号 D.16 53 蜜快条假湖 -90M= 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2= C'去掉，则该光线从点F发出，经过C两 16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂 次反射后又回到点F,历时n秒.若C与 线段PP',P'为垂足，则线段PP'的中点M 的轨迹方程为 C的离心率之比为}则一 A6+号-120)B后+苦-1>0) c若苦1>0)n若苦-y>0 5,已知椭圆号+苦=1，R、R为两个熊点，0 图 为原点，P为椭圈上一点0s∠F,PR:-, 则|PO= () A号 B.30 图2 2 c D③ 2 11.已知点B是圆C:(x-1)2+y2=16上的 6(多选)(2025·武汉模拟)已知F为能圆。 任意一点，点F(一1,0)，线段BF的垂直 平分线交BC于点P. +=1(a>b>0)的-个焦点，A.B为该 (1)求动点P的轨迹E的方程： 62 (2)直线l:y=2x+m与E交于点M,N, 椭圆的两个顶点，若AF=3,BF1=5,则 满足条件的椭圆方程为 () 且MN-12,求m的值。 c+= 7(多选)已知椭同C号+苦-1的左，有两 个焦点分别为F1,F2,直线y=x(k≠0)与 C交于A,B两点，AE⊥x轴，垂足为E,直 线BE与C的另一个交点为P,则下列结论 正确的是 () 12.已知椭圆C:若+若=1(a≥6>0.四点 b2 A.四边形AFBF2为平行四边形 B.∠F1PF2<90° P1(2,√3)，P2(0,√2)，P C.直线BE的斜率为 P(,哥}中拾有个点在福例C上左、 D.S四边形A,B那，∈(0,4] 8.已知椭圆的中心为坐标原点，一个焦点为 右焦点分别为F1,F2· (1)求椭圆C的方程； (一3,0)，长轴长是短轴长的2倍，则这个 (2)过左焦点F,且不与坐标轴平行的直线 椭圆的标准方程为 l交椭圆于P,Q两点，若线段PQ的垂直 9设点P为能圆C号+苦1a>2》上-点， 平分线交y轴于点D,求品的最小值。 F,F2分别为C的左、右焦点，且∠FPF2 =60°，则△PF1F2的面积为 10.圆锥曲线光学性质（如图1所示）在建筑、 通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应 用.如图2，一个光学装置由有公共焦点 F,F2的椭圆C与双曲线C'构成，一光线 从左焦点F,发出，依次经过C与C的反 射，又回到点F历时m秒；若将装置中的 54三0022. 当直线1的斜率不存在时，d=5≠3，直线1的斜率存 4.A[设P点坐标为(x',y),中点M坐标为(x,y),则 在，设其方程为y一2=k(x十2)，即kx-y十2k十2=0， x'=x,y=2y,代入圆的方程为x2+4y2=16,化为标准 由d=13k+1+2k+2=3. √k2+1 方程为需+苦-10>0] 解得k=0或k=-15 8 5.B[设∠F1PF3=20,0<0<, .所求直线1的方程为y=2或15x+8y十14=0. 所以S△F,E=1an∠FPE=1an. 15.解：(1)x2+y2+2x-6y+1=0的标准方程为(x+1)2 2 十(y一3)2=9，所以曲线是以（一1,3）为圆心，3为半径 由cos∠FPf2=cos20=os20-sim20_1-tan203 cos20+sin20 1+tan20 5 的圆 由已知得直线过圆心，所以一1十3m十4=0，解得m= 解得1m0=含 -1. 由椭圆方程可知，a2=9,b2=6,c2=a2-b2=3, (2)设直线PQ的方程为y=-x十b, 联立2+y+2x-6y+1=0. 所以Sam无=×161X ly=-x+b, 2×23x15p=6×,解得6=3， 得2x2+2(4-b).x十b2-6b+1=0(*). 设P(x1y),Q(x2y2), 即=9×(-)号， 则有x1十x2=6-4,x122-6+1 2 因光10P=+场+=] 又OP·OQ=0,所以x1x2十y1y2=0,即2x12-b(x1十 6.BCD[依题意，当A为上顶点，F为右焦点时，B为左顶 2)+62=0,将1十2=b-4,12=2-6+1代入上 点，则|AF1=a=3,a十c=5,c=2, 2 又a2=b2+c2,b2=5, 式得b2一2b+1=0,所以b=1,此时(*)中△>0，所以直线 PQ的方程为y=一x十1. 光时精国方银为写+号-1，B正确： 假期必刷26 当A为右顶点，F为右焦点，B为左顶点时|BF=a十c=5, 思维整合室 |AF|=a-c=3, 1.椭圆(1)a>c(2)a=c(3)a<c .a=4,c=1,b=√15， 2.2a2b2c(0,1)a2-b2 技能提升台 北时特国方红为后+若=1，故C正病： 当B为上顶点，F为右焦点，A为右顶点时， 1.D[把圆方程16r2+42=1化为标准方程可得 BFI=a=5,AFI=a-c=3, 16 ∴c=2,b=√a2-c2=√21， 兰-1，所以a-6-}0-9则长长2a=1,然距 4 此时箱周标准方程为元+芳-1，D正.] 7.ABC[对于A,根据椭圆的 2=受短轴长26=日 对称性可知，OF1|=OF2|, OA=OB,故四边形 2.A[由题意易得，e1=a-1,e 1 a 2’ AF1BF2为平行四边形，故A 解得a=2y5] 正确；对于B,根据椭圆的性 3 质，当P在上下顶，点时，OP 3.D[依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的 =b=√2=C.此时∠F1PF2=90°.由题意可知P不可能在 直径及椭圆的长轴围成底角为30°的等腰三角形，腰长为 上下顶，点，故∠F1PF290°，故B正确；对于C,如图，不 伞面圆的直径4√3，椭圆长轴长2a为底边长，则2a=2× 4√3·cos30°=12，即a=6,而椭圆的短轴长2b=43,即 妨设B在第一象限，则直线BE的斜率为BD=BD TEDT 2OD 6=2,所以箱周的高心牵：=，- a =26:故C正痛：对于D.S表，=25△四 =|FF2|·|BD=2w2IBD. 又0<BD<2,故Sg边形A,脚，∈(0,4).故D错误.] 115 0M-= 8.解析：焦点在x轴上，且c=√3， 由根与系数的关系得，x1十2=-16m 19 又2a=2(2b),即a=2b, 则有a2-b2=3b2=c2=3,解得a2=4,b2=1, 12=4m212 19 则精国的标准方银为+y2-1。 因为|MN|=√/(1+k2)L(x1+x2)2-4x1x2J 答案+2=1 /5 (256-16m。48）=1230,解得m=士1. 361 19 19 9.解析：由题意知，c=√a2一4. 又∠F1PF2=60°，|F1P|+PF2|=2a, 12.解：1题言的对你性务知P(-2.},P(2） |F1F2=2a2-4, 关于y轴对称，一定都在椭圆上. .|F1F22=(F1P|+PF21)2-21F1P|·PF21 所以P1(2,√3)一定不在椭圆上.所以P2(0,√2)也在椭 2F1P|·|PF2|cos60°=4a2-3|F1P|·|PF2 周上：搭P0,P(2.)R入横周方程，求得精圆 =4a2-16, FP1·PF=16, 6×2 方程为 2 =1. 3 (2)设直线L方程为y=k(x+2)(k≠0)，P(x1,y1), ∴Sar,5=EP·PPr,lsin60 Q(x2y2),PQ的中点为N. =×9×g- 联立6十？=1 ,可得(3k2+1)x2+12k2x+12k2-6 苦索 y=k(x+2) =0. 10.解析：设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2, 12k2 则x1十x2= 在图2左图中，由椭圆定义可得BF1|十BF2|=2a1, 3k2+712=12k2-6 3k2+1’ ①，由双曲线定义可得|AF2|-AF1=2a2,②，①-② 所以x=十2 6k2 AF+ABI+BFI=2a1-2a2, 2 3k2+1' 所以△ABF1的周长为2a1-2a2, 6k2 2k yN=k 在图2右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反 (厂3+2）厂 射后经过椭圆的另一个焦点， 所以点N坐标为( 6k22k 即直线ED过点F2,所以△EDF1的周长为4a1, 3k2+1'3k2+1 又周为描圆与双曲线焦点湘同，高心率之比为了 1P01=1+k2.2V6/2+1_26(k2+1) 3k2+1 3k2+1 所以a1=3a2,又两次所用时间分别为m,n, 2k 1 6k2 而光速相同，所以m-2a1一2a2-6ag-22=1 PQ垂直平分线方程为y一31-（十32十）： n Aa 12a23 令x=0,求得y= 禁时o01=年气 3k2+1’ 答案：号 2√6(k2+1) 11.解：(1)由条件可得PC+|PF|=|PC+|PB|=|BC 所以68 3k2+1 √6(k2+1) =4>FC=2, 4 2 3k2+1 所以动，点P的轨迹E是以F,C为焦点的椭圆， 设是方瓶为营+芳-1>6>0. -(1+因)户 所以2a=4,2c=2,所以a=2,c=1,b=√5， 因光，当=府：即=士1时，品的最小位为6 所以动点P的我蓬E的方框为营+号=1。 假期必刷27 (2)设M(x1y1),N(x2y2), 思维整合室 联片+ =1, 1.(1)a<c(2)两条射线(3)a>c 可得19.x2+16m.x+4m2-12=0, 2.x∈R,y≤-a或y≥a坐标轴原点A1(一a,0),A2(a,0) (y=2x+m, 由△=256m2-76(4m2-12)>0,得m∈(-√19，√19)， y±x2+ 116