单元巩固练1 三角形的证明及其应用(Word教师用书)-【芸熙百分】2025-2026学年八年级数学下册名师划重点+单元巩固练(北师大版·新教材 郑州专版)

**基本信息** 聚焦三角形证明核心考点，以“概念-推理-应用”为主线，融合转化思想、过程性学习等方法，系统覆盖等腰三角形性质、全等判定及中考高频考法。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心概念应用|选择1-5、填空9-10、解答13-14|三线合一性质证明（三种方法）、逆命题真假判断、反证法步骤|从等腰三角形定义出发，通过全等推理构建性质与判定的逻辑闭环| |思想方法渗透|选择8、解答14|转化思想（构造等边三角形证全等）、动态问题最值分析|以几何直观为基础，通过模型构建实现已知与未知的转化| |跨学科与新考法|选择6、填空11|尺规作图过程性操作、物理杠杆原理几何建模|结合生活情境与数学语言，体现应用意识与创新意识|

单元巩固练1　三角形的证明及其应用 编者按：紧抓期末高频考点，配合“名师划重点”使用，稳固根基！ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.如图是某钢架屋顶的外框示意图，其中AB＝AC，BC是横梁，AD是竖梁.在焊接竖梁AD时，只需要找到BC的中点D，就可以保证竖梁AD与横梁BC垂直，这样操作的数学依据是（　B　） 第1题图　　 A.三角形具有稳定性　　B.等腰三角形“三线合一” C.垂线段最短　　D.等边对等角 2.［福建中考］某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的度数为（　C　） 第2题图　　 A.35°　　B.25°　　C.15°　　D.5° 3.小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与另外一把直尺边缘的交点为C，点C，P在这把直尺上的刻度读数分别是2，5，则OC的长是（　B　） 第3题图　　 A.2 cm　　B.3 cm　　C.4 cm　　D.5 cm 4.下列有关逆命题与逆定理的说法错误的是（　A　） A.“全等三角形的对应角相等”的逆命题是真命题 B.“直角三角形两锐角互余”的逆命题是真命题 C.“两直线平行，同位角相等”的逆定理是“同位角相等，两直线平行” D.“等边三角形的三个角都相等”和“三个角都相等的三角形是等边三角形”是互逆定理 5.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠A＝60°，BC＝，CD＝1，则∠DCB的度数为（　A　） 第5题图 A.90°　　B.60°　　C.45°　　D.30° 6.新考法过程性学习 在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲，乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（　C　） 图①　　图②　　图③ A.甲　　B.乙　　C.甲和乙　　D.都不正确 7.［教材P39第8题改编］如图，某市三个城镇中心A，B，C恰好分别位于一个等边三角形的三个顶点处，在三个城镇中心之间铺设通信光缆，以城镇A为出发点设计了两种连接方案.方案一铺设光缆长为BC＋AD（D为BC的中点）；方案二铺设光缆长为OA＋OB＋OC（O为△ABC三边的垂直平分线的交点）.关于两个方案说法正确的是（　B　） 第7题图　　　　 A.方案一铺设光缆长较短　　　　 B.方案二铺设光缆长较短 C.两种方案铺设光缆长一样　　　　 D.无法比较两个方案铺设光缆的长短 解析：设等边三角形ABC的边长为2a，即AB＝BC＝2a. 方案一：∵△ABC是等边三角形，D为BC的中点，∴BD＝CD＝a，∠ADB＝90°.∴AD＝＝＝a.∴BC＋AD＝2a＋a. 方案二：∵O为等边三角形ABC三边的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∠OBD＝∠ABC＝30°.∴OD＝OB，在Rt△BDO中，BD＝＝OB＝BC＝a.∴OB＝a.∴OA＋OB＋OC＝3×a＝2　a＝a＋a.∵2a＋a＞a＋a，即BC＋AD＞OA＋OB＋OC.∴方案二铺设光缆长较短.故选B. 8.数转化思想 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是BC边的中点，点P是AC边上一个动点，连接PD，以PD为边在PD的下方作等边三角形PDQ，连接CQ，则CQ的最小值是（　D　） 第8题图 A.2　　B.　　C.　　D.1 解析：如图，在CD的下方作等边三角形CDT，作射线TQ，则DC＝DT＝CT，∠CDT＝∠CTD＝60°.∵△PDQ为等边三角形，∴DP＝DQ，∠QDP＝60°.∴∠CDT＝∠QDP.∴∠CDP＝∠TDQ. 在△CDP和△TDQ中，DP＝DQ，∠CDP＝∠TDQ，DC＝DT.∴△CDP≌△TDQ（SAS）.∴∠DTQ＝∠DCP＝90°.∴∠CTQ＝∠DTQ－∠CTD＝30°.∴点Q在射线TQ上运动.∴当CQ⊥TQ时，CQ取得最小值.∵BC＝4，D是BC的中点，∴CT＝CD＝BC＝2.在Rt△CQT中，∠CTQ＝30°，∴CQ＝CT＝1，即CQ的最小值是1.故选D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 9.用反证法证明“在△ABC中，∠A，∠B的对边是a，b.若∠A＞∠B，则a＞b”的第一步应假设　a≤b　. 10.如图，地面由正六边形和四边形两种地砖镶嵌而成，则∠BAD的度数为　60°　. 第10题图　　 11.跨学科物理 桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM＝3 m，AB是杠杆，AB＝6 m，OA＝2OB，当点A位于最高点时，∠AOM＝120°，此时，点A到地面的距离为　5　m. 图1　　图2 第11题图　　 12.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE处，延长EF交BC于点G，连接AG，则BG的长为　2　. 第12题图 解析：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.由折叠的性质，得AD＝AF，DE＝EF，∠D＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°.在Rt△ABG和Rt△AFG中，∵AG＝AG，AB＝AF，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）.∴BG＝FG.设BG＝FG＝x，则GC＝6－x.∵E为CD的中点，∴CE＝DE＝EF＝3.∴EG＝EF＋GF＝3＋x.在Rt△CEG中，CE2＋GC2＝EG2，即32＋（6－x）2＝（3＋x）2.解得x＝2，即BG＝2. 三、解答题（共24分） 13. 开放性试题 （10分）下面是证明等腰三角形性质定理“三线合一”的三种方法，请选择其中一种补充完整已知或求证，并完成证明. 等腰三角形性质定理：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简记为：“三线合一”）. 方法一 已知：如图，在△ABC中，　　，AD平分∠BAC. 求证：BD＝CD，AD⊥BC. 解：选择方法一：AB＝AC（3分） 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD. 又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（SAS）.（7分） ∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC.∵∠ADB＋∠ADC＝180°， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC.（10分） 方法二 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，　　　　. 求证：∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC. （或选择方法二：D为BC的中点（3分） 证明：∵D为BC的中点，∴BD＝CD. 又∵AB＝AC，AD＝AD，∴△BAD≌△CAD（SSS）.（7分） ∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC. ∵∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 即AD⊥BC.（10分） 方法三 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC. 求证：　　　　，∠BAD＝∠CAD. 或选择方法三：BD＝CD（3分） 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵AB＝AC，AD＝AD，∴Rt△BAD≌Rt△CAD（HL）.（7分） ∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD.（10分）） 14.［郑州市］（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF. （1）求证：△DEF为等腰三角形； 解：（1）证明：如图，连接AD.（2分） ∵AB＝AC，D为BC的中点， ∴AD平分∠BAC.（5分） ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF. ∴△DEF为等腰三角形.（8分） （2）填空： ①当∠B的度数为　30°　时，△DEF为等边三角形； ②当∠B的度数为　45°　时，△DEF为直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $