假期作业4 条件概率与全概率公式-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假作业

三0022 假期作业4条件概率与 【《思维整合室 1.条件概率 定义：一般地，设A,B为两个随机事件，且 P(A)>0,我们称 为在事件A发 生的条件下，事件B发生的条件概率，简称 条件概率. 2.概率的乘法公式 对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则 P(AB)=P(A)·P(B|A). 3.条件概率的性质 设P(A)>0,则 (1)P(2A)= (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(BUCA) (3)设B和B互为对立事件，则P(BA)=1 4.全概率公式 一般地，设A1,A2,…,A,是一组两两互斥 的事件，AUA2U…UAm=2,且P(A)> 0,i=1,2,…,,则对任意的事件B二2，有 P(B)= 5.贝叶斯公式 设A1,A2,…,A是一组两两互斥的事件， A1UA2U…UAm=2,且P(A:)>0,i=1, 2,…,,则对任意的事件B二2，P(B)>0, 有P(A,|B)= i=1,2,…,n. 《技能提升台 1.小明的妈妈为小明煮了5个粽子，其中两个 腊肉馅三个豆沙馅，小明随机取出两个，事 件A=“取到的两个为同一种馅”，事件B “取到的两个都是豆沙馅”，则P(BA)= ( A.C.1o D.io 2.一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生 占20%，数学成绩和物理成绩都不及格的 学生占15%.已知该班某学生数学成绩不 及格，则该学生物理成绩也不及格的概率为 ( ) A.0.15B.0.2C.0.3D.0.75 3.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校 学生大约40%的人近视，而该校大约有 20%的学生每天玩手机超过1h,这些人的 高二数学的) 运筹惟幄之中，决胜千里之外。 全概率公式 完成日期： 月 近视率约为50%.现从每天玩手机不超过 1h的学生中任意调查一名学生，则他近视 的概率为 A Bg C.a D. 4.(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个 黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个 黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以A1,A2和A3表示由甲罐取出的球 是红球、白球和黑球，再从乙罐中随机取出 一球，以B表示由乙罐取出的球是红球.则 下列结论中正确的是 ) A.P(B)=号 B.PBA)品 C.事件B与事件A,相互独立 D.A1,A2,A3是两两互斥的事件 5.(多选)5张卡片上分别标有数字1,2,3,4,5，每 次从中任取一张，连取两次，若第一次取出的 卡片不放回，则下列结论正确的是 ( A.第二次取出的卡片是2的概率为 B.第二次取出的卡片上的数字大于第一次 取出的卡片上的数字的概率为2 C.第二次取出的卡片上的数字大于第一次 取出的卡片上的数字的概率为号 D.第二次取出的卡片上的数字小于第一次 取出的卡片上的数字的概率为 6.某工厂生产的产品以100件为一批，假定每 一批产品中的次品数最多不超过4件，且具 有如下的概率： 一批产品中 0 2 3 4 的次品数 概率 0.10.20.40.20.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件 来检验，若发现其中有次品，则认为该批产 品不合格，则一批产品通过检验的概率为 A.0.814 B.0.809 C.0.727 D.0.652 蜜快乐馁明 7.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问 天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排 甲、乙、丙、丁4名航天员开展实验，每名航 天员只能去一个舱，每个舱至少安排一个 人，则甲被安排在天和核心舱的条件下，乙 也被安排在天和核心舱的概率为 8.甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野 滑雪、单板滑雪三个项目的比赛，每人只能 参加一个项目，每个项目至少一个人参加， 且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛，则 四人参加比赛的不同方案一共有 种； 如果符合以上条件的各种方案出现的概率 相等，定义事件A为丙和丁参加的项目不 同，事件B为甲和乙恰好有一人参加跳台 滑雪，则P(BA) 9.某个班级共有学生40人，其中团员有 15人.全班分成四个小组，第一小组有学生 10人，其中团员有4人.如果要在班内任选 1人当学生代表. (1)求这个代表恰好在第一小组的概率； (2)求这个代表恰好是团员代表的概率； (3)求这个代表恰好是第一小组团员的概率； (4)现在要在班内任选1个团员代表，求这 个代表恰好在第一小组的概率. 10.(2022·新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病 学调查，随机调查了100位某种疾病患者 的年龄，得到如下的样本数据的频率分布 直方图： 频率/组距 0.023 0.020 0.017 0.012 0.006 88 0102030405060708090年龄1岁 -00M= (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄 (同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表)； (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄 位于区间[20,70)的概率； (3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%， 该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地 区总人口的16%.从该地区中任选一人，若 此人的年龄位于区间[40,50)，求此人患这 种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄 位于各区间的频率作为患者的年龄位于该 区间的概率，精确到0.0001). 新题快递 1.(2023·上海卷)为了学习宣传党的二十大 精神，某校学生理论宣讲团赴社区宣讲，已 知有4名男生，6名女生，从10人中任选3 人，则恰有1名男生2名女生的概率为 2.(2023·天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有 一定数量的黑球和白球，其总数之比为5： 4：6.这三个盒子中黑球占总数的比例分别 为40%，25%，50%.现从三个盒子中各取 一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ;将三个盒子中的球混合后任取一 个球，是白球的概率为 《益智欢乐谷 高中数学到底有多 可怕？ 课上弯腰捡了一下笔 帽，起来后就再也没听懂 过… ei +1=0 我题目还没抄完呢，学 霸已经给出答案了… 我眼睁睁地看着数学老师把一堆字母算 成一个数字… 上数学课的时候，我把这一周的早、中、晚 餐都想好吃什么了…0M= 8.解析：由题a2=1×C(-1)3+2×C(-1)2=8. 2.D[设事件A表示数学成绩不及格，事件B表示物理成绩 令x=1,则a。十a1十a2+a3十a1十a5=0, 不及格，则P(A)=0.2,P(AB)=0.15,∴.已知该班某学生 又a=2,所以a1十a2十a3十a4十a5=-a0=-2. 数学成绩不及格，则该学生物理成绩也不及格的概率为 答案：8-2 P(B1A)=PAB_015=0.75. P(A)0.2 9.解：(1)g(x)=(1+x)5+2(1+x)7+3(1+x)8=(3x2+8x 3.B[令A,=“玩手机时间超过1h的学生”，A2=“玩手机时 +6)(1+x), 间不超过1h的学生”，B=“任意调查一人，此人近视”，则 因为(1十x)°展开式中的第r十1项T,+1=C%x', P(A1)=0.2,P(A2)=0.8, 所以(1十x)5展开式中含x,x5,x5项分别为Cx, 又P(B)=0.4,P(BA)=0.5,依题意，P(B)=P(A1)· P(B|A)+P(A)P(BA)=0.2×0.5+0.8×P(BA2)=0.4, C8x,C8x, 故g(x)中含x5的项为3.x2·Cx+8.x·Cx5+6Cx 解得PBA)=,所以所求近视的挺率为，放选B] =99x5, 4.BD[由题意知，A1,A2,A是两两互斥的事件， 所以g(x)中含x项的系数为99. (2)fe(x)=a,十a1x+agx2+…十aoe4x2021=(1+x)e， PBA)-吾P(BA,)=告P(B1A)=青故BD正 5 令x=1得a十a1十a十…+a4=22①， 令x=-1得a0-a1十a2-…十a22t=0②， 确.而P(B)=P(AB)+P(AB)十P(AB)=P(A)P(B引A)+ 两式相减①-②：2(a1十a十a,十…十a23)=2021, PA,)PBA)+PA)P(BA,)=号×品+号×普+品 所以a1十a3十a5十…十a208=2202 10.解：(1)由题设知m十n=19,所以m=19-n, ×青品≠P(BA).所以事件B与事件A,不是相互位 含x2项的系数C十C=C。-十C 立的，故A,C不正确.] 5.AB[由乘法公式得，第二次取出的卡片是2的概率为P _(19-)(18-)+n(n-1) 2 2 =青×-号，A正确：由全税岸公式得第二次取出的卡片 -1+11=（2)+婴 上的数字大于第一炎取出的卡片上的数字的概率为卫=日 因为n∈N*,所以当n=9或n=l0时，x2项的系数的最小 值为（侵）广+2=81， 知第二次取出的卡片上的数字小于第一次取出的卡片上的 (2)当n=9,m=10或n=10.m=9时，x2项的系数取最小 1 数字的概率为1一P,=之，故D错误.] 值，此时x'项的系数为C1。十C=C。十C8=156. 6.A[以A,表示一批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4,B表 新题快递 示通过检验，则由题意得，P(A)=0.1, 1.D(2x-) 的展开式的通项为 P(BA)=1,P(A1)=0.2, =0.9, T-C2x(）】 =(-1)'25-rC5x3-2 P(B1A,)=C9 Ca 令5-2r=1,得r=2, P(A2)=0.4,P(B|A2)= -≈0.809， C1 所以(2：一)的展开式中x的系载为 P(A)=0.2,P(BA3) C盟≈0.721， C (-1)22-2C=80.] 2.解析：a6=C0(2023x)+(-1)C20231-x<0,依题 P(A)=0.1,P(BA,)= C c ≈0.652. 意k为奇数，.2023<202310-*，k<100-k→k<50→kx 由全概率公式，得P(B)=2P(A,)P(BA,) =49. =0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1× 答案：49 0.652≈0.814.] 假期作业4 7.解析：根据题意，设事件A为“甲被安排在天和核心舱”，事 件B为“乙被安排在天和核心舱”，将甲、乙、丙、丁安排到3 思维整合室 个航天舱，需要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有 1.P(BIA)=P(AB) CA=36种安排方法，甲被安排在天和核心舱，有A P(A) 3.(1)1(2)P(BA)+P(CA)P(BA) A=12种安排方法，则P(A)=器-}，若甲，乙均被安 4.2P(A)P(BA,) P(A )P(BA) P(A)P(B A) 排在天和核心轮，有A=2种安排方法，则P(AB)=36 2 6. P(B) 之P(A)P(BA) 8,故甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和 k一1 技能提升台 1.B[由题意，P(A) C8+C=2,P(AB)=0-10 C_3 核心舱的概率P(B1A)=PAB)_18=1 P(A)1 61 10 5 3 P(B1A-P-故进B] P(A) 答案：6 40 三0022 8.解析：依题意，甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方 丙盒中黑球个数为50%×6n=3n,白球个数为3： 案共CA=36种，其中甲、乙参加同一项目的方案A=6 记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件 种，则所求的参赛方案一共有36一6=30种：因为甲、乙两人 A,所以P(A)=0.4×0.25×0.5=0.05: 不能参加同一项目，所以丙、丁两人不能参加同一项目，则 记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B, 甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目，这里有 黑球总共有2n十n十3n=6n个，白球共有9m个， CCA=24种方案，若甲单独选择跳台滑雪，则丙、丁可分 所以P(B)= 9n=3 别选择越野滑雪或者单板滑雪，乙也可在其中二选一，故总 15n5· 共有AC=4种不同的方案；若甲和一人一起选择跳台滑 答案：0.05或（品） 雪，则甲只可能和丙或丁共同选择，剩下2个人分别选择2 含（或0.6） 个项目，故共有CA=4种不同的方案：同理，乙单独选择 假期作业5 跳台滑雪，有AC=4种不同的方案；乙和一人共同选择跳 思维整合室 台滑雪，有CA号=4种不同的方案，总共有18种方案，所以 1.2唯一的实数X(w)有限个一一列举 16 3.(1)x1p1十x2p2十…十xnpm平均水平 P(BA)= P(AB)30 P(A) 24 3 (2)(x-E(X)p+(2-E(X)p+…十(x,-E(XD)p 30 SG-EOXY 答案：30 4.aE(X)+6 a'D(X) 技能提升台 9.解：设A:在班内任选1名学生，该学生属于第一小组，B:在 1.D[X=4表示抛掷两颗骰子，所得点数之和为4的所有结果， 班内任选1名学生，该学生是团员 可能是一颗1点，另一颗3点，也可能是两颗均为2点.] 1)P(A)=10=1 2.B[设A、B分别为每台雷达发现飞行目标的事件，的可 404 能取值为0、1、2. (2)P(B)=15=3 40-8 P(=0)=P(AB)=P(A)P(B) 3PAB=0-0 =(1-0.9)×(1-0.85)=0.015. P(=1)=P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B) 0PcA-0-立-吉 1 =0.9×0.15+0.1×0.85=0.22. P(B) 3 P(e=2)=P(AB)=P(A)P(B)=0.9×0.85 =0.765. 10.解：(1)平均年龄x=(5×0.001+15×0.002+25×0.012 所以E()=0×0.015+1×0.22+2×0.765 +35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75× =1.75.] 0.006+85×0.002)×10=47.9(岁). (2)设A={一位这种疾病患者的年龄位于区间[20,70)》， 3.D[由题意知，BX)=-1X号+0X号+1X日 则P(A)=1-P(A)=1-(0.001十0.002十0.006+0.002) ×10=1-0.11=0.89. 号做0=(-1+号)×号+(o+号)×号+(+号)】 (3)设B={任选一人年龄位于区间[40,50)}，C={任选一 ×日-号，0=2X+2=D0=X号-9] 人患这种疾病}，则由条件概率公式，得P(CB)= P(BC) P(B) 4.B[X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的数学期望E(X) 0.1%×0.023×10_0.001X0.23=0.0014375 =1×p十2×p2十3×p十4×p4都为2.5，方差D(X)= 16% 0.16 [1-E(X)]2×p,+[2-E(X)]×p2+[3-E(X)]Xp+ ≈0.0014. 即此人患这种疾病的概率为0.0014. [4-E(X)]×p,标准差为√D(X).A选项的方差D(X) =0.65;B选项的方差D(X)=1.85;C选项的方差D(X)= 新题快递 1.05:D选项的方差D(X)=1.45.可知选项B的情形对应 1.解析：从10人中任选3人的事件个数为C。 10×9×8 3×2×1 样本的标准差最大.故选B.] =120, 5.BD[设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事 恰有1名男生2名女生的事件个数为CC=4×5X5=60, 件A,则P(A)= 2+31 2×1 50101 用怡有1名男生2名女生的瓶率为0=0.5 依题意得，X,的分布列为 答案：0.5 X 3 2.解析：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n, 所以总数为15， P 3 9 所以甲盒中黑球个数为40%×5n=2n,白球个数为3： 25 50 10 乙盒中黑球个数为25%×4n=n,白球个数为3n: