假期作业8 成对数据的统计分析-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假作业

快乐假期 假期作业8成对数据的统计分析 业精于勤，而荒于嬉。 完成日期： 月 思维整合室 3.一元线性回归模型 (1)经验回归方程与最小二乘法 1.变量的相关关系 我们将y=ix十a称为Y关于x的经验回 (1)相关关系 归方程，也称经验回归函数或经验回归公 两个变量有关系，但又没有确切到可由其 式，其图形称为经验回归直线.这种求经验 中的一个去精确地决定另一个的程度，这 回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 种关系称为相关关系. ,a叫做b,a的最小二乘估计， (2)相关关系的分类：正相关和负相关 2(x,-a)y一可 (3)线性相关 其中 2(x 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关 - 或负相关，而且散点落在 附近，我 a=y-b元. (2)利用决定系数R刻画回归效果 们就称这两个变量线性相关， 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是 (y-) R2=1 i=1 ,R2越 ,即拟合 线性相关，那么我们就称这两个变量非线 性相关或曲线相关。 效果越好，R越 模型拟合效果越差. 2.样本相关系数 4.列联表与独立性检验 (1)相关系数r的计算 (1)2×2列联表 变量x和变量y的样本相关系数r的计算 般地，假设有两个分类变量X和Y,它们 的取值分别为{x1,x2}和{y1y2},其2×2 公式如下： 列联表为 (x,-)(y:一 y 合计 2(y,-) y=y y=y2 x-x a b a+b (2)相关系数r的性质 ①当r>0时，称成对样本数据 相关： x=x, d c+d 当r<0时，成对样本数据 相关；当r=0 合计 a十c b+d n=a+b+cd 时，成对样本数据间没有线性相关关系， (2)临界值 ②样本相关系数r的取值范围为 n(ad-bc)2 X=(a+b+(ac(6+d忽略X 的实际分布与该近似分布的误差后，对于 当r越接近1时，成对样本数据的线性相 任何小概率值α，可以找到相应的正实数 关程度越； xa,使得P(x≥x)=a成立.我们称x。为 当|r越接近0时，成对样本数据的线性相 。的临界值，这个临界值就可作为判断x 关程度越 大小的标准。 18 三0022 (3)独立性检验 A.沸点与海拔高度正相关 基于小概率值α的检验规则是： B.沸点与气压正相关 当x≥x。时，我们就推断H。不成立，即认 C.沸点与海拔高度负相关 为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不 D.沸点与海拔高度、沸点与气压都线性 超过a; 相关 当x<x。时，我们没有充分证据推断H。 4.对两个变量x,y进行分析，计算得到样本相 不成立，可以认为X和Y独立 这种利用x的取值推断分类变量X和Y 关系数r=一0.9962，则下列说法正确的是 是否独立的方法称为x2独立性检验，读作 ( “卡方独立性检验”，简称独立性检验， A.x与y正相关 下表给出了x独立性检验中几个常用的 B.x与y具有较强的线性相关关系 小概率值和相应的临界值 C.x与y几乎不具有线性相关关系 Q 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 D.x与y的线性相关关系还需进一步确定 2.7063.841 6.635 7.879 10.828 5.在吸烟与患肺癌是否相关的研究中，下列说 〈《技能提升台 法正确的是 1.（多选)下列关系中，属于相关关系的是 A.若x2>6.635,我们有99%的把握认为吸 烟与患肺癌有关，则在100个吸烟的人 A.正方形的边长与面积之间的关系 中必有99个人患肺癌 B.农作物的产量与施肥量之间的关系 B.由独立性检验可知，当有99%的把握认 C.出租车打车费与行驶的里程 为吸烟与患肺癌有关时，若某人吸烟，则 D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系 他有99%的可能患有肺癌 2.以下关于独立性检验的说法中，错误的是 C.通过计算推断出吸烟与患肺癌有关联， ( 且此推断犯错误的概率不大于0.05，是 A.独立性检验的依据是小概率原理 指有95%的把握认为吸烟与患肺癌有 B.独立性检验的结论一定正确 关联 C.样本不同，独立性检验的结论可能有 差异 D.以上三种说法都不正确 D.独立性检验不是判定两个分类变量是否 6.(多选)在统计中，由一组样本数据(x1,y1), 相关的唯一方法 (x2y2),…,(xm,yn)利用最小二乘法得到 3.某中学的兴趣小组在某座山测得了海拔高 两个变量的经验回归方程为y=ix+a,那 度、气压和沸点的若干个数据，并绘制成如 么下列说法正确的是 图所示的散点图，则下列说法错误的是 A.相关系数r不可能等于1 B.直线y=ix十a必经过点(x,y) 沸点/℃ 气压/千帕 C.直线y=ix十a表示最接近y与x之间 100 80 真实关系的一条直线 0 20 D.相关系数为r,且r越接近于1，相关程 60.511.522.533.544.5 405060708090100110 海拔高度/千米 气压/千帕 (1) (2) 度越大；越接近于0，相关程度越小 19 火受快乐假期 0M= 7.随着国家三孩政策的全面放开，为了调查一线 (1)求该地区这种野生动物数量的估计值 城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用 (这种野生动物数量的估计值等于样区这种 简单随机抽样的方法从不同地区调查了100 野生动物数量的平均数乘以地块数)； 位育龄妇女，结果如下表， (2)求样本(x,y,)(i=1,2,…,20)的相关系 城市级别 数（精确到0.01）； 三孩生育意愿 合计 (3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖 非 一线 一线 面积差异很大.为提高样本的代表性以获得 愿生 45 20 65 该地区这种野生动物数量更准确的估计，请 不愿生 13 22 35 给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明 合计 58 42 100 理由 n(ad-bc)2 2(x,-x)(y一y) x-(ab)(cFd)(a+c)(b+d)' 附：相关系数r =1 得x= 100×(45×22-20×13)2 58×42×35×65 ≈9.616. √2≈1.414. 参照下表： 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 根据小概率值α=0.01的独立性检验，可以 得到的结论是 8.已知n组成对样本数据确定的经验回归方 程为y=一x十2且y=4,通过残差分析，发 现两组成对样本数据（一1.7,2.9），（一2.3， 5.1)误差较大，除去这两组成对样本数据后， 重新求得经验回归直线的斜率估计值为 10.(2023·甲卷（文）)一项试验旨在研究臭氧 -1.5,则当x=-4时，y= 效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机 9.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改 地将其中20只分配到试验组，另外20只 善，野生动物数量有所增加.为调查该地区 分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高 某种野生动物的数量，将其分成面积相近的 浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正 200个地块，从这些地块中用简单随机抽样 常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重 的方法抽取20个作为样区，调查得到样本 的增加量（单位：g).试验结果如下： 数据(xy,)(i=1,2,…,20),其中x和y 对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排 分别表示第讠个样区的植物覆盖面积（单 序为 位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得 15.218.820.221.322.523.225.8 x=60.=1202(z-2=80. 26.527.530.1 32.634.334.835.635.635.836.2 5(yyP=900,.2(00yD=80. 37.340.543.2 20 三0022 高三数地) 试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排 2.某地区响应“节能减排，低碳生活”的号召， 序为 开展一系列的措施控制碳排放.环保部门收 7.89.211.412.413.215.5 集到近5年内新增碳排放数量，如下表所 16.518.018.819.2 示，其中x为年份代号，y(单位：万吨)代表 19.820.221.622.823.623.9 25.128.232.336.5 新增碳排放量 (1)计算试验组的样本平均数；(2)（ⅰ）求 年份 20192020 2021 20222023 40只小白鼠体重的增加量的中位数m,再 年份代号x 1 2 3 5 分别统计两样本中小于m与不小于m的 数据的个数，完成如下列联表： 新增碳排 6.1 5.2 4.9 3.8 放y万吨 ≥m (1)请计算并用相关系数r的数值说明x与 对照组 y间具有较强的线性相关性（若|r>0.75, 试验组 则线性相关程度较高)； (iⅱ)根据（ⅰ）中的列联表，能否有95%的 (2)求y关于x的线性回归方程，并据此估 把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在 计该地区2024年的新增碳排放. 正常环境中体重的增加量有差异？ 附：K2 n(ad-bc)2 参考数据：x=3,y=4.8,之xy,=66.2, (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' -1 P(K2>k) 0.100 0.050 0.010 x=55,2y=118.7,V3.5≈1.87W35≈ 5.92. 2.706 3.841 6.635 参考公式：对于一组数据(x1y1),(x2y2), …,(xnyn)其回归直线的斜率和截距的最 小二乘法估计公式，相关系数r的公式分别 为=面 xy:一y a=y-bx,r x-n i=1 之xy,一n) = 2-n)(-) 《益智欢乐谷 新题快递 顽强的华罗庚华罗庚是我国著名的数 1.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿， 学家，为我国数学事业做出突出贡献，而在他 由2013年到2019年的统计数据可得国内生 因病左腿残疾后，走路不得不左腿先画一个大 产总值(GDP)y(万亿元)关于年份代号x的 圆圈，右腿再迈上一小步，对于这种奇特而费 回归方程为y=6.6x十50.4(x=1,2,3,4,5, 力的步履，他曾幽默地戏称为“圆与切线的运 6,7),则由回归方程预测我国在2035年底人 动”.在逆境中，他顽强地与命运抗争，誓言： 均国内生产总值约为 万元.（保留一 位小数) “我要用健全的头脑，代替不健全的双腿！” 21三022. x=6×0.03+7×0.1+8×0.2+9×0.35+10×0.19+11 ×0.09+12×0.04=9, s2=(6-9)2×0.03+(7-9)2×0.1+(8-9)2×0.2+(9 9)2×0.35+(10-9)2×0.19+(11-9)2×0.09+(12 9)2×0.04=1.78, 所以样本平均数x和样本方差2分别为9,1.78. (2)①由题意知=9,02=1.78， 则有X~N(9,1.78), g=8=≈专 10 P(X≤10)=PY≤109)=PY≤0.75) 3 =0.7734, ②由①知P(X>10)=1-P(X10)=0.2266, 可得Z~B(20,0.2266), 所以Z的均值E(Z)=20×0.2266=4.532. 新题快递 1.BC[对于A项，由配重X(单位：kg)符合正态分布 N(27.5,4)可知，配重的平均数为27.5kg,故A项错误； 对于B项，由配重X(单位：kg)符合正态分布N(27.5,4)可 知=27.5，o=2,故P(23.5<X29.5)=P(-2a<X以 +o)=P(g-2a<X≤-2o)-2{P(g-2o<X≤+2o） P(4-o<X≤十σ)} =0.9545-号(0.9545-0.6827)=0.8186.故B项正确；对 于C项，显然正确：对于D项，因P(X>33.5)=P(X>十 3a)=2[1-P(-3a<X<+3)]=21-0.9973)= 0.00135.故1000个使用该器材的人中，配重超过33.5kg 的约有1000×0.00135=1.35≈2人，故D项错误.] 2.解析：由题意可知从家里到达公司所用的时间不超过48分 钟，小明就不会迟到： 若选择自驾，则P(X>48)=P(X>+20)≈1-95,4% 2 若选择地铁，则P(X>48)=P(X>十o)≈1-一68.3% 2 若选择公交，则P(X>48)=P(X>u十30)≈1-99.7必 而1一68.3%>1一954%>1一90.7%，故选择公交上班迟 2 2 2 到的可能性最小 答案：公交 假期作业8 思维整合室 1.(3)一条直线 2.(2)正负[-1,1]强弱 x,-n7 3.(1)- (2)大小 -n 技能提升台 1.BD[在A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关 系：在B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数 关系，但具有相关关系；C为确定的函数关系：在D中，降雪 量与交通事故的发生率之间具有相关关系.] 二数学) 2.B[独立性检验会犯随机性错误，犯错误的概率不会超过 小概率值.门 3.A[由题图知气压随海拔高度的增加而减小，由图知沸，点 随气压的升高而升高，所以沸点与气压正相关，沸点与海拔 高度负相关，由图易得两个散，点图中的点都落在一条直线附 近，所以沸点与海拔高度、沸点与气压都线性相关，故B,C, D正确，A错误.」 4.B[由r=-0.9962可知，x与y负相关，并且具有较强的 线性相关关系.] 5.C[依据小概率值a=0.01的独立性检验，若x2>6.635, 我们有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，而不是在100 个吸烟的人中必有99个人患肺癌，故A不正确.99%是指 吸烟与患肺癌有关的概率，而不是吸烟的人有99%的可能 患有肺癌，故B不正确.C显然正确，D不正确.] 6.BCD[相关系数的取值范围是|r|1,故A错误；直线y= i.x十a必过样本中心点即点(x,y),故B正确；直线y=ix十 ā是采用最小二乘法求解出的直线方程，接近真实关系，故 C正确：相关系数r的绝对值越接近于1，表示相关程度越 强，越接近于0，表示相关程度越弱，故D正确.」 7.解析：因为X≈9.616>6.635，所以有99%以上的把握认为 “生育意愿与城市级别有关” 答案：生育意愿与城市级别有关 8.解析：由样本数据点集{(x·y,)i=1,2,…,}求得的经验 回归方程为y=一x十2，且y=4, 所以元=一2， 故数据的样本中心，点为（一2,4）， 去掉(-1.7,2.9)，(-2.3,5.1)， 重新求得的经验回归直线的斜率估计值为一1.5， 经验回归方程设为y=-1.5x+a,代入(-2,4)，求得a=1, 所以经验回归直线a的方程为y=一1.5x十1，将x=一4代 入经验回归方程，求得y的估计值为一1.5×（一4）十1=7. 答案：7 19 9.解：1)由已知得样本平均数)=20三y=60,从而诚地区这 种野生动物数量的估计值为60×200=12000. (2)样本(x,y)(i=1,2,…,20)的相关系数 (x,-x)y-》 =1 800=22≈0.94. /(x,-)22(y-) V80X90003 (3)分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对 200个地块进行分层抽样. 理由如下：由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖 面积有很强的正相关性.由于各地块间植物覆盖面积差异很 大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层 抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提 高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量 更准确的估计 10.解：(1)试验组样本平均数为20(7.8+9.2+11,4+12.4十 13.2+15.5+16.5+18.0+18.8+19.2+19.8+20.2+ 8+23.6+23.9+25.1+28.2+32.3+36. =19.8. (2)(ⅰ)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组 数据合在一起，从小到大排列后，第20位与第21位数据的 平均数， 由原数据可得第11位数据为18.8，后续依次为19.2， 19.8,20.2,20.2,21.3,21.6,22.5,22.8,23.2,23.6,…, 故第20位为23.2，第21位数据为23.6， 快乐假明 00M= 所以m=28.223.6=23.4, 3.A[因为U={1,2,3,4,5},CvM={1,3},所以M={2,4, 2 5},所以2∈M,3∈M,4∈M,5∈M,故选A.] 故列联表为： 4.B[量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理 <m ≥m 合计 数”否定后为“它的平方不是有理数”，故选B.] 对照组 14 20 5.C[因为xy≠0，且x+义=-2， 实验组 20 所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0, 合计 20 20 40 所以x十y=0, （i)由(i)可得，K=40×(6×6-14×14) 所以“x十y=0”是“工十义=一2”的充分必要条件.] 20×20×20×20 y =6.400>3.841, 所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与 6.BC[A中十x+3=(+是)+>0，故A是假伞 在正常环境中体重的增加量有差异， 题：B中，x∈Q,号十号十1一定是有显数，故B是真命 新题快递 题；C中，当x=4,y=1时，3x-2y=10成立，故C是真命 1.解析：根据题意，2035年对应年号x=23,所以y=6.6×23 题；对于D,当x=0时，左边=右边=0，故D为假命题.] +50.4=202.2(万亿元)，所以我国在2035年底人均国内生 产总值约为202,2≈14.0万元. 14.4 7.解折：A=(0,号]B=-101AnB=-10, 答案：14.0 答案：{-1,0} 8.解析：(1)由题意得M={2},当m=2时， 2.解析：(1)依题意，r N={xx2-3.x+2=0}=〈1,2}，则M∩N={2. (②x2-)( -ny2) (2)因为M∩N=M,所以MN, 66.2-5×3×4.8 因为M=(2},所以2∈N. /55-5×32×/118.7-5×4.82 所以2是关于x的方程x2-3.x十m=0的解， 66.2-5×3×4.8 即4-6+m=0,解得m=2. V55-5×32×W/118.7-5×4.8 答案：(1){2}(2)2 -5.8 -5.8≈-5.8≈-0.9797， 9.解：由题可知B={2,3},AUB=B,A≤B, √10×√3.5√355.92 A≠B,A=B.又☑(A∩B),.A≠0， 所以|r=0.9797>0.75,所以线性相关程度较高. .A={2}或A={3}, ,y:一zy .方程x2-ax十a-12=0只有一解， (2)==1 - -5.8=-0.58, 10 由△=(-a)2-4(a2-12)=0,得a2=16, ∴.a=4或a=-4. a=y-bx=4.8+0.58×3=6.54, 当a=4时，集合A=（xx2-4x十4=0}={2}符合； 所以y=-0.58x+6.54, 当x=6时，y=-0.58×6+6.54=3.06万吨 当a=-4时，集合A={xx2十4x十4=0}={-2}（舍去）. 答案：(1)r=一0.9797，线性相关程度较高 综上可知，a=4. (2)y=一0.58.x十6.54，估计该地区2024年的新增碳排放 10.解：(1)欲使x∈A是x∈B成立的充分条件， 3.06万吨 则只要{<-受}x<-1或>3，则只要-受 假期作业9 ≤一1即m≥2，故存在实数m≥2时使x∈A是x∈B成立 思维整合室 的充分条件. 1.(1)N N'N.Z Q R (2)ACC ASC (2)欲使x∈A是x∈B成立的必要条件， (3)①{xx∈A且x∈B}②{xx∈A或x∈B}③{xx∈U 且x∈A}2.(2)①充分必要 则只受{<-受}P<-1成>3，则这是不可 ②充要 能的，故不存在实数m,使x∈A是x∈B成立的必要条件. 技能提升台 新题快递 1.A[由题意，M={xx+2≥0}={xx≥-2}，N={xx-1 1.B[若a-2=0,则a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不 <0}={xx<1}, 满足题意；若2a-2=0,则a=1,此时A={0,-1},B={1, 根据交集的运算可知，M∩N={x一2≤x<1}.] 2.A[由题意可得MUN={xx<2},则C。(MUN)={xz 一1,0}，满足题意.] ≥2}，选项A正确； 2.解析：由题意可得a=0,b=1,或a=0,b=2,或a=1,b=2, CuM={xx≥1}，则NUCM={x|x>-1},选项B错 当a=0,b=1时，2(a⊕b)十a☒b=-1: 误：M∩V={x-1<x<1}, 当a=0,b=2时，2(a①b)+a☒b=-2; 则Cu(M∩N)={xx≤-1或x≥1}，选项C错误； 当a=1,b=2时，2(a①b)十a☒b=6. CuN=(xx≤-1或x≥2，则MU CN= 所以A={-2,-1,6). (xx<1或x≥2}，选项D错误.] 答案：A={-2,-1,6} 46