9.2.2 总体百分位数的估计（导学案）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 9.2 用样本估计总体 9.2.2 总体百分位数的估计 【学习目标】 1. 理解百分位数的概念，掌握其计算方法及直方图估算法，能利用样本估计总体. 1. 掌握求百分位数的步骤，会求样本数据的百分位数，会利用频率分布表或频率分布直方图求百分位数. 1. 落实数据分析、数学运算、数学抽象与数学建模核心素养. 【学习重点】 1. 百分位数的定义及计算步骤（原始数据法）. 2. 利用频率分布直方图估算百分位数. 3. 第 百分位数的实际意义. 【学习难点】 1. 当 不是整数时，百分位数的确定方法. 2. 频率分布直方图中百分位数的估算（面积对应位置）. 学习任务一 百分位数的概念与原始数据求法 【合作探究】 1. 问题引入： · 某市为了制定居民用水标准，需要知道全市居民月均用水量的“中等水平”或“较高水平”.平均数有时受极端值影响，而百分位数（如第80百分位数）可以表示“有 的数据不超过这个数值”，更稳健地反映数据分布. 1. 百分位数的定义： · 一般地，一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等于这个值. 1. 求第 百分位数的步骤（原始数据法）： · (1) 将原始数据从小到大排序. · (2) 计算 （ 为数据个数）. 1　 如果 不是整数，将 向上取整，第 个数据即为第 百分位数. 2　 如果 是整数，则第 百分位数为第 个与第 个数据的平均值. 1. 例题： · 某样本数据为 ，求第 百分位数. · ，，为整数，所以第 百分位数为第 个与第 个数据的平均数，即 . · 意义： 的数据不超过 . 【自主梳理】 1. 第 百分位数是描述数据分布的重要指标，不受极端值影响，常用于确定录取分数线、参考值范围等. 2. 计算方法：排序 → 计算 → 按整数情况取对应值或平均值. 学习任务二 利用频率分布直方图估算百分位数 【合作探究】 1. 问题情境： · 当数据量很大或只有频率分布直方图时，如何估计第 百分位数？ · 方法：在直方图中，各小矩形的面积代表频率.找到某个数 ，使得 左侧所有矩形的面积之和等于 ，则 即为第 百分位数的估计值. 1. 估算步骤： · (1) 计算各组的频率（面积）. · (2) 从左到右累加频率，直到累加和首次达到或超过 ，确定所在组. · (3) 在该组内按比例插值：设该组下限为 ，组距为 ，组频率为 ，前 组频率和为 ，则第 百分位数 . 1. 例题： · 已知某校学生身高的频率分布直方图（文字描述：组距为 ，各组频率从低到高依次为 ）.估计第 百分位数. · 解：累加频率：，，，（超过 ）.故第 百分位数在第 组（ 之间）. · 设第 组下限为 ，组距 ，组内频率 ，前面累计频率 ，则需在组内再增加 的频率，对应位置比例 ，所以第 百分位数 . 【自主梳理】 1. 在频率分布直方图中，百分位数是累计频率达到 时的横坐标. 2. 插值公式：. 学习任务三 百分位数的综合应用 【合作探究】 1. 例1：根据9.1.2节问题3中女生的样本数据（已排序），估计树人中学高一年级女生的第 百分位数. · 解：设样本容量为 . (1) 第 百分位数：，若为整数，取平均数；否则向上取整. (2) 第 百分位数为中位数. (3) 第 百分位数同理. · （具体数值由教材数据给出，此处略.） 1. 例2：某市举行中学生诗词大赛，800名学生初赛成绩在 内，频率分布直方图（文字描述：组距 ，各矩形高度依次为 ？需累计）.估计初赛成绩的第 百分位数. · 解：先计算各组的频率（面积），然后累加，找到第 百分位数所在组，再用插值公式. 1. 思考： (1) 第 百分位数就是中位数. (2) 百分位数常用于医学参考值、考试分数线等. (3) 与平均数相比，百分位数更稳健，不受极端值影响. 【自主梳理】 1. 第 百分位数 = 中位数. 2. 第 、 百分位数分别称为下四分位数和上四分位数，盒形图的基础. 3. 应用：确定体检指标正常值范围（如第 到第 百分位数）. 【自查自纠】（正误判断） 1. 第 百分位数表示有 的数据大于它. （ ） 1. 中位数是第 百分位数. （ ） 1. 求第 百分位数时，若 是整数，则取第 个数据. （ ） 1. 频率分布直方图中，各小矩形的面积表示频率，总面积等于 . （ ） 1. 同一组数据，第 百分位数一定大于第 百分位数（当 ）. （ ） 答案：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√（若 ，则第 百分位数不小于第 百分位数，严格大于可能不成立，当数据有重复时可能相等，但通常认为不减小.） 【典例分析】 例1：某校高一年级女生的身高数据（单位：cm）如下（已排序）： 150, 152, 153, 155, 156, 158, 160, 161, 162, 164, 165, 167, 168, 170, 172. 求第 百分位数. 解：，，是整数，所以取第 和第 个数据的平均数. 第 个数据为 ，第 个数据为 ，故第 百分位数为 （cm）. 例2：已知一组数据的频率分布直方图（文字描述：组距 ，第1组 频率 ，第2组 频率 ，第3组 频率 ，第4组 频率 ，第5组 频率 ，第6组 频率 ）.估计第 百分位数. 解：累加频率：，，.正好在第4组累计到 ，且 是整数，说明第 百分位数在第4组右端点？但累计频率恰为 ，可取第4组上限（或中值），实际应为第4组上界 （因为 的数据不超过 ）. 通常取该组上限：.若需插值，也可用公式，但累计恰为 时通常直接取该组上限. 【习题巩固】 1. 已知一组数据从小到大为 ，则该组数据的第 百分位数是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 某班 名学生数学成绩的频率分布直方图（文字描述：组距 ，各组频率分别为 ），估计第 百分位数所在区间是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在一次测试中，某校 名学生的成绩（满分 分）的频率分布直方图（文字描述：累积频率达到 时对应分数为 分，达到 时对应分数为 分），则第 百分位数为______分. 1. 某公司员工的月工资（单位：千元）样本数据如下： · . · 求该组数据的第 百分位数. 1. （选做）某市为了解居民月均用水量，抽取了 户居民，得到频率分布直方图（五组：，各组频率依次为 ）.估计该市居民月均用水量的第 百分位数. 【参考答案】 自查自纠：1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 习题巩固： 1. C（，，是整数，取第 与第 个平均数：） 1. D（累加频率：，，，，，.第 百分位数对应累计频率 ，位于第 组 内） 1. 分（第 百分位数即 的数据不超过该值，由题意知为 ） 1. ，，是整数，取第 与第 个平均数：第 个为 ，第 个为 ，平均数 千元. 1. 累加频率：，，，.第 百分位数在最后一组 内，前四组累计 ，需增加 ，组内频率 ，比例 ，组距 ，所以 吨. 学科网（北京）股份有限公司 $