湖南省长沙市长郡中学2026届高三模拟预测数学试题一

湖南省长沙市长郡中学2026届高三模拟预测数学试题一 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设全集 是小于的正整数，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 设是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则（ ） A. B. 1 C. D. 7 5. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 6. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在的渐近线上，与轴垂直，点在轴上，.若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 8. 在空间直角坐标系中，点，，定义.如图，正方体的棱长为5，，平面内两个动点P，G分别满足，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 在上有且仅有一个极值点 10. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：的焦点为F，准线为.过F的直线与C交于A，B两点，连接并延长与准线相交于点P，与x轴交于Q点，准线与y轴交于点G，则（ ） A. B. 为锐角 C. D. 11. 在棱长为2的正方体中，F是棱的中点，Q为正方体表面上的一个动点（含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 过A，F，C的平面截该正方体所得的截面图形的周长为 B. 若P为棱的中点，且平面，则线段的最小值为 C. 若Q是正方形内的一个动点，且满足，则动点Q的轨迹是一条线段 D. 若P为棱的中点，则四面体外接球的表面积为11π 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 13. 已知曲线在处的切线与圆相交于两点，则___________． 14. 已知数列的通项公式是.设为数列的前n项和，当时，______；若存在n，使得，则m的最小值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （1）若，求的值； （2）求的最大值. 16. 如图，在直三棱柱中，平面侧面，且. （1）求证：； （2）若直线与平面所成的角为，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由. 17. 某人工智能公司召开年会，期间提供两个游戏供员工选择，两个游戏均有3局，每局获胜可获对应奖金，奖金可累计.具体规则如下： 游戏Ⅰ：抛掷质地均匀的相同硬币 第1局，抛两枚，向上的图案相同则获胜，得100元奖金；第2局，抛三枚，向上的图案相同则获胜，得500元奖金；第3局，抛四枚，向上的图案相同则获胜，得900元奖金； 游戏Ⅱ：抛掷质地均匀的特殊骰子（三组对面分别标记0，2，6的骰子）. 第1局，抛两颗，向上的数字相同则获胜，得300元奖金；第2局，抛三颗，向上的数字相同则获胜，得600元奖金；第3局，抛四颗，向上的数字是2，0，2，6（不计顺序）则获胜，得900元奖金. （1）求游戏Ⅰ第2局获胜的概率； （2）若销售部门的3位员工均选择游戏Ⅰ，设X为前两局均未获胜的人数，求X的分布列和数学期望； （3）从奖金期望角度，员工应选择哪个游戏？请说明理由. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在上，为的左、右顶点. （1）求的方程； （2）过点作直线与椭圆交于两点，（在第一象限），直线分别交轴于两点. （i）试探究：是否存在常数使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； （ii）当面积取最大值时，求的值. 19. 已知函数和的定义域均为，其中. （1）求的极值. （2）若，使得. （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：. 湖南省长沙市长郡中学2026届高三模拟预测数学试题一 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 6 ②. 16 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 证明：连接交于点， 因，则 由平面侧面，且平面侧面， 得平面，又平面，所以. 三棱柱是直三棱柱，则底面ABC，所以. 又，从而侧面， 又侧面，故. （2）存在，点E为线段中点 【17题答案】 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）游戏Ⅱ 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）存在，（ii） 【19题答案】 【答案】（1）当时，函数无极值；当时，函数的极小值是，无极大值. （2）（i）； （ii）证明：设方程的正实数根为，则， 即点为直线上一点，表示点到原点的距离， 显然，该距离不小于原点到直线的距离， 即，即， 不妨设，，则， 所以函数在上单调递减，则，即. 又，则， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $