精品解析：河南开封高级中学2026届高三数学模拟试题(二)

高三诊断（二） 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知集合，，则的非空子集的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 3. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 10 C. 30 D. 75 5. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 从的展开式的各项中任选4项，恰好有1项为的奇次幂的选法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 7. 图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式，其中k为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的.根据上述模型，下列说法正确的是（ ） 参考数据：，，. A. 当淋溶深度dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25% B. 要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dm C. 在淋溶深度的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D. 若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的20% 10. (多选)已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的零点为 B. 有两个极值点 C. 在处取得极小值 D. 在上单调递增 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，角A的平分线交BC于点D，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 内切圆半径的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量，满足，且向量，的夹角为，则_____. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C第一象限上一点，由点P向圆O：引两条切线，切点分别为A，B，若四边形PAOB的面积为，则直线AB的方程为_____. 14. 一副扑克牌去掉大小王有52张，有红桃、方片、梅花、黑桃四种花色各13张，随机不放回地每次取出一张牌，直到将52张牌全部取出，记随机变量X为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，为的导函数. （1）当时，求的极值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 16. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 已知等比数列的公比，且，，等差数列的公差，，且满足.表示不超过x的最大整数，例如：，，. （1）求； （2）设，数列的前n项和为，求. 18. 如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. （1）若，平面，求的长度； （2）若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 19. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.在双曲线上异于点的两点满足. （1）求双曲线的方程. （2）若，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（，，分别为直线，，的斜率） （3）记的外接圆为圆，在点处作圆的切线，求的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三诊断（二） 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助复数运算法则与模长定义计算即可得. 【详解】， 故. 2. 已知集合，，则的非空子集的个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，， 所以，则其非空子集的个数有个. 3. “”是“函数为奇函数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】求函数定义域后分析函数为奇函数的条件，最后根据充分、必要条件判断即可 【详解】由，解得,即函数的定义域为，关于原点对称， 令，因为，所以为奇函数. 此时，则， 若为奇函数，则，即， 因为不恒为0，所以对所有成立，展开得，即. 若，则,,则为奇函数. 故“”是“函数为奇函数”的充要条件. 4. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 10 C. 30 D. 75 【答案】D 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， ，， ，， . 5. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过的直线交C于P，Q两点，若为等边三角形，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等边的边长为，根据椭圆的定义，求得和，在中，利用余弦定理，列出方程，求得，结合椭圆离心率的定义，即可求解. 【详解】设等边的边长为，可得的周长为， 由椭圆的定义，可得，所以，解得， 则， 在中，由余弦定理得， 即，整理得，即， 所以椭圆的离心率为. 6. 从的展开式的各项中任选4项，恰好有1项为的奇次幂的选法共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式通项确定的奇次幂和偶次幂对应的项数，再利用组合计数原理计算选1个奇次项和偶次项的选法总数. 【详解】因为二项式的展开式通项为，其中， 为的次数，所以的奇次幂对应为奇数：，共项， 的偶次幂对应为偶数：，共项， 任选4项恰好有1项为的奇次幂，即选1个奇次项、3个偶次项， 由组合计数可得：，因此选法共12种. 7. 图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，求得，得到正三棱柱的体积为，利用导数求得，求得的单调性，得到时，取得最大值，结合异面直线所成角的求法，即可求解. 【详解】设正三棱柱的底面边长为，高为， 则，所以，其中，解得， 所以正三棱柱的体积为： ， 可得 令，即，解得或， 因为，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，此时， 在直角中，可得， 连接，可得， 在正三棱柱中，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 8. 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，得到，令，则，原函数等价于，分离参数，设，则当时，单调递减；当时，单调递增；根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果. 【详解】令，得到， 即，令，则， 设，则， 令，得到， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此在处取得最小值，故方程仅有唯一解， 因此，原函数等价于， 变形得到，设，则 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因此，在处取得极小值（也是最小值），， 因为时，，当时，， 函数在上有两个不同的零点， 转化为直线与的图像有两个不同交点，则. 故实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在土壤学中，常用指数模型描述土壤表层盐分含量随灌溉水淋溶深度的变化.已知某块盐碱地土壤表层初始盐分含量为（单位：），经淋溶深度为h（单位：dm）的灌溉水淋溶后（h指的是灌溉水渗入土壤的垂直深度），土壤表层残留盐分含量S满足关系式，其中k为与土壤性质有关的常数，实验测得该盐碱地土壤的.根据上述模型，下列说法正确的是（ ） 参考数据：，，. A. 当淋溶深度dm时，该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25% B. 要使该盐碱地土壤表层残留盐分含量降至初始盐分含量的1%，则淋溶深度h约为5dm C. 在淋溶深度的基础上再增加1dm，该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半 D. 若该盐碱地土壤的k值变为0.4，则淋溶深度dm时，土壤表层残留盐分含量低于初始盐分含量的20% 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的指数函数模型，结合各项的描述依次分析正误. 【详解】由题设， 当，则，故， 所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量约为初始盐分含量的25%，A对， 当，则，即，可得，B错， 原淋溶深度，则，故增加1后有， 所以该盐碱地土壤表层残留盐分含量会再减少约一半，C对， 当，，则，故，D对. 10. (多选)已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 的零点为 B. 有两个极值点 C. 在处取得极小值 D. 在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】函数求导后根据极值点判定条件和单调性判定条件逐一分析选项即可 【详解】选项A，令，即，因为，所以，解得，所以的零点只有，A正确； 选项B，， 则，在上单调递增(因为)， 且，，所以在上先减后增. 当，；时，；时，；时，， 由零点存在定理，在有一个零点，在有一个零点，因此有两个极值点，B正确； 选项C，由B选项分析可知，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，即在处取得极小值，C正确； 选项D，由选项C分析可知，在区间先增后减，D错误. 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，角A的平分线交BC于点D，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 内切圆半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换，化简即可求解A；结合面积公式建立关于的方程并求解可以判断B；利用基本不等式判断C；由内切圆半径公式和余弦定理建立关于的方程，进而利用换元法结合函数单调性求解最值. 【详解】选项A，由， 可得： 因为 所以，是三角形内角，故，即，A正确； 选项B，是角平分线，，， 由可得： ， 代入，整理得：，即，B正确； 选项C，由，利用基本不等式：， 当且仅当时，最小值为，C错误； 选项D，设内切圆半径为，是面积，是半周长， ，， 由内切圆半径公式，可得. 由余弦定理：， 设，， ， 随减小而增大，当取最小值时， 代入得， D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若非零向量，满足，且向量，的夹角为，则_____. 【答案】2 【解析】 【详解】由，可得，即， 可得，即，解得. 13. 已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C第一象限上一点，由点P向圆O：引两条切线，切点分别为A，B，若四边形PAOB的面积为，则直线AB的方程为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由“半径垂直于切线”得到切点弦的方程是，四边形的面积表示成的函数，再结合点在抛物线上，通过联立方程组求的坐标，从而得到直线的方程. 【详解】设则由题意， 设为切点，因为是圆的切线，所以 故即整理得 又因为点在圆上，所以 于是同理，对点也成立. 所以直线经过点，其方程为 设 圆心到直线的距离为 因为是圆的一条弦，所以 又点到直线的距离为因此 而这两个三角形有公共底边，故 从而得到 又因为从而得到所以即 将代入，得 即解得或. 因为点在第一象限，所以于是 又因为故所以 将代入，得即直线AB的方程为. 14. 一副扑克牌去掉大小王有52张，有红桃、方片、梅花、黑桃四种花色各13张，随机不放回地每次取出一张牌，直到将52张牌全部取出，记随机变量X为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数，可得，再利用期望公式可得，结合组合数定义及组合恒等式化简并计算即可得解. 【详解】设为最后一张红桃被取出时总共所取牌的张数， 张红桃的位置可能有种，前张中张红桃的位置可能有种， 故； 则， 由， ， 故 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，，为的导函数. （1）当时，求的极值； （2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围. 【答案】（1）的极小值为，无极大值； （2）. 【解析】 【分析】（1）求导分析函数单调区间，再根据单调性求解极值； （2）利用分离参数法可得，构造函数，结合导数求解最值，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 当时，，定义域为，求导得：， 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此仅有极小值，无极大值，极小值为： . 【小问2详解】 由，代入和的表达式得： 整理得：， 由于，即，不等式变形为： 要使不等式恒成立，只需，其中， 令，则，因为 ， 所以的单调性与相反，的最大值对应的最小值， ，令，得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因此在处取得最小值： 进而可得的最大值： 因此，即实数的取值范围是. 16. 某团队为探究大语言模型参数量与模型性能之间的关系，训练了6个不同参数量的模型，并在同一验证集上评估性能得分，得到如下统计数据： 参数量x（亿） 2 4 6 8 10 12 性能得分y（分） 1.8 2.8 3.4 3.6 3.8 4.0 （1）求y关于x的线性回归方程（系数用分数表示），并预测参数量为14亿时，模型的性能得分； （2）该团队比较了100次实验的实际性能与预测性能，得到“高效”（实际得分≥预测得分）和“低效”（实际得分<预测得分）两种效率组别.同时，他们记录了每次实验所用的训练数据质量等级（优质/普通），得到如下列联表： 训练数据质量等级 训练效率 总计 高效 低效 优质 42 18 60 普通 18 22 40 总计 60 40 100 请依据小概率值的独立性检验，分析训练效率是否与训练数据质量有关. 附：，，，. . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）线性回归方程为，预测性能得分约为分 （2）依据的独立性检验，训练效率与训练数据质量有关 【解析】 【分析】（1）先根据数据算样本均值，再用公式求回归系数和得线性回归方程，最后代入值预测. （2）提出零假设，根据列联表数据算卡方值，与临界值比较后判断是否拒绝零假设. 【小问1详解】 由题意可得，n=6，，， 又因为，，所以根据公式计算回归系数可得：  ， ， 所以，关于的线性回归方程为： ， 当参数量亿时，代入可得： ， 即预测参数量为14亿时，模型性能得分约为分（或​分）. 【小问2详解】 零假设：训练效率与训练数据质量无关，根据列联表可得： ，，，，， 所以卡方统计量为， 因为对应的临界值为，，所以拒绝， 依据的独立性检验，认为训练效率与训练数据质量有关. 17. 已知等比数列的公比，且，，等差数列的公差，，且满足.表示不超过x的最大整数，例如：，，. （1）求； （2）设，数列的前n项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题目所给条件列出的不等式求解出的范围，再根据题意求解出即可. （2）先根据题意求出的通项公式，再利用分组和及等比数列前项和公式求出. 【小问1详解】 等比数列中，. ，解得，. 由题意，代入，得： . ，展开整理得： ，解得，，. 【小问2详解】 由（1）可得. 因为 当为奇数时， 所以除以的余数为，即. 当为偶数时， 所以除以的余数为，即. . 18. 如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. （1）若，平面，求的长度； （2）若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； （3）求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. 【小问1详解】 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. 【小问2详解】 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. 【小问3详解】 可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 19. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.在双曲线上异于点的两点满足. （1）求双曲线的方程. （2）若，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（，，分别为直线，，的斜率） （3）记的外接圆为圆，在点处作圆的切线，求的方程. 【答案】（1） （2）是定值且 （3） 【解析】 【分析】（1）根据离心率和双曲线上点的坐标列出方程求解即可. （2）利用，可设两直线斜率分别为和，用表示和点坐标，利用两点式求出的斜率. （3）先设出的坐标，利用（2）中的韦达定理，求出与的中点坐标，写出它们的垂直平分线的方程，联立求出圆心，根据半径的斜率得到切线的斜率，写出过点的切线方程即可. 【小问1详解】 双曲线的离心率为，平方得到，又，得到. 双曲线经过点，，解得. 双曲线的方程为. 【小问2详解】 ，是双曲线上异于点的两点，，， 若，则与符号相同，与在双曲线的同一支上. ，可设的斜率为，则的斜率为，与是相异两点，可知，直线， 同理直线，先联立直线与双曲线可得 ，得. 直线显然不能与双曲线的渐近线平行，， 判别式， 当时，直线与双曲线必有两个交点，由韦达定理，可得，代入得到. 同理，用替换式子中的可得， 将分别代入直线中，得. . 是定值. 【小问3详解】 利用外接圆的几何性质，可知圆心在线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点处， 可设的中点为，的中点为： 由（2）中已经联立直线与双曲线得到的方程：， 由韦达定理，，可得，代入直线的方程，可得， 利用相互垂直的直线斜率乘积为，可写出的垂直平分线的方程为：； 同理，用替换式中的，可得到线段的中点，，的垂直平分线的方程为：； 联立两条直线，可求得圆心的坐标，，， 过点的半径的斜率，得到切线的斜率为， 所以切线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $