河南周口市第三高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试卷

**基本信息** 高一数学期中卷以立体几何与向量为核心，融合复数、解三角形等模块，通过无人机测量建筑高度（第6题）等真实情境，考查空间观念与应用意识，解答题分层设计（如15题求角与最值），体现逻辑推理与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数几何意义、空间线面关系、圆台体积|第3题通过反例辨析空间位置关系，考查直观想象| |多选题|3/18|向量运算、复数性质、解三角形|第11题结合角平分线与投影向量，体现知识综合| |填空题|3/15|球表面积、圆锥体积、长方体线面平行|第14题动态探究线段最小值，培养创新意识| |解答题|5/77|解三角形、平行四边形坐标、三棱锥共面证明|第18题证明三线共点，考查逻辑推理；19题用等体积法求体积，强化转化思想|

2025-2026学年度高一数学期中考试卷 考试时间：120分钟；满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分共8题） 1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知向量，若，则（    ） A． B．1 C． D．6 3．在空间中，，，是三条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则，为异面直线 C．若，，，则 D．若，，则 4．一圆台的上底面半径为2，下底面半径为3，母线长为8，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 5．下列说法中，正确的是（ ） A．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 B．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 C．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 D．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 6．如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度，在地面上选择一个观测点，在处测得处的无人机和该建筑的最高点的仰角分别为，无人机距地面的高度为20米，且在处无人机测得点的仰角为，点B，C，N在同一条直线上，则该建筑的高度（单位：米）为（   ） A． B． C． D．40 7．如图，已知高为3的棱柱的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 8．如图，已知圆锥底面圆的直径与侧棱，构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的半径是（    ） A．2 B． C．4 D．与点C的位置有关 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 二、多选题（共3题，每题6分） 9．已知向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 10．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．复数的虚部为 B．的模为 C．的共轭复数为 D．复数在复平面内对应点在第一象限 11．△ABC中，，，则（   ） A． B．的角平分线交AB于D，则 C． D．在上的投影向量是 第II卷（非选择题） 3、 填空题（共3题，每题5分） 12．已知球面上三点满足，且球心到平面的距离为6，则球的表面积为.___________. 13．一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为_________. 14．如图，在长方体中， 分别为的中点.点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是______・ 四、解答题（共5题，共77分） 15．（满分13分）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且. (1)求角C及边c的值； (2)求的最大值. 16．（满分15分）已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． (1)求点的坐标； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求平行四边形的面积． 17．（满分15分）如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等． (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积． 18．（满分17分）如图，在三棱锥中，E，F分别是PA，AB的中点，G，H分别是PC，BC上的点，且． （1）证明：E，F，G，H四点共面． （2）证明：三条直线EG，FH，AC交于一点． 19．（满分17分）如图，在正方体中，E是的中点.    (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 《2025-2026学年度高中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B D D C A AC BCD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】，故在复平面内对应的点为， 该点在第一象限. 2．C 【详解】因，则， 又因，则，解得. 3．D 【分析】根据空间中点线面的位置关系，判断各选项正误. 【详解】 如图所示，当相交，直线垂直于相交的平面时，满足，，但是此时不满足，所以A错误. 如图所示，当两个平面平行时，被第三个面所截，得两条交线，此时，，不满足，为异面直线，所以B错误. 如图所示，此时满足，，，但是不满足，所以C错误. 根据面面平行的定义可知，平面没有交点，当时，与平面没有交点，此时，所以D正确. 故选：D. 4．B 【详解】设圆台的高为，则， 故圆台的体积为. 5．D 【分析】根据棱台、棱锥、棱柱的定义和性质对各选项逐一进行判断即可. 【详解】对于A，用一个平面去截棱锥，当平面与底面平行时，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故A错误； 对于B，棱柱的侧面都是平行四边形，棱柱的底面可为任意平面多边形，故B错误； 对于C，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形但不一定全等，如斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故C错误. 对于D，由棱锥的定义可判断D正确. 6．D 【分析】在中，求出，中，由正弦定理求出，中，求出. 【详解】在中，，则， 由图，可知，， 则， 在中，由正弦定理，得， 在中，. 故选：D. 7．C 【解析】利用棱锥的体积公式计算即可． 【详解】三棱锥的体积为： 故选：C 【点睛】本题考查柱锥台体的体积公式，考查学生计算能力，属于基础题． 8.A 【分析】设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为，由圆锥的性质可知平面，再根据题意可知，，最后在中，利用勾股定理，即可求出结果. 【详解】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为，连接，则平面，且在线段上. 因为直径与侧棱，构成边长为的正三角形，易知，. 设球的半径为R，在中，由勾股定理得，解得. 故选：A. 9．AC 【分析】根据数量积的坐标公式即可判断A；根据向量的模的坐标公式即可判断B；根据平面向量线性运算的坐标表示即可判断C；根据平面向量夹角的坐标公式即可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：AC． 10．BCD 【分析】利用复数除法求出，再逐项判断可得答案. 【详解】由， 对于A，的虚部应为1，故A错误； 对于B，的模为，故B正确； 对于C，的共轭复数应为，故C正确； 对于D，在复平面内对应点为，显然在第一象限，故D正确. 故选：BCD. 11.ACD 【详解】由余弦定理，得，故，A正确； 因为，所以是等腰三角形，平分， 所以是的垂直平分线，所以，所以，所以B不正确； 由，，所以， 因为是等腰三角形，所以， ，所以C正确； 向量在上的投影向量为 ， ，故投影向量为，所以D正确. 12． 【分析】由题意可知三角形为直角三角形，球心到平面的距离即为球心到中点的距离，可求出球的半径，然后求球的表面积 【详解】由题意，，可知 因为球心到平面的距离为6， 所以球心到中点的距离为6， 所以球的半径为： 球的表面积为： 故答案为： 13． 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，利用圆锥的侧面积公式及弧度数的定义，得，可求出，再利用圆锥的体积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题知，解得，所以， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 14． 【分析】利用线面平行的判定定理，面面平行的判定定理，确定在直线，再根据时线段最短即可求解. 【详解】解：如图，连结， ∵分别为的中点， ∴平面，平面， ∴平面 ∵平面，平面， ∴平面， ∵，∴平面平面， ∵平面， ∴点在直线上，在中，， ∴当时，线段的长度最小，最小值为＝. 故答案为：. 15．(1)，(2)4 【详解】（1）由， 根据余弦定理，得， 因为，则. 由，得， 根据正弦定理，得，则................7分 （2）由（1）知，， 则，即， 当且仅当时等号成立， 则的最大值为4.………………13分 16．(1)(2)(3)5 【分析】（1）设点的坐标，根据向量相等直接得到所求点的坐标. (2)由向量与的数量积直接计算向量的夹角余弦值. (3)由（2）向量的夹角余弦计算正弦，再由面积公式计算平行四边形的面积. 【详解】（1）由题意得， 设，则． 由，得得 所以点的坐标为．………………4分 （2）由题意得， ，，， 所以向量与夹角的余弦值为．………………10分 （3）由（2）得向量与夹角的正弦值为， 所以平行四边形的面积为.………………15分 17．(1)2；(2) 【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解. （2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解. 【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得， 所以圆柱的底面半径为2.………………7分 （2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长， 所以三棱柱的体积.………………15分 18．【分析】（1）利用三角形中对应边成比例，证得，，进而得到，即可得出结果． （2）由，可知EG，FH必相交于一点，设为点O,平面平面，通过证明，即可． 【详解】证明：（1）在中，因为E，F分别是PA，AB的中点， 所以． 在中，因为， 所以，从而． 所以，即E，F，G，H四点共面．……………………7分 （2）由（1）知，，， 所以EG，FH必相交于一点，设为点O． 因为平面PAC，所以平面PAC． 同理平面ABC，即O是平面PAC与平面ABC的公共点． 因为平面平面， 所以，即三直线EG，FH，AC交于一点．………………………17分 19．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面.…………………………9分 （2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积.………………17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $