假期必刷23 空间向量与立体几何-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假必刷题

快乐假期 0M= 假期必刷23空间向量与立体几何 吾生也有涯，而知也无涯。 完成日期： 月 《(思维整合室 4.用空间向量求距离 1.空间向量的坐标表示及其应用 (1)点P到直线1的距离 设a=(a1,2,a3),b=(b1,b2,b3). 设AP=a,u是直线l的单 向量表示 坐标表示 位方向向量，则向量AP在 数量积 a·b 直线L上的投影向量AQ= 共线 a=b(b≠0，入∈R) (a·u).在Rt△APQ中，由勾股定理，得 垂直a·b=0(a≠0，b≠0 模 PQ-AP-AQI- a (2)点P到平面a的距离 cos(a,b)= 若平面a的法向量为n,平面a 夹角 (a,b)(a≠0，b≠0) a1b1+a2b2十a3bg a好+a+a略·√b所+b十房 内一点为A,则平面α外一点 P到平面a的距离d= 2.空间位置关系的向量表示 ,如 位置关系 向量表示 员 直线1，l2的方向1∥2 41∥2台41=u2 图所示. 向量分别为山，2 l1⊥12 41⊥2台 (3)线面距离、面面距离都可以转化为点到平 面的距离. 直线1的方向向量 l∥a u⊥n台 为u,平面a的法向 【《技能提升台 量为n l⊥a u/月n台→u=n 1.如图，在正三棱柱ABC一 平面a,B的法向量 a∥B n1∥2台n1=n2 A,BC1中，各棱长均为4，N 分别为n1,2 是CC1的中点. aLB n1⊥2台 (1)求点N到直线AB的 3.用空间向量求空间角 距离； (1)两条异面直线所成的角 (2)求点C1到平面ABN的距离 设异面直线11,12所成的角为0，其方向向 量分别为u,v,则cos0=|cos(u,v〉= (2)直线和平面所成的角 直线AB与平面a相交于B,设直线AB与 平面α所成的角为0，直线AB的方向向量 为u,平面a的法向量为n,则sinO= cos(u,n)= (3)平面与平面的夹角 ①两平面的夹角：平面α与平面3相交，形成 四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 90的二面角称为平面α与平面B的夹角. ②两平面夹角的计算：设平面α，3的法向 量分别是n1,n2,平面a与平面3的夹角为0， 则cos0=cos(n1,n2〉|= 46 三0022. 富三数学墨) 2.（2024·新课标Ⅱ 3.(2024·北京卷)已知 卷)如图，平面四边 四棱锥P-ABCD,AD 形ABCD中，AB= ∥BC,AB=BC=1, 8,CD=3,AD=5 AD=3,DE=PE=2, √3，∠ADC=90°， E是AD上一点，PE ⊥AD. ∠BAD=30°，点E,F分别满足AE= 5 (1)若F是PE中点，证明：BF∥平 AD,AF-2Ai,将△AEF沿EP翻折至 面PCD. (2)若AB⊥平面PAD,求平面PAB与平 △PEF,使得PC=43 面PCD夹角的余弦值， (1)证明：EF⊥PD; (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面 角的正弦值. 47 蜜快条假湖 90M= 4.（2024·全国甲卷（理）)如 (1)若AD⊥PB,证明：AD∥平面PBC; 图，在以A,B,C,D,E,F (2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D的正弦 为顶点的五面体中，四边 形ABCD与四边形 值为9求AD ADEF均为等腰梯形，EF ∥AD,BC∥AD,AD=4,AB=BC=EF= 2,ED=10,FB=23,M为AD的中点. (1)证明：BM∥平面CDE; (2)求二面角FBM-E的正弦值. 6.（2025·珠海高二模拟) 如图，四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD为平 D 行四边形，AD⊥BD,ACA ∩BD=O,AD=BD=2,PB⊥PD,PB= PD,PA=PC,M为PD中点 (1)求证：OM∥平面PBC: (2)求证：平面PAD⊥平面PBD; (3)求二面角APB-C的余弦值. 5.(2024·新课标I 卷)如图，四棱锥P ABCD中，PA⊥底 面ABCD,PA=AC D =2,BC=1,AB =3. 48壁快乐 假期必刷23 思维整合室 1.a1b1+a2b2+asb3 a1=ab,a2=ab2,a3=Ab3 a1b1十a2b2十a3b3=0√Ja+a号十a3 2.41·42=0u·n=0 n1·n2=0 3.(1) u·p u·p (2)wn lu·n u·n uv uv un (3) n1·n2 n1·n2 nn2 nn2 4.(1)Wa2-(a·u)2 (2)A庐·m n 技能提升台 1.解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(23,2,0),C(0,4,A C 0),C1(0,4,4). B N是CC1的中点， .N(0,4,2). (1)AV=(0,4,2),AB=(23,2,0, 则AN1=25,|AB=4. 设点N到直线AB的距离为d1, 则d=AN2 AN·AB2 1ABI =√20-4=4. (2)设平面ABN的一个法向量为n=(x,y,), 则m·A店=25x+2y=0. n·AN=4y+2x=0, 令=2则y=-1, 即n= (-12 易知C1N=(0,0,-2), 设点C1到平面ABN的距离为d2, 则d2= GN·n=1-4=5 n4 3 2解：1△AEF中，AE=号AD=25 AF=合AB=4.∠EAF=30 cOs∠EAF=AE+AF-EF2 2AE·AF g装-皇Br-2 ∴.EF2+AE2=AF2,∴AE⊥EF,∴.PE⊥EF,DE⊥EF PE∩DE=E,PE,DEC平面PDE,∴.EF⊥平面PDE 又，PDC平面PDE,EF⊥PD. (2)DE=55-23=3√5，CD=3,∠CDE=90°， ∴.CE2=36,CE=6 110 900= PE=AE=2√5，∴PE2+CE2=PC,∴.PE⊥CE 又，PE⊥EF,EF∩CE=E,EF,CEC平面DEF PE⊥平面DEF,PE⊥ED,即EF,ED,EP两两垂直 以EF,ED,EP分别为x,y,之轴建立如图所示空间直角 坐标系Exyz,则 P(0,0,23),D(0,3√3,0)，F(2,0,0),A(0,-23,0) B(4,2√3,0)，C(3,3√3,0)，则PD=(0,3√3，-23)，CD =(-3,0,0),PB=(4,2√3，-2√3)，BF=(-2,-23,0) 设平面PCD的法向量n1=(x1,y1,1) n·Pi=0 (33y1-23x1=0 。。 n1·CD=0(-3.x1=0 不妨设y1=2,则1=3，x1=0,n1=(0,2,3) 设平面PBF的法向量n2=(x2y2,2) n2·PB=0,(4x2十23y2-23x2=0 n2·BF=0-2x2-2W3y2=0 不妨设x2=3,则2=-1,2=1,2=(W3,-1,1) 设平面PCD与平面PBF所成的二面角为a 1·n2 1 √/65 cos(m)213X565 8/65 sin a= 65 解：(I)取PD的中，点为S,连接SF,SC,则SF∥ED,SF =2ED=1, 而ED∥BC,ED=2BC,故SF∥BC,SF=BC,故四边形 SFBC为平行四边形， 故BF∥SC,而BF丈平面PCD,SCC平面PCD, 所以BF∥平面PCD. (2)因为ED=2,故AE=1,故AE∥BC,AE=BC, 故四边形AECB为平行四边形，故CE∥AB,所以CE⊥ 平面PAD, 而PE,EDC平面PAD,故CE⊥PE,CE⊥ED,而PE⊥ED, 故建立如图所示的空间直角坐 24 标系， 则A(0,-1,0),B(1,-1,0), C(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2), 则PA=(0,-1,-2),PB= (1,-1,-2),PC=(1,0,-2), PD=(0,2,-2) 三022 设平面PAB的法向量为m=(x,y,z), 则由 m·PA= 。,可得一y-2=0 取m=(0,-2,1). m·PB=0 x-y-2x=0 设平面PCD的法向量为n=(a,b,c), 则由 。可得a-2c=0 n·PC=0 n·PD=0 12b-2c=0 ,取n=(2,1,1) 故cos〈m,n)= -1 √30 W5×W6 301 故平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为Y30 30 4.解：(1)证明：：BC∥AD,AD=4,BC=2. 又M为AD的中点，.DM=2 :.BC LDM, ,四边形BCDM为平行四边形， .BM∥CD, ,BM吐平面CDE,CDC平面CDE, .BM∥平面CDE. (2)取AM的中点G,连接BG,FG, 在△ABM中，AB=BM=AM=2, ∴.BG⊥AD,且BG=W3, :M为AD的中点，.EF LDM .四边形MDEF为平行四边形， ..FM=DE=AF=10, ,△AMF为等腰三角形 .FG⊥AM且FG=3, 在△BGF中，BG=√3，FG=3,又 个z FB=23, ..BG2+FG2=FB2 .BG⊥FG ∴.以G为坐标原点，GB,GD,GF 所在直线分别为x轴，y轴，之轴 -→M 建立空间直角坐标系如图， B 则B(3,0,0),F(0,0,3),M(0,1,0),E(0,2,3), ∴.MB=(5,-1,0),ME=(0,1,3),MF=(0,-1,3) 设平面FBM的法向量为m=(x1y1,之1) 则 m⊥MB, mLMF.' 81-y=0, (一y1+31=0, 令之1=1，则y1=3,x1=5, .平面FBM的一个法向量为m=(W3,3,1). 设平面EBM的法向量为n=(x2,y2,2), 则0L应：小8g0 {nLM正，"{b2+3x2=0, 令x2=-1,则y2=3,x2=√3， .平面EBM的一个法向量为n=(W3,3,-1), 设二面角FMBE的大小为a,则 cos a=I cos(m,n)= m·n11 1m1n=13 …sima=43 13 二面角FBME的正弦值为4S 13 富三数学) 5.解：(1)因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥BC. 又AD⊥PB,且AP∩BP=P,AP,BPC平面PAB,所以 AD⊥平面PAB.在△ABC中，因为AC=2,BC=1,AB=5, 所以AC=BC+AB,即AB⊥BC,又AP⊥BC,且AP∩AB =A,AP,ABCPAB,所以BC⊥平面PAB.因此，AD∥BC, 又AD中平面PBC,BCC平面PBC,所以AD∥平面PBC (2)过D点作DE∥PA,则DE ⊥平面ABCD,以D为坐标原 点，分别以DA,DC,DE为x轴， y轴，之轴建立空间直角坐标系 设DA=m,DC=,其中m2+n2 =4,则A(m,0,0),C(0,,0), P(m,0,2), 所以AP=(0,0,2),CP=(m,-n,2),DC=(0,1,0). 设平面APC的法向量为n=(x,y,z), 则/nlA户 12x=0, →，即 令x=n,则y=m, n⊥Cplm.x-y+2x=0, 所以n=(n,m,0): 设平面DPC的法向量为v=(x,yx), 同理可得v=(2,0,一m). 因为二面角APCD为锐二面角，所以其余弦值为7， =cos(n,v)= 2n ,解得m=√3， √m2+n2/4+m 即AD=√3. 6.解：(1)证明：四边形ABCD为平行四边形， AC∩BD=O, O为BD中点， M为PD中点， .OM∥PB,OM丈平面PBC,PBC平面PBC,∴.OM∥ 平面PBC. (2)证明：四边形ABCD为平行四边形，AC∩BD=O, .O为AC,BD中点， .PB=PD,PA=PC, .PO⊥AC,PO⊥BD,AC∩BD=O, ,PO⊥平面ABCD, .AD⊥PO, 又AD⊥BD,BD∩PO=O, AD⊥平面PBD,ADC平面PAD, 平面PAD⊥平面PBD. (3)以DA,DB所在直线分别为 x轴、y轴，过D且与平面AB CD垂直的直线为之轴，建立如 图所示空间直角坐标系， ,AD=BD=2,AD⊥BD .BCLBD,BC=2,AB=CD=22, ,PB⊥PD,PB=PD, .PB=PD=2,PO=1, ,'AD=2,AD⊥BD,DO=1, 飞学快乐假羽 .-90= .AO=5=OC,A(2,0,0),P(0,1,1),B(0,2,0), C(7,0)不满足上式，矛盾，所以乙正确.假设丙错误，甲、 C(-2,2,0), 乙、丁正确.由乙、丁得|AC=√42+32=5>25，与半径 PA=(2,-1,-1),PB=(0,1,-1),PC=(-2,1,-1), 为√5矛盾，所以丙正确.假设丁错误，甲、乙、丙正确，则由 设平面PAB和平面PBC的法向量分别为n1=(x1,y1, 甲、丙可知圆的方程为(x一2)2+(y一1)2=5，A(3,3)满 -1),2=(x2y2,-1), 足上式，符合题意.综上所述，结论错误的同学是丁，] 则n1,n2夹角的补角0就是二面角A-PB-C的平面角， 6.D[由题意，直线y=-3x+b与直线y=a.x十2关于直 由m·P时=2，-+1=0， 线y=一x对称，所以直线y=Q.x十2上的，点(0,2)关于直 n1·PB=y1+1=0, 线y=一x的对称点(-2,0)在直线y=-3x十b上，所以 布·P店=%+1=0. (-3)×(-2)十b=0,所以b=-6,所以直线y=-3x-6 上的点(0，一6)关于直线y=一x的对称点(6,0)在直线y n2·PC=-2x2+y2十1=0， 解得=-1和=0， =a+2上，所以6a十2=0，所以a=日] 1y1=-1,y2=-1 7.D[整理直线方程得：(x+y-2)十(3x十2y-5)=0, ∴.n1=(-1,-1,-1),n2=(0,-1,-1), 由∫x十y一之二0解得了1，二P（1·1),由圆的方程知 c0s0=-·2=-2-6 13.x+2y-5=0,1 n1 n2 63 圆心C(-2,-1),半径r=1,.|MP|max=1CP|十r 二函角APBC的会孩位为一5 =√(-2-1)2+(-1-1)2+1=√/13+1.] &AC[当支线经过原点时：针率=8-2 假期必刷24 所求直线方程为y=2x,即2x-y=0. 思维整合室 当直线不经过原点时，设所求直线方程为x士y=k, 1.y=kx+b y-yo=k(x-xo) y-y1=x一1 把，点A(1,2)代入可得1-2=k或1十2=k,求得k=-1 y2y1x2一x1 或k=3, 故所求的直线方程为x一y+1=0或x十y一3=0.] 9.ABD[设△ABC的外接圆M的方程为x2+y2+D.x+ 2.(1)k1=k2平行(2)k1·k2=-1垂直 Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 3.定长D2+E2-4F>0 ,1+4-D+2E+F=0, D=-2, 技能提升台 则4+1+2D+E+F=0,解得)E=-6,所以△ABC 1 (9+16+3D+4E+F=0, F=5. 1.B[所求直线的斜率为一2，由所求直线过点(01)， 的外接圆M的方程为x2+y2-2x一6y+5=0, 则直线方程为y=-分x十1，即x十2y一2=0.] 即(x-1)2+(y-3)2=5. 故圆M的圆心坐标为(1,3)，圆M的半径为√5， 2.A[由题意可知，圆心M的横坐标为十4=2，纵坐标为 因为直线x十y=0不经过圆M的圆心(1,3)， 2 所以圆M不关于直线x十y=0对称. 2+4=3,即，点M(2,3),圆M的半径为MP1|= 2 因为(2-1)2+(3-3)2=1<5， √(2-0)2十(3-2)2=5，因此，圆M的标准方程为(x一2)2 故点(2,3)在圆M内.] +(y-3)2=5.] 10.AB[圆C的标准方程为(x十1)2+(y-2)2=5-a, 3.D[直线l:y=k(x-2)十1经过定点P(2,1), 故a<5. 又因为弦AB的中点为M(0,1), 3-1 -1-11 六kpPm--2-2,kpB--2-22 故M点在圆内， 又直线I:y=k(x一2)十1与线段AB相交， 所以(0+1)2+(1-2)2<5-a,即a<3. -2≤] 综上可知a<3.] 11.解析：直线l1:x十ay=1,l2:a.x+y=1, 4.C[设圆的方程为(x十1)2+(y-1)2=R2, 当l1∥l2时，a2-1=0,解得a=士1. 经过坐标原点(0,0)，则R2=2. 当a=1时，l1与l2重合，不满足题意； 所以(x十1)2+(y-1)2=2,即x2+y2+2x-2y=0.] 当a=-1时，l1∥l2, 5.D[设A(3,3),B(2,1),C(7,0).假设甲错误，乙、丙、丁 则l1:x-y-1=0,l2:x-y十1=0， 正确，|AB引=W1+22=√5，|BC=√52+1=√26，|AB引≠ 则41与2的距离为d=一1-1川=2. |BC,矛盾，所以甲正确.假设乙错误，甲、丙、丁正确， √12+(-1)2 由甲、丙正确可知圆的方程为(x一2)2+(y-1)2=5, 答案：√2 112