精品解析：陕西西安市临潼区华清中学2025-2026学年高三下学期第一次自主命题数学试题

华清中学2025-2026学年（下）高三年级第一次自主命题 科目：数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人、校对人：高三数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，得， 所以，所以或． 2. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 则，则的虚部为. 3. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】向量，， 向量在方向上的投影向量为，得. 4. 已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合圆不经过第四象限，根据圆心到原点的距离与半径的大小关系列不等式求出的范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】圆可化为标准方程为，且， 又，所以，圆心坐标为，半径. 圆心到原点的距离为. 因为圆不经过第四象限，所以，即，解得或（舍去）. 综上，圆不经过第四象限时的取值范围为. 又，所以， 故“圆：不经过第四象限”是“”的充分不必要条件. 5. 两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，，， 所以. 6. 已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的离心率公式，再利用焦点三角的面积相等及椭圆长轴长即可求解. 【详解】由，得，即. 设的内切圆的半径为，则 因为的内切圆的面积为，所以，解得（负舍）， 在中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知 ，即， 由，联立，得， 所以该椭圆的长轴长为. 故选：D. 7. 已知函数在区间上单调，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，利用单调性计算求出参数范围. 【详解】因为，所以， 因为在上单调递增，在上单调递减，且， 所以当时，即时，函数在上单调递增， 则的取值范围. 故选：B. 8. 若对都有成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 2e 【答案】B 【解析】 【分析】将原不等式变形为，令， 利用导数研究函数的单调性，结合即可求解. 【详解】由，得， 则，即， 有，令， 所以，令， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以当时，， 所以，故a的最大值为2. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（ ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B. 在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C. 根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D. 从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 【答案】BCD 【解析】 【分析】A、B，根据统计图所给比例，结合抽样人数计算相应人数判断对错；C，列出列联表，再用公式计算，与临界值比较判断购车类型与地域是否有关；D：根据条件概率公式计算已知为新能源车主条件下来自甲地的概率. 【详解】A：甲地购买燃油车人数为，购买新能源车人数为， 故购买燃油车的人数比新能源车的多人，A错误. B：乙地购买新能源车比例为，故用分层随机抽样抽取20人时，新能源车主有人，B正确. C：列出列联表： 甲地 乙地 总计 燃油车 120 80 200 新能源车 80 120 200 总计 200 200 400 则. 小概率值时，. 因为，所以根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关，C正确. D：所调查的新能源车主共有人，其中甲地80人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为，D正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据乘法的运算法则，结合赋值法、二项式系数公式逐一判断即可. 【详解】A：二项式展开式中最高次项的指数为， 所以展开式中最高次项的指数为， 所以，因此本选项说法正确； B：展开式中最高次项的指数为，系数为 ， 所以， 含项的系数为， 中，含项的系数， 所以，因此本选项说法正确； C：在中， 令，得， 令，得， 两式相减，得， 所以本选项说法不正确； D：由上可知，所以本选项说法正确. 故选：ABD 11. 在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为对角线上的动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值 C. 棱锥的外接球的体积为 D. 若点为长方形内一点（包含边界），且平面，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A：假设垂直平面，会推出，进而垂直.又因垂直能证垂直平面，得到垂直，但实际不垂直，矛盾，所以不垂直平面. 对于选项B：平行平面，上点到平面距离相等，三棱锥体积不变，且，所以三棱锥体积为定值. 对于选项C：以，，构造长方体，其外接球和三棱锥外接球一样，根据长方体体对角线求半径，再用公式求球体积. 对于选项D：取中点连线段得平面平行平面，点轨迹是线段，在中作垂线求最小值，用余弦定理求角的余弦，再求正弦，进而得长度. 【详解】对于选项A，若平面，根据线面垂直的性质，可得. 因为，根据平行线的传递性，所以. 又因为，且，平面，根据线面垂直的判定定理，可证平面，所以. 但在正方体中不垂直于，这相互矛盾，所以不垂直于平面，故A错误. 对于选项B，易知平面，根据线面平行的性质，可知上的点到平面的距离相等. 三棱锥的体积（为点到平面的距离），由于上点到平面距离相等，所以不变. 又因为，所以三棱锥的体积为定值，故B正确. 对于选项C，分别以，，为长、宽、高构造长方体，由于长方体的外接球直径就是长方体的体对角线，且该长方体的外接球与三棱锥的外接球相同. 设外接球半径为，已知，，的值，根据长方体体对角线公式（为体对角线，分别为长方体的长、宽、高），可得，则. 根据球的体积公式，可得，故C正确. 对于选项D，取的中点，取的中点，连接，，，易知平面平面. 因为点为长方形内一点，所以点的运动轨迹为线段. 在中，过点作，此时取得最小值. 由题意可知，，，. 根据余弦定理. 再根据，可得. 所以，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式、二倍角的余弦公式以及诱导公式，化简即可得结果. 【详解】由题意得 故答案为：. 13. 已知等比数列及等差数列，其中，公差.将这两个数列的对应项相加，得一新数列，则等比数列的前10项之和为________. 【答案】1023 【解析】 【分析】由所得新数列的前3项列出方程求解，q，d，即可求得等比数列的基本量及通项公式，从而求得的前10项之和. 【详解】设等比数列的公比为q，由题意可得， 解得， 所以，等比数列的前10项和为. 故答案为：1023 【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，等比数列基本量求解及前n项和公式，属于基础题. 14. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与的左右两支分别交于两点，且，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意不妨设双曲线的焦点在轴，设过的直线与圆相切于点，则在、中应用正弦定理可得，再结合双曲线定义可得，再运用余弦定理可得，进而可求得离心率. 【详解】不妨设双曲线的标准方程为，则， 设过的直线与圆相切于点，则在中，， 且点位于双曲线的右支，如图所示， 在中，由正弦定理得， ， 又， ， 在中，， 即， 化简得，即. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，已知角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）设三角形的边上的高为，且，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可转化原式为，结合余弦定理可得解； （2）由于又，可得解a,利用余弦定理可解的值. 【详解】（1）设三角形的外接圆的直径长为 由正弦定理和已知 得: 所以， 即 由余弦定理得， 因为，所以 （2）因为，所以 因为，所以 由余弦定理得， 【点睛】【点睛】 本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 16. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且. （1）求的方程； （2）是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先由条件求得点的横坐标，再根据焦半径公式，即可求解； （2）首先联立直线与抛物线方程，利用，结合坐标运算，求得点的坐标，再表示直线的斜率，即可求解. 【小问1详解】 由抛物线的定义可知. 因为，所以. 因为，所以，解得，故的方程为. 【小问2详解】 由题意知AB斜率不为0，设， 联立方程得，， 则 因为以为直径的圆过点，所以，则， 即， 解得，所以. 又，所以 当时，， 当时，. 故直线斜率的最大值为. 17. 如图，直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形的边界及其内部运动，且满足. （1）求点的轨迹的长度； （2）证明：直线与平面所成的角为定值. 【答案】（1）； （2）证明：由（1）知，平面的一个法向量为，， 设直线与平面所成的角为，则， 又，解得，所以直线与平面所成的角为定值. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出点的轨迹方程即可得解. （2）利用线面角的向量法求解得证. 【小问1详解】 在所有棱长都为4的直四棱柱中，四边形为菱形，则， 令，过作平面，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 而，则， ，设， 由，得，整理得， 而，则点的轨迹为在平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧， 所以点的轨迹的长度为. 【小问2详解】 略 18. 为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 （1）求的值； （2）设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； （3）求． 【答案】（1）， （2） 的分布列 3 4 5 6 ，数学期望为5； （3） 【解析】 【分析】（1）计算和运用了分步乘法计数原理和分类加法计数原理来计算事件发生的概率； （2）结合乘法公式计算概率，得到随机变量的分布列和期望； （3）通过分析爬台阶的不同情形建立递推关系，再通过变形构造等比数列来求解数列的通项公式． 【小问1详解】 由题可知， 【小问2详解】 随机变量所有可能取值为：3，4，5，6， 的分布列 3 4 5 6 ； 【小问3详解】 爬到第个台阶有两种情况： 情形一：爬到第个台阶，下一步上两个台阶爬到第个台阶， 情形二：爬到第个台阶，下一步上一个台阶爬到第个台阶， 故， 则， 所以， ，又，故是等比数列， ， 故. 19. 已知函数. （1）若时，求函数在点上的切线方程； （2）若，使得当时，的值域为. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）证明：记，则， 故在上单调递减，在上单调递增，故， 即，即， 同理，因为函数的， 且对称轴为，则方程存在两根， 且，故， 又，且， 所以，则， 即． 【解析】 【分析】（1）当时，可得的解析式，根据导数的几何意义，可得切线的斜率k，代入方程，即可得答案. （2）（i）由题意得方程有两个不相等的正根，令，利用导数求出的单调性及极值，分析计算，即可得答案. （ii）记，根据导数确定函数的单调性，再结合二次函数的性质即可证明. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，则切线的斜率， 又，所以切线方程为. 【小问2详解】 （i）因为，所以在上单调递增， 则，即方程有两个不相等的正根， 令，则， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 所以的极大值为， 因为时，，时，， 所以，则，解得， 所以实数的取值范围是 （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学2025-2026学年（下）高三年级第一次自主命题 科目：数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人、校对人：高三数学组 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，是z的共轭复数，则的虚部为（　　） A. B. C. D. 3. 已知向量，，向量在方向上的投影向量为，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 已知，则“圆：不经过第四象限”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 两位游客准备分别从华清池、兵马俑、钟楼、大雁塔4个景点中随机选择其中一个景点游玩，记事件“两位游客中至少有一人选择华清池”，事件“两位游客选择的景点不同”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，其左右焦点分别为，其离心率为，点P为该椭圆上一点，且满足，已知的内切圆的面积为，则该椭圆的长轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 12 7. 已知函数在区间上单调，则的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 若对都有成立，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. e D. 2e 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 近年中国新能源汽车进入高速发展时期，为了了解消费者的购车类型与地域是否具有相关性，某品牌车商随机调查了甲、乙两地各200名消费者，得出统计图如下，根据此统计图，下列结论正确的是（ ） 附：，. 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 A. 在所调查的甲地购车者中，购买燃油车的人数比新能源车的多20人 B. 在所调查的乙地购车者中，若用分层随机抽样抽取20人，则其中新能源车主有12人 C. 根据小概率值的独立性检验，消费者的购车类型与地域有关 D. 从所调查消费者中随机选一人，在已知其为新能源车主的条件下，其来自甲地的概率为0.4 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 在长方体中，已知，，，分别为，的中点，则（ ） A. 平面 B. 若为对角线上的动点（包含端点），则三棱锥的体积为定值 C. 棱锥的外接球的体积为 D. 若点为长方形内一点（包含边界），且平面，则的最小值为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：________． 13. 已知等比数列及等差数列，其中，公差.将这两个数列的对应项相加，得一新数列，则等比数列的前10项之和为________. 14. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与的左右两支分别交于两点，且，则的离心率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在三角形中，已知角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）设三角形的边上的高为，且，求的值. 16. 已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且. （1）求的方程； （2）是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值. 17. 如图，直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形的边界及其内部运动，且满足. （1）求点的轨迹的长度； （2）证明：直线与平面所成的角为定值. 18. 为了增强学生体质，学校举办趣味爬楼梯比赛．从地面开始，小明爬楼梯有两种方式，一步上一级台阶或2级台阶，其中一步上一级台阶的概率为，上两级台阶的概率为，爬楼梯过程中，小明爬到第n个台阶的概率为 （1）求的值； （2）设随机变量表示小明爬3步上的台阶总数，求的分布列及数学期望； （3）求． 19. 已知函数. （1）若时，求函数在点上的切线方程； （2）若，使得当时，的值域为. （i）求实数的取值范围； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $