假期作业3 二项式定理-【快乐假期】2025-2026学年高二数学暑假作业

三0002 假期作业3 《思维整合室 1.二项式定理 (a十b)"=Ca"+Ca"-1b+…+Ca"-b+ …十C"b"(n∈N*)这个公式所表示的定理 叫二项式定理，右边的多项式叫(a十b)”的 .其中的系数C(k=0,1,…, n)叫 系数.式中的Ca”-b叫二项 展开式的 ,用T+1表示，即通项 T6+1=Ca"-b 2.二项展开式形式上的特点 (1)项数为 (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a 与b的指数的和为 (3)字母a按 排列，从第一项开始，次 数由n逐项减1直到零；字母b按 排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从 ,C,一直到 C”1, 3.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项 式系数 ,即 (2)增减性与最大值： 二项式系数C,当<”十时，二项式系数 2 逐渐 由对称性知它的后半部分 是逐渐减小的： 当n是偶数时，中间一项C取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C号，C学取得最 大值. 盈即刻扫码 二项式定理 AI伴学助手 答幸速查手册 口同步学习微详 考点复习攻路 (3)各二项式系数和：C+C,十C?十…十C十 …十C”= ;C9+C2+C4+… =C+C3+C5+…= 《技能提升台 1.C0·2”+C·2”-1+…+C·2"-+…十C% 等于 () A.2”B.2”-1C.3” D.1 2.设a∈Z,且0≤a<13,若51222十a能被13 整除，则a= A.0 B.1 C.11 D.12 3.在（√一2）5的展开式中，x2的系数为 ( A.-5 B.5 C.-10 D.10 4.已知 3 的展开式中，各项系数的 和与各二项式系数的和之比为64，则 等于 A.4 B.5 C.6 D.7 5.若(2x-1)=a4x4十agx3+a2x2十a1x十a, 则a十a2十a4= () A.40 B.41 C.-40D.-41 6.(多选)对于 2x一 的展开式，下列说法 正确的是 A.展开式共有6项 B.展开式中的常数项是一240 C.展开式的各项系数之和为1 D.展开式的二项式系数之和为64 快乐假期 7.(2022·新高考I卷)1-x十)的展开 式中xy的系数为 (用数字作答). 8.(2022·浙江卷，12)已知多项式(x+2) (x-1)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+ a5x5,则a2= ,a1十a2十a3十a4十a5 9.已知f（x)=(1十x)”. (1)若g(x)=f6(x)+2f,(x)+3fs(x),求 g(x)中含x项的系数； (2)若f224(x)=a十a1x十a2.x2+…+a224 x2024,求a1十a3十…十a2021+a2023的值. -900= 10.设f(x)=(1+x)m+（1+x)”的展开式中 含x项的系数是19(m,n∈N*). (1)求f(x)的展开式中含x2项的系数的 最小值； (2)当f(x)的展开式中含x2项的系数取 最小值时，求f(x)的展开式中含x?项的 系数. 新题快递 1.(2023·北京卷) 2x-2》 的展开式中， 的系数是 ( A.-40B.40 C.-80D.80 2.(2023·上海卷)已知(1+2023x)100+(2023 -x)1o0=a0十a1x十a2x2+…十a1o0x2100,其 中a0,a1,a2,…,a1∈R,若k∈{0,1,2，…， 100}且a<0时，则k的最大值是 《益智欢乐谷 刚接一骗子电话：我 线设啦 是某某银行，刚查询发现 您的银行卡今天消费8 万8千元，请问是您本人 消费么？ 我很平静说：是我消费的」 骗子沉默了5秒后说：您真能吹牛…把 我思路全打乱了，再见…三0022-.- 假期作业2 思维整合室 1.(1)不同顺序(2)所有不同排列A” (3)n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(4)n!1 2.(1)不同合成一组(2)所有不同组合C(3)1 (4)CC C 技能提升台 1.B[每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中选 取2人的一个组合就是一次握手，故一共握手的次数 是C.] 2.C[“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程的全排列有 A种排法，其中课程“乐”排在第一周有A种不同的排法， 课程“御”排在最后一周有A种不同的排法，而课程“乐”排 在第一周且课程“御”排在最后一周有A种不同的排法，因 此课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周的排法 有A-2A十A=720-240+24=504(种).故选C.] 3.C[甲和乙相邻，则甲乙有A种排法，则甲、乙、丁、戊共有 AA种排法，此时甲、乙、丁、戊间共有五个位置可排，但甲 和丙不相邻，故只能在三个位置中选一个，故共有AAC =2×6×3=36种排法.] 4.D[6人分组有2种情况：2211,3111， 所以不网案粉方案的总发为（阳心）州 =1560.故选D.] 5.B[先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的 位置，则有AAC,=24种不同的排列方式，故选B.] 6.CD[本题考查排列组合的应用.将4辆工程车分组为1,1， 2后再分配到3个工地，共有CA=36种派法，故D正确： 先选择1个工地派2辆工程车，再将剩余的2辆车派给其他 2个工地，共有CCA=36种派法，故C正确：CCCC= 18≠36.故选CD.」 7.解析：将4名同学分成人数为2,1,1的3组有C=6种分 法，再将3组同学分到3个小区共有A=6种分法，由分步 乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6=36种 答案：36 8.解析：从5座名山中任选2座名山，共有C=10种方案，其 中2座名山都不在五岳之内的共有1种，故甲至少选中一座 属于五务”的名山的概率为190=0.9， 答案：0.9 9.解：(1)从中任选5人是组合问题，不同的选法种数为C =792. (2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是 组合问题，不同的选法种数为C。=36. (3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需要从另外的9人中选5 人，不同的选法种数为C=126. (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步： 第1步，从甲、乙、丙中选1人，有C种选法； 第2步，从另外9人中选4人，有C。种选法. 根据分步乘法计数原理，可得不同的选法种数为CC=378. 10.解：(1)前排2人，后排4人，相当于6个人全排列，共有A =720种排法. (2)先将甲排在前排A,乙排在后排A. 其余4人全排列A.根据分步乘法原理得，共有A:AA= 192种排法. 3 高二数学) (3)甲、乙视为一个人，即看成5人全排列问题A,再将甲、 乙两人排列A, 根据分步乘法原理可得，共有AA2=240种排法. (④)甲必在乙的右边属于定序问题，用除法，共有 A =360 种排法 (5)将3名男生插入3名女生之间的4个空位，这样保证男 生不相邻. 根据分步乘法原理得，共有AA=144种排法. (6)乙在排头其余5人全排列，共有A种排法； 乙不在排头，排头和排尾均为A,其余4个位置全排列有 共有A,根据分步乘法得A;AA,再根据分类加法原理 得，共有A十AAA=504种排法. 新题快递 1.B[先从5人中选1人连续两天参加服务，共有C=5种选 法，然后从剩下4人中选1人参加星期六服务，剩下3人中 选取1人参加星期日服务，共有C·C3=12种选法， 根据分步乘法计数原理可得共有5×12=60种选法.] 2.解析：当从这8门课中选修2门课时，共有C·C=16;当 从这8门课中选修3门课时，共有C·C十C·C4=48;综 上可知，共有64种不同的选课方案. 答案：64 假期作业3 思维整合室 1.二项展开式二项式通项2.(1)n十1(2)n (3)降幂升幂(4)C。C3.(1)相等C=C (2)增大(3)2”2-1 技能提升台 1.C[原式=(2+1)”=3”.] 2.D[由于51=52-1，(52-1)222=C2·522o2 C022522021+…-C号852+1，又13能整除52，所以只需13 能整除1十a,又0≤a<13,a∈Z,所以a=12.] 3.C[T+1=C5()‘(-2)=Cx号·(-2)， 令5,1=2r=1.x2的系数为C(-2)l=-10.故选C.] 2 4.C[令x=1得各项系数的和为4”，各二项式系数的和为 2,则号=64，解得m=6.] 5.B[当x=1时，1=a4十a3十a2十a1十a①；当x=一1时， 81=a1-a3十a2-a1十a,②；①+②得a4十a2十a= 1+81 2 =41. 6.CD[本题考查二项式定理.展开式共有7项，故A错误； (2:-)展开气的通项为工=C2)·（）】 =(-1)26-「·C6x6,当r=2时，展开式中的常数项为 (一1)2·2C%=240,故B错误；令x=1,则展开式的各项系 数之和为1，故C正确：展开式的二项式系数之和为2=64， 故D正确，故选CD.] 7.解析：原式=(x十y)8-y(x十y),由二项式定理可知其展开 式中x2y的系数为C-C⑧=-28. 答案：一28 00M= 8.解析：由题a2=1×C(-1)3+2×C(-1)2=8. 2.D[设事件A表示数学成绩不及格，事件B表示物理成绩 令x=1,则a。十a1十a2十as十a1十a5=0, 不及格，则P(A)=0.2,P(AB)=0.15,∴.已知该班某学生 又a=2,所以a1十a2十a3十a4十a5=-a=-2. 数学成绩不及格，则该学生物理成绩也不及格的概率为 答案：8-2 P(B1A)=PAB_015=0.75. P(A)0.2 9.解：(1)g(x)=(1+x)5+2(1+x)7+3(1+x)8=(3x2+8x 3.B[令A,=“玩手机时间超过1h的学生”，A2=“玩手机时 +6)(1+x), 间不超过1h的学生”，B=“任意调查一人，此人近视”，则 因为(1十x)展开式中的第r十1项T,+1=C%x', P(A)=0.2,P(A2)=0.8, 所以(1十x)5展开式中含x,x5,x项分别为Cx, 又P(B)=0.4,P(BA)=0.5,依题意，P(B)=P(A1)· P(BA)+P(A2)P(BA)=0.2×0.5+0.8×P(B|A)=0.4, CiC 故g(x)中含x3的项为3.x2·C6x+8.x·Cx5+6Cx 解得PBA)=,所以所求近视的率为，放选B] =99x5, 4.BD[由题意知，A1,A2,A是两两互斥的事件， 所以g(x)中含x项的系数为99. (2)fe(x)=a,十a1x+agx2+…十aoe4x2021=(1+x)e， P(BA)=吾P(BA,)=告P(BA)=青故BD正 5 令x=1得a,十a1十a2十…十a2z4=22024①， 令x=-1得a0-a1十a2-…十a2o2t=0②， 确.而P(B)=P(AB)+P(AB)十P(AB)=P(A)P(B引A)+ 两式相减①-②：2(a1十a十a5十…十a202）=22021, PA,)PBA)+PA)P(BA,)=号×品+号×普+ 所以a1十a3十a5十…十a203=2023。 10.解：(1)由题设知m十n=19,所以m=19-n, ×音品≠P(BA).所以事件B与事件A,不是相互位 含x2项的系数C%十C=C。-n十C 立的，故A,C不正确.] 5.AB[由乘法公式得，第二次取出的卡片是2的概率为P _(19-)(18-)+n(n-1) 2 2 =言×-号，A正确：由全税岸公式得第二次取出的卡片 =-19+11=(-)+学 上的教字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为P,=司 因为n∈N*,所以当n=9或n=10时，x2项的系数的最小 值为（侵）广+23=81. 知第二次取出的卡片上的数字小于第一次取出的卡片上的 (2)当n=9,m=10或n=10.m=9时，x2项的系数取最小 1 数字的概率为1一P,=2,故D错误.] 值，此时x'项的系数为C1。十C=C。十C8=156. 6.A[以A,表示一批产品中有i件次品，i=0,1,2,3,4,B表 新题快递 示通过检验，则由题意得，P(A)=0.1, 1.D(2x-) 的展开式的通项为 P(BA)=1,P(A)=0.2, =(-1)'25-rC5x3-2 P(BIA,)=C =0.9, Ca 令5-2r=1,得r=2, P(A2)=0.4,P(B|A2)= -≈0.809， C1 所以(2：一)的展开式中x的系载为 P(A3)=0.2,P(B|A3)= C盟≈0.727， C480 (-1)22-2C=80.] P(A)=0.1,P(BA,) C8 c -≈0.652， 2.解析：a6=C(2023x)+(-1)C20231-x<0,依题 意k为奇数，.2023<202310-*，k<100-k→k<50→kx 由全概率公式，得P(B)=2P(A,)P(BA,) =49. =0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1× 答案：49 0.652≈0.814.] 假期作业4 7.解析：根据题意，设事件A为“甲被安排在天和核心舱”，事 件B为“乙被安排在天和核心舱”，将甲、乙、丙、丁安排到3 思维整合室 个航天舱，需要先将4人分为3组，再安排到3个航天舱，有 1.P(BIA)=P(AB) CA=36种安排方法，甲被安排在天和核心舱，有A； P(A) 3.(1)1(2)P(BA)+P(CA)P(BA) A=12种安排方法，则P(A)=器-}，若甲，乙均孩安 4.P(A )P(BIA,) 排在天和核心舱，有A号=2种安排方法，则P(AB)=6 2 P(A,)P(BIA) P(A)P(B A) P(B) 之P(A)P(BA) ,故甲被安排在天和核心舱的条件下，乙也被安排在天和 1 k一1 技能提升台 1.B[由题意，P(A) C8+C=2,P(AB)=0-10 核心舱的概率P(BA)=PAB)-18=1 P(A)1 61 10 3 P(BA-PA=故选B] P(A) 答案：6 40