广东省珠海市斗门第一中学2025-2026学年高二下学期阶段性考试数学试题

2025-2026学年第二学期珠海市斗门第一中学阶段性考试 高二数学科试卷 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应 位置上。 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷收回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1.下列求导结果正确的是() A e(x-1) x x2 B.(coxx)-sinx C.( :D.(sin3)'=cos3 2.在(1+3x)°展开式中，x2的系数为（) A.405 B.270 C.150 D.90 3.某物体沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)的关系为 y(t)=1-t+t,则该物体在t=3s时的瞬时速度是（) A.2m/s B.3m/s C.4m/s D.5m/s 4.函数f(x)=文_"(m>0)的图象可能是() 19 5.等差数列{a}的首项为1，公差不为0.若a2,a,a6成等比数列，则{an}的前6 项和为() A.-24 B.-3 C.3 D.8 数学科试卷第1页共4页 6.已知函数f(x)=nr-ax在区间1,3]上不单调，则实数a的取值范围为() A.a≥1 B.asg D.sasl 7.某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去A、B、C三所不同的学校开 展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家.已知甲、乙到同一所学校，丙不到A 学校，则不同的安排方式有多少种() A.12种 B.24种 C.36种 D.30种 8.已知定义在(0，+o)上的函数f(x)的导函数为f'(x),若f'(x)<2x,且f(S)=3, 则不等式f(2x-1)+4x>4x2-21的解集是() A.（-0,3) B.(3,+oo) C.(0,3) D (23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是() A.任意站成一排，有120种排法 B.学生不相邻，有24种排法 C.教师相邻，有48种排法 D.教师不站在两边，有72种排法 10.已知(3x-2)°=a。+a,(x-1)+a,(x-1)2++ao(x-1)°，则下列结论正确的是() A.a=1 B.4+a2++a0=20-1 220+210 C.42=30 D.a+a2+a4+…+a1o= 2 11.设函数f(x)=(x-1)(x-4),则() A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.计算A-C= 13.若3是函数f(x)=(x-2)(x-3)(x-@)的一个极值点，则f(0)= 数学科试卷第2页共4页 14.如图，一张长桌上，左侧有m只蚂蚁，右侧有n只蚂蚁(m,n∈N),它们排成 条直线相向爬行（方向如图中箭头所示）.爬行规则如下： ①如果两只蚂蚁迎面碰到，会立刻调头反向爬行； ②当蚂蚁爬到桌面边缘时，会从桌面掉落， 当桌面上所有蚂蚁都掉落之后，记所有蚂蚁碰头的总次数为f(m,).则f1,2)= :若f(m,n)=12,写出满足条件的一组(m,n)为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分13分) 记正项数列{an}的前n项和为Sn,已知a,=2, 2”;②9=n+2 从①S.=m+3n. an+1:③-G=a1+a,这三个条件中选一个补充在上 面的横线处，并解答下面的问题： (1)求数列{an}的通项公式： (2)求数列 的前n项的和T,求证：T,<1. an（an-1 16.(本题满分15分) 己知函数f(x)=-xlnx+2x+1. (1)求函数f(x)的单调区间以及极值： (2)求函数f(x)在1，e2上的最值. 数学科试卷第3页共4页 17.(本题满分15分) L本行←喉芝虹ャ患嗾与嫌芝羽虹弟‘中平壮笛冲2+，) (1)求n的值： (2)求展开式中所有的有理项： (3)求展开式中系数最大的项. 18.(本题满分17分) 已知数列{an}的首项a=1,{an}的前n项和为Sn,且Sn1=2Sn+n+1(n∈N) (1)证明数列{an+1是等比数列； (2)令f(x)=ax+a2x2++anx”,求函数f(x)在点x=1处的导数f'(1). 19.(本题满分17分) 已知函数f(x)=e-ax2-x-1. ①D当a=)时，求曲线y=f(回在点（么f2)处的切线方程. (2)当a=)时，证明：当x≤0时，f冈s0. (3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 数学科试卷第4页共4页2025-2026学年第二学期珠海市斗门第一中学阶段性考试 高二数学科试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D D B A C B D AC AD ACD 1.【答案】A 【详解】对于A, ()=父=，放A正确： x2 x2 对于B,(cosx)=-sinx,故B错误； 对于C,(xnx)=xnx+x(nx)=lnx+l,故C错误； 对于D,(sin3)=0,故D错误. 2.【答案】D 【详解】易知展开式中含x2的项为C13(3x)2=9Cx2=90x2, 所以x2的系数为90.故选：D 3.【答案】D 【详解】~四光丹+0= m1-(t+△)+(t+△)2-1+t-t2 △t △t =(+2-)=2-1,÷当=3时，四器=23-15， 即该物体在t=3s时的瞬时速度是5m/s.故选：D. 4.【答案】B 【详解】函数f(x)的定义域为：（-o,0)U(0,+∞)， :f()=5x+(m>0),f(小>0， ∴.函数f(x)在区间(-o,0)上单调递增，在区间(0，+∞)上单调递增，排除AC选项； 当x<0,x→0时，f(x)→+0，故排除D选项， ∴.函数f(x)的图像可能是B选项.故选：B. 5.【答案】A 【详解】设等差数列的公差为d(d≠0)，因为a2,a,a6成等比数列，所以 a=aa。,所以(a+2d)2=(a+d)(a1+5d), 高二数学科试卷第1页共8页 又a=1,所以(1+2d)2=(1+d)1+5d),整理得d2+2d=0, 因为d≠0，所以d=-2, 所以数列{a,}前6项的和为S。=6a+6x(6-D.d=6+15x(-2)=-24.故选：A 2 6.【答案】C 【详解】由f)=nr-a,求导得∫)=-a,而函数f在区间[L,3]上不单调， 则了四=0在L3)内有解，即1<。<3，解得}a<1, a 所以实数a的取值范围为；<a<1.故选：C 7.【答案】B 【详解】因为甲、乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1 个元素，若A学校只安排一个元素，该元素不为丙，则有C×C×A=18种分配方 法；若A学校只安排两个元素，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素， 则有C?×A=6种分配方法；所以不同的安排方式有18+6=24种：故选：B. 8.【答案】D 【详解】设g(x)=f(x)-x2(x>0),则g(x)=f'(x)-2x. 因为f'(x)<2x,所以f'(x)-2x<0,即g(x)<0,所以g(x)在(0，+∞)上单调递减. 不等式f(2x-1)+4x>4x2-21等价于不等式f(2x-1)-(2x-1)2>-22,即 g(2x-1)>-22. 因为f(5)=3,所以g(5)=f(5)-52=-22,所以g(2x-1)>g(5): 因为g)在(0，+o)上单调递减，所以0<2x-1<5,解得)<x<3. 9.【答案】AC 【详解】对于A,任意站成一排，是全排列，所以有A=120种排法，故A正确： 对于B,学生不相邻，所以先排老师，然后插空，即AA=12种排法，故B错误： 高二数学科试卷第2页共8页 对于C,教师相邻用捆绑，即AA4=48种排法，故C正确： 对于D,教师不站两边，先将两边排上学生，剩下的人全排列，即AA?=36种排法， 故D错误；故选：AC. 10.【答案】AD 【详解】令x=1得(3-2)°=1=a,所以选项A正确： 令x=2得40=4+a+42+…+a0,所以a+42++a0=40-1, 所以选项B错误； 令x=0得20=a-a+a2-a3+…+a0,又a+a2++ao=40-1, 两式相加得a+a2+a4+…+ao= 2 2，所以选项D正确： 40+210220+210 令x-1=t,所以x=t+1,所以(3t+1)0=a+a,t+a,t2++ad°， 其展开式的通项为T,=C(3)-,令10-r=2r=8, 所以a,=C%32=405,故选项C错误.故选：AD 11.【答案】ACD 【详解】对A,因为函数f(x)的定义域为R,而 f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3), 易知当x∈(1,3)时，f'(x)<0,当x∈(-o,1或x∈(3，+o∞)时，f'(x)>0 函数f(x)在(-∞，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故x=3是 函数∫(x)的极小值点，正确： 对B,当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数f(x)在(0,1)上单调递增，所以f(x)>f(x2),错误： 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减， 所以f(1)>f(2x-1)>f(3),即4<f(2x-1)<0,正确： 对D,当-1<x<0时， 高二数学科试卷第3页共8页 f2-x)-fx)=(1-x)'(-2-x)-(x-1)}(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),正确；故选：ACD. 12.【答案】-15 【详解】因为A3=5×4=20.c==35,所以A3-03=-15. 13.【答案】-18 【详解】f'(x)=(x-3)x-+(x-2)x-a)+(x-2)(x-3), 因为3是函数f(x)=x-2)x-3)x-a的极值点， 所以f'(3)=(3-33-a)+(3-2)(3-a)+(3-2)3-3)=0,即3-a=0, 故a=3,所以f(x)=(x-2)x-3)2，f(0)=(0-2)0-3)2=-18.故答案为：-18 14.【答案】2 (1,12) 【详解】当左侧有1只蚂蚁，右侧有2只蚂蚁，则左侧和右侧最前面的蚂蚁碰头一次 后，左侧蚂蚁调头爬到桌面边缘掉落，而右侧碰头的蚂蚁调头后与后面的蚂蚁再一次 碰头，然后两只蚂蚁调头都爬到桌面边缘掉落，这样一共就是碰头2次，所以 f1,2)=2: 当左侧有1只蚂蚁，右侧有12只蚂蚁，依次编号为1,2,3，…12， 则左侧和1号碰头一次后，左侧蚂蚁调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头1次， 1号调头与2号碰头一次后，1号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头2次， 2号调头与3号碰头一次后，2号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头3次， 3号调头与4号碰头一次后，3号再调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头4次， 11号调头与12号碰头一次后，11号和12号都调头爬到桌面边缘掉落，累计碰头12次， 所以此时有f1,12)=12,故满足条件的一组为(L,12), 即f(m,nm)=n=12,任意一组正整数解都符合要求， 例如(m,n)=(3,4（也可填(2,6)，(L,12),(4,3)等都正确). 15.【小问1详解】 选择①， 高二数学科试卷第4页共8页 当n≥2时an=Sn-Sn- =n2+3n_(n-)2+3(n-1) 2 2 =n+1,----4分 而n=1时，4-P+3+1=2满足左式， ---5分 2 ∴.an=n+1.----6分 选择②， a=%8.829.44=n1”43 a1am-2a-343ann-132 2=n+1,---6分 选择③， 由(a1+an)(an1-an-1)=0,得a+1-an=1,从而得an=n+1.--6分 【小问2详解】 1 1-11 因为aa,-可nxa+Din+7,-8分 所以z=-2小2》6404141-1分 因为neN, 所以中0， 11 <1.----13分 n+1 16.【小问1详解】 函数f(x)=-xnx+2x+1的定义域是(0，+o). 又f'(x)=l-lnx,令'(x)>0,得0<x<e,令f'(x)<0,得x>e, 故函数f(x)的单调递增区间为(0，e),单调递减区间为(e,+o)，-----5分 所以函数f(x)的极大值为f(e)=e+1,无极小值.----7分 【小问2详解】 高二数学科试卷第5页共8页 由(1)可知，f(x)在[l,e]上单调递增，在(e,e2]上单调递减， 所以f(x)nx=f(e)=-elne+2e+l=e+1-11分 所以f(x)在l,e]上的最小值为min{f(),f(e》. 又因为f()=3,f(e2)=1,所以f(e2)<f(),-13分 所以函数f(x)在l,e2]上的最小值为1，即f(x)m=1. ----15分 17.【详解】(1)由题意知：T=C2x,则第4项的系数为C2, 倒数第4项的系数为C2，则有C=即11 262’n=7.-5分 (2)由(1)可得工=Cg2x4c=0,1,7列，-6分 当r=0,2,4,6时所有的有理项为T,I,T,T 即T=C92°x4=x4,T=C22x=84x°， T=C424x4=560x4,T,=C2x1=448x1.----10分（每个答案1分） (3)设展开式中第r+1项的系数最大，则 C2≥CH2+ r+1≥2(7-r) C52≥CGg21→ ---13分 2(8-r)≥r ≤rr=5,放系数最大项为=G2,=62r.15分 16 18.【小问1详解】 因为Sn1=2Sn+n+1(n∈N),所以Sn=2Sn1+n(n≥2)，-2分 所以an1-2an+1(n≥2)→an1+1=2(an+1)(n≥2)，---6分 又4+1=2，S2=2S1+2即a2+1=2(a1+1),----7分 所以数列{an+1}是公比和首项均为2的等比数列.---8分 【小问2详解】 由(1)a,=2”-1,所以f(x)=2x+22x2++2”x”-x-x2--x”,9分 所以f(x)=12+22x+323x2++n-2”X1-1-2x-3x2--x-,-10分 高二数学科试卷第6页共8页 所以f'(①)=12+222+323++n-2”-1-2-3--n,----11分 设T=12+222+323+.+n.2” 所以2Tn=122+223+324++n21,-13分 所以-7=2+2+2++2-m2-20-29）-2=0-2-2, 1-2 所以Tn=(n-1)21+2,-15分 又1+2+3++n=n+,所以f0=(a-12n+2-na+ 2 2 .17分 19.【小问1详解】 当a=时，f()=e-号2--l,则f()=e-x-山，2分 从而f(2)=e2-5,f'(2)=e2-3,--3分 故曲线y=f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y-(e2-5)=(e2-3(x-2),-4分 即y=(e2-3x-e2+1；-5分 【小问2详解】 设g(x)=f'(x)=e-x-l,则g(x)=e-1.--6分 显然g(x)≤0在(0,0]上恒成立，所以f'(x)在(-0,0)上单调递减.---7分 又f'(0)=0,所以f'(x)≥0在(-o,0]上恒成立，--8分 所以f(x)在(-0,0)上单调递增，---9分 故f(x)≤f(0)=0,即当x≤0时，f(x)≤0.-10分 【小问3详解】 由题意可得f(x)=e-2ar-1.设h(x)=f'(x)=e-2ac-1,则h(x)=e*-2a. ①若a≤0，显然h(x)>0,则h(x)在(-o,+∞)上单调递增，即∫'(x)在(-o,+∞)上单调 递增。 又f'(0)=0,所以当x∈(-o,0)时，f'(x)<0,当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0, 高二数学科试卷第7页共8页 则f(x)在(-o,0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， 又f(0)=0,所以f(x)只有一个零点，故a≤0不符合题意. ②若0<a<3,则当x∈(xh(2a》时，()<0，当x∈(a(2a,+o)时，h()>0, 则f'(x)在(-o,ln(2a)上单调递减，在(n(2a),+∞上单调递增. 又f@=0,所f2k0,又r(20-e>0, 所以存在唯一的%（云h(2)小 使得f'(x)=0 当x∈(-∞，x)U(0,+o)时，f'(x)>0,当x∈(xo,0)时，f(x)<0, 则f(x)在(-∞，x),，(0,+∞)上单调递增，在(x,0)上单调递减. 又f(0)=0,所以f(x)>0,又当x→-0时，f(x)→-o, 所以f(d)恰有两个零点，则0<a<)符合题意. ③若a=),则由(2)知f()20在R上恒成立，所以f()在(-，+网)上单调递增， 又f(0)=0,所以f()只有一个零点，则a=2不符合题意. ④若a>,则当xe(-xa(2a刃时，(k0,当xea(2a,+jp时，H>0, 则f'(x)在(-o,ln(2a)上单调递减，在(n(2a),+o∞上单调递增. 又f'(0)=0,所以f'(n(2a)<0,又f'(4a)=e-8a2-1>0, 所以存在唯一的x∈(n(2a),4a),使得f'(x)=0. 当x∈(-o,0)U(x,+∞)时，'(x)>0,当x∈(0，x)时，f'(x)<0, 则f(x)在(-∞，0)，(：，+∞)上单调递增，在(0，x)上单调递减. 又f(0)=0,所以f(x)<0,又当x→+o时，f(x)→+0， 所以fd恰有两个零点，则a>}符合题意。 综上，a的取值范围为 03小.7分 高二数学科试卷第8页共8页