专项8 三角形中线段与角的简单计算&专项9 三角形中角度的综合探究-【芸熙百分】2025-2026学年七年级数学下册期末必刷卷专项精炼（华东师大版·新教材 河南专版）

河洛芸熙·期末考试必刷卷 而将苍观 专项8三角形中线段与角的简单计算 可紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=110° (1)请按下列要求尺规作图.（不写作法，保留作图痕迹) ①作边BC上的高AD;②作∠A的平分线AE; (2)求∠DAE的度数. 2.如图，在△ABC中，将△ACB沿直线MN折叠，使点C与点B重合，连结BM. (1)若∠A=80°，∠C=40°，求∠ABM的度数； (2)若AB=5,AC=8,求△ABM的周长. 3.世新考法过程性探索活动A和B均是多边形，阅读A和B的对话，完成下列各小题. A 你的边数比我的多x条 我的内角和比你的多360°，B (1)嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正 确？并说明理由； (2)设A的边数为n(n>3). ①若n=7,求x的值； ②淇淇说：“无论取何值，x的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由. 24 兴·七年级·数学·下册 而营迎 4.如图，已知正方形ABCD的边长是2，点E在DC上，△ADE经顺时针旋转后与△ABF重合. (1)指出旋转的中心和旋转的角度； (2)△ABF向右平移后与△DCH重合，则平移的距离是多少？ (3)连结EF,那么△AEF是什么三角形？请说明理由， 5.如图，△ABC和△ADE关于直线MN对称，BC和DE的交点F在直线MN上. (1)若ED=15,BF=9,求EF的长； (2)若∠B=35°，∠E=65°，∠BAE=16°，求∠BFN的度数； (3)连结BD和EC,判断BD和EC的位置关系，并说明理由. M A 6.在数学活动课上，数学张老师引导大家探究角平分线的夹角问题.在△ABC中，∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于点P. 【问题研究】 (1)①如图1，若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC= ②猜测∠BP℃与∠A之间的数量关系，并说明理由. 【问题延伸】 (2)如图2，作△ABC的外角∠CBM、∠BCN的平分线相交于点Q,则∠Q与∠BPC之间的数 量关系为 图1 图2 25 河洛芸熙·期末考试必刷卷 而将苍观 专项9三角形中角度的综合探究 可紧扣课程标准，根据最新教材编写 1.世新考法新定义类几何探究题阅读理解：如果两个三角形各有一个角互为对顶角，那 么这两个三角形叫做对顶三角形.如图1，△AOB与△COD互为对顶三角形 (1)问题发现：如图1，试说明：∠A+∠B=∠D+∠C; (2)拓展研究：如图2，若AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分线，∠B=m°，∠C= n°，求∠M的度数；（用含m、n的代数式表示） (3)解决问题：在(2)的条件下，如图3，若AN与DN分别平分∠PAC与∠QDB,100°<∠N< 120°，请直接写出m+n的取值范围. 图1 图2 图3 2.世新考法主题式几何探究题【操作拼图】 已知一副直角三角板先按图中的方式拼接在一起，其中OC与直线MN重合，∠AOM=33°， ∠C0D=30°，∠A0B=45°. (1)在上述所拼图形中，∠BOD的度数为 【问题探究】 (2)在上述所拼图形的基础上，让三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O以每秒4 的速度顺时针方向旋转，且两块三角板均在直线MN的上方.设三角板AOB的旋转时间为t 秒，在旋转过程中，请求出当∠BOC=2∠BOD时，旋转时间t的值； 【拓展延伸】 (3)在按照【操作拼图】要求拼好图后，让三角板AOB绕着点O以每秒4的速度顺时针方向 旋转的同时，三角板COD也绕着点O以每秒2°的速度逆时针方向旋转.在旋转过程中，两块 三角板均在直线MN的上方，且当三角板AOB停止旋转时，三角板COD也停止旋转.设三角 板AOB的旋转时间为t秒.在旋转过程中，是否存在某一时刻，使OB、OD、OC三条边中一边是 另外两边所成角的平分线？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由 337 26而派言侧 去括号，得2x-2=12-9x-3. 移项，得2x+9x=12-3+2.合并同类项，得11x=11. 将未知数的系数化为1，得x=1. 2x37i.0+②，得2x=8 (2)方程组整理，得4x-3y=7, 解得x=4把x=4代入①，得y=3.厂x=, 1y=3. 2.解：根据题意，知x=4是方程2(2x-1)+1=5(x+a)的解 把x=4代入2(2x-1)+1=5(x+a),得 2×(2×4-1)+1=5×(4+a).解得a=-1. 原方程为2x-1 5 1=x-1 去分母，得2(2x-1)+10=5(x-1) 去括号，得4x-2+10=5x-5.移项、合并同类项，得-x=-13 将未知数的系数化为1，得x=13 3.解：(1)解不等式①，得x≤1+m. 由题意，得不等式①的解集为x≤3..1+m=3.解得m=2. (2)由(1)知不等式①的解集为x≤3.解不等式②，得x>-3. ∴.不等式组的解集为-3<x≤3 .不等式组的所有整数解为-2、-1、0、1、2、3 专项7实际应用题 1.解：(1)设一个A部件的质量为xt,1个B部件的质量为yt 限据题意，得232.8，解得x三8， y=0.8. 答：1个A部件的质量为1.2t,1个B部件的质量为0.8t (2)设该卡车一次最多可运输m套这种设备通过此大桥 根据题意，得(1.2+0.8×3)m+8≤30. 解得m≤5 m为整数，且取最大值.m=6. 答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥 2.解：(1)设每个B型点位每天处理生活垃圾x吨，则每个A 型点位每天处理生活垃圾(x+7)吨. 根据题意，得10x+12(x+7)=920.解得x=38. 答：每个B型点位每天处理生活垃圾38. (2)设需要增设m个A型点位，则增设(5-m)个B型点位， 根据题意，得(38+7-8)(12+m)+(38-8)[10+(5- m)]≥920-10.解得m≥1 ·m为正整数，.m的最小值为3. 答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活 垃圾. 3.解：(1)设釉色A瓷器每套的售价为a元，釉色B瓷器每套 的售价为b元. 根据题意得3：±60二60解得{8=860， b=680 答：釉色A瓷器每套的售价为350元，釉色B瓷器每套的售 价为680元. (2)设购进釉色A瓷器m套，则购进釉色B瓷器(20-m)套 ,300m+600(20-m)≤8500， 根据题意，得 120-m≥ 2 解得11 3sm≤13 3 :m为整数，.m的值为12或13..有两种进货方案： ①购进釉色A瓷器12套，釉色B瓷器8套； ②购进釉色A瓷器13套，釉色B瓷器7套 4.解：任务1：根据题意，得设计部分的长为(330-2x)cm,宽 为(320-2x)cm. 任务2：设计的部分也是长方形，且长与宽的比是31：30， ∴.(330-2x):(320-2x)=31:30.解得x=10. 答：四周的宽度是10cm, 任务3：(1)设每个栏目的水平宽度为ycm,每栏竖行两列 中间间隔的宽度是acm,则横向中间间隔的宽度为3acm 根据正方形的边长相等，得300_30=y,“.解得y=100, 6 答：每个栏目的水平宽度为100cm (2)330-2x-3y_330-2×10-3×100=5. 答：长方形栏目与栏目之间的中缝间距为5cm 兴·七年级·数学·下册 专项8三角形中线段与角的简单计算 1.解：(1)如图所示，AD、AE即为所求 D (2).·∠B=40°，∠ACB=110°， .∠BAC=180°-∠B-∠ACB=30°. AE平分∠BAC,BAE=)∠BAC=15O .·边BC上的高是AD,.∠ADB=90 ∠B=40°，.∠DAB=90°-∠B=50° .∴∠DAE=∠DAB-∠BAE=50°-15°=35° 2.解：(1)∠A+∠C+∠ABC=180°，∠A=80°，∠C=40°， .·.∠ABC=180°-80°-40°=60°. 由折叠的性质可知，∠MBN=∠C=40°. .·∠ABC=∠ABM+∠MBN, .·.∠ABM=∠ABC-∠MBN=60°-40°=20」 (2)由折叠的性质可知，MB=MC..△ABM的周长=AB+ AM +BM=AB +AM+CM=AB+AC=5+8=13. 3.解：(1)嘉嘉的说法不正确.理由如下： 多边形的外角和始终为360°，与多边形的边数无关 (2)①180°×(7+x-2)-180°×(7-2)=360°.解得x= 2,即x的值为2.②180°×(n+x-2)-180°×(n-2)= 360°.解得x=2. ∴.无论n取何值，x的值始终不变. 4.解：(1)旋转的中心是点A,旋转的角度是90°， (2)·正方形ABCD的边长是2，·△ABF向右平移的距离是2. (3)△AEF是等腰直角三角形.理由如下：根据题图可知 △ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，∴.∠FAE= 90°，AF=AE..△AEF是等腰直角三角形. 5.解：(1).△ABC和△ADE关于直线MN对称，ED=15,BF=9, ∴.DF=BF=9...EF=ED-DF=15-9=6. (2):△ABC和△ADE关于直线MN对称，∠E=65°， ∴.∠C=∠E=65°..∠B=35 ∴.∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80° .∠BAE=16°，.∴.∠EAC=∠BAC-∠BAE=80°-16°=64° :,·线段AE与AC关于直线MN对称， ∠EAN=∠CAN= 2∠B1C=3x640=320 ∴.∠BAN=∠BAE+∠EAN=16°+32°=48 M .·.∠BFN=∠B+∠BAN=35o+48o=83°. (3)BDEC.理由如下： 如图，连结BD和EC.由轴对称的性质可 知MN⊥EC,MN⊥BD,∴.BD∥EC. 6.解：(1)①120 ②LBPC=90°+2乙A理由如下： .·∠A+∠ACB+∠ABC=180°，.∠ACB+∠ABC=180°-∠A. ,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线， LPBC =LABC.L PCB=7LACB. .·∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，∴.∠BPC=18O°-∠PBC- ∠PCB=180°-1 ∠ABC-2∠ACB=180-(LABC+ ∠AcB)=180°-2(180-LA)=90+号∠A (2)∠O=180°-∠BPC 解析.BQ、CQ分别是∠CBM、∠BCN的平分线，.∠CBQ= 2∠CBM,∠BCQ=2∠BCN∠CBM=∠A+∠ACB, ∠BCN=LA+∠ABC,∠CBQ=?LA+2∠ACB, ∠BCQ=3∠A+;LABC.:∠CB0+∠BCQ+∠Q= I80°，号LA+7∠A+2(LABC+∠ACB)+LQ ●● 4 河洛芸熙·期末考试必刷卷 180.∠A+3(180°-∠A)+L0=180.∠0=90° 2∠A由(1)，得∠BPC=90°+2∠A2∠A=∠BPC- 90°.∴.∠Q=90°-（∠BPC-90°）=180°-∠BPC. 专项9 三角形中角度的综合探究 1.解：(1)：∠A+∠B+∠A0B=∠D+∠C+∠C0D=180°， ∠AOB=∠COD,∴.∠A+∠B=∠D+∠C. (2)如图，设AM与BD相交于点E,AC与DM 相交于点F, .*∠AED=∠B+∠BAE=∠M+∠EDM D ∴.∠M=∠B+∠BAE-∠EDM. ·.·AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的 B 平分线， ∠BAE=2∠BAC,∠BDM=?∠BDC 由(1)知∠BAC+∠B=∠BDC+∠C, LBAC-∠BDC=LC-LR·LM=LB+3∠BAC- 2∠BC=LB+3(LBAC-∠BC)=LB+(ZC- ∠)=B+=m+ (3)120<m+n<160.解析)，：AN与DN分别平分 ∠PAC、∠QDB,AM是∠BAC的平分线，DM是∠BDC的平分 线，.∠NAC+∠MAC= 2∠PAC+ 2∠BAC= 2∠PAB= 90°，∠NDB+LBDM=)∠QDB+7∠BDC= 2∠QDC= 90°，即∠MAN=∠MDN=90°..∠N=360°-∠MAN- ∠MDN-∠M=360°-0-90°-(3m°+20)=180°- m+n.10<ZN<120,10<180-2(m°+ 1 n°)<120°.∴.120<m+n<160. 2.解：(1)72 (2)分两种情况：①当OB在∠COD外部，且∠BOC= 2∠BOD时..·∠BOC=∠BOD+∠COD,∴.2∠BOD= ∠B0D+∠COD.∴.∠BOD=∠COD=30. 由(1)，得∠B0D=72°，..72-4t=30.解得t=10.5; ②当OB在∠COD内部，且∠BOC=2∠BOD时. .2∠B0D+∠B0D=30°，∴.∠BOD=10. ∴.4t-72=10.解得t=20.5. 综上所述，旋转时间t的值为10.5或20.5. (3)存在，t的值为7或14.5或22.解析由33+45+4t =180,得1=25.5，当1=25.5时，0B与0N重合，此时三 角板AOB停止旋转.分三种情况讨论：①如图1，当OD平 分∠B0C时，则∠B0D=∠C0D,∴.72-4t-2t=30.解得t =7.②如图2，当OB平分∠COD时.则∠BOD=∠BOC= 15 ,.72-4t+30-2t=15.解得t=14.5.③如图3，当0C 平分∠B0D时，则∠B0C=∠C0D=30°.∴.4t-72+21- 30=30.解得1=22.综上所述，t的值为7或14.5或22. B D Ap C B>C 0 0 图1 图2 图3 试卷1鹤壁市 一、选择题 题号12345678910 答案DBCD CBCADA 10.A解析由旋转的性质，得BC=B'C',∠BAB'=∠CAC'= 50°，AB=AB',∠ABC'=∠ABC=30°.①、③正确； ∠CAB=20°，.∠CAB=∠BAB'-∠CAB=50°-20°= 30°..∴.∠CAB≠∠CAB',∠CAB'=∠AB'C'..∴.AC∥C'B'. ②正确、④错误.综上所述，结论正确的有①②③.故选A. 二、填空题 11.a<112.113.720°14.x=-3 5 而衣卷观 15.3解析》BE是AC边上的中线，.AE=CE.设AC边 上的高为h,~SAE=2A北·h,S=号CB·h, ∴.S△ABE=S△BCE·①正确；∠BAC=90°，AD是高， ∴.∠ADB=90°，.∠ABD+∠BAD=90°，∠DAC+∠BAD= 90°，∠ABD=∠DAC.CF是角平分线，.∠ACF= ∠BCF.·.:∠AFG=∠FBC+∠BCF,∠AGF=∠GAC+ ∠ACF,.∠AFG=∠AGF.②正确；：∠BAD+∠DAC= 90°，∠DAC+∠ACB=90°，∴.∠BAD=∠ACB.,·∠ACB= 2∠ACF,.∠BAD=2∠ACF,即∠FAG=2∠ACF③正确： 根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB,④错误.综上所 述，①②③正确，即说法正确的共有3个. 三、解答题 16.解：(1)去分母，得2(x-1)-(3x-1)=8. 去括号，得2x-2-3x+1=8. (2分》 移项，得2x-3x=8+2-1.合并同类项，得-x=9. 将未知数的系数化为1，得x=-9. (5分) 2方程组整理，得，4,9 由①+②，得3x-18.解得x=6. (2分) 将x=6代入①，得6+3y=14.解得y= 3 (4分) 「x=6, 所以方程组的解为 8 y=3 (5分) ,5x+1>3(x+1),① 17.解：1+2x 3 ≥x-1.② 解不等式①，得x>1. (3分) 解不等式②，得x≤4 (6分) 如图，在同一数轴上表示出不等式①②的解集，可知所求 不等式组的解集是1<x≤4. (8分) -2-10 2345 r2x-3y+2=0,① 18.解： 5-2x+3y+2y=9.② 由①得，2x-3y=-2.③ 把3代人②，得52+2y=9.解得y=4 7 (5分) 把y=4代入③，得2x-3×4=-2.解得x=5. (8分) 所以方程组的解为厂x=、, y=4. (9分) 19.解：(1)如图，△AB,C,即为所求 (3分) (2)如图，△AB2C即为所求. (6分) (3)如图，点P即为所求. (9分) B 解析》连结AB交直线l于点P.:A、A,关于直线I对 称，.PA=PA,,.PA+PB=PA+PB..当P、A、B三点 共线时，PA,+PB最小，即PA+PB最小..图中点P即为 所求 20.獬：：∠B=50°，∠C=110°，∠D=90° ∴.∠BAD=360°-∠B-∠C-∠D=360°-50°-110° 90°=110 (3分) ·AF是∠BAD的平分线， ·∠BAF= 2∠BAD=7×110°=55， (5分) ,AE⊥BC,∠B=50°，∴.∠BAE=90°-∠B=40° ,∴，∠EAF=∠BAF-∠BAE=55°-40°=15°. (9分) 21.解：(1)②3 (3分) (2)由题意，得{2+ (5分) 解得m=2g-2, (7分) ln=4-4. ∴.2g-2+4-9>1.解得g>-1. (10分)