山东青岛市李沧区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷

**基本信息** 本试卷以生活情境与数学本质融合为特色，涵盖代数、几何、概率核心知识，通过樱花花粉科学记数、共享单车几何建模等实例，考查抽象能力、推理意识与数据观念，体现“三会”核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|科学记数法、幂运算、平行线性质|结合诗句（山樱花）、游戏公平性等情境| |填空题|8/24|概率计算、整式除法、折叠问题|融入全运会场馆面积等实际应用| |作图题|1/4|平行线作图|联系公园草坪规划，体现应用意识| |解答题|7/68|幂的大小比较、勾股定理证明、凹透镜光学应用|设计阶梯式问题，如从基础计算到跨学科几何光学探究|

山东省青岛市李沧区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）“山深未必得春迟，处处山樱花压枝”，这句诗描绘了山樱盛放、春意盎然的景象．其中，一朵山樱花的花粉颗粒直径约为0.000042米．将数据0.000042用科学记数法表示为（　　） A．0.42×10﹣4 B．42×10﹣7 C．4.2×10﹣5 D．4.2×10﹣6 2．（3分）下列事件是必然事件的个数为（　　） ①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上； ②足球队员罚点球时，破门得分； ③小明和小颍做“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜； ④掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于7． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A．a4•a2＝a8 B．12x6÷3x2＝4x3 C．m2+m2＝m4 D．（﹣y3）2＝y6 4．（3分）直尺和三角板是常用的绘图工具，将一个三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放．已知∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．38° C．52° D．60° 5．（3分）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）如图，给出的下列条件中不能判断a∥b的是（　　） A．∠4＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠2 D．∠3+∠5＝180° 7．（3分）在一个不透明的袋子里装有1个黑球、2个黄球、4个白球和5个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，重复多次试验，并绘制了某种颜色的球出现频率的折线统计图．则这种球的颜色可能是（　　） A．黑色 B．黄色 C．白色 D．红色 8．（3分）如图1是一张足够长的纸条，其中AD∥BC，点E，F分别在AD，BC上，∠EFC＝40°．将纸条按图2方式折叠，使FC与FE重合，得到折痕FG1．将纸条展开后，再按图3方式折叠，使FC与FG1重合，得到折痕FG2．将纸条展开后继续折叠，使FC与FG2重合，得到折痕FG3，…，依次类推，第6次折叠后，∠EG6F的度数为（　　） A．5° B．2.5° C．1.25° D．0.625° 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）＝　 　 ． 10．（3分）从一副去掉大王和小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃的概率是　 　 ． 11．（3分）如图，点A，B在直线l上，且AB＝3cm，三角形ABC的面积为6cm2．点D是直线l上任意一点，连接CD，则线段CD的最小长度为　 　 cm． 12．（3分）如图，一个靶面被等分成8个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是　 　 的．（填“公平”或“不公平”） 13．（3分）如果（﹣2x+m）（x﹣5）的乘积中不含x的一次项，则m的值为　 　 ． 14．（3分）第十五届全国运动会，开创了多个“首次”，包括首次不新建大型场馆．某升级改造的长方形场馆面积为（9x2y2+y）平方米，宽为y米，则这个场馆的长为　 　 米． 15．（3分）共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面都具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知AB∥CD，∠MAB＝115°，AM∥BC，则∠BCD＝　 　 °． 16．（3分）用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的面积为　 　 ． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 17．（4分）如图为某公园草坪平面图，现计划过点C修一条小路CD，使CD与AB平行，且点D在草坪边缘上．请在图中作出小路CD的示意图． 四、解答题（本大题共7小题，共68分） 18．（16分）计算： （1）（﹣1）2﹣3﹣2； （2）； （3）（x﹣2y）5÷（2y﹣x）2； （4）10002﹣999×1001（用乘法公式计算）． 19．（6分）规定一种新运算为：＝ad+b2+c2，例如：＝1×4+22+32．根据此规定，解决下列问题： （1）＝　 　 ； （2）若的结果是一个关于x，y的完全平方式，则k的值为　 　 ； （3）若＝2，求m2﹣1的值． 20．（8分）任意掷一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，骰子的1个面标有“6”，2个面标有“5”，3个面标有“4”，4个面标有“3”，5个面标有“2”，其余的面标有“1”． （1）掷出的数字是1的概率是多少？ （2）掷出的数字小于4的概率是多少？ （3）掷出的数字是奇数的概率是多少？ 21．（8分）在学习幂的运算后，底数大于1的幂比较大小时，通常有两种方法：一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．例如： ①比较43和28的大小． 解：因为43＝（22）3＝26，26＜28， 所以43＜28． ②比较310和215的大小． 解：因为310＝（32）5＝95，215＝（23）5＝85，95＞85， 所以310＞215． 根据上述材料，解决下列问题： （1）比较832和328的大小； （2）已知a＝252，b＝339，c＝526，试比较a，b，c的大小． 22．（8分）如图，AB∥CD，∠ABC＝40°，∠GED＝80°，EF平分∠GED． （1）判断BC与EF有怎样的位置关系？请说明理由； （2）求∠BGE的度数． 23．（10分）在数学学习中，我们经常利用图形的面积关系理解数学等式，使抽象的数量关系直观化． 【思考探究】 （1）图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，第一种方法可列式为　 　 ，第二种方法可列式为　 　 ；（请用含有字母a，b的代数式表示） （2）图2所示的大正方形，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中a和b为直角边．试通过两种不同的方法计算小正方形的面积，说明c2＝a2+b2； （3）如果图2中直角三角形的两条直角边满足a+b＝14，ab＝48，请你利用（1）和（2）的结论，求出c的值； 【拓展延伸】 （4）图3所示的大正方形，是由四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成，长方形的长为a，宽为b．可以得到（a+b）2，（a﹣b）2和4ab之间的等量关系为　 　 ； （5）当（m﹣30）（20﹣m）＝25时，应用（4）的结论，可得（2m﹣50）2的值为　 　 ． 24．（12分）在几何光学中，凹透镜对光线起发散作用．如图1，平行于主光轴MN的光线AB和CD通过凹透镜后发散，发散光线BE和DF的反向延长线相交于主光轴MN上的点P． 【提出问题】∠ABP，∠BPD和∠CDP三个角之间有怎样的数量关系？ 【分析问题】可以利用平行线相关知识进行研究． 【解决问题】 解：因为AB∥MN， 根据①　 　 ， 所以∠ABP＝∠BPN， 因为CD∥MN， 所以∠CDP＝∠②　 　 ， 因为∠BPD＝∠BPN+∠DPN， 根据③　 　 ， 所以∠ABP，∠BPD和∠CDP三个角的数量关系是④　 　 ． 【迁移应用】 如图2，已知直线AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点，点P和点Q分别在直线AB和CD上，连接EP，EQ．∠BPE和∠DQE的平分线PF和QF相交于点F． （1）写出∠1，∠E和∠2之间的数量关系式，并说明理由． （2）若∠E＝144°，则∠F＝　 　 °． 【拓展提高】 如图3，AB∥CD，GP∥MN，∠FEA＝2∠AEG，若∠G﹣∠EFH＝60°，则∠BEG的度数为　 　 °． 山东省青岛市李沧区2025-2026学年下学期七年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D D B A B C D 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（3分）“山深未必得春迟，处处山樱花压枝”，这句诗描绘了山樱盛放、春意盎然的景象．其中，一朵山樱花的花粉颗粒直径约为0.000042米．将数据0.000042用科学记数法表示为（　　） A．0.42×10﹣4 B．42×10﹣7 C．4.2×10﹣5 D．4.2×10﹣6 【答案】C 【分析】科学记数法的表现形式为a×10n，其中1≤|a|＜1n为整0，数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数，表示时关键是要正确确定a及n的值． 【解答】解：∵0.000042＝4.2×10﹣5， 故选：C． 【点评】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键． 2．（3分）下列事件是必然事件的个数为（　　） ①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上； ②足球队员罚点球时，破门得分； ③小明和小颍做“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜； ④掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数小于7． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】必然事件指一定条件下一定发生的事件，再逐个判断每个事件的类型，统计必然事件的个数即可得到结果． 【解答】解：①掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上可能发生也可能不发生，是随机事件． ②足球队员罚点球时，破门得分可能发生也可能不发生，是随机事件． ③小明和小颖做“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜可能发生也可能不发生，是随机事件． ④掷一枚质地均匀的骰子，骰子最大点数为6，因此掷出的点数一定小于7，是必然事件． 故选：D． 【点评】本题考查随机事件，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 3．（3分）下列计算中，正确的是（　　） A．a4•a2＝a8 B．12x6÷3x2＝4x3 C．m2+m2＝m4 D．（﹣y3）2＝y6 【答案】D 【分析】分别根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则逐一计算判断即可． 【解答】解：根据同底数幂的乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方与积的乘方逐项分析判断如下： A、∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴a4•a2＝a4+2＝a6≠a8，A错误，不符合题意； B、单项式除法中，数与同底数幂分别相除， ∴12x6÷3x2＝（12÷3）x6﹣2＝4x4≠4x3，B错误，不符合题意； C、合并同类项时，系数相加，字母及指数不变， ∴m2+m2＝2m2≠m4，C错误，不符合题意； D、根据幂的乘方与积的乘方法则， ∴（﹣y3）2＝（﹣1）2•（y3）2＝y3×2＝y6，D正确，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 4．（3分）直尺和三角板是常用的绘图工具，将一个三角板和一把直尺按如图所示的方式摆放．已知∠1＝52°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．38° C．52° D．60° 【答案】B 【分析】根据题意，∠1+90°+∠ABC＝180°，即可求得∠ABC＝38°，再根据平行线的性质得∠2＝∠ABC＝38°． 【解答】解：如图， 根据题意，∠1+90°+∠ABC＝180°， ∵∠1＝52°， ∴∠ABC＝180°﹣52°﹣90°＝38°， 根据题意，EF∥BC， ∴∠2＝∠ABC＝38°（两直线平行，同位角相等）， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 5．（3分）如图，某商场进行促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成16个扇形，顾客每购买200元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好落在红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得40元、20元、10元的购物券．张阿姨购物消费210元，获得一次转动转盘的机会，则她获得购物券的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率公式计算获得购物券的概率即可． 【解答】解：她获得购物券的概率是＝． 故选：A． 【点评】本题考查了概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 6．（3分）如图，给出的下列条件中不能判断a∥b的是（　　） A．∠4＝∠5 B．∠1＝∠3 C．∠1＝∠2 D．∠3+∠5＝180° 【答案】B 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、由内错角相等，两直线平行判定a∥b，故A不符合题意； B、两个角不是同位角也不是内错角，不能判定a∥b，故B符合题意； C、由∠1＝∠2，得到∠1的对顶角等于∠2，由同位角相等，两直线平行判定a∥b，故C不符合题意； D、由∠3+∠5＝180°，得到∠3的对顶角和∠5互补，由同旁内角互补，两直线平行判定a∥b，故D不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 7．（3分）在一个不透明的袋子里装有1个黑球、2个黄球、4个白球和5个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀，重复多次试验，并绘制了某种颜色的球出现频率的折线统计图．则这种球的颜色可能是（　　） A．黑色 B．黄色 C．白色 D．红色 【答案】C 【分析】先算出球的总数，再结合概率公式算出每种颜色的球的概率，再观察折线图，得出频率在0.33附近波动，进行分析，即可作答． 【解答】解：在一个不透明的袋子里装有1个黑球、2个黄球、4个白球和5个红球， ∴一共有1+2+4+5＝12个球， 黑球出现的概率是：； 黄球出现的概率是：； 白球出现的概率是：； 红球出现的概率是：； 观察折线图，得出频率在0.33附近波动， 故这种球的颜色可能是白色， 故选：C． 【点评】本题主要考查了频数（率）分布折线图，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． 8．（3分）如图1是一张足够长的纸条，其中AD∥BC，点E，F分别在AD，BC上，∠EFC＝40°．将纸条按图2方式折叠，使FC与FE重合，得到折痕FG1．将纸条展开后，再按图3方式折叠，使FC与FG1重合，得到折痕FG2．将纸条展开后继续折叠，使FC与FG2重合，得到折痕FG3，…，依次类推，第6次折叠后，∠EG6F的度数为（　　） A．5° B．2.5° C．1.25° D．0.625° 【答案】D 【分析】根据所给折叠方式，依次求出∠EG1F，∠EG2F，∠EG3F，…，的度数，发现规律即可解决问题． 【解答】解：如图所示， ∵AE∥BF， ∴∠EG1F＝∠G1FM． 由折叠可知，∠， ∴∠EG1F＝20°， 依此类推，∠EG2F＝10°，∠EG3F＝5°，∠，…， 所以∠EGnF＝（n为正整数）． 当n＝6时， ∠EG6F＝＝0.625°． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，能根据题意得出∠EGnF＝（n为正整数）是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）＝　1　 ． 【答案】1． 【分析】逆用积的乘方运算法则，对原式变形后进行简便计算． 【解答】解：原式＝＝（﹣1）2026＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 10．（3分）从一副去掉大王和小王的扑克牌中任意抽取一张，抽到红桃的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】一副扑克牌（去掉大、小王）还有52张，红桃有13张，根据概率公式直接解答即可． 【解答】解：抽到红桃的概率是＝． 故答案为：． 【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝． 11．（3分）如图，点A，B在直线l上，且AB＝3cm，三角形ABC的面积为6cm2．点D是直线l上任意一点，连接CD，则线段CD的最小长度为　4　 cm． 【答案】4． 【分析】设点C到AB距离为hcm，根据三角形的面积公式求出h，即为线段CD的最小长度． 【解答】解：设线段CD的最小长度为h，点C到AB距离为hcm， ∵三角形ABC的面积为6cm2，AB＝3cm， ∴， 解得h＝4， ∴线段CD的最小长度为4． 故答案为：4． 【点评】本题考查三角形，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 12．（3分）如图，一个靶面被等分成8个扇形，在靶面上画一个小的同心圆并涂色．甲，乙两人玩掷飞镖游戏，当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜（没有掷中靶面或掷到边界线时重掷）．这个游戏对甲、乙来说是　公平　 的．（填“公平”或“不公平”） 【答案】公平． 【分析】根据图中阴影部分的面积与空白部分的面积相等，可知飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等，所以这个游戏对甲、乙来说公平． 【解答】解：由图可知，靶面上阴影部分的面积与空白部分的面积相等， ∴飞镖掷中靶面阴影部分和掷中空白部分概率相等， ∵当飞镖掷中靶面阴影部分时，甲胜，否则乙胜， ∴这个游戏对甲、乙来说公平， 故答案为：公平． 【点评】本题考查游戏公平性，概率公式，熟练掌握概率的求法是解答本题的关键． 13．（3分）如果（﹣2x+m）（x﹣5）的乘积中不含x的一次项，则m的值为　﹣10　 ． 【答案】﹣10． 【分析】先根据多项式乘多项式法则将已知式子展开，可找出所有含x的项，合并同类项，令含x项的系数等于0，即可求m的值． 【解答】解：（﹣2x+m）（x﹣5）＝﹣2x2+10x+mx﹣5m＝﹣2x2+（10+m）x﹣5m， ∴10+m＝0， 解得：m＝﹣10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是关键． 14．（3分）第十五届全国运动会，开创了多个“首次”，包括首次不新建大型场馆．某升级改造的长方形场馆面积为（9x2y2+y）平方米，宽为y米，则这个场馆的长为　（9x2y+1）　 米． 【答案】（9x2y+1）． 【分析】根据长方形面积公式可得长等于面积除以宽．利用多项式除以单项式的运算法则计算即可得到结果． 【解答】解：根据多项式除以单项式的运算法则计算可知： （9x2y2+y）÷y＝（9x2y+1）米， 故这个场馆的长为（9x2y+1）米． 故答案为：（9x2y+1）． 【点评】本题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是关键． 15．（3分）共享单车在城市交通、环保和经济等多个方面都具有重要意义．如图是某品牌共享单车的示意图，已知AB∥CD，∠MAB＝115°，AM∥BC，则∠BCD＝　65　 °． 【答案】65． 【分析】结合两直线平行，同旁内角互补得∠ABC＝180°﹣∠MAB＝65°，又因为两直线平行，内错角相等得∠BCD＝∠ABC＝65°，即可作答． 【解答】解：∵AM∥BC，∠MAB＝115°， ∴∠ABC＝180°﹣∠MAB＝65°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵AB∥CD， ∴∠BCD＝∠ABC＝65°（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：65． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 16．（3分）用两个大小不同的正方形拼成如图所示的图案，已知这两个正方形的面积差为10，则阴影部分的面积为　5　 ． 【答案】5． 【分析】设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，根据这两个正方形的面积差为10得a2﹣b2＝10，然后列代数式表达图中阴影部分的面积，对其变形，再整体代入即可． 【解答】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，由题意，得a2﹣b2＝10， S阴影＝ ＝ ＝ ＝ ＝5， 故答案为：5． 【点评】本题主要考查平方差公式的几何背景，理解题意是关键． 三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹。 17．（4分）如图为某公园草坪平面图，现计划过点C修一条小路CD，使CD与AB平行，且点D在草坪边缘上．请在图中作出小路CD的示意图． 【答案】根据平行线的性质可得，小路CD的示意图，如图所示： 【分析】在点C作∠DCT＝∠ABT，运用同位角相等，两直线平行，证明CD∥AB，即可作答． 【解答】解：根据平行线的性质可得，小路CD的示意图，如图所示： 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 四、解答题（本大题共7小题，共68分） 18．（16分）计算： （1）（﹣1）2﹣3﹣2； （2）； （3）（x﹣2y）5÷（2y﹣x）2； （4）10002﹣999×1001（用乘法公式计算）． 【答案】（1）； （2）2a4b5； （3）（x﹣2y）3； （4）1． 【分析】（1）先利用有理数乘方、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）先利用积的乘方、幂的乘方计算，然后再利用单项式乘单项式法则计算即可； （3）先化成同底数幂，然后再利用同底数幂除法法则计算即可； （4）先凑出平方差的形式，然后利用平方差公式进行简便运算即可． 【解答】解：（1）原式＝ ＝． （2）原式＝ ＝2a4b5． （3）原式＝（x﹣2y）5÷（x﹣2y）2 ＝（x﹣2y）3． （4）原式＝10002﹣（1000﹣1）×（1000+1） ＝10002﹣10002+1 ＝1． 【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 19．（6分）规定一种新运算为：＝ad+b2+c2，例如：＝1×4+22+32．根据此规定，解决下列问题： （1）＝　8　 ； （2）若的结果是一个关于x，y的完全平方式，则k的值为　±2　 ； （3）若＝2，求m2﹣1的值． 【答案】（1）8； （2）±2； （3）0． 【分析】（1）根据新运算规则，代入a＝2、b＝﹣3、c＝1、d＝﹣1，计算ad+b2+c2； （2）先按规则展开运算，得到x2+kxy+y2，根据完全平方式的特征，确定k的值； （3）按规则展开运算，化简后得到2m2＝2，求出m2的值，再计算m2﹣1． 【解答】解：（1） ＝2×（﹣1）+（﹣3）2+12 ＝﹣2+9+1 ＝8； 故答案为：8； （2） ＝kxy+y2+x2， 因为的结果是一个关于x，y的完全平方式， 所以kxy+y2+x2是一个关于x，y的完全平方式， 所以kxy+y2+x2＝（x±y）2＝x2+y2±2xy， 所以kxy＝±2xy， 则k的值为±2； 故答案为：±2． （3） ＝（m﹣n）（m+n）+m2+（﹣n）2 ＝m2﹣n2+m2+n2 ＝2m2 ＝2， 即2m2＝2，m2＝1， m2﹣1＝1﹣1＝0． 【点评】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算、完全平方式根据新运算规则，逐步计算各题． 20．（8分）任意掷一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，骰子的1个面标有“6”，2个面标有“5”，3个面标有“4”，4个面标有“3”，5个面标有“2”，其余的面标有“1”． （1）掷出的数字是1的概率是多少？ （2）掷出的数字小于4的概率是多少？ （3）掷出的数字是奇数的概率是多少？ 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据概率的计算公式，先求出标有“1”的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （2）找到数字小于4的面数，然后利用概率公式计算可得答案； （3）找出数字是奇数的面数，然后利用概率公式计算可得答案． 【解答】解：（1）根据概率的计算公式可知： 由条件可知标有“1”的面数为20﹣（1+2+3+4+5）＝5面， ∴掷出“1”的概率是； （2）根据概率的计算公式可知： 掷出的数字小于4的概率是； （3）根据概率的计算公式可知： 掷出的数字是奇数的概率是． 【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握该知识点是关键． 21．（8分）在学习幂的运算后，底数大于1的幂比较大小时，通常有两种方法：一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式．例如： ①比较43和28的大小． 解：因为43＝（22）3＝26，26＜28， 所以43＜28． ②比较310和215的大小． 解：因为310＝（32）5＝95，215＝（23）5＝85，95＞85， 所以310＞215． 根据上述材料，解决下列问题： （1）比较832和328的大小； （2）已知a＝252，b＝339，c＝526，试比较a，b，c的大小． 【答案】（1）832＞328；（2）a＜c＜b． 【分析】（1）将832和328化成底数为2的数，然后再比较即可； （2）将a＝252，b＝339，c＝526化成指数为13的数，然后再比较即可． 【解答】解：（1）根据题意可知，832＝（23）32＝296，328＝（25）8＝240， ∵296＞240， ∴832＞328． （2）根据题意可知，a＝252＝（24）13＝1613，b＝339＝（33）13＝2713，c＝526＝（52）13＝2513， ∵1613＜2513＜2713， ∴a＜c＜b． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，有理数大小比较，掌握幂的乘方与积的乘方的运算法则是关键． 22．（8分）如图，AB∥CD，∠ABC＝40°，∠GED＝80°，EF平分∠GED． （1）判断BC与EF有怎样的位置关系？请说明理由； （2）求∠BGE的度数． 【答案】（1）平行， ∵AB∥CD，∠ABC＝40°， ∴∠BCD＝∠ABC＝40°， ∵EF平分∠GED，∠GED＝80°， ∴， ∴∠BCD＝∠DEF， ∴BC∥EF； （2）∠BGE＝140°． 【分析】（1）由平行线的性质得∠BCD＝∠ABC＝40°，由角平分线的定义得，则∠BCD＝∠DEF，根据同位角相等，两直线平行即可得出结论； （2）根据角平分线的定义得，根据平行线的性质得∠BGE+∠GEF＝180°，即可求解． 【解答】解：（1）BC∥EF， ∵AB∥CD，∠ABC＝40°， ∴∠BCD＝∠ABC＝40°， ∵EF平分∠GED，∠GED＝80°， ∴， ∴∠BCD＝∠DEF， ∴BC∥EF； （2）∵EF平分∠GED，∠GED＝80°， ∴， ∵BC∥EF， ∴∠BGE+∠GEF＝180°， ∵∠GEF＝40°， ∴∠BGE＝180°﹣40°＝140°． 【点评】本题考查平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 23．（10分）在数学学习中，我们经常利用图形的面积关系理解数学等式，使抽象的数量关系直观化． 【思考探究】 （1）图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法表示图中阴影部分的面积，第一种方法可列式为a2+b2 ，第二种方法可列式为　（a+b）2﹣2ab ；（请用含有字母a，b的代数式表示） （2）图2所示的大正方形，是由四个完全相同的直角三角形和一个小正方形拼成，直角三角形的三边长分别为a，b，c，其中a和b为直角边．试通过两种不同的方法计算小正方形的面积，说明c2＝a2+b2； （3）如果图2中直角三角形的两条直角边满足a+b＝14，ab＝48，请你利用（1）和（2）的结论，求出c的值； 【拓展延伸】 （4）图3所示的大正方形，是由四个完全相同的长方形和一个小正方形拼成，长方形的长为a，宽为b．可以得到（a+b）2，（a﹣b）2和4ab之间的等量关系为　（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab ； （5）当（m﹣30）（20﹣m）＝25时，应用（4）的结论，可得（2m﹣50）2的值为　0　 ． 【答案】（1）a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）因为小正方形边长为c， 所以面积为c2， 大正方形边长为a+b，面积为（a+b）2， 四个直角三角形面积：， 即（a+b）2﹣2ab＝c2， （a+b）2﹣2ab＝a2+b2， 因此，c2＝a2+b2； （3）10； （4）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （5）0． 【分析】（1）直接观察：阴影是边长为a、b的正方形，面积为a2+b2，大正方形面积（a+b）2减去两个长方形面积2ab，即（a+b）2﹣2ab，据此可得等式； （2）小正方形面积：直接为c2；大正方形面积（a+b）2减去四个直角三角形面积2ab，得a2+b2；因此c2＝a2+b2； （3）由a+b＝14，ab＝48，计算a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝142﹣2×48＝100；由勾股定理得c2＝100，故c＝10； （4）推导等量关系 大正方形面积（a+b）2等于小正方形面积（a﹣b）2加四个长方形面积4ab，即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （5）设x＝m﹣30，y＝20﹣m，则x+y＝﹣10，xy＝25；（2m﹣50）2＝（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝（﹣10）2﹣4×25＝0． 【解答】解：（1）阴影部分是边长为a、b的正方形， 面积为a2+b2， 大正方形边长为a+b，面积为（a+b）2，减去两个长为a宽为b的长方形面积2ab， 阴影部分面积为：（a+b）2﹣2ab， 故答案为：a2+b2，（a+b）2﹣2ab； （2）因为小正方形边长为c， 所以面积为c2， 大正方形边长为a+b，面积为（a+b）2， 四个直角三角形面积：， 即（a+b）2﹣2ab＝c2， （a+b）2﹣2ab＝a2+b2， 因此，c2＝a2+b2； （3）由a+b＝14，ab＝48， a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝142﹣2×48 ＝196﹣96 ＝100， 由（2）知c2＝a2+b2＝100， 所以c＝10（c＞0）． （4）因为大正方形边长为a+b，面积为（a+b）2； 小正方形边长为a﹣b，面积为（a﹣b）2，四个长方形面积为4ab， 因此，（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； 故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab； （5）设x＝m﹣30，y＝20﹣m， 则x+y＝（m﹣30）+（20﹣m）＝﹣10， 因为（m﹣30）（20﹣m）＝25， 所以xy＝25， 所以x﹣y＝m﹣30﹣（20﹣m）＝2m﹣50， 而（2m﹣50）2 ＝（2m﹣50）2 ＝（x﹣y）2 ＝（x+y）2﹣4xy ＝（﹣10）2﹣4×25 ＝100﹣100 ＝0． 【点评】本题通过图形面积关系推导数学等式，涉及完全平方公式与勾股定理的几何证明，需利用面积的不同表示方法建立等式． 24．（12分）在几何光学中，凹透镜对光线起发散作用．如图1，平行于主光轴MN的光线AB和CD通过凹透镜后发散，发散光线BE和DF的反向延长线相交于主光轴MN上的点P． 【提出问题】∠ABP，∠BPD和∠CDP三个角之间有怎样的数量关系？ 【分析问题】可以利用平行线相关知识进行研究． 【解决问题】 解：因为AB∥MN， 根据①　两直线平行，内错角相等　 ， 所以∠ABP＝∠BPN， 因为CD∥MN， 所以∠CDP＝∠②DPN ， 因为∠BPD＝∠BPN+∠DPN， 根据③　等量代换　 ， 所以∠ABP，∠BPD和∠CDP三个角的数量关系是④　∠BPD＝∠ABP+∠CDP ． 【迁移应用】 如图2，已知直线AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点，点P和点Q分别在直线AB和CD上，连接EP，EQ．∠BPE和∠DQE的平分线PF和QF相交于点F． （1）写出∠1，∠E和∠2之间的数量关系式，并说明理由． （2）若∠E＝144°，则∠F＝　108　 °． 【拓展提高】 如图3，AB∥CD，GP∥MN，∠FEA＝2∠AEG，若∠G﹣∠EFH＝60°，则∠BEG的度数为　160　 °． 【答案】（1）①两直线平行，内错角相等；②DPN；③等量代换；④∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）①2∠1+∠E+2∠2＝360；②108； （3）160． 【分析】（1）根据平行线的性质和已给推理过程求解即可； （2）①由角平分线的定义得到∠BPE＝2∠1，∠DQE＝2∠2，则由平角的定义可得∠APE＝180°﹣2∠1，∠CQE＝180°﹣2∠2，再由（1）的结论可得答案；②求出∠1+∠2＝108°，根据角平分线的定义得到∠BPF＝∠1，∠DQF＝∠2，再由（1）的结论可得答案； （3）过点F作FT∥CD，则FT∥CD∥AB，根据平行线的性质和角的和差关系可推出∠EFH＝∠CHF﹣∠AEF，由（1）得∠G＝∠AEG+∠CPG，由平行线的性质得到∠CPG＝∠CHF，则∠G＝∠AEG+∠CHF，据此得到∠AEG+∠CHF﹣（∠CHF﹣∠AEF）＝60°，则∠AEG+∠AEF＝60°，可求出∠AEG＝20°，则∠BEG＝180°﹣∠AEG＝160°． 【解答】解：（1）∵AB∥MN， 根据两直线平行，内错角相等， ∴∠ABP＝∠BPN． ∵CD∥MN， ∴∠CDP＝∠DPN， ∵∠BPD＝∠BPN+∠DPN， 根据等量代换， ∴∠ABP，∠BPD和∠CDP三个角的数量关系是∠BPD＝∠ABP+∠CDP． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②DPN；③等量代换；④∠BPD＝∠ABP+∠CDP； （2）①∵∠BPE和∠DQE的平分线PF和QF相交于点F， ∴∠BPE＝2∠1，∠DQE＝2∠2； ∵∠APE+∠BPE＝180°，∠CQE+∠DQE＝180°， ∴∠APE＝180°﹣2∠1，∠CQE＝180°﹣2∠2， 由（1）可得∠E＝∠APE+∠CQE， ∴∠E＝180°﹣2∠1+180°﹣2∠2， ∴2∠1+∠E+2∠2＝360°； ②∵∠E＝144°，2∠1+∠E+2∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝108°； ∵∠BPE和∠DQE的平分线PF和QF相交于点F， ∴∠BPF＝∠1，∠DQF＝∠2， ∴由（1）的结论可得∠F＝∠BPF+∠DQF＝∠1+∠2＝108°， 故答案为：108； （3）如图所示，过点F作FT∥CD， ∵AB∥CD，FT∥CD， ∴FT∥CD∥AB， ∴∠TFE＝∠AEF，∠CHF＝∠TFH， ∴∠EFH＝∠TFH﹣∠TFE＝∠CHF﹣∠AEF， 由（1）得∠G＝∠AEG+∠CPG， ∵PG∥MN， ∴∠CPG＝∠CHF（两直线平行，同位角相等）， ∴∠G＝∠AEG+∠CHF， ∵∠G﹣∠EFH＝60°， ∴∠AEG+∠CHF﹣（∠CHF﹣∠AEF）＝60°， ∴∠AEG+∠AEF＝60°， ∵∠FEA＝2∠AEG， ∴∠AEG+2∠AEG＝60°， ∴∠AEG＝20°， ∴∠BEG＝180°﹣∠AEG＝180°﹣20°＝160°， 故答案为：160． 【点评】本题考查了平行线的性质，关键是平行线性质的熟练掌握． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $