专题07 新定义题型高频考点专项突破6大题型（高频考点专练）（上海专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

新运算符号：a⊙b、a*b、a△b 常见类型0 新运算规则：a©b=a2+ab+b2 按定义代入，不套用引旧运算律 运算新定义O 解题方法0 多步运算按题目规定顺序 含参数分类讨论 不默认满足交换律、结合律 易错提程O 代入注意符号、负数平方 运算律需逐条验证 常见类型C 新函数：绝对值、分段、取整函数 新性质：友好、对称函数、等值点 画图/列表观察特征 函数新定义O 解题方法0 据定义列方程、不等式 数形结合、特殊推一般 注意定义域限制 易错提醒。 分段函数分段讨论 性质按定义验证 常见类型0 新图形：邻补四边形、等角六边形 新特征：等角点、共线点、完美三角形 画典型图形 几何图形新定义。 解题方法⊙ 提取角度、线段数量关系 转化为全等、相似、圆条件 多构图情况分类讨论 易错提醒Q 区分“任意”与“存在” 同时满足全部定义条件 曼哈额距离、点到图形新距离 常见类型⊙ 最大值距离max(x,-x2y1-y2lD 坐标系画图看轨迹图形 距离新定义O 解题方法0 建方程转化几何、不等式 利用几何意义求最值 不满足三角不等式勿套最短路径 易错提醒⊙ 含绝对值分段讨论 不同距离定义下“圆”形态不同 常见类型⊙ 伸缩、错切、对称旋转复合变换 180旋转、位似放大缩小变换 按规则求变换后坐标 变换新定义⊙ 解题方法0- 分析面积、角度等不变量 画图辅助理解变换 复合变换顺序不可交换 易错提醒0 变换可能改变形状比例 逐一确认前后对应关系 新禄念+性质探究+证明 常见类型0 阅读材料+新定义+迁移应用 多层次递进式探究 逐句提取材料关键条件 综合探究型新定义C 解题方法0 从特殊列举、猜想、验证 转译为常规数学语言 借用前问结论解后问 长材料不漏隐含条件 易错提醒0 猜想结论必须严谨证明 用好多问递进关联关系 专题07 新定义题型高频考点专项突破6大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 运算新定义 题型二 函数新定义 题型三 几何图形新定义 题型四 距离新定义 题型五 变换新定义 题型六 综合探究型新定义 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 新定义题型是上海中考数学近年来的特色题型，也是区分度较高的核心题型之一。从近五年考情看，新定义题通常出现在填空题第17-18题（4分） 或解答题第22-25题（10-14分），分值约4-18分，占全卷的3%-12%。这类题型以“即时定义、现学现用”为特点，考查学生在短时间内理解新概念、迁移旧知识、解决新问题的综合能力。专家指出，新定义题型“立意新颖，考查创新意识和数学核心素养”，是区分中上等生与优等生的关键题型。 从内容分类看，上海中考新定义题主要包括：运算新定义（定义新的运算符号或规则，通常在选择/填空中出现，5年2考）、函数新定义（定义新函数或函数的新性质，常在填空压轴或第24题中出现，5年3考）、几何图形新定义（定义新的图形或图形的新的特征，2025年第18题“正五边形的弦”即为典型，5年3考）、距离新定义（定义两点或点到图形的新距离概念，常在填空压轴出现，5年2考）、变换新定义（定义图形的新的变换方式，5年1-2考）。 基础能力必备：新定义题型的核心能力要求包括：阅读理解能力（准确提取定义中的条件和结论）、知识迁移能力（将新定义与已学知识建立联系）、分类讨论能力（新情境下多解情况的完整分析）、抽象概括能力（从特殊到一般的规律归纳）。 2026中考预测： 题型稳定：新定义题型将继续稳定在填空第17-18题的位置，可能以几何新定义（如新定义某种四边形的性质探究）或函数新定义（如新定义某种函数变换）的形式出现。解答题中也可能出现以新定义为背景的探究题（第22题或第24题），要求学生在新定义框架下完成证明或计算。 难度平稳：新定义题的难度通常控制在0.5-0.65之间。题干较长、概念新颖会带来心理压力，但一旦准确理解定义，后续解题步骤往往回归常规方法。2026年新定义题的难度预计与2025年持平，不会出现过于抽象或超出初中知识范围的超纲定义。 命题趋势：新定义题将更加注重“从具体到抽象”的思维过程。可能从具体的数值或图形出发，引导学生发现规律并归纳出一般性结论。同时，“去模型化”趋势明显——新定义题的背景越来越新颖，难以用现有模型直接套用，必须真正理解定义才能解题。几何新定义（如“邻补四边形”“等角点”“共线点”等）和函数新定义（如“友好函数”“对称函数”等）是热门方向。 题型一 运算新定义 【真题呈现01】（2026·上海·奉贤二模） 在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． （1）求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； （2）已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入求解即可；设抛物线上的“一步点”坐标为，则，联立，，求解即可； （2）①先确定点、的坐标，根据顶点是“一步点”， 且点的横坐标为，得到，当点在的内部时，则点在第一象限且在直线下方，据此求解；②由平移性质可知，新抛物线的表达式为，令，得，求出，，根据建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据“一步点”的定义，抛物线的顶点的横坐标为时，顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入得， ， 解得， 抛物线的表达式为，即， 设抛物线上的“一步点”坐标为，则， 将代入抛物线表达式得，， 解得，， 当时，，点为， 当时，，点为； 【小问2详解】 ①对于， 令，得，， 令，得，， 顶点是“一步点”， 且点的横坐标为， ， 若点在的内部，则点在第一象限且在直线下方， ， 解得， 的取值范围是； 【变式01】（2026·上海·中考预测）定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是 ．           图1               图2 【答案】/ 【分析】根据调和点列可得，进而得出，证明，得出，进而即可求解． 【详解】解：∵是调和点列，且， ∴ ∴ 即 解得：（负值舍去） ∵, ∴ ∴ ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何新定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式02】（2024·上海嘉定·三模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． (1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是 ；如图1，在等腰中，，经过点A、B的交边于点D，交于点E，连接，若四边形为圆美四边形，则的值恰与 °角的余切值相等 (2)如图2，在中，经过点A、B的交边于点D，交于点E，连接交于点F，若在四边形的内部存在一点P，使得，连接交于点G，连接，若． ①试说明：四边形为圆美四边形； ②若，，，当最小时，求：的值 【答案】(1)正方形； (2)①见解析；②1 【分析】此题考查的是圆的综合题，主要考查了新定义圆美四边形的定义的理解和运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． （1）根据圆美四边形的定义即可直接得出结论；连接，先判断出，得出，得到，得到，再求出，即可得到答案； （2）①先判断出，得出，进而判断出，得出，即可得出结论； ②先判断出，再证，进而得出，设，则，， 即可得出关于x、y的等式，进一步即可求出最终结果． 【详解】（1）根据圆美四边形的定义可知，正方形是圆美四边形， 连接，如图， ∵， ∴是的直径， ∴， ∵四边形为圆美四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在等腰中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，是等腰直角三角形，，点D是延长线上一点，且， 则，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴的值恰与角的余切值相等； 故答案为：正方形； （2）①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 又∵，， ∴，即， ∴， 又∵A，B，E，D在同一个圆上， ∴四边形为圆美四边形； ②∵， ∴，， ∴， ∵ A，B，E，D在同一个圆上，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， 设，则，， ∵， ， ∴在中，， ∴， 则利用勾股定理可得， 同理在中可求得：， 根据 得：， 即有 ∴当时，y取最小值，最小值为， 此时． 【变式03】（2024·上海嘉定·三模）2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 【答案】(1)0 (2)这个不动点是 (3)或 【分析】（1）令，得，得，进而得，代入解析式得得，从而得，再把代入解析式即可得解； （2）由得：，根据函数有唯一的不动点得或．把代入，得，求解即可； （3）分和利用解直角三角形，旋转的性质及二次函数的图像及性质即可求解． 【详解】（1）解：令，得， ． 代入解析式得得 ∴ 当时 当时，． （2）解：由得： ∵有唯一的不动点 解得：（舍）或． 当时， ∴， 这个不动点是． 题型二 函数新定义 【真题呈现02】（2024年上海市中考数学真题） 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 【变式01】（2026·上海·长宁二模） 在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据点满足，，得，进而得，即点为“-优点”满足，设，将其代入，得关于c的一元二次方程，解方程即可求解．注意检验． 【详解】解：∵点满足，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即点为“-优点”满足， ∵点C在抛物线上， ∴可设， ∵点C是“2026-优点”， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，， 故点C的坐标为或． 检验：对于点，有； 对于点，有． 两点均满足题意． 【变式02】（2026·上海·松江二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由于平移不改变抛物线的特征值，抛物线的特征值是即为抛物线的特征值，据此画出图象结合新定义求解即可． 【详解】解：∵平移不改变抛物线的特征值， ∴抛物线的特征值即为抛物线的特征值，如图： 此时抛物线的对称轴为轴， ∵，轴 ∴，即 设，则， ∴， 将点代入，则， 解得或（舍去） ∴． 【变式03】（2026·上海·虹口二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用二次函数顶点解析式以及待定系数法进行求解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 根据题意得，， 将代入解析式得， 解得或． 【变式04】（2026·上海黄浦·一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，新定义，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，根据抛物线和，得出开口方向和对称轴，再求出这两个抛物线的交点的横坐标，分别是，再根据点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵的 ∴开口方向向下，对称轴为， 把代入，得， 即的最大值为； ∵的 ∴开口方向向上，对称轴为， 抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大， 依题意，得， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴抛物线和有两个交点，且它们的横坐标分别是， 把代入，得， ∵抛物线的对称轴为，最大值为，抛物线在对称轴的右边，随着的增大而增大，且，点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点， ∴， 故答案为：． 题型三 几何图形新定义 【真题呈现03】（2024年上海市中考数学真题） 【变式01】（2026·上海·静安二模） 如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”． （1）如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； 【答案】（1） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，设，则，根据正切的定义，得出，进而求得，在中，勾股定理建立方程，即可求解； （2）作的垂直平分线交于点，在的垂直平分线上截取，过点作交于点，则是以为“半底”的“半高底”三角形． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 依题意 设，则 ∵ ∴ ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 【变式02】（2026·上海·崇明二模） 定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质求出各内角的度数，再结合“等对角四边形”的定义分两种情况进行解答即可． 【详解】解：在中，， ， 设过点的直线与相交于点P，连接， 由翻折的性质可知 当四边形是“等对角四边形”时，有以下两种情况： ①当时， ∵， ∴和点重合，如图所示， 此时， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∴， 整理得到， 解得， 即（不合题意，舍去）， ∴时，， 即 ②当时，如图所示， 同理可得， ∴ ∴四边形是“等对角四边形”； 设其中 ∴ ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴ 由①可知， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 综上可知，的值为或． 【变式03】（2026·上海·宝山一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“差直三角形”，在中，，，，如果是“差直三角形”，那么的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握新定义是解题的关键．分和两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵是“差直三角形”，且， ∴或， ①当时，则，过点作交的延长线于点，作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴（直角三角形全等的判定定理）， ∴， ∵， ∴设，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图，作， 同理，，， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得（舍去）或； 故； 综上：或； 故答案为：或． 【变式04】（2026·上海崇明·一模）定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在中，，点是边上的一动点（且），若是“差直角三角形”，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形“三线合一”性质、相似三角形判定与性质、勾股定理，以及分类讨论思想的应用．先作等腰的高，用勾股定理求出，根据“差直角三角形”定义，分和两种情况讨论．第一种情况通过角的等量代换推导，用相似比求，再用勾股定理得；第二种情况构造平行线，得，结合列方程求，再用勾股定理得． 【详解】解：如图，过点作于，过点作，交于． ∵，， ∴为中点，， ∴． ∵， ∴为钝角． 分两种情况： ①，则， ∴=． ∵，， ∴， ∴，解得， ∴； ②，则， ∵ ∴. ∵， ∴， ∴，即， ∴，． ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴． 综上，的长为或． 4-3我们定义：有两边之比是的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形是倍半三角形，如果，，那么的面积 ． 【答案】1或或 【分析】本题考查了三角形的面积，勾股定理的应用，分三种情况讨论，利用三角形面积公式求得即可．分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】解：， 为斜边， 当时，的面积； 当时，的面积； 当时，则， 的面积； 故答案为：1或或. 题型四 距离新定义 【真题呈现04】（2025·上海·虹口一模）定义：我们把一个函数图像上到两条坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如点是反比例函数图像的一个“2阶方点”；点是正比例函数图像的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数、不等式组，根据是一次函数的“2阶方点”，得关于的不等式组，解不等式组即可求解，理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵点是一次函数的“2阶方点”， ∴，即：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式01】（2026·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 【答案】(1)原点 (2)，， (3)， 【分析】本题考查坐标与中心对称，无理数的估算，求一次函数的解析式，求正弦值： （1）根据点的坐标特征，进行判断即可； （2）根据青一区间和青一距的定义，进行求解即可； （3）非负性求出的值，进而求出青一区间和青一距，待定系数法求出函数解析式，数形结合求出角的正弦值即可． 【详解】（1）解：和的横纵坐标均为相反数， 故的青一坐标与的青一坐标关于原点对称； 故答案为：原点； （2）∵， ∴的青一区间为； ∵ ∴的青一区间为； ∵， ∴的青一区间为，的青一区间为； ∴的青一距为； 故答案为：，，； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的青一区间为：，的青一区间为：， ∴的青一距为； ∵直线过的青一坐标和的青一坐标，即直线过和， ∴，解得：， ∴， 如图：不妨设，过点作轴，则：， ∴， ∴ （24-25九年级上·上海闵行·期中）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、勾股定理、平行线的性质、二次根式的运算，理解题中定义，分类讨论是解答的关键．根据题意，画出图形，根据等腰直角三角形的性质，结合梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图1，为等腰直角三角形，， ∴， ∴； 如图2，为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 综上，这个直角梯形的面积为3或． 题型五 变换新定义 【真题呈现05】（2025·上海徐汇·一模）定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（  ）正确． A．两个都 B．仅原命题 C．仅原命题的逆命题 D．没有一个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定，根据“内拐三角形”的定义分别画出图形，再判断原命题和逆命题的真假即可． 【详解】解：如图1情况，若、相似，的“内拐三角形”为、的“内拐三角形”为， 则，， ∴， 又∵， ∴； 如图3情况，也可同理得出此结论． 即：原命题为真命题． 逆命题：若两三角形的内拐三角形相似，则它们相似； 如图2，在直线上取一点，将沿翻折后与直线交于点， 此时、的内拐三角形都是，但、不相似， 因此逆命题为假命题． 综上所述，原命题为真命题，逆命题为假命题，即仅原命题正确． 故选：B． 【变式01】（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 【答案】 【分析】先画简易图象，并求解函数的交点坐标，再利用勾股定理求解三边的长度，从而可得答案. 【详解】解：如图， 当时，，解得：， ∴， 当时，，解得：， ∴， 当时，则， 解得：或（舍去）， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ∴的最短边长度为； 故答案为： 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，新定义的含义，理解题意是解本题的关键. 【变式01】（2025·上海闵行·模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    【答案】/ 【分析】延长与交于点，根据轴对称性质得，，，再由是等高底三角形，是等底，得，再根据三角形的重心定理得，设，则，由勾股定理用表示，进而计算的值便可． 【详解】解：延长与交于点，如图所示：    点A关于直线的对称点是点， ，，， 是等高底三角形，是等底， ， 点是的重心， ， 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了对称变换，三角形的重心性质，新定义，关键是根据三角形的重心性质得出与的数量关系． 题型六 综合探究型新定义 【真题呈现06】（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，结合，即可判定四边形是正方形，可得，再求出，则由勾股定理可得，再证明即可； （2）作的角平分线交于D，先求出，再证明，得到，进一步证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H，根据，得到；再证明，进而得到，解直角三角形得到，则，再解直角三角形得到，则；证明，得到，则，可得；如图所示，连接，由勾股定理得到，根据，得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：由折叠可知：， 又∵， 四边形是矩形， 又由折叠可知：， 四边形是正方形， ∴， 由题意得， ∴； 由折叠得， ∴， ∴，， ∴矩形是黄金矩形； （2）解：如图所示，作的角平分线交于D， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解． （3）解：如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为F，G，过点Q作于H， ∵， ∴； 由（2）可知，当平分时有， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 如图所示，连接， 在中，， ∵， ∴ ． 【变式01】（2026·上海·专题练习）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰为“格线三角形”，且，那么直线与直线的夹角的余切值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，平行线间的距离等知识点，能正确作出辅助线是解此题的关键． 过作直线于，延长交直线于，过作直线于，根据全等三角形的判定得出，根据全等三角形的性质得出，，求出，再解直角三角形求出答案即可． 【详解】解：过作直线于，延长交直线于，过作直线于，则， 直线直线直线，相邻两条平行线间的距离相等（设为， 直线，， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：3． （限时训练：20分钟） 1.（2025·上海闵行·一模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，再证明当时符合题意即可． 【详解】解：如图，连接交于点O． 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证， 故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 2.（2024·上海·三模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与轴交点问题、一次函数与轴交点问题，读懂轴点函数的定义是解题的关键．根据题意，用表示出点、的坐标，代入，解出即可得到答案． 【详解】解：函数（为常数，）的图象与轴交于点 其轴点函数与轴的两个交点为、 或 解得：或 故选：D． 3.（2024·上海·模拟预测）新定义：与被称为“同族二次函数”，若和是同族二次函数，则二次函数的开口方向和最值为（    ） A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018 C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．根据“同族二次函数”的定义可求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是同族二次函数， ∴， 解得：， ∴二次函数， ∴二次函数的开口方向向上，有最小值2019． 故选：C 4.（2023·上海松江·二模）我们定义：二次项系数之和为，图像都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数，那么的友好函数是 ． 【答案】 【分析】函数的对称轴为设的友好函数是根据二次项系数之和为，图像都经过原点且对称轴相同可列出方程组，解出即可求出． 【详解】解：函数的对称轴为 设的友好函数是 的友好函数是 故答案为： 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是读懂“友好对称二次函数”的定义． 6.（2025·上海徐汇·三模）在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的倍（为整数），那么我们称这个三角形为倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________． 【答案】或或或 【解析】 【分析】根据n倍三角形的定义结合三角形内角和定理，进行分类讨论计算即可． 【详解】设最小的内角为．分类讨论： ①当2倍角为，3倍角为时，可得：， 解得． ②当2倍角为，3倍角为时，可得：， 解得． ③当3倍角为，2倍角为时，可得：， 解得． ④当即是2倍角又是三倍角时，即另一个内角为，可得：， 解得． 综上可知，最小的内角为或或或． 【点睛】本题考查三角形内角和定理．理解题干中n倍三角形的定义以及利用分类讨论的思想是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 新定义题型高频考点专项突破6大题型 目 录 高频考情深度解读（中考命题规律透视+培优备考要求） 核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧） 聚焦题型精准解密（6大题型精讲+变式拔高训练） 题型一 运算新定义 题型二 函数新定义 题型三 几何图形新定义 题型四 距离新定义 题型五 变换新定义 题型六 综合探究型新定义 实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升） 新定义题型是上海中考数学近年来的特色题型，也是区分度较高的核心题型之一。从近五年考情看，新定义题通常出现在填空题第17-18题（4分） 或解答题第22-25题（10-14分），分值约4-18分，占全卷的3%-12%。这类题型以“即时定义、现学现用”为特点，考查学生在短时间内理解新概念、迁移旧知识、解决新问题的综合能力。专家指出，新定义题型“立意新颖，考查创新意识和数学核心素养”，是区分中上等生与优等生的关键题型。 从内容分类看，上海中考新定义题主要包括：运算新定义（定义新的运算符号或规则，通常在选择/填空中出现，5年2考）、函数新定义（定义新函数或函数的新性质，常在填空压轴或第24题中出现，5年3考）、几何图形新定义（定义新的图形或图形的新的特征，2025年第18题“正五边形的弦”即为典型，5年3考）、距离新定义（定义两点或点到图形的新距离概念，常在填空压轴出现，5年2考）、变换新定义（定义图形的新的变换方式，5年1-2考）。 基础能力必备：新定义题型的核心能力要求包括：阅读理解能力（准确提取定义中的条件和结论）、知识迁移能力（将新定义与已学知识建立联系）、分类讨论能力（新情境下多解情况的完整分析）、抽象概括能力（从特殊到一般的规律归纳）。 2026中考预测： 题型稳定：新定义题型将继续稳定在填空第17-18题的位置，可能以几何新定义（如新定义某种四边形的性质探究）或函数新定义（如新定义某种函数变换）的形式出现。解答题中也可能出现以新定义为背景的探究题（第22题或第24题），要求学生在新定义框架下完成证明或计算。 难度平稳：新定义题的难度通常控制在0.5-0.65之间。题干较长、概念新颖会带来心理压力，但一旦准确理解定义，后续解题步骤往往回归常规方法。2026年新定义题的难度预计与2025年持平，不会出现过于抽象或超出初中知识范围的超纲定义。 命题趋势：新定义题将更加注重“从具体到抽象”的思维过程。可能从具体的数值或图形出发，引导学生发现规律并归纳出一般性结论。同时，“去模型化”趋势明显——新定义题的背景越来越新颖，难以用现有模型直接套用，必须真正理解定义才能解题。几何新定义（如“邻补四边形”“等角点”“共线点”等）和函数新定义（如“友好函数”“对称函数”等）是热门方向。 题型一 运算新定义 【真题呈现01】（2026·上海·奉贤二模） 在平面直角坐标系中，如果某一个点的纵坐标比横坐标小1，那么我们把这样的点称为“一步点”，例如点、都是“一步点”． 在平面直角坐标系中（如图），如果某条抛物线的顶点是“一步点”，当它的顶点的横坐标为时，该抛物线与轴的交点为． （1）求这条抛物线的表达式和抛物线上的另一个“一步点”； （2）已知直线与轴、轴分别交于点、．将（1）中的抛物线平移得到一条新抛物线，如果新抛物线的顶点还是“一步点”．设点的横坐标为． ①当点在的内部时，求的取值范围； 【变式01】（2026·上海·中考预测）定义：如图1，对于线段的内分点和外分点，如果满足，那么称是“调和点列”．如图2，在中，点在上，点在的延长线上，联结，射线与射线交于点，若是调和点列，且，则的值是 ．           图1               图2 【变式02】（2024·上海嘉定·三模）定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形． (1)请在特殊四边形中找出一个圆美四边形，该四边形的名称是 ；如图1，在等腰中，，经过点A、B的交边于点D，交于点E，连接，若四边形为圆美四边形，则的值恰与 °角的余切值相等 (2)如图2，在中，经过点A、B的交边于点D，交于点E，连接交于点F，若在四边形的内部存在一点P，使得，连接交于点G，连接，若． ①试说明：四边形为圆美四边形； ②若，，，当最小时，求：的值 【变式03】（2024·上海嘉定·三模）2025·上海松江·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知二次函数的图像与轴负半轴交于点，与轴交于点，且． (1)当时，求该二次函数的函数值； (2)定义：对于一个函数，满足的实数叫做这个函数的不动点．如果二次函数存在唯一的一个不动点，试求出这个不动点； (3)将绕点逆时针旋转，点落在点处，点落在点处，当四边形是梯形时，点恰好落在该二次函数图像上，求该二次函数的解析式． 题型二 函数新定义 【真题呈现02】（2024年上海市中考数学真题） 对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为__________． 【变式01】（2026·上海·长宁二模） 在直角坐标平面内，如果存在正整数n和常数k，使得点满足，，其中，那么称点为“-优点”．比如当，时，点为“2-优点”（这是因为满足，，）．已知点C在抛物线上，且它还是“2026-优点”，那么点C的坐标是________． 【变式02】（2026·上海·松江二模）联结抛物线上任意两点的线段叫做抛物线的弦．如果抛物线的一条弦与抛物线的对称轴垂直，垂足为点，抛物线的顶点为，当时，的长称为这条抛物线的特征值．我们知道，平移不改变抛物线的特征值，那么抛物线的特征值是_______． 【变式03】（2026·上海·虹口二模）已知抛物线和，它们的顶点分别为和，我们称和互为“反顶点抛物线”．如果抛物线和互为“反顶点抛物线”，且的顶点在上，那么的值是______． 【变式04】（2026·上海黄浦·一模）对于抛物线及其所在坐标平面内的点，当过点垂直于抛物线对称轴的直线与该抛物线有两个交点，且这两个交点位于点的两侧时，我们把点称为抛物线的内点．现有抛物线和，如果点既是抛物线的内点，又是抛物线的内点，那么点的纵坐标的取值范围是 ． 题型三 几何图形新定义 【真题呈现03】（2024年上海市中考数学真题） 【变式01】（2026·上海·静安二模） 如果一个三角形一条边上的高等于这条边的一半，那么这个三角形叫做“半高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“半底”． （1）如图1，是以为“半底”的“半高底”三角形，已知，求的长； 【变式02】（2026·上海·崇明二模） 定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．已知在中，，，将沿着过点的直线翻折，使点落在边上的点处，点是边上一点，若四边形是“等对角四边形”，则的值为__________． 【变式03】（2026·上海·宝山一模）定义：有两个内角的差为的三角形叫做“差直三角形”，在中，，，，如果是“差直三角形”，那么的长为 ． 【变式04】（2026·上海崇明·一模）定义：当一个三角形有两个内角的差为时，这个三角形叫做“差直角三角形”．如图，在中，，点是边上的一动点（且），若是“差直角三角形”，则的长为 ． 题型四 距离新定义 【真题呈现04】（2025·上海·虹口一模）定义：我们把一个函数图像上到两条坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如点是反比例函数图像的一个“2阶方点”；点是正比例函数图像的一个“3阶方点”．如果点是一次函数的“2阶方点”，那么a的取值范围是 ． 【变式01】（2026·上海·模拟预测）新定义：无理数的被开方数（T为正整数）满足（其中n为正整数），则称无理数的“青一区间”为，在平面直角坐标系中建立点为的青一坐标，同理可得的青一区间为，为的青一坐标，两坐标的距离，叫做的青一距． (1)的青一坐标与的青一坐标关于_________对称； (2)的青一区间为_______，的青一区间为_________，的青一距为_______； (3)实数x，y满足关系式：，若直线过的青一坐标和的青一坐标，求：的青一距和直线与x轴夹角的正弦值． 【变式02】（25上海闵行·三模预测）新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“智慧线”．已知一个直角梯形的“智慧线”等于2，它的面积是 ． 题型五 变换新定义 【真题呈现05】（2025·上海徐汇·一模）定义一个三角形中一内角的平分线和该角对边上高，以及这条边围成的新三角形是它的“内拐三角形”．命题“两三角形相似，它们的内拐三角形相似”和其逆命题中，（  ）正确． A．两个都 B．仅原命题 C．仅原命题的逆命题 D．没有一个 【变式01】（2025·上海·二模）定义符号代表在平面直角坐标系xOy中，函数的图像两两相交(每两个函数图像有且仅有1个交点)得到三个交点组成的三角形．那么，的最短边长度为 ． 【变式02】（2025·上海闵行·模拟预测）新定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做等高底三角形，这条边叫做等底．如图，是等高底三角形，是等底，点关于直线的对称点是点，连接，如果点是的重心，那么的值是 ．    【变式03】（2026·上海·中考预测）我们定义：有两边之比是的三角形叫“倍半三角形”．已知直角三角形是倍半三角形，如果，，那么的面积 ． 题型六 综合探究型新定义 【真题呈现06】（2024·上海浦东新·一模）新定义1：将宽与长的比等于黄金分割比的矩形称为黄金矩形   新定义2：将顶角为的等腰三角形称为黄金三角形 ①在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平 ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平 ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处 ④展平纸片，按照所得到的点D折出 (1)根据以上折纸法，求证：矩形为黄金矩形 (2)如图5，已知为黄金三角形，，求：的长 (3)在（2）的条件下，截取交AC于D，截取交线段于E，过E作任意直线与边交于P，Q两点，试判断：是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由 【变式01】（2026·上海·专题练习）新定义：已知三条平行直线，相邻两条平行线间的距离相等，我们把三个顶点分别在这样的三条平行线上的三角形称为格线三角形．如图，已知等腰为“格线三角形”，且，那么直线与直线的夹角的余切值为 ． （限时训练：20分钟） 1.（2025·上海闵行·一模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形为“全相似四边形”．如图，在四边形中，，，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 2.（2024·上海·三模）定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．函数（c为常数，）的图象与x轴交于点M，其轴点函数与x轴的另一交点为．若，则的值为（ ） A． B．5或 C． D．或3 3.（2024·上海·模拟预测）新定义：与被称为“同族二次函数”，若和是同族二次函数，则二次函数的开口方向和最值为（    ） A．开口向上，最小值为2018 B．开口向下，最大值为2018 C．开口向上，最小值为2019 D．开口向下，最大值为2019 4.（2024·上海松江·二模）我们定义：二次项系数之和为，图像都经过原点且对称轴相同的两个二次函数称作互为友好函数，那么的友好函数是 ． 5.（2025·上海崇明·三模）新定义：有两边之比为1：的三角形叫做“勤业三角形”． (1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③含角的直角三角形；④含角的等腰三角形． (2)如图1，是⊙O的内接三角形，为直径，为上一点，且，作，交线段于点，交⊙O于点，连接交于点．试判断和△是否是“勤业三角形”并证明 (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的余弦值 6.（2025·上海徐汇·三模）在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的倍（为整数），那么我们称这个三角形为倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________． 学科网（北京）股份有限公司 $