精品解析：河北邯郸市大名县第一中学2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题

2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数图象的一个对称中心为，且最小正周期为，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（ ） A. 极差相同 B. 方差相同 C. 分位数相同 D. 平均数相同 6. 若，则（ ） A. B. 41 C. D. 40 7. 已知，，若关于的不等式在上恒成立，的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数的定义域为，且为奇函数、为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A. B. 若b＝4，则△ABC外接圆半径 C. 若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D. 若c＝2，△ABC有两解，则 11. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若，则动点的轨迹经过的外心 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为______. 13. 某中学艺术节第二章节目中有个节目已排，现在要紧急插入个节目，并要求这个节目不相邻，并且原来的个节目顺序不变，则排列的种数为__________ 14. 抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则____________． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的8.9%．某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 女性驾驶员 100 400 合计 400 1000 （1）请根据所给数据，完成上面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关； （2）用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查． （ⅰ）抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率； （ⅱ）记抽取的2人中，来自女性驾驶员且偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面． （2）在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 18. 已知椭圆的右焦点为，且，直线与椭圆相交于A、B，A为上方的交点. （1）求椭圆的方程； （2）过点A作两条互相垂直的直线，分别于椭圆相交于P，Q，证明：直线PQ过定点； （3）在中，过点A作PQ的垂线，垂足为H，是否存在H，使H到左顶点的距离最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若对任意，都成立，求实数m的取值范围； （3）若有两个极值点，，且，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三下学期5月阶段检测数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一．单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次方程结合交集的概念即可得解. 【详解】因为，，所以. 故选：C. 2. 若复数（其中是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得， 所以． 3. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由两条直线平行的充要条件判断即可； 【详解】解：因为直线与直线平行， 所以且，所以或. 又因为“”成立可得“或”成立， 而“或”成立不能得到“”成立， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 若函数图象的一个对称中心为，且最小正周期为，则该函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为最小正周期为，所以， 所以， 令，则， 又函数图象的一个对称中心为， 所以， 令可得， 所以. 5. 某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（ ） A. 极差相同 B. 方差相同 C. 分位数相同 D. 平均数相同 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出数组A和数组B的极差、平均数、方差、分位数，即可得答案. 【详解】去掉最高分和最低分后，数组B的数据为， 选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误； 选项B、D：数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为 ， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为， ，则数组B的分位数为，故C错误. 6. 若，则（ ） A. B. 41 C. D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】写出展开式的通项公式，求出和，求出答案. 【详解】展开式的通项公式为， 令得，故， 令得，故， 所以. 故选：C 7. 已知，，若关于的不等式在上恒成立，的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，分析可知，是方程的根，可得出，可得出，结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，， 因为，所以在上单调递增. 当时，，当时，； 因为的图象开口向上，且， 所以在上有且仅有一个变号零点， 因为在上恒成立， 即当时，，当时，， 所以是方程的根，即，解得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 故选：D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理和三角恒等变换化简整理出离心率，再结合三角函数范围求解即可. 【详解】 设，，在中，结合双曲线定义，， 由正弦定理得，​ 化简分子：  ​， 分母​， 代入得 ， 已知​，代入整理得， 是三角形内角，故，结合双曲线离心率， 由，， 由，， 因此离心率. 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 设函数的定义域为，且为奇函数、为偶函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇偶性可求得函数是以为周期的周期函数，再利用赋值法求函数值，即可判断各选项的正误. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 又为偶函数，所以，所以， 所以，即， 所以， 故函数是以为周期的周期函数， 令，由，得，所以，故A正确； 令，由，得，所以，故D正确； 其它两个选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故BC不一定成立. 故选: AD 10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列说法正确的是（　　） A. B. 若b＝4，则△ABC外接圆半径 C. 若a＝2，c＝3，则△ABC的面积为 D. 若c＝2，△ABC有两解，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项，利用正弦定理将边化为角，结合两角差的余弦公式展开化简，即可求出角； 选项，根据正弦定理代入计算即可； 选项，由面积公式代入计算即可； 选项，先根据三角形只有一个解的特殊情况，即三角形为直角或等边三角形时，求出的值，最后可根据几何图形，确定三角形有两解时的取值范围. 【详解】解：选项，由，根据正弦定理可得， 在△ABC中，，所以，即， 化简得，所以， 又因为，所以，正确； 选项，由选项知，根据正弦定理，代入得，解得，正确； 选项，由，错误； 选项，由三角形内角和可知， 当时，则，此时三角形只有唯一解，不合题意； 当时，因为，，所以此时三角形为等边三角形，也只有唯一解，不合题意； 当时，无法构成三角形；时，三角形只有一个解，均不合题意， 因此，当c＝2，△ABC有两解时，即，正确. 11. 已知点在所在的平面内，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，且，则 B. 若，则 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若，则动点的轨迹经过的外心 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据得到，同理得到，故；B选项，取的中点，故，故⊥，取的中点，同理可得⊥，点P是的外心，故；C选项，由正弦定理得到，故，点P在的中线上，C错误；D选项，作出辅助线，结合向量数量积运算法则得到，从而得到，点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心. 【详解】A选项，因为，所以， 所以，同理可得， 故点是的垂心， 故，故A正确； B选项，取的中点，则，故，故⊥， 取的中点，则，故，故⊥， 故点P是的外心，故，B正确； C选项，由正弦定理得，故， 故， 取的中点，则， 故点P在的中线上，重心在其上，故C错误； D选项， ， 设的中点，， 所以， ， 所以， 故点在的中垂线上，故动点的轨迹经过的外心，故D正确. 故选：ABD 【点睛】结论点睛：点为所在平面内的点，且，则点为的重心， 点为所在平面内的点，且，则点为的垂心， 点为所在平面内的点，且，则点为的外心， 点为所在平面内的点，且，则点为的内心， 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】对进行求导，求出在处的值即为切线的斜率，利用点斜式即可求出切线方程． 【详解】解：由已知，则， 所以切线方程为，即， 故答案为： 【点睛】此题主要考查导数研究曲线上某点的切线方程，要求切线方程，首先求出切线的斜率，利用了导数与斜率的关系，此题是一道基础题． 13. 某中学艺术节第二章节目中有个节目已排，现在要紧急插入个节目，并要求这个节目不相邻，并且原来的个节目顺序不变，则排列的种数为__________ 【答案】20 【解析】 【分析】利用插空法求结论即可. 【详解】在个节目中插入个节目，使得所插入的个节目不相邻，原来的个节目顺序不变的方法数为. 故答案为：. 14. 抛物线与椭圆有相同的焦点，分别是椭圆的上、下焦点，P是椭圆上的任一点，I是的内心，交y轴于M，且，点是抛物线上在第一象限的点，且在该点处的切线与x轴的交点为，若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，由正弦定理得到，根据椭圆定义得到，从而求出焦点坐标为，得到抛物线方程，根据导数几何意义得到在点的切线为：，求出，结合，得到是首项16，公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出答案. 【详解】焦点在轴上，故椭圆的焦点在轴上， 故， I是的内心，连接，则平分， 在中，由正弦定理得①， 在，由正弦定理得②， 其中，故， 又， 式子①与②相除得，故， 同理可得， ， 由椭圆定义可知，， ，即焦点坐标为， 所以抛物线方程为， ，故在处的切线方程为， 即，又，故， 所以在点的切线为：， 令，又，即， 所以是首项16，公比的等比数列， ． 故答案为：． 【点睛】当已知切点坐标为时，根据导函数的几何意义可得到切线的斜率，再利用求出切线方程； 当不知道切点坐标时，要设出切点坐标，结合切点既在函数图象上，又在切线方程上，列出等式，进行求解. 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 截至2024年底，我国新能源汽车保有量达到3140万辆，占汽车总量的8.9%．某市调查了1000名汽车驾驶员对新能源汽车的偏好程度，调查结果如下： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 女性驾驶员 100 400 合计 400 1000 （1）请根据所给数据，完成上面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关； （2）用频率估计概率，在所有参加调查的驾驶员中按男性和女性进行分层抽样，随机抽取10名驾驶员，再从这10名驾驶员中随机抽取2人进行问卷调查． （ⅰ）抽取的2人中，求在有女性驾驶员参加问卷调查的条件下，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的概率； （ⅱ）记抽取的2人中，来自女性驾驶员且偏好新能源汽车的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附： 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表为： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 300 300 600 女性驾驶员 100 300 400 合计 400 600 1000 有； （2）（ⅰ）； （ⅱ）的分布列为： 0 1 2 . 【解析】 【分析】（1）完善列联表，求出的观测值并与临界值比对即可. （2）（ⅰ）利用古典概率及条件概率公式计算得解；（ⅱ）求出的所有可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 列联表为： 偏好燃油汽车 偏好新能源汽车 合计 男性驾驶员 300 300 600 女性驾驶员 100 300 400 合计 400 600 1000 的观测值为， 所以有99.9%的把握认为偏好燃油汽车或新能源汽车与驾驶员的性别有关. 【小问2详解】 （ⅰ）抽取10名驾驶员中，女性驾驶员有（人），男性驾驶员有6人， 记有女性驾驶员参加问卷调查的事件为，恰有1名男性驾驶员也参加问卷调查的事件为， ，， 所以. （ⅱ）用频率估计概率，女性驾驶员且偏好新能源汽车的概率为，偏好燃油汽车的概率为， 的所有可能值为0，1，2， 被抽取的4名女性驾驶员恰有人参加问卷调查的事件为，则， 参加问卷调查的女性驾驶员中偏好新能源汽车的人数恰好为人的事件为事件， ，， ； ； ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望. 16. 平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形中，，，，，将沿折起，形成如图2所示的三棱锥，且． （1）证明：平面平面． （2）在三棱锥中，点分别为线段的中点． （i）证明：平面． （ii）设，求平面与平面夹角的余弦值的取值范围． 【答案】（1）在平面四边形中，，，则， 在中，， 翻折后，，则，即， 又，平面， 因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）（i）由分别为线段的中点，得， 而平面平面，所以平面. （ii） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的判定，结合勾股定理的逆定理推理得证. （2）（i）利用线面平行的判定推理得证；（ii）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）略 （ii）在三棱锥中，，则， 即，由（1）知，而平面， 于是平面ABD，又，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 而， 则，， 设平面的法向量为，则，取，得， 而平面的法向量为，设平面与平面的夹角为， 因此， 由，得，则，， 所以平面与平面夹角的余弦值的取值范围为. 17. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和； （3）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得； （3）利用（1）中结果得，再由裂项相消法，即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由，可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以. 【小问2详解】 因为，则， 所以③， ④， ③④得 ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，所以， 则. 18. 已知椭圆的右焦点为，且，直线与椭圆相交于A、B，A为上方的交点. （1）求椭圆的方程； （2）过点A作两条互相垂直的直线，分别于椭圆相交于P，Q，证明：直线PQ过定点； （3）在中，过点A作PQ的垂线，垂足为H，是否存在H，使H到左顶点的距离最小？若存在，求出最小值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）直线恒过定点. （3）所以存在点满足题意，且H到左顶点的最小距离为. 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求解即可； （2）先求出，设直线的方程为：，将其与椭圆方程联立，结合韦达定理，利用，可得的等量关系，再将其代入直线的方程，即可求出直线PQ过的定点； （3）结合（2）中所得，根据，可知点在以为直径的圆上，再求最小值即可. 【小问1详解】 由题意可得：，即椭圆. 【小问2详解】 证明：把代入椭圆可得：， 因为A为上方的交点，所以， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：， ，联立， ，， 因为，所以， 所以， 整理得：， 所以， 化简可得：， 即，或； 当时，直线恒过A点，不合题意； 当时，直线， 恒过定点， 当直线的斜率不存在时，设直线的方程为：， 代入，解得：， 设， ， 所以 则，解得：（舍去）或， 所以直线的斜率不存在时，直线恒过定点. 综上所述：直线恒过定点. 【小问3详解】 设直线恒过定点，由题意可得：，， 则点在以为直径的圆上，其中圆心为的中点， 半径，所以点的轨迹方程为， 设椭圆的左顶点为，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 所以存在点满足题意，且H到左顶点的最小距离为. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 19. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）若对任意，都成立，求实数m的取值范围； （3）若有两个极值点，，且，求证：． 【答案】（1）的极小值为 （2）的取值范围为, （3） 证明：因为， 则，， 因为有两个极值点，，所以有两个零点，，即方程有两个根， 令，则与有两个交点， 又，令，解得； 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，则；当时，，则； 当趋于无穷大时，的增长速率远小于的增长速率，所以趋于0， 作出的图像，如图所示： 所以，则， 又，则， 故， 因为，令，则， 令，则， 所以， 令，则， 令，，则， 所以在上单调递增，则，即 ， 所以在上单调递增，则， 当时，，，所以， 所以在上单调递增，又，则，所以， 所以，故，所以， 又，所以． 【解析】 【分析】（1）求导，确定函数的单调性，结合函数极值的概念求解极值即可； （2）将原不等式进行参变分离转换为对任意，恒成立，从而求解函数的最大值，对函数求导确定单调性求最值即可得实数m的取值范围； （3）根据函数有两个极值点，，数形结合确定实数m的取值范围，再根据m与，的关系，结合比值代换令，得函数，对其进行求导单调性判断，结合函数单调性的性质从而证明结论. 【小问1详解】 当时，代入得； ，令，解得，则： 当时，；当时，． 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在时取极小值． 故的极小值为，无极大值． 【小问2详解】 因为对任意，都成立，则都成立，即： 都成立，得恒成立． 故原式等价于恒大于等于函数的最大值， 令，，则， 令，解得． 当时，；当时，． 所以在区间时单调递增，在区间时单调递减， 所以在时取得极大值也是最大值，所以， 故的取值范围为． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $