专题01- 2026年九年级数学 中考必刷选择题（沪教版专用）

**基本信息** 中考数学选择题专题汇编，覆盖实数、代数式等14个核心考点，精选上海2025-2026年区县模考题，适配三轮冲刺阶段基础巩固与真题演练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|约5-8题/考点|含方程解法、函数图像分析、三角形相似等，如考点03方程涉及分式方程换元法、工程问题建模|融入嫦娥五号月壤储水、病毒直径科学记数法等真实情境，题目梯度从概念辨析到综合应用，贴合中考命题趋势。|

专题01中考必刷选择题 考点01 实数 考点08四边形 考点02 代数式 考点09圆 考点03 方程 考点10图形的变化 考点04 不等式 考点11相似 考点05函数图像 考点12锐角三角比 考点06相交线与平行线 考点13统计与概率 考点07三角形 考点14向量 考点01 实数 1．（2026·上海青浦·二模）下列实数中，无理数是（    ） A．0 B． C． D． 2．（2026·上海宝山·二模）下列实数中，最小的数是（  ） A． B．5 C． D．0 3．（2026·上海普陀·模拟预测）下列实数中，是有理数的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海静安·二模）如图，数轴上的点A、B、O、C、D分别表示数、、0、1、2，那么表示数的点应落在（   ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 5．（2025·上海奉贤·三模）下列各数化成小数后，结果为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·上海静安·一模）下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（2025·上海·模拟预测）个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 8．（2025·上海·一模）2023年3月27日，国际学术期刊《自然·地球科学》刊发的一一篇文章称，中英学者在嫦娥五号月球样品中，测量到撞击玻璃珠中的水，科研团队结合月球全球尺度月壤厚度分析，推测出月壤的储水量最高约270000000000吨．数270000000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 考点02 代数式 1．（2026·上海徐汇·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·上海奉贤·二模）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 3．（2026·上海普陀·二模）下列关于计算所得的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海静安·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海闵行·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 7．（2025·上海嘉定·二模）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 8．（2026·上海·一模）如果，那么（     ） A． B． C． D． 考点03 方程 1．（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 2．（2026·上海普陀·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么下列各数中，m可以取的值是（    ） A． B． C． D．0 3．（2026·上海金山·二模）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ） A． B． C． D． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·上海松江·二模）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 7．（2025·上海松江·二模）某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 考点04 不等式 1．（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海浦东新·二模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海黄浦·二模）已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海徐汇·二模）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．（2025·上海闵行·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． ，则不等式组的解集为． 考点05函数图像 1．（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 2．（2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（    ）之后得到的新函数为正比例函数． A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 3．（2026·上海虹口·二模）下列函数中，函数值随着增大而减小的是（） A． B． C． D． 4．（2026·上海浦东新·二模）已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 6．（2026·上海闵行·二模）如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（    ） A．B．C． D． 7．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 8．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 考点06相交线与平行线 1．（2026·上海青浦·二模）如图，，如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）下列命题中真命题是（     ） A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B．无限小数就是无理数 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．相等的角为对顶角 3．（2025·上海虹口·二模）如图，直线，直线分别与、相交于点、，与之间的距离为8，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（    ） A．6 B．6.4 C．8 D．10 4．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 考点07三角形 1．（2026·上海松江·一模）已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 下列对这两个命题的判断，正确的是（     ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 2．（2026·上海·一模）对于形状与大小均确定的一个锐角，D是边上一点，连接，那么下列情况中，唯一无法确定与面积的比值的情况是（    ） A．是边上的高； B．点D是边的中点； C．点D是线段的黄金分割点； D．是的平分线． 3．（2025·上海奉贤·二模）如图，将绕点A逆时针旋转，点B旋转至边上的D点，点C旋转至E，那么下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·一模）两个全等的非等腰的直角三角形拼成的形状不同的四边形个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列命题中，假命题是（    ） A．斜边相等的直角三角形全等 B．过圆心且垂直弦的直线，平分这条弦以及弦所对的弧 C．两平行线间的距离处处相等 D．过圆心且平分弦（弦非直径）的直线，垂直这条弦并平分其所对的弧 考点08四边形 1．（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 2．（2022·上海·中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 3．（2026·上海静安·二模）从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（   ） A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形 C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形 4．（2026·上海崇明·二模）已知平行四边形的对角线、相交于点，下列补充条件中，能判定这个平行四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2026·上海宝山·二模）如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（  ） A． B． C． D．1 考点09圆 1．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 2．（2026·上海青浦·二模）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·上海崇明·二模）在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 5．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·上海松江·二模）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点10图形的变化 1．（2025·上海浦东新·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．直角三角形 B．扇形 C．平行四边形 D．正八边形 2．（2024·上海金山·二模）下列命题中真命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．正多边形都是中心对称图形 C．如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合 D．如果一个四边形绕对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形 3．（2025·上海奉贤·二模）现有五张纸片，这五张纸片上的几何图形分别是等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． A B C D E F A B C D E F 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在下列图形中抽取任意一种，是中心对称图形的概率是（    ） ①四边形；②正三角形；③正六边形；④正五边形；⑤菱形；⑥线段 A． B． C． D． 考点11相似 1．（2025·上海杨浦·一模）下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 2．（2025·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（   ） A． B． C． D．． 3．（2025·上海·一模）在中，点，分别是边，的中点．下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 4．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海青浦·一模）如图，在中，是的角平分线，则的值是（    ） A． B． C． D． 考点12锐角三角比 1．（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·上海·模拟预测）在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海杨浦·二模）在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 5．（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 考点13统计与概率 1．（2026·上海徐汇·二模）某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是15 B．众数是15 C．中位数是75 D．众数是85 2．（2026·上海浦东新·二模）第67届国际奥林匹克数学竞赛（）将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：． 根据以上信息，下列叙述中不正确的是（    ） A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.5 3．（2026·上海浦东新·二模）一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法不可行的是（    ） A．往袋中放入一个红球 B．往袋中放入一个绿球 C．从袋中取出一个蓝球 D．从袋中取出一个白球 4．（2026·上海奉贤·二模）甲、乙两位同学在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示．小华同学根据图形写出了以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是（  ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 5．（2026·上海静安·二模）已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．6，8 C．3，4 D．6，4 考点14向量 1．（2026·上海徐汇·二模）在中，、分别是边、的中点，下列说法不正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 2．（2026·上海普陀·模拟预测）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果都是单位向量，那么 D．如果或，那么 3．（2025·上海普陀·一模）设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是（   ） A．与方向相同 B． C． D． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，D是的边上一点，，如果向量，，那么向量用向量、表示为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·上海宝山·一模）如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 1 / 37 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【详解】解：A．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意； B．，是有限小数，故此选项符合题意； C．，是无限循环小数，故此选不符合题意； D．是无理数，是无限不循环小数，故此选项不符合题意． 故选：B． 6．（2025·上海静安·一模）下列各组数中，不相等的一组是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，求一个数的立方根，根据有理数的乘方运算法则和立方根定义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．和，相等，故A不符合题意； B．和，，故B符合题意； C．和，相等，故C不符合题意； D．和，相等，故D不符合题意． 故选：B． 7．（2025·上海·模拟预测）个某球形病毒首尾直线相连总长度约为9纳米，单个该病毒直径用科学记数法表示为（    ） A．纳米 B．纳米 C．纳米 D．纳米 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此求解即可． 【详解】解：由题意得：单个该病毒直径为：纳米， 故选：D． 8．（2025·上海·一模）2023年3月27日，国际学术期刊《自然·地球科学》刊发的一一篇文章称，中英学者在嫦娥五号月球样品中，测量到撞击玻璃珠中的水，科研团队结合月球全球尺度月壤厚度分析，推测出月壤的储水量最高约270000000000吨．数270000000000用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：B． 考点02 代数式 1．（2026·上海徐汇·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，A错误. ，B错误. ，C正确. ∵与不是同类项，不能合并， ∴，D错误. 2．（2026·上海奉贤·二模）计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用幂的乘方法则和同底数幂的除法法则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴， ∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴， 因此计算结果为． 3．（2026·上海普陀·二模）下列关于计算所得的结果中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 4．（2026·上海静安·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘法法则、合并同类项法则、同底数幂除法法则、负整数指数幂运算法则，对各选项逐一计算判断，即可得到正确结果． 【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意； B、，选项计算错误，不符合题意； C、，选项计算错误，不符合题意； D、，选项计算错误，不符合题意． 5．（2026·上海闵行·二模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应法则分别计算各选项即可得到正确结果． 【详解】根据幂的运算法则和合并同类项法则对各选项逐一判断： 选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； 选项B：∵合并同类项时，同类项的系数相加，字母和指数不变， ∴，B错误； 选项C：∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，C错误； 选项D：∵幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴，D正确． 6．（2025·上海奉贤·三模）下列与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】A． 与不是同类二次根式； B． 与不是同类二次根式； C． 与是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式； 故选C 7．（2025·上海嘉定·二模）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键． 根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； B.该选项是最简二次根式，故符合题意； C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； D. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：B． 8．（2026·上海·一模）如果，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将看作整体简化计算． 【详解】解：设， 则原等式可化为， ∴， ∴， ∴， ∴， 等式两边同时除以，得． 故选：C． 考点03 方程 1．（2025·上海·二模）已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及通过方程组的变形直接求代数式的值的能力．把两个方程相减可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：， 得，， ， 故选：B． 2．（2026·上海普陀·二模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么下列各数中，m可以取的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得根的判别式，计算得到的取值范围后，即可结合选项选出正确答案． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 只有，符合要求， 因此可以取的值是． 3．（2026·上海金山·二模）在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题使用换元法，将换元后的式子代入原分式方程，去分母化简即可得到关于的整式方程． 【详解】解：， ， 将其代入原分式方程可得， 方程两边同乘（），得， 整理得：． 4．（2025·上海杨浦·模拟预测）用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键；方程变形为，再配方即可． 【详解】解：由变形得：， 配方得：，即； 所以选：A． 5．（2026·上海松江·二模）下列关于的方程中，不论取什么实数值，一定有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用判断方程是否对任意实数恒有实数根，若对任意恒成立，则符合要求． 【详解】解：A、对于方程，当时，方程为，有实数根；当时，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故A不符合题意； B、对于方程，，而对任意实数，都有，故恒成立，不论取何实数值，方程都有实数根，故B符合题意； C、对于方程，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故C不符合题意； D、对于方程，，不一定恒大于等于0，故方程不一定有实数根，故D不符合题意． 6．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可. 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为， 故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天 故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：， 故C选项符合题意；D选项不符合题意； 故选：C. 7．（2025·上海松江·二模）某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 8．（2025·上海·模拟预测）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（   ） A．30克 B．25克 C．20克 D．59克 【答案】A 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案． 【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 考点04 不等式 1．（2025·上海·模拟预测）若实数、满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、由无法确定是否成立，不符合题意； B、由无法确定是否成立，不符合题意； C、由两边同时乘以3，不等式不变号得到，符合题意； D、由无法确定是否成立，不符合题意． 故选：C． 2．（2025·上海·模拟预测）已知，那么下列不等式组中，无解的不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解不等式组，关键是正确理解解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无解了．利用求不等式解集的方法判定即可． 【详解】解：A．根据“同小取小”的原则，原不等式组的解集为，故有解，不符合题意； B．根据“大大小小无解了”的原则，原不等式组无解，符合题意； C．根据“大小小大中间找”的原则，原不等式的解集为，故有解，不符合题意； D．根据“同大取大”的原则，原不等式组的解集为．故有解，不符合题意； 故选：B． 3．（2025·上海浦东新·二模）不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤；先分别求出每个不等式的解集，再根据同小取小即可得解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴原不等式组的解集为：， 故选：． 4．（2025·上海黄浦·二模）已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的基本性质等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 利用数轴得出三个实数的大小关系，利用不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：根据数轴可知， A、根据不等式的基本性质，则 ， ∴，故该选项正确，不符合题意； B、根据不等式的基本性质，则， ，故该选项正确，不符合题意； C、由数轴可得，，， ，故该选项错误，符合题意； D、由数轴可知，，， ，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 5．（2025·上海徐汇·二模）若关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据题意可得，不等式两边除以a后，不等式变号，由此可得结论． 【详解】解：∵的解集是， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握解不等式的步骤，属于中考常考题型． 6．（2025·上海闵行·二模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】解：由得， 由得， 解集在数轴上表示为： ，则不等式组的解集为． 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示． 考点05函数图像 1．（2025·上海徐汇·二模）如果反比例函数（是常数，）的图像经过第一、三象限，那么一次函数的图像一定经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限 【答案】B 【分析】本题考查一次函数，反比例函数中系数与图像的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数，反比例函数中系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限， ∴一次函数的图像一定经过第一、三象限，且交轴于负半轴， ∴一次函数的图像一定经过第一、三、四象限． 故选：B． 2．（2025·上海·模拟预测）一次函数的图像过点，且不等式的解集是．那么，原函数（    ）之后得到的新函数为正比例函数． A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图像平移问题以及求一次函数解析式，由题意得一次函数的图象过点，，可求得解析式为；设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：；令，即可求解； 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴； ∵不等式的解集是， ∴一次函数的图象过点， ∴，解得； ∴； 设原函数向右平移个单位长度，则新函数解析式为：； 令，求得； 即：原函数向右平移2个单位之后得到的新函数为正比例函数． 故选：B． 3．（2026·上海虹口·二模）下列函数中，函数值随着增大而减小的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不同函数的增减性，只需根据各类函数的性质，逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对选项A：是开口向下的二次函数，对称轴为，当时，随增大而增大，A不符合要求； 对选项B：是反比例函数，，在每个象限内随增大而增大，且在整个定义域不满足随增大而减小，B不符合要求； 对选项C：是一次函数，比例系数为，在全体实数范围内，随增大而减小，C符合要求； 对选项D：是常函数，函数值不随变化而改变，D不符合要求． 4．（2026·上海浦东新·二模）已知函数图像上的两点、，当时，一定满足此规律的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的增减性可判断选项A；根据函数值为定值可判断选项B；根据特殊值法可判断选项C、D． 【详解】解：A．∵是一次函数，且， ∴当时，，故此选项符合题意； B．∵，对任意，都有， ∴，故此选项不符合题意； C．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意； D．取，，满足，此时，， ∴，故此选项不符合题意． 5．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 【详解】解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 6．（2026·上海闵行·二模）如图是一把完全打开的折扇，此时扇面面积为．当扇面张开的角度为时，扇面面积为，如果，那么与关系的大致图像是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t，表示出，然后得到，进而求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为r，完全打开时的角度为t， ∴ 当扇面张开的角度为时，扇面面积 ∴ ∴与成正比例关系， ∴与关系的大致图像是： ． 7．（2026·上海金山·一模）在平面直角坐标系中，对于抛物线（其中是常数，且），下列叙述中正确的是（    ） A．当时，抛物线开口向下 B．抛物线与轴交点坐标为 C．顶点坐标是 D．当时，顶点是抛物线的最低点 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的联系，通过二次函数图象与性质，以及二次函数图象与系数的联系，逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、当时，抛物线开口向上，选项叙述错误，不符合题意； B、抛物线与轴交点坐标为；选项叙述错误，不符合题意； C、∵抛物线解析式为， ∴顶点坐标为，正确，符合题意； D、当时，顶点是抛物线的最高点，选项叙述错误，不符合题意； 故选：C． 8．（2026·上海虹口·一模）如图是二次函数的图像，那么下列说法中，正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，利用抛物线开口方向确定a的符号，利用对称轴方程可确定b的符号，利用抛物线与y轴的交点位置可确定c的符号． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故选项A不正确； ∵抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴， ∴，故选项B正确，选项C不正确； ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴，故选项D不正确． 故选：B． 考点06相交线与平行线 1．（2026·上海青浦·二模）如图，，如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等和平行线的性质求出 的度数，再利用三角形外角的性质求出 的度数． 【详解】解：，， （两直线平行，同位角相等）． 是的外角， ． ， ． ． 2．（2025·上海徐汇·模拟预测）下列命题中真命题是（     ） A．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 B．无限小数就是无理数 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 D．相等的角为对顶角 【答案】A 【分析】本题考查了命题、三角形的外角性质、无理数的定义、平行线的性质、对顶角相等，熟练掌握定义和性质是解题关键．根据三角形的外角性质、无理数的定义、平行线的性质、对顶角相等逐项判断即可得． 【详解】解：A、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，则此项是真命题，符合题意； B、无限不循环小数是无理数，则此项是假命题，不符合题意； C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，则此项是假命题，不符合题意； D、对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，则此项是假命题，不符合题意； 故选：A． 3．（2025·上海虹口·二模）如图，直线，直线分别与、相交于点、，与之间的距离为8，小明同学利用尺规按以下步骤作图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧交于点，交于点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线交于点．那么的长是（    ） A．6 B．6.4 C．8 D．10 【答案】D 【分析】过点作于，解直角三角形求出，根据角平分线的定义和平行线的性质证得，即可求得答案． 【详解】解：由基本作图知是的平分线， ， ， ， ， 过点作于，则， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查基本作图作角的平分线，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，根据角平分线的定义和平行线的性质证明是解决问题的关键． 4．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同位角，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，由此即可判断． 【详解】解，的同位角是． 故选：A． 5．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在一个由工程车搭建的创意展览场景中，小明站在工程车旁边观察，发现从某个角度看，工作篮底部与支撑平台平行．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，过的顶点作直线，将分成和，则，由平行线的性质得出，，即可得解． 【详解】解：如图，过的顶点作直线，将分成和， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 考点07三角形 1．（2026·上海松江·一模）已知命题： ①腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 ②底边和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似 下列对这两个命题的判断，正确的是（     ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，如图1所示，等腰三角形一腰上的高都为，且两个三角形的腰长相等，而此时两个三角形不相似，据此可判断①；如图2所示，可证明，得到，进而可证明；同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似，据此可判断②． 【详解】解：如图1所示，在中，点D和点E都是上的点，且， ∴都是等腰三角形， 此时满足，但是和不相似， ∴命题①是假命题； 当两个三角形都为锐角三角形时， 如图2所示，中，，中， ， ∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴； 同理可证明当两个三角形为钝角三角形，也相似， 综上所述，命题②是真命题； 故选：D． 2．（2026·上海·一模）对于形状与大小均确定的一个锐角，D是边上一点，连接，那么下列情况中，唯一无法确定与面积的比值的情况是（    ） A．是边上的高； B．点D是边的中点； C．点D是线段的黄金分割点； D．是的平分线． 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割，三角形的面积，根据黄金分割，三角形的中线，三角形的面积，角平分线的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、∵是边上的高，对于一个确定的三角形，垂足D的位置是唯一确定的， 又∵与同高，其面积的比值为，该比值为唯一确定的值，故A不符合题意； B、∵点D是边的中点， ∴， ∴与面积的比值为1， 故B不符合题意； C、点D是边的黄金分割点，而的黄金分割点有两个，所以与面积的比值不唯一，故C符合题意； D、∵是的平分线， ∴与面积的比值为， 故D不符合题意； 故选：C． 3．（2025·上海奉贤·二模）如图，将绕点A逆时针旋转，点B旋转至边上的D点，点C旋转至E，那么下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：绕点A顺时针旋转得到 根据旋转的性质可知：，旋转角， 故A，B不符合题意； 如图，记，的交点为， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 由旋转可得：，则， 而， ∴， ∴ 故C不符合题意； ∵，， 当时， ∴，与题干信息不符， 故D符合题意． 故选：D 4．（2026·上海·一模）两个全等的非等腰的直角三角形拼成的形状不同的四边形个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的拼图问题，理解题意是解决本题的关键． 若让它们的斜边重合，则可以拼出矩形或一组对角是直角的四边形；若让它们的直角边重合，则可以拼出两种不同的平行四边形，据此求解即可． 【详解】解：如图， 由图可得，两个全等的非等腰的直角三角形拼成的形状不同的四边形个数是4个， 故选B． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）下列命题中，假命题是（    ） A．斜边相等的直角三角形全等 B．过圆心且垂直弦的直线，平分这条弦以及弦所对的弧 C．两平行线间的距离处处相等 D．过圆心且平分弦（弦非直径）的直线，垂直这条弦并平分其所对的弧 【答案】A 【分析】本题考查了命题真假的判断，垂径定理及其推论，熟练掌握定理是解题的关键．根据全等三角形的判定，垂径定理及其推论，平行线间的距离等，逐项判断即可． 【详解】解：A.斜边相等的直角三角形不一定全等，故A为假命题． B．过圆心且垂直弦的直线，平分这条弦以及弦所对的弧，故B为真命题． C．两平行线间的距离处处相等，故C为真命题． D．过圆心且平分弦（弦非直径）的直线，必垂直于弦，并平分弦所对的弧，故D为真命题， 故选：A． 考点08四边形 1．（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．设这个正多边形的边数为列方程求出再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 2．（2022·上海·中考真题）有一个正n边形旋转后与自身重合，则n为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】根据选项求出每个选项对应的正多边形的中心角度数，与一致或有倍数关系的则符合题意． 【详解】如图所示，计算出每个正多边形的中心角，是的3倍，则可以旋转得到． A. B. C. D. 观察四个正多边形的中心角，可以发现正12边形旋转90°后能与自身重合 故选C． 【点睛】本题考查正多边形中心角与旋转的知识，解决本题的关键是求出中心角的度数并与旋转度数建立关系． 3．（2026·上海静安·二模）从四边形两条对角线的交点分别向四条边所在的直线作垂线，顺次连接四个垂足，如果我们把此时所得的四边形叫做原四边形的垂足四边形，那么下列说法正确的是（   ） A．等腰梯形的垂足四边形是等腰梯形 B．矩形的垂足四边形是矩形 C．平行四边形的垂足四边形是平行四边形 D．菱形的垂足四边形是菱形 【答案】C 【分析】对于等腰梯形、矩形、平行四边形和菱形，分别分析它们的对角线性质，再根据垂足四边形的定义判断其形状． 【详解】解：A、等腰梯形的对角线相等，但不一定互相垂直，当等腰梯形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是等腰梯形，故A选项错误，不符合题意； B、矩形的对角线相等且互相平分，但不一定互相垂直，当矩形的对角线不互相垂直时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是矩形，故B选项错误，不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分，且是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，两组对边的垂足分别关于对称中心对称，故顺次连接四个垂足得到的四边形的对角线互相平分，则顺次连接四个垂足得到的四边形是平行四边形，故C选项正确，符合题意； D、菱形的对角线垂直且互相平分，但不一定相等，当菱形的对角线不相等时，从对角线交点向四条边所在直线作垂线，顺次连接四个垂足得到的四边形不一定是菱形，故D选项错误，不符合题意． 4．（2026·上海崇明·二模）已知平行四边形的对角线、相交于点，下列补充条件中，能判定这个平行四边形是正方形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题已知四边形是平行四边形，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，逐一分析选项，正方形是同时满足矩形和菱形性质的平行四边形． 【详解】解：∵原四边形是平行四边形， 对选项A：∵， ∴平行四边形是矩形，又与是等价的，都能判定该平行四边形是矩形，不能判定为正方形，故A不符合题意； 对选项B：∵平行四边形对角线互相平分， ∴，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∵平行四边形既是矩形又是菱形，因此是正方形，故B符合题意； 对选项C：∵， ∴平行四边形是菱形，菱形本身对角线互相垂直，因此不能推出它是正方形，故C不符合题意； 对选项D：平行四边形对角线本来互相平分，恒成立，仅能推出平行四边形是矩形，不能判定是正方形，故D不符合题意． 5．（2026·上海宝山·二模）如图，在矩形中，，，为矩形对角线．利用尺规按以下步骤作图：①分别以点B、D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点M、N；②连接交于点G，交于点E，交于点O；③以点O为圆心，以的长为半径作弧，交于点H、F；那么线段的长是（  ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长，作图得到垂直平分，进而得到的长，解直角三角形，求出的长，由作图可知，，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：∵在矩形中，，，为矩形对角线， ∴，， ∴， 由作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，， ∴. 考点09圆 1．（2026·上海金山·二模）已知两圆的半径长之比为，且当两圆内切时的圆心距为9厘米，那么当两圆的圆心距增大到18厘米时，这两圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】本题先根据半径比设参数，利用两圆内切的性质求出两圆半径，再比较圆心距与两圆半径和、差的大小，判断两圆位置关系，用到两圆位置关系与圆心距、半径的关系知识点． 【详解】解：由于两圆的半径长之比为， 设两圆半径分别为 厘米， 厘米，其中 ， 当两圆内切时，圆心距等于两圆半径的差，且内切时圆心距为 9 厘米， ， 解得， 厘米、厘米， 厘米、厘米， 圆心距为厘米，满足， 此时两圆位置关系为相交． 2．（2026·上海青浦·二模）在矩形中，，，动点在对角线上．如果以点为圆心，以1为半径长的与边有两个公共点，那么线段的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用矩形性质和勾股定理求出对角线的长度，再通过相似三角形得到圆心O到的距离与的关系，结合圆与线段有两个公共点的条件，推导得到的取值范围． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴ 过点作于 ∵， ∴ ∴ ∴， 即， 整理得 ∵半径为，且与边（线段）有两个公共点 ∴需满足两个条件：①直线与相交，②端点在外（或圆上）． ①直线与相交，即圆心到的距离小于半径则， ∴， 解得 ②端点在外（或圆上），则 综上，． 3．（2026·上海崇明·二模）在中，，，，点是边上一点，若以为圆心，为半径的与以为圆心，为半径的相交，且点在的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由勾股定理求出斜边的长度，设，分别根据点在内部、与相交的条件列出不等式，联立求解得到的取值范围． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得 ． 设，则 ，半径为，半径为． 由点在内部得 ，以点C为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，，在上，作于点， ∵，， ∴ ∴，即 ∴ 化简整理得 ， 解得． 由与相交，根据两圆相交的条件得 ， 即 ， 解不等式 得； 当时，，解得， 此时的取值范围为， 即此时， 当时，，即， 此时无解， 综上可知，， 即． 4．（2026·上海宝山·二模）如图，，点O为射线上一点，，如果是以点O为圆心，半径为3的圆，那么与直线的位置关系是（  ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定 【答案】A 【分析】作，求出的长，与半径比较大小，即可得出结果. 【详解】解：作于点， ∵，， ∴， ∵的半径为3，， ∴与直线的位置关系是相离. 5．（2026·上海黄浦·二模）如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可． 【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误； C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确； D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误． 6．（2026·上海松江·二模）如图，已知中，，，半径为1的经过点，且在边、上截得的弦长相等，点在边上，如果以为半径的与相交，那么的长可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点分别作，，垂足为点，延长交于点F，则，那么平分，再由等腰三角形的性质得到，而由勾股定理可得，那么，再找到外切和内切时的临界位置，根据勾股定理建立方程求解即可得到的取值范围． 【详解】解：过点分别作，，垂足为点，延长交于点F， ∵在边、上截得的弦长相等， ∴， ∴平分 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 当与外切时，连接，设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； 当与内切时，连接， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得； ∴与相交时，， ∴B符合题意． 考点10图形的变化 1．（2025·上海浦东新·二模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．直角三角形 B．扇形 C．平行四边形 D．正八边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，解题的关键是掌握这两个概念，熟悉一些常见图形的对称性． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐个进行判断即可． 【详解】解：A. 直角三角形不是轴对称图形（等腰直角三角形除外），又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C.平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故该选项不符合题意； D. 正八边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（2024·上海金山·二模）下列命题中真命题是（   ） A．相等的圆心角所对的弦相等 B．正多边形都是中心对称图形 C．如果两个图形全等，那么他们一定能通过平移后互相重合 D．如果一个四边形绕对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．依次进行判断即可得到答案． 【详解】解：A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故选项A是假命题； B．把一个图形绕着某一个点旋转后，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，正方形，正六边形等是中心对称图形，但正三角形，正五边形不是中心对称图形，故选项B是假命题； C．如果两个图形全等，那么他们一定能通过翻折、平移和旋转后互相重合，故选项C是假命题； D．如果一个四边形绕对角线的交点旋转 后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形，故选项D是真命题． 故选：D． 3．（2025·上海奉贤·二模）现有五张纸片，这五张纸片上的几何图形分别是等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式求概率，中心对称图形的识别．在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．先判断出5个图形中中心对称图形的数量，再直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：等边三角形、矩形、等腰梯形、正五边形、圆，这5个图形中：矩形、圆是中心对称图形，共2个， 因此从这五张纸片中任意抽取一张恰好是中心对称图形的概率是， 故选B． 4．（2025·上海·二模）六张卡片上写着“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”．从六张卡片中任选两张卡片（不重复），上面所写的四边形都既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别，概率公式，掌握相关知识点是解题关键． 先逐一判断每个图形，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：菱形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 平行四边形：仅为中心对称图形，不是轴对称图形； 矩形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 等腰梯形：仅为轴对称图形，不是中心对称图形； 正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形； 直角梯形：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形； 符合条件的图形有菱形、矩形、正方形，共3个， 将“菱形，平行四边形，矩形，等腰梯形，正方形，直角梯形”记为：“A，B，C，D，E，F”， 从六张卡片中任选两张卡片，列表如下： A B C D E F A B C D E F 由表可知，共30种情况，符合条件的有6种， ∴概率为， 故选A． 5．（2025·上海杨浦·模拟预测）在下列图形中抽取任意一种，是中心对称图形的概率是（    ） ①四边形；②正三角形；③正六边形；④正五边形；⑤菱形；⑥线段 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念以及概率公式的计算，解决本题的关键是判断出图形是否为中心对称图形． 根据中心对称图形，即中心对称图形绕一点旋转后与自身重合，判断每个图形是否为中心对称图形，再计算概率即可． 【详解】解： ①四边形中平行四边形是中心对称图形，梯形不是中心对称图形，即四边形不一定是中心对称图形， ②正三角形不是中心对称图形， ③正六边形是中心对称图形， ④正五边形不是中心对称图形， ⑤菱形是中心对称图形， ⑥线段是中心对称图形， ∴中心对称图形有3个：③、⑤、⑥，总图形数为6， ∴概率为． 故选：B． 考点11相似 1．（2025·上海杨浦·一模）下列图形中一定相似的是（    ） A．等腰三角形 B．反比例函数图像 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，相似图形要求形状相同，大小可能不同．反比例函数图像无论k值如何，形状相同，一定相似；等腰三角形不一定相似；菱形和矩形对应角不一定相等或边不一定成比例，不一定相似． 【详解】解：等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似； ∵反比例函数的图像是双曲线，通过缩放可重合，形状相同； ∴反比例函数图像一定相似． ∵菱形的对应角不一定相等（例如，一个菱形的内角为，另一个菱形的内角为），所以菱形不一定相似。 ∵矩形的长宽比不一定相同（如正方形与长方形），对应边不成比例； ∴矩形不一定相似． 故选：B． 2．（2025·上海嘉定·一模）在中，点分别是边上的点，那么下列条件中不能推得的是（   ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行线的判定，根据可推出，则可证明得到，据此可判断A；根据和可证明得到，据此可判断B；同理可判断C；由无法证明，可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴可设， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，故A选项不符合题意， B、∵， ∴， ∴， ∴，故B选项不符合题意， C、同理由可得， 又∵， ∴， ∴， ∴，故C选项不符合题意， D、由无法证明，故D选项符合题意； 故选：D． 3．（2025·上海·一模）在中，点，分别是边，的中点．下列结论中，错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中位线的性质，相似三角形的判定与性质；点D、E分别为，的中点，则为的中位线，具有平行于且等于一半的性质，同时推导出相似关系及面积比，即可得解． 【详解】解：∵点，分别是边，的中点，如图， ∴是的中位线， ∴，且，故选项C和D正确； ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵，且相似比， ∴， ∴，故选项B错误． 故选：B． 4．（2025·上海闵行·一模）已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 5．（2025·上海青浦·一模）如图，在中，是的角平分线，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，由等边对等角和三角形内角和定理求出，根据角平分线定义得到，证明得到，证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， 平分， ∴， ； ∵ 设，则， ， 解得(不符合题意，舍去)或， ， 故选：B. 考点12锐角三角比 1．（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，利用勾股定理求出的长，再根据正切，余切，正弦和余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴，，，， 故选：C． 2．（2025·上海·一模）在中，、都是锐角，且，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形的内角和定理，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键． 利用绝对值和平方的非负性，得到和的值，再根据特殊角的三角函数值得到和的度数，最后利用三角形的内角和定理求即可． 【详解】解：∵，且绝对值和平方均非负， ∴且， ∴，， ∵、都是锐角， ∴，， ∴， 故选：C． 3．（2025·上海·模拟预测）在锐角中，边上的高的长为h，设，则下列数据中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据锐角三角函数的定义，结合线段的和差关系，三角形的面积公式，进行求解，判断即可． 【详解】解：如图， 在中，，； 在中，，； ∴，， ∴； 故选项A，C，D正确； 无法得到；故选项B错误； 故选B． 4．（2026·上海杨浦·二模）在中，，为的角平分线，将沿着直线折叠，点落在点处，若，，则的值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质可得，点在边上，因此，计算出的值即可． 【详解】解：如图， 由折叠的性质可知，，， ∵为的角平分线， ∴， ∴点在边上 ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴． 5．（2026·上海虹口·一模）在中，，已知，下列锐角三角比中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，勾股定理．结合在中，，，运用勾股定理求斜边，再根据锐角三角函数的定义计算的各个三角函数值，即可作答． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵的对边为，邻边为，斜边为， ∴， 故选：C． 考点13统计与概率 1．（2026·上海徐汇·二模）某学校组织了一场体能测试，抽出50个人的成绩（分数）进行统计，结果如图所示．关于这50人的分数，下列说法正确的是（   ） A．中位数是15 B．众数是15 C．中位数是75 D．众数是85 【答案】C 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大排列后，处于中间位置的数，若数据个数为偶数，则为中间两个数的平均数． 【详解】解：由图可知： 将50人的成绩从小到大排序，第25、26位均为75分，因此中位数是， 故A选项说法错误，不合题意，C选项说法正确，符合题意； 75，85均出现了15次，因此众数是75，85， 故B，D选项说法错误，不合题意． 2．（2026·上海浦东新·二模）第67届国际奥林匹克数学竞赛（）将于2026年7月在上海举行．在上届比赛中，中国队发挥出色，获得团体总分第一名，也是当届比赛中唯一一支所有队员都获得金牌的队伍．中国队参赛队员比赛成绩的方差可用以下公式来计算：． 根据以上信息，下列叙述中不正确的是（    ） A．中国队共有6名同学参赛 B．众数是36 C．中位数是38 D．平均数是38.5 【答案】B 【分析】本题考查方差公式的意义，以及众数、中位数、平均数的计算，根据方差公式确定所有数据后，依次根据定义判断各选项即可。 【详解】解：A、∵方差公式中共有6个数据项，∴中国队共有6名同学参赛，A选项正确，不符合题意； B、∵36和42都出现2次，均为出现次数最多的数，∴众数是36和42，B选项错误，符合题意； C、∵6个数据的中位数是第3个和第4个数据的平均数，即 ，∴中位数是38，C选项正确，不符合题意； D、∵平均数 ，∴平均数是38.5，D选项正确，不符合题意． 3．（2026·上海浦东新·二模）一个不透明的袋子里装有4个红球、3个白球和2个蓝球，这些球只有颜色不同，随机从中摸出一个球，要使摸到红球的概率为，以下方法不可行的是（    ） A．往袋中放入一个红球 B．往袋中放入一个绿球 C．从袋中取出一个蓝球 D．从袋中取出一个白球 【答案】B 【分析】先计算原有红球数和总球数，再根据概率公式，分别计算各选项操作后摸到红球的概率，判断是否等于，即可得到答案． 【详解】解：原有红球个，总球数为，摸到红球概率为，即，对各选项逐一验证： A、∵放入1个红球后，红球数为，总球数为，∴，方法可行； B、∵放入1个绿球后，红球数为，总球数为，∴，方法不可行； C、∵取出1个蓝球后，红球数为，总球数为，∴，方法可行； D、∵取出1个白球后，红球数为，总球数为，∴，方法可行； 因此方法不可行的是B． 4．（2026·上海奉贤·二模）甲、乙两位同学在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示．小华同学根据图形写出了以下三个推断：①甲的成绩更稳定；②乙的平均成绩更高；③每人再射击一次，乙的成绩一定比甲高．其中正确的是（  ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】①根据方差的意义判断即可；②根据算术平均数的定义判断即可；③根据随机事件的意义判断即可． 【详解】解：由折线统计图可知， 甲的成绩在2.5和5之间波动，乙的成绩在2.5和10之间波动，所以甲的成绩更稳定，故①结论正确； 乙的10次成绩中有9次成绩大于甲，其中一次略低，可推知②正确； 每人再射击一次，乙的成绩不一定比甲高，故③的结论错误． 其中正确的为①②． 5．（2026·上海静安·二模）已知一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2，那么数据，，的平均数与方差分别是（   ） A．3，2 B．6，8 C．3，4 D．6，4 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵一组数据：，，，它们的平均数是3，方差是2， ∴，， ∴数据，，的平均数为：， 数据，，的方差为：． 考点14向量 1．（2026·上海徐汇·二模）在中，、分别是边、的中点，下列说法不正确的是（   ） A．； B．； C．； D．． 【答案】B 【分析】结合向量平行、相等、模长的概念，以及三角形中位线的性质，逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， 对于选项A，，因此，A说法正确； 对于选项B，与模长相等，但方向相反，满足，因此，B说法不正确； 对于选项C，E是中点，，因此，C说法正确； 对于选项D，是的中位线，且，方向相同，因此，D说法正确； 综上，答案选B． 2．（2026·上海普陀·模拟预测）下列命题正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果都是单位向量，那么 D．如果或，那么 【答案】B 【分析】本题考查向量的基本概念，涉及向量相等的条件，平行向量的判定，单位向量的定义和数乘向量的结果，只需根据概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：向量相等需要模相等且方向相同，仅只能说明长度相等，方向不一定相同，故A错误； B选项：∵若，则与方向相反，方向相反的向量是平行向量，∴B正确； C选项：单位向量仅模长都为1，方向不一定相同，因此单位向量不一定相等，故C错误； D选项：当或时，，结果是零向量，不是数字，故D错误． 3．（2025·上海普陀·一模）设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是（   ） A．与方向相同 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据非零向量、，有，即可推出，从而得出，，与方向相反，由此即可判断． 【详解】解：∵非零向量、，有， ∴， ∴，，与方向相反， 故B、C、D正确，不符合同意，A错误，符合题意． 故选：A． 4．（2025·上海闵行·模拟预测）如图，D是的边上一点，，如果向量，，那么向量用向量、表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解题的关键．根据，得出，再根据平面向量的减法法则求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故选：D． 5．（2025·上海宝山·一模）如图，在等腰梯形中， ，，，设，用向量表示，结果正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量的线性运算、等边三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质，注意向量的方向是解答的关键．如图，过点A作交于点H．证明，求出，再根据求解． 【详解】解：如图，过点A作交于点H． 在等腰梯形中，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：B． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $