假期作业11 函数的概念-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假作业

快乐假期 9M= 锲而不舍，金石可镂。 假期作业11 函数的概念 完成日期： 月 思维整合室 (3)函数的周期性 1.函数及其表示 若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0) (1)函数的概念 都是函数的周期. ①函数是两个非空的数集A,B之间的一 3.幂函数 种特殊的对应关系∫，特殊性体现在：一是 (1)形如y=x(a∈R)的函数是幂函数. (2)幂函数的图象及性质 对应可以是 或 ,但不能 熟记下列函数图象： 是 ；二是A中的每一个元素不能 对空，但B中的元素可以有剩余.从图象 上看，平行于y轴的直线与函数图象至多 一个交点， ②研究函数必须贯彻“定义域优先”的原 则.两个函数的三要素中只要有一个不同， 性质：在(0十o)上，若a<0,函数 就是不同的函数。 若0<a<1,函数 且图象上凸，若 a>1,函数 且图象下凸 (2)分段函数 分段函数是一个函数.求分段函数的函数 〈《技能提升台 值时，应根据所给自变量的大小选择相应 1.已知函数f(x)由下表给出，则f[f(3)]= 段的解析式求解，若给出函数值求自变量 的值，应根据每一段的解析式分别求解。 2.函数的单调性（最值）、奇偶性、周期性 (x (1)函数的单调性 A.1 B.2 C.3 D.4 单调性揭示了函数在某个区间上的自变量 2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是 的大小与函数值的大小之间的大小关系是 否一致，若一致，则是增函数；若不一致，则 是减函数，故有结论： 台f(x)是 A.f(x)=z'-z ,g(x)=x-1 增函数. B.f(x)=√x,g(x)=()2 (2)函数的奇偶性 C.f(x)=x2-2,g(t)=t2-2 ①定义域关于 是函数具有奇偶性 D.f(x)=√x+I·Wx-1,g(x)=Jx-1 的必要条件. 3.下列函数中是增函数的为 ②图象特点：奇函数的图象关于 对 A.f(x)=-x B.f(x)- 称；偶函数的图象关于 对称.反之 亦然. C.f(x)=x2 D.f(x)=元 26 三0022 4.(2022·全国乙卷文，8) 9,.已知函数/)=1-兰 右图是下列四个函数中 -3 的某个函数在区间[一3， (1)若g(x)=f(x)-a为奇函数，求a 3]的大致图像，则该函 的值： (2)试判断f(x)在(0，+∞)内的单调性，并 数是 A.y=-x3+3x B.y=-t 用定义证明 x2+1 x2+1 C.y=2rcos 2sin x x2+1 D.y= x2+1 5.(多选)有下列几个命题，其中正确的是 () A.函数y=2x2十x十1在(0，+∞)上是增 函数 B函数y=十在(-0，-1DU(-1. +∞)上是减函数 C.函数y=√/5十4x一x2的单调区间是[一2， 十∞) 10.某化学试剂厂以x千克/小时的速度匀速 (2x-3,x>0, D.已知函数g(x)= 是奇函 生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10）， f(x),x<0 数，则f(x)=2x十3 每小时可获得的利润是(5x十1一万元。 6.(2022·新高考I卷，12)已知函数f(x) (1)要使生产该产品2小时获得的利润不 及其导函数f(x)的定义域均为R,记 低于30万元，求x的取值范围； (2)要使生产120千克该产品获得的利润 g()=了(x).若f(-2x小g(2+x)均 最大，则该工厂应该选取何种生产速度？ 为偶函数，则 并求出最大利润。 A.f(0)=0 Bg-2)=0 C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2) 7.(2022·全国乙卷)若f)=na+十b 是奇函数，则a= ,b= 8.（2022·北京卷，14)设函数f(x)= -ax十1，xa, 若f(x)存在最小值，则a (x-2)2,x≥a. 的一个取值为 ;a的最大值为 27 飞烫快乐阪期 900= 新题快递 函数q,满足a·p=3·q,并且说明如果存 1.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显 在其它的集合E满足存在E'→A的函数p 著，他是数学史上第一位重视概念的人，并且 以及E→B的函数q,满足a·p=B·q,则 有意识地“以概念代替直觉”，以其名命名的 存在唯一的E→E的函数9满足p·9=p, 1,x是有理数 9·p=9. 函数D(x)= 狄 0,x是无理数 利克雷函数，现定义一个与狄利克雷函数类 似的函数L(x)= ,x是有理数 L函数”， 0,x是无理数 则关于狄利克雷函数和L函数有以下四个 结论： (1)D(1)=L(1); (2)函数L(x)是偶函数； (3)L函数图象上存在四个点A,B,C,D,使 得四边形ABCD为菱形； (4)L函数图象上存在三个点A,B,C,使得 △ABC为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是 2.设有两个集合A,B,如果对任意a∈A,存在 唯一的b∈B,满足f(a)=b,那么称f是 个A→B的函数.设f(a)是A>B的函数， g(b)是B→C的函数，那么g(f(a))是A> C的函数，称为g和f的复合，记为g·f, 《益智欢乐谷 如果两个A>B的函数f,g对任意a∈A, 一 男子和老婆 都有f(a)=g(a),则称f=g 在火锅店，边吃边 还人类一片清新 (1)对f(x)=e,分别求一个g(x),h(x), 聊，正高兴时，有个 请丢掉手中的香烟 使得(g·f)(x)=x=（f·h)(x)对全体 少妇走过来，直视着 x≥1恒成立； 他说：“我怀孕了！”那个男人的老婆先是一 (2)设集合A,B,C和A→C的函数a以及 愣，紧接着甩手给了他一耳光，又拉又扯，连哭 B→C的函数B. 带闹.全火锅楼的目光都聚焦在他俩身上，那 (i)对E={(a,b)|a∈A,b∈B,a(a)= 哥们欲哭无泪！ (b)},构造E→A的函数p以及E→B的 这时，少妇又幽幽的来了一句：“麻烦你 函数q,满足a·p=3·q 把烟掐了，谢谢！” (i)对E={(a,b)|a∈A,b∈B,a(a)= 哥们捂住脸哭都哭不出来… 3(b)},构造E→A的函数p以及E→B的 吃饭有风险，抽烟需谨慎！ 28快乐假期 90M-= 假期作业11 解析：因为面数)=lna十己 十b为奇函数，所以其 思维整合室 定义域关于原点对称 1.(1)①一对一多对一一对多 2.1)f）-f>0（2)①原点对称 由a+1-x≠0可得，1-)(a十1-ax)≠0，所以x=+出 ②原点y轴 x1一x2 3.(2)递减递增递增 =-1,解得a=-合即函载的定又战为（一∞，一DU 技能提升台 (-1,1)U(1,+∞)，再由f(0)=0可得，b=ln2.即f(x)= 1.A[:f(3)=4,.f[f(3)]=f(4)=1.] 1十x ,在定义域内满足f(一x) 2C[对于A)=,g)=-1的定义装不同，化 -++=n 1-x =一f(x),符合题意 简后对应关系相同，不是相同函数； 答案：-号n2. 对于B,f(x)=x,g(.x)=()2的定义域不同，对应关系 8.解析：由题意知，函数最值与函数单调性相关，故可考虑以 不同，不是相同函数； 0,2为分界，点研究函数f(x)的性质，当a<0时，f(x)= 对于C,f(x)=x-2,g(1)=2一2的定义域相同，对应关系 -a.x十1，x<a,该段的值域为(-∞，-a2十1)，故整个函数 相同，是相同函数； 没有最小值；当a=0时，f(x)=一ax十1，x<a,该段值域为 对于D,f(x)=√x十I·√x-1,g(.x)=√-1的定义域不 {1},而f(x)=(x一2)，x≥a的值域为[0，十o∞)，故此时f(x)的 同，化简后对应关系相同，不是相同函数，故选C] 值域为[0，十○)，即存在最小值为0，故第一个空可填写0：当 3.D[AB递减，排除，C有增有减，排除，因此只有D正确.] 0<a≤2时，f(x)=-ax+1,x<a,该段的值域为(-a2+1, A[设)-制)=0，故排隆 十o∞)，而f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[0，十o∞)，若存在 最小值，则需满足-a+1≥0，于是可得0<a≤1；当a>2 设)-，当(0，)时0cs 时，f(x)=-a.x十1，x<a,该段的值域为(-a十1，十o∞)， 而f(x)=(x-2)2,x≥a的值域为[(a-2)2,十∞)，若存在 所以)-行气1，成希徐心 最小值，则需满足-a+1≥(a-2),此不等式无解.综上，a 的取值范围是[0,1]，故a的最大值为1， 设g(r)=2sin,则g(3)=2sin3>0,故排除D.故选A.] x2+1 10 答案：0（答案不唯一）1 9.解：(1)由已知g(x)=f(x)-a, 5.AD [由y=2+x十1=2(+)+名在 [-},+）上道增知，画数y=2+x+1在0，十e)上 得g0=1-a2 因为g(x)是奇函数，所以g(-x)=一g(x), 是增画数，故A正确y在(-0，-》。 即1-a(名。=-(1-a-2）解得a=1 2 (-1,十∞)上均是减函数，但在(-∞，-1)U(-1,十0∞) (2)函数f(x)在(0，十∞)内为增函数， 上不是减函数，如-2<0，但-2中<0故B储误：y 证明如下：任取0<x1<x2,则f(1)一f(x2) 2(x1一x2） √5十4x-x在[-2，-1)上无意义，从而在[-2，十∞)上 不是单调函数，故C错误；设x<0,则-x>0,g(一x)=-2x 因为0<01<x2,所以x1一x2<0,x1x2>0, -3,因为g(x)为奇函数，所以f(x)=g(x)=一g(-x)=2x十 从而2二）<0，即fx,)<fx. IIx2 3,故D正确.故选AD.] 所以函数f(x)在(0，十∞)内是增函数. 6.心[由/（侵-2☑为偏函教可知）关于直线一是对称， 10.解：)由题意可知，2(5z+1-)户30， 由g(2十x)为偶函数可知g(x)关于直线x=2对称， 所以5x2-14x-3=(5x十1)(.x-3)≥0， 结合g(x)=f(x),根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x) 关于点(2，t)对称， 所以≤-号我23 根据f(红)关于直线工=号对称可知g()关于点 又1≤x≤10，所以3≤x≤10. 所以x的取值范围是[3,10]. (0）对称， (2易如英得的利调y(6x+1-）) 综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数， 所以f(0)=f(2)=t,所以A不正确； =12m(-++5）e1.1. f(-1)=f(1),f(4)=f(2),f(1)=f(2) 故f(一1)=(4)，所以C正确： 令1=∈[品小则y=120(-++) 8(号)）=8（号）=0，g(-1D=g1,所以B正扇： 当1-g,即x-6时y=610. 又g(1)十g(2)=0,所以g(-1)十g(2)=0,所以D不正确. 故该工厂应该选取6千克/小时的生产速度，此时利润最 故选BC 大，且最大利涧为610万元. 48 三-0022 高二数学 新题快递 3.A[,a=20232m>2023°=1,0=l0g2e1<b=log22022 1.解析：由狄利克雷函数的定义，可得D(1)=L(1)=1,所以 <1og2232023=1, (1)正确；由L(.x)= x,x是有理数 0,2是无理数，可得L(-1)=-1, 1 c=1og:02023<10g:o21=0,.a>b>c.故选A.] L(1)=1,不满足L(-1)=L(1),所以函数L(x)不是偶函 4.B[根据题意可得C=20X20,C=30”×10,两式相比得 数，所以(2)错误；由L函数定义，可得函数L(x)图象上的点 要么在直线y=x上，要么在直线y=0上，若函数L图象上 3×沿-1即（号）广=合，所以n=16鲜合-gy2 30"×10 存在四个点A,B,C,D使得四边形ABCD为菱形，因为菱形 lg 2 的对角线互相垂直平分，则直线y=x和y=0不是对角线 g ggig2入4803子故选B] 1g 2 0.3 所在的直线，不妨设A(a,a),B(b,b),C(m,0),D(n,0),则 5.ABD[如图，在同一坐标系下画出 y y=2023 a b y=2022 =-1 y=2022与y=2023的图象，结合 a-m b-n 图象可知A,B,D可能成立.故 a AC与BD互相垂直平分，可得 Jatm_b+n 2 2 ,可得A 选ABD.] 6.ABD[A正确，f(-x)=元元 0 2 =-f(x), 与B,C与D重合，且方程不成立，所以(3)错误；取函数L图 象上三个，点A(3,3),B(3-√3,0)，C(3+√3,0)，则AB=BC g(一x)=+元=g(x),所以f(-)十g(-)=g()- 2 =AC=2√3，使得△ABC为等边三角形，所以(4)正确. f(x);B正确，因为函数f(x)为增函数，所以f(-2)<f(3); 答案：(1)(4) C不正确，f(x)-g(x)=元-元十元==2x 2 2 2 2.解析：(1)因为(g·f)(x)=√1ne=√x=x,而(f·h) (x)=e=e=x,(g·f)(x)=x=(f·h)(x)对全体 -元‘：D正确，f(2x)=-元2 2 2 2 x≥1恒成立： =2f(x)g(x).] 故g(x)=√nx,h(x)=√nx对所有x≥1成立. 7.解析：原式 () 3×(-) +log4=号+2= (2)(i)考虑p(a,b)=a以及g(a,b)=b两个函数. 3 对任意(a,b)∈E,因为a(a)=3(b), 苦案：号 所以a·p=a(p(a,b)=a(a)=3(b)=B(q(a,b)=B·q. a',x1 (ⅱ)我们可以继续使用()的构造， 8.解析：因函数f(x) 任意取e'∈E,因为a·p=B·q,所以a(p'(e') -20,x心1又-2)=9，于是得 x =(g(e'), 所以b'(e')∈A,g(e)∈B,则(p(e')·g(e)∈E', 。=9,而u>0,解得a=子，所以a的值等于号：周时任意 因此存在p(e)=(p'(e)',g(e')满足条件： ,≠，都有）二<0成立，则画数f红在R上单 如果9符合题意，即p·9=p',9·9=9, X1一x2 0<a1 则p(g'(e')=p'(e'),g(p'(e')=g(e'), 由p,q定义得到p'(e')=(p'(e),g(e). 调远减，因此，一-2a>0,解得号<a<号，所以实数a的取 a1-2a 存在唯一的E→E的函数9满足题意 答案：(1)g(x)=√1nx,h(x)=√nx (2)(i)p(a,b)=a,q(a,b)=b;ip(a,b)=a,g(a,b)=b, 11 明见解析 答案：了：号<a<号 假期作业12 9.解：(1)由真数2x十3-x2>0,解得-1<x<3, 所以函数的定义域为{x一1x<3}. 思维整合室 (2)将原函数分解为y=log4u,u=2x十3-x2两个函数.因 1.(1)①i.ai.a -a(2)①a+②an 为u=2x+3-x2=-(x-1)2+4≤4. ③a'b'(4)①log,M+log.V②log.M-log.V 所以当x=1时，u取得最大值4，又y=logu为单调增函 ③nlog M @日gM2.R0,+∞）(0.1D 数，所以y=log(2x十3-x2)≤1og(4=1. 所以y的最大值为1，此时x=1. y>10<y10y1>1增减3.(0，+∞)R(1, 10.解：(1)当a>1时，f(x)=a是R上的增函数. 0)y>0y<0y<0y>0增减 技能提升台 由于0日<1，所以g)=(日)是R上的减画数 a 1.B(合)】 +8号+(2024)°=2+(23)号+1=2+22+1= 当0<a<1时，f(x)=a是R上的减函数， 由于>1，所以g(D 7.故选B.] a (日)广是取上的增画教， 2.C[将l0g3=b转化为指数，得到8=3.再结合指数的运 <<1oWy<<- 第性质8=(2=2”-3.国此-系=号所以 当a>1时，x<0;当0<a<1时，x>0. =25,故选C.] .当a>1时，x的取值范围是(-∞，0)； 9 当0<a<1时，x的取值范围是(0，十o∞). g