山东烟台市莱山区2025-2026学年九年级（五四制）下学期4月期中适应性检测数学试卷

**基本信息** 以围棋文化、人工智能数据、空调送风等真实情境为载体，梯度设计选择、填空、解答题，考查数学抽象、几何直观、模型意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|倒数、中心对称、三角板角度计算、函数图像|第3题结合围棋文化考查中心对称，第7题以等腰直角三角形规律探索空间观念| |填空题|6/18|科学记数法、因式分解、圆中阴影面积、几何作图|第11题用人工智能数据考查科学记数法，第15题通过尺规作图考查推理能力| |解答题|8/72|统计分析、商场进货应用、函数综合、几何模型探究|第18题环保竞赛统计培养数据意识，第21题空调送风问题构建三角函数模型，第23题“一线三垂直”模型发展推理能力|

2025-2026学年度第二学期第一阶段检测练习题 初四数学参考答案 一、选择题（每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A A C A C C D D B 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．3.4×10-6； 12．x(x+5)(x－5)； 13．2032； 14．； 15．9； 16． 三、解答题（共72分） 17．（本题5分）解：（1）解：原式= 1分 = 2分 = 3分 由得x=,y=1 4分 当时，原式= 5分 18．（本题7分）（1）频数分布直方图如图，86； 2分 （2）108°； 3分 （3）解：（人） 4分 答：成绩达到优秀等级的学生约有325人。 5分 （4） 男1 男2 女1 女2 男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2） 男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2） 女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2） 女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1） 一共有12种等可能的结果，其中所选同学中有男生的有10种结果， 7分 19．（本题8分）解：（1）设每个乙商品的进价为x元，则每个甲商品的进价为（x－2）元； 根据题意，得； 1分 解得：x=10； 2分 经检验，x=10是原方程的解； 每个甲商品的进价为：10－2=8； 3分 答：设每个甲商品的进价为8元，则每个乙商品的进价为10元。 4分 （2）设购进乙种商品m个，则购进甲种商品（3m－5）个； 根据题意，得；解得： 6分 ∵m为正整数，∴m=24、25，∴共有2种方案； 7分 当m=24时，3m－5=67；当m=25时，3m－5=70； 答：方案1：购进甲种商品67个，乙种商品24个；方案2：购进甲种商品70个，乙种商品25个 8分 20．（本题8分）解：（1）把A（1，a）代入y=2x+2中，得a=4，∴A（1，4） 1分 ∵点A（1，4）在反比例函数的图象上，∴k=1×4=4； ∴反比例函数的表达式为 2分 （2）如图所示，PQ即为所求： 4分 （3）∵点P在线段AB上，∴设点P（t，2t+2），其中－1≤t≤1; ∵PQ∥x轴，∴点Q的纵坐标为2t+2； 5分 ∵点Q在反比例函数上，∴点Q的坐标为； 6分 ∵PQ=，∴，解得（不合题意，舍去） 7分 当t=－0.5时，，2t+2=1，∴点Q的坐标为（4，1） 8分 21．（本题9分）（1）解：∵，∴四边形是矩形， ∴； 1分 在中， 2分 由题意可知，∠FAD=60°；在中， 3分 ∴FE=4.152－1.8=2.352≈2.4（m）；答：床铺外边沿E到飘窗GF的距离为2.4m。 4分 （2）过点G作于点H 5分 ∵， ∴四边形GFHD是矩形，∴FD=GH=4.152； 6分 由题意可知，∠GAD=63.5°；在中，GH=4.152，∠GAD=63.5°， ∴， 7分 ∵AD=2.4，∴GF=HD=AD－AH=2.4－2.076≈0.3； 8分 答：飘窗FG的高度为0.3m。 9分 22．（本题10分）（1）证明：如图，连接OE， ∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA； 1分 ∵MN是EB的中垂线，∴NE=NB，∴∠B=∠NEB； 2分   ∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∴∠B+∠OAE=90°， ∴∠NEB+∠OEA=90°，∴∠OEN=90°，即OE⊥EN； 3分 ∵OE是半径，∴EN是⊙O的切线；  4分 （2）连接ON，∵ AC=3，BC=4，⊙O的半径为1，∴OE=OA=1，OC=AC－OA=2；  6分 ∵MN是AB的中垂线，∴NE=NB；设EN=x=BN，则CN=4－x；  7分 在中，,在中，,；  8分 即，解得，即EN=  10分 23．（本题12分）（1）证明：∵∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE ∴∠ADC=∠CEB=90°，∠ACD+∠CAD=90°，∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE 1分 ∵AC=CB，∴； 2分 ∴CD=BE，CE=AD；∴DE=CE+CD=AD+BE 3分 （2）解：过点D作DT⊥OB，交OB的延长线于点T， 4分 由（1）知，△DBT≌△BAO，∴DT=OB=BC，BT=OA 5分 ∵∠OBC=∠TBC=∠BTD=90°，∴∠CEB=∠DET， ∴△CBE≌△DTE 6分 ∴BE=TE，∵BT=OA，∴OA=2BE；∴ 7分 （3）解：过A作AM⊥CD，交CD的延长线于点M，过B作BN⊥CD，交CD的延长线于点N 8分 ∵在中，∠BCN=30°，∴BN=，CN=，∴DN=CN－CD=2； 9分 ∵∠ADB=90°，AM⊥CM，BN⊥CN，∴∠AMD=∠DNB=90°，∠ADM+∠BDN=90°，∠DBN+∠BDN=90° ∴∠ADM=∠DBN，∴△ADM∽△DBN ∴ 10分 ∵在中，,∴AM=，DM=1 ∴CM=CD+DM=2 11分 ∴在中，AC= 12分 24．（本题13分）（1）解：把A（－1，0）、C（0，3）代入抛物线中得 ，解得 2分 ∴抛物线的表达式为； 3分 （2）解：过点P作PE∥y轴，交直线BC于点E ∵，∴，∴PD:DO=3:4； 4分 ∵PE∥y轴，∴∠PED=∠OCD，∠EPD=∠DOC，∴△PDE∽△ODC，∴PD:DO=PE:OC=3:4； 5分 当y=0时，，解得B（4，0） 设直线BC为y=kx+b，把B（4，0）、C（0，3）代入，得， ∴直线BC的表达式为； 6分 设，则，∴； ∴，解得 8分 ∴点P的坐标为（3，3）或 9分 （3）作点B关于y轴的对称点F，连接CF ∵y轴垂直平分FB，∴FC=BC， ∴∠FCB=2∠OCB，∠CFO=∠CBO 10分 ∵∠AQB=2∠OCB，∴∠FCB=∠AQB， ∴FC∥AQ，∴∠CFO=∠QAB=∠CBA ∴ AQ=BQ，∴Q在线段AB的中垂线上； 11分 ∵A（－1,0），B（4,0），∴Q点的横坐标为 12分 当x=时，y=,即Q的坐标为 13分 初四数学试题答案第1页　共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第二学期第一阶段检测练习题 初四数学 注意事项： 1．本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。 2．答题前，务必用0．5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上。 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 4．非选择题必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。 5．写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效。 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的 1．的倒数是 A．3 B．1 C． D． 2．下列计算正确的是 A． B． C． D． 3．围棋起源于中国，古代称为“弈”。如图是两位同学的部分对弈图，轮到白方落子。若白方落子后的对弈图是中心对称图形，则白方落子的位置只可能是下列位置中的 A．① B．② C．③ D．④ ( 第 4 题图 ) 第3题图 4．一副三角板按如图所示位置放置，其中∠ABC=60°，∠E=45°，若AF∥BE，则∠1的度数为 A．60° B．55° C．45° D．40° 5．某校准备举办知识竞赛，计划用160元购买定价分别为16元/件、24元/件的A，B两种奖品奖励获胜者，若恰好花完，则不同的购买方案（两种奖品均需购买）有 A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 6．如图，点A的坐标是（－2，0），点B的坐标是（0，6），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转90°后得到△，若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则k的值为 ( 第 6 题图 )A．9 B．12 C．15 D．18 ( 第 7 题图 ) 7．如图，△OA1A2，△OA2A3，△OA3A4……都是等腰直角三角形，点A1(－1，0)， A2(－1，1)，A3(0，2) ……，按图中规律，A2026的坐标是 A． B． C． D． 8．如图，把一张矩形纸片ABCD按如下方法进行两次折叠：第一次将DA边折叠到DC边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，MB边恰好落在MD边上。若，则AB的长为 A． B． C． D．2 ( 第 8 题图 ) 9．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）图象的顶点坐标是（－1，n），且经过（1，0），（0，m）两点，3＜m＜4。有以下结论：①4a－2b+c＞0；②关于x的一元二次方程ax2+bx+c－n+1=0（a≠0）有两个不相等的实数根；③当x>－1时，y的值随x的增大而减小；④对于任意实数t，总有(t+1)(at－a+b)≤0；⑤。其中正确结论的个数有 A． 2个 B． 3个 C． 4个 D．5个 10．如图1，菱形ABCD中，点A为y 轴正半轴上一点，AB⊥y轴，直线l∥y 轴交菱形两边于点E、F两点（点E在 点F下方），直线l从y轴出发，沿AB 以每秒1个单位长度的速度向右平移， ( 第 10 题图 )设运动时间为x秒，△OEF的面积为y， y与x的大致图象如图2，若b=2a，则c的值为 A． B．6 C．8 D．12 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11．深度求索（）是一家专注实现的中国人工智能公司。在研发人工智能模型时，常需处理一些数据，例如权重参数0.0000034。将数据0.0000034用科学记数法表示为___________。 12．因式分解：x3－25x=___________。 13．设x1，x2是方程x2+3x－2026=0的两个实数根，则的值为　 　。14．如图，正方形ABCD的边长为4，则阴影部分的面积为___________。（结果保留π） 第14题图 第15题图 第16题图 15．如图，在△ABC中按如下步骤作图：①在AB和AC上分别截取AM、AN，使AM=AN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点O，作射线AO交BC于点D；②分别以点A和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交BC延长线于点E。根据以上作图，若BD=4，CD=3，则线段CE的长为___________。 16．如图，在中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D，E分别是边BC，AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB,则的最小值为__________。 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分） 17．（本题5分）先化简，再求值：，其中x、y满足。 18．（本题7分）为进一步引导学生树立环保意识，普及环保知识，某中学举行了“绿色校园，低碳同行” 环保知识竞赛活动。现从男女生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（满分为100分，得分x均为不小于60的整数）进行整理、描述和分析（80分及以上为优秀，共分成四个等级，A：；B：；C：；D：），信息如下： ①随机抽取的男生竞赛成绩在C等级里的数据为：89，87，87，85，83 ； ②随机抽取的女生竞赛成绩A组人数与C组人数比为1:5； ③将所抽取的男生女生的竞赛成绩绘制成如下不完整的统计图： 根据以上信息，解决下列问题： （1）补全频数分布直方图；男生竞赛成绩的中位数为__________分； （2）女生竞赛成绩中B等级所在扇形的圆心角度数为___________； （3）若该校共有520名学生参加了本次活动，请估计成绩达到优秀等级的学生有多少人？ （4）为了进一步巩固本次活动对学生的教育作用，某班班会课上，班主任准备从得分最高的4名同学（其中有2名男生）中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率。 19．（本题8分）某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同。 （1）求每个甲商品的进价和每个乙商品的进价分别为多少元？ （2）若该商场购进甲商品的数量比乙商品的数量的3倍还少5个，购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个；甲、乙两种商品的售价分别是12元个和15元个，将购进的甲、乙两种商品全部售出后，销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？ 20．（本题8分）如图，一次函数y=2x+2的图象与反比例函数的图象相交于A(1，a)，与x轴，y轴分别相交于B，C。 （1）求反比例函数的表达式； （2）尺规作图：点P是线段AB上的一个点，过点P作x轴的平行线交反比例函数的图象于点Q（保留作图痕迹，不写作法）； （3）在（2）的条件下，当PQ=时，求点Q的坐标。 21．（本题9分）某校综合实践活动小组对卧室的空调开展了项目式学习活动，下表是活动任务单。 项目主题 壁挂式空调送风问题 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 实施过程 基本情况 空调挂机底部AB垂直于墙面BC，已知BC=2.4m。 现场测量 状态一：若导风板所在直线AE与竖直线AD的夹角为37°时，空调风刚好吹到床铺的外边沿E处。 状态二：若导风板从AE的位置顺时针旋转23°后，空调风刚好吹到飘窗底部F处；若导风板从AF的位置顺时针旋转3.5°，风刚好吹到飘窗顶部的G处。 绘制示意图 参考数据 sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin63.5°≈0.90， cos63.°≈0.45，tan63.5°≈2.00， 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到0.1m）： （1）求床铺外边沿E到飘窗GF的距离； （2）求飘窗FG的高度。 22．（本题10分）如图，在中，∠C=90°，在AC上取一点D，以AD为直径作⊙O，与AB相交于点E，作线段BE的垂直平分线MN交BC于点N，连接EN。 （1）求证：EN是⊙O的切线； （2）若AC=3，BC=4，⊙O的半径为1，求线段EN的长。 23．（本题12分） 【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数为90°，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型。模型中必定存在全等三角形或相似三角形。 （1）【模型初探】如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线DE，于点D，于点E，求证：； （2）【深入探究】如图2，在中，，分别以BA和OB为直角边作等腰和等腰，连接DC与OB延长线交于点E，求的值； （3）【拓展延伸】如图3，点D是内一点，连接DA，DB，DC,∠ADB=90°,∠ABD=∠BCD=30°，若CD=1，，求AC的长。 ( 图2 ) ( 图1 ) ( 图3 ) 24．（本题13分）如图，抛物线与x轴相交于点A(－1，0)和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC。 （1）求抛物线的表达式； （2）若在直线BC上方的抛物线上有一动点P，连接OP交直线BC于点D，若，求点P的坐标； （3）若在直线BC上存在一点Q，使∠AQB=2∠OCB，求点Q的坐标。 ( P D ) ( 备用图 ) ( 初四数学试题第 1 页（共 8 页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $