河南开封市五校2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

开封五校2025~2026学年下学期期中考试 高二数学 专生注意： 1.木伙枣分递择则和非选择题西部分。满分150分，考议时间120分钟。 2.答题前，背生务必用直轻0.5毫米黑色墨水签宇笔将侪村线内项日填写清楚。 3.考生作答时，请将答索答在答题卡上。选择题每小题选出答窠后，用2B6笔把答盟 上时应题日的答案标号涂黑：非选择題请用直径0.5毫米只色买水签字笔在答题卡上 各则的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作 答无效。 4,木卷命题范国：人牧A版选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章一第七章第1节一 第2节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.一作直线运动的质点的位移y(单位：m)与时间1（单位：s)之间的关系为y()=十1，则该 质点在1=2s时的瞬时速度为 A.3 m/s B.6 m/s C.8m/s D.9 m/s 2.已知S,为等差数列(an)的前n项和，若S,=4,S,=12,则(an)的公差d= A.4 B.3 C.2 D.1 3.甲、乙、丙三人去君电影，每人可在《疯狂动物城2N狂野时代《得闲谨制》及《开心岭》四都电 形中任选一部，则不同的选法种数为 A.61 B.62 C.63 D.64 4.某同学参加校园义卖活动.将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求 其中的甲、乙，丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为 A5760 B.4320 C.2160 D.1440 5.C☒+C+C+…+C2= A.o B.C224-1 C.C2oz D.C2o2-1 6.已知数列(a,)满足a1=1,a,-a,-1=n(n≥2)，设数列}的前n项和为S,则S= 。 A8器 B28 c2嬲 n 7,已知定义域为R的函数f(x)满是∫1)=是，且/(x)+∫(x)<0,则不等式(x+1)> 品的解集是 A.（2,+) B.(-o=.2) C.(0,+c) D.(-c=,0) 【高二期中考试·数学第1页（共4页）】 26-L-536B C③扫描全能王 3亿人都在用的扫播ApP B.某学枚组织数学竟资活动，各了两缠题目分别放在A.B两个箱子中，A箱中有4道代数题 和2道几何画，B箱中有3道代数题和3道几何题.参进手先在两个箱子中任选一个格子. 枯后从选中的箱子中依次蚰取2道题（不放回）作答.若乙同学选摔A箱，答题结求后工作人 员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中 至少有一道代数题的榄率为 A号 B吉 c D器 二、迭摔题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.己知随机交量X的分布列如下： X -1 0 1 a b c 其中a,bc成等差数列，则P(X=1)可以为 A B合 c昌 n 10.学生食堂提供A,B,C,D共4种主食和a,b,c,d,e共5种配菜，李明同学想点2种主食与 2种配菜，则 A.不选主食A的方法种数为30 B.主食B和配菜b都选的方法种数为12 C.配菜c,d至少选1种的方法种数为54 D.主食D,配菜d,e只选2种的方法种数为21 11.已知函数f(x)=x3一(m十3)x2+4mx十n(m,n∈R),则下列结论正确的是 A.当m<3且x∈（√2，+o∞）时，f(x3)>f(x2) B.若m=3,则f(x)十f(4-x)=16十2m C若f(x)只有1个零点，则(4m+m-4)(一号m+g+n小>0 D.若f(x)的-个极值点为x(x≠2)，且a)=f(x),其中工≠，则=3-司 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=6P(X=0),则P(X=1)= 13.(x十y十2z)°展开式中xyz2项的系数为 14.如图，设t是f(x)=0的根，选取a作为t的初始近似值，过点 (a,f(a))作曲线y=f(x)的切线l,l与x轴的交点的横坐标为 =a- 8@)≠0)，称x是：的-次近似值：过点 (x,∫(x))作曲线y=f(x)的切线，该切线与x轴的交点的横坐 标为工2=1一 )≠0)，称a是1的=k近似值 重复以上过程，得到函数f(x)关于t的近似值数列(xn),我们称 /(a) z)为∫(x)关于1的“牛顿数列”，其中zt=x。一 ((,)≠0，n∈N).已知函数了(x)=-子2+3，数列(x)为f(x)关于3的牛顿数 列，且初始近似值a=9.设a=oe会若-3<dCN~),则的最小值为 【高二期中考试·数学第2页（共4页）】 26-L-536B C③扫描全能王 3亿人都在用的扫措ApP 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15,(本小题满分13分) 已知菡数f(x)=x2-3x十lnx. (1)求(x)的最小值： (2)求f(x)的极值及在[良e]上的值域， 16.(本小题满分15分) 已知二项式(2)广(a∈N)的展开式中，各项系数的和为728 (1)求(x+后) 的展开式中的常数项； (2)令f(x)=(x+号八，求证：[f4)]-1能被6整除。 17.(本小题满分15分) 某自然保护区为预防森林火灾，安装了智能监控系统，数据显示在炎热干燥天气条件下，该 保护区每天发生火灾的概率为0.04，当火灾发生时系统正确发出瞥报的概率为0.95，当火 灾没有发生时，系统错误发出瞥报的概率为0.02. (1)求炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出瞥报的概率； (2)若炎热干燥天气条件下该保护区智能监控系统某天发出警报，估计保护区该天实际发生 火灾的概率（稍确到0.01）. 【高二期中考试·数学第3页（共4页）】 26-L-536B C③扫描全能王 3亿人都在用的扫播ApP 18.(本小题满分17分) 已知数列(an}满足a1=3且an+1=3am一2. (1)证明：数列(a,一1}是等比数列，并求数列{an)的通项公式； (2)设bn=nan,求数列(bn}的前1项和Sm； (3)令c,=-1cos,记(c)的前n项和为T,证明：T.<号。 an 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=er+asin x+blnx十cx一2，a,b,c∈R. (1)若a=b=0,讨论f(x)在(0，十∞)上的单调性； (2)若a=c=0,b=一1，证明：f(x)>0; (3)当a=1,b=0,c=-e时若2，∈(0，受)(x1≠x2),且f()=f(x2),f(x)在 x=m(m>0)处取得极值，求证：x1十x2<2m 【高二期中考试·数学第4页（共4页）】 26-L-536B C③扫描全能王 3亿人都在用的扫播ApP开封五校2025~2026学年下学期期中考试·高二数学 参考答案、提示及评分细则 1.A由题意得y(t)=t十1，所以y(2)=3,即该质点在t=2s时的瞬时速度为3m/s.故选A. 2.Aa=S3-S2=12-4=8,S2=a1十a2=(ag-2d)+(ag-d)=16-3d=4,所以d=4.故选A. 3.D三个人任选一部电影观看，共分三步，第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法；第二步，乙 从四部电影中任选一部，有4种不同的选法；第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法，根据分 步乘法计数原理，不同的选法共有4×4×4=64.故选D. 4.B若甲，乙、丙3个手工艺品相邻排列，则有A=6种情况，将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，和剩余 的5个工艺品进行排列，则有A=720种情况.综上，共有6×720=4320种不同的排法.故选B. 5.D原式=C十C号+C号+C号+…十C824-1=C十C+C房+…十C%24-1=…=C824+C824-1=C%25-1. 故选D. 6.C因为a1=1,aw一a-1=n(n≥2)，所以当1≥2时，am=a1十(a2-a1)十(a3-a2)十…十(am一a-1)=1+2 十3+十n,.因为a=1他满足a,=生》.所以a=a安.士-是=2(}）】 2 2 所以8=2[(1-）+（合吉）++（日）门0所以Ss号8器放选C 7.D令g(x)=ef(x),则g'(x)=e[f(x)十(x)]<0,所以g(x)在R上单调递减，因为g(1) f1)=1,所以不等式f(x+1)>可变为ef(x+1)>1.即g(x+1D>g1),所以x+1<1,即 x<0,所以不等式f(x十1)>c的解集为（一∞，0）.故选D, 8.D设事件Q为“丙从B箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”，事件R为“乙从A箱中取出2道代数题”， 则P(R)晨-号，事作S为“乙从A箱中取出1道代数题和1道几何题”，则P(S)=C智=音 =，事件T C 为乙从A箱中取出2道几何题”，则P(T)号-言，当R发生时，B箱中有5道代数题和3道几何题，则 PQR)=1怎-1一务-氛当S发生时，B箱中有4道代数题和4道儿何题.则PQS=1一8=1 会-：当T发生时，B箱中有3道代数题和5道儿何题，则PQD=1一号=1一8是由全概率公式 可得PQ=P(RP(QIR):+P(SPQIS+PCDPQID-=号×器+是×+言×是-篇故选D 9.ABC,随机变量X的分布列如下，.a十b十c=1,且a,b,c∈[0,1].①，a,b,c成等差数列，.2b=a十c, ②联立①@，得6=了a+=号，所以0≤≤号∴P(X=1)=c,c可以为}，，号.故选AC X -1 0 P 10.ABD对于A,不选主食A的方法种数为CC号=30，A正确；对于B,主食B和配菜b都选的方法种数为 CC=12,B正确；对于C,配菜c,d至少选1种的方法种数为C(C+CC)=42,C错误；对于D,主食D, 配菜d,e只选2种的方法种数为CCC十CC号=21，D正确.故选ABD. 1.ABDf()=82-2(m+3)x十m=(x-2)(3x-2m).令f(x)=0,得x=2或x-对于A.因为 m<3,所以<2，当x(2,十∞)时.f()>0,f(x)单调递增，因为x∈(2，+∞)，所以2>>2， f(x3)>f(x2),故A正确；对于B,因为m=3,所以f(x)=x3-6x+12x十，f(4-x)=(4-x)3-6 (4-x)2+12(4-x)+n=-x3+6.x2-12x+16十n,所以f(x)+f(4-x)=16+2n,故B正确；对于C, 【高二期中考试·数学参考答案第1页（共4页）】 26-1-536B f(x)=(x-2)(3.x一2m),当m=3时，f(x)=3(x-2)2≥0，f(x)单调递增，f(x)只有1个零点，但 (4m十m-4(-易m+罗+n）=(n+8),当n=-8时，(4m+-4)(-哥m++n）=0,故C错 误；对于D,因为fx)的-个极值点为(x≠2)，所以a-2,即m=号，由f()=f),得 (m十3)+4mn十n=度-(m+3)+4m十，即(-)2·(m十号a-3）=0,因为≠x,所 以十号-3=0.即=3-方故D正确故选ABD 12.号由P(X=1D)=6PX-0),P(X=1D+P(X=0)=1,得P(X=1)=号 13.120展开式中的xyx2项可以看成在5个因式(x+y十2x)中，有1个因式中取x,剩下的4个因式中2个 取y,2个取2x相乘而得，即CxCy2C号(2x)2=120.xy2z2.所以展开式中xyx2项的系数为120. 14.4由f(x)=- 32+3得了)=-号x,所以1= f(xn） f'(xn) +3_2+9.+ 2xm’xm+1-3 3 x+9+3 +9-3 -等-程=9 f(9) =5,所以x>3,所以 2.m og32log2十8即u+12a,又a1=log24十3lo3-3 xn+1一3 x1-3 ,5十3=2，所以出=2，即数列{a}是首 项为2，公比为2的等比数列，所以a,=2×21=么.又a,=g气，所以云=3+，6由14-31< 22-1 100得2>601，又2单调递增，且2=256,2=2“>601，所以的最小值为4 15.解：(1)由题意得f(x)的定义域为(0，十o∞)，…1分 )=21-3+子≥2√2·-3=22-3：当且仅当=号时等号成立 …3分 所以(x)的最小值为22-3.…5分 (2)由(1)知f(x)=2x-3+1=2x-31+1=2-1)x-1D(x>0). …6分 令f(x)>0,得0<<2，或x>1,令f()<0,得2<<1， 所以f(x)的单调递增区间为(0，？)和(1，十∞)，单调递减区间为（受，1）， …8分 所以f(x)在x=之处取得极大值，在=1处取得极小值…9分 所以f(x)的极大值为f(2)=一号-h2,极小值为f1)=一2. 10分 又f(2）=是-3-2.fe)=e-3c+2. 11分 显然f(侵)<f1),f(e)>1(号)所以fx)在[日.e]上的值域为[是-是-2.e-3+2, 444444444 13分 16.1解：在二项式（十是）广(n∈N)的展开式中令=1.得3”=729，解得1=6。…2分 ()广的展开式的通项为T=G·(层》 =C2·x号(=0,1,2,3,4,5,6)，…4分 令12,3r=0,得r=4, 2 【高二期中考试·数学参考答案第2页（共4页）】 26-L-536B 所以(+) 的展开式中的常数项为T5=C2=240.…7分 (2)证明：由1).得了(）=(x+号)° ,所以f(4)=55.…9分 所以[f(4)]100-1=5600-1=(6-1)600-1=C80×600×(-1)°+Cn×659X(-1)1+…+C8×6× (-1)599+C88X(-1)600-1=6[C8X659-CmX6598+.+C8×(-1)]+1-1=6[C8oX659-C0 X6598十…十C8X(-1)],…12分 因为C8mX659-CX6598+…+C8×(-1)∈N*,所以6[C80×69-Cm×658+…十C器×(-一1)]是 6的倍数， 即[f(4)]1o一1能被6整除. 15分 17.解：(1)用A表示炎热干燥天气条件下该保护区某天发生火灾，用B表示系统发出警报， 则P(A)=0.04,P(A)=0.96,…2分 P(BA)=0.95,P(BA)=0.02,…4分 由全概率公式，得P(B)=P(A)P(B|A)十P(A)P(BA)=0.04X0.95+0.96×0.02=0.0572. …8分 (2)由(1)知P(AB)=P(A)P(B|A)=0.04X0.95=0.038,P(B)=0.0572,…11分 所以炎热干燥天气条件下智能监控系统某天发出警报，保护区该天实际发生火灾的概率为P(AB)= -0a.6 15分 18.(1)证明：由a+1=3a,-2,得a+1一1=3(am一1)， 故{an一1}是公比为3的等比数列.… 2分 因为a=3,所以{am一1}的首项为a1-1=2,所以am-1=2×31, 所以an=2X3-1十1.… 4分 (2)解：由(1)知b.=1a=2n·3-1+n, 则Sn=b1十b2十b3十…十b,=2×3°十4×3十6X32+…十2·3”1十1十2+3十…十1.…5分 令P=2×3+4×31+6×32+…+2n·3-1, 则3P=2X3十4X32十6X33十…十21·3”，…6分 两式相减，得-2Pn=2X30十2×31+2X32十…十2X3"-1-2n·3”…7分 =2(3+3+3++3-1)-2m·3=2×1X03）-2·3=1-2n）·30-1, 1-3 所以卫.=(m-之)·3+号 9分 所以5=p.+1m=0名)3++ 2 2 10分 (3)证明：若n为奇数，cosnπ=-1=（一1）”，若n为偶数，cOS n=-1=(一1)”， 故c0sm=(-1),c=-1)”c0sm=、(-1) 12分 a 2×3w1+12×31+1' 当28时，=2h十2×中1十2xg十+2x3+分+号+(2X容十叶2X3) 10 2 15分 1-3 +(-)”+<餐： 当n=1时，T=3 4 当=2时，1=2十2×中十号-” 16分 因此不等式T,<号成立. 17分 【高二期中考试·数学参考答案第3页（共4页）】 26-1.-536B 19.(1)解：若a=b=0,则f(x)=e十cx-2,f(x)=e十c,…1分 当c≥一1时，f(x)=e2十c>0在x∈(0，十∞)上恒成立，所以f(x)单调递增；…2分 当c-1时，令f(x)=0,得x=ln(-c)>0, 当x∈(0，ln(-c))时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(ln(-c),+o∞)时，f(x)>0,f(x)单调 递增. 综上所述，当c≥-1时，f(x)在(0，十o∞)上单调递增；当c<-1时，f(x)在(0，ln(-c))上单调递减， f(x)在(n(一c),十o∞)上单调递增.…4分 (2)证明：若a=c=0,b=一1，则f(x)=e一lnx一2，定义域为(0，十∞)， 由f(x)=e-lnx-2,得f(x)=e-1 ,…5分 因为c,一子在(0，十)上单调递增，所以f(x)=心-在(0，十)上单调递增， 又f(号)=e-2-6-2<0f1)=e-1>0,所以存在(31)，使得了()=0，即e6- …6分 当x∈(0，xo)时，f(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(x0,十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)的极小值为f(xo)=e一lnxo一2，也是最小值.…7分 由=1，得=1n1=-1n,所以f)=e-hw-2=+w-222 1 ·x-2=0, …9分 当且仅当=，即=1时，等号成立，但∈（分1），所以x)≥()>0， 即a=c=0,b=-1时，f(x)>0. …10分 (3)i证明：当a=1,b=0,c=-e时，f(x)=e+sinx-ex-2,f(x)=e+cosx-e, 令g(x)=f(x)=e+cosx-e,则g'(x)=e-sinx,当x∈(0，十∞)时，e>l,sinx≤1，所以g(x)= e一sinx>0,g(x)单调递增，即∫(x)单调递增，…1l分 又了（悟）=+cos登-e<(贸)+1-e=号-e<0了（受）=+os号-e>0所以存在m∈ (径，受)，使得f(m)=0,即e+cosm-e=0. 当x∈(0，m)时，f(x)<0,f(x)单调递减，当x∈(m,十∞)时，∫(x)>0,f(x)单调递增，所以x=m 是f(x)的极小值点. ……12分 因为∈(0，受)≠且f(m)=f(),不妨设<，则0<<m<<受， 要证1十x2<2m,即证x2<2m一x1, 因为0<x1<m,所以m<2m-<2m<元，又f(x)在(m,十o∞)上单调递增，且f(0)=f(x2),因此只 要证f(x1)=f(x2)f(2m-x1),…13分 h(x)=f(x)-f(2m-x)(0<x<m)h(x)=e'+sin x-ex-e2*-sin(2m-x)+e(2m-x), 所以h'(x)=e+e2m-x+cosx+cos(2m-x)-2e, 令p(x)=h'(x)(0<x<m),则p(x)=e-e2mx-sinx十sin(2m-x), 设λ(x)=g'(x)=e-e2--sinx十sin(2-x)(0<x<m), 则入'(.x)=e十e2m=-cosx-cos(2m-x)>e°十e°-cosx-cos(2m-x)≥0，所以入(x)在(0，m)上单调 递增，即9(x)在(0，m)上单调递增，9(x)≤9(m)=0,所以g(x)=h'(x)在(0，m)上单调递减， h(x)>h'(m)=0,所以h(x)在(0，m)上单调递增，从而h(.x)<h(m)=0,…16分 所以x∈(0，m)时，f(x)<f(2m一x),又0<x1<m,所以f(x1)<f(2m一x1)成立. 综上所述，x十x2<2m.…17分 【高二期中考试·数学参考答案第4页（共4页）】 26-L-536B