精品解析：北京市丰台区2025 ～2026学年度第二学期综合练习(二) 高三数学

北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为集合，， 则集合必包含元素，可能包含元素，所以，，故A正确，BD错误， 因为，且，所以，故C错误. 2. 复数的虚部是． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，故虚部为．选B. 3. 下列函数中，定义域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用函数的图象性质结合图象变换，分别求各个选项中函数的定义域与值域并比较即可求解. 【详解】对于A，的定义域为，值域为， 定义域与值域相同，故A正确； 对于B，的定义域为，值域为 ， 定义域与值域不同，故B错误； 对于C，的定义域为，值域为 ， 定义域与值域不同，故C错误； 对于D，的定义域为，值域为， 定义域与值域不同，故D错误； 4. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量数量积的运算，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量为单位向量，可得， 因为，可得， 解得，所以， 又因为，可得，所以与的夹角为. 5. 已知圆的圆心为 ，斜率为的直线 与该圆相切且与 轴交于点 ，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程可得圆心和半径，设，根据直线与圆相切可得，即可得结果. 【详解】圆即，圆心为，半径， 设，则直线，即， 则，即， 所以. 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知展开式中含的项为， 所以的系数为3. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，线段与 轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线定义的应用结合双曲线参数关系与离心率公式即可求解. 【详解】由题意得，即， 且，，解得， 则. 8. 已知函数，，若的最大值为，则（ ） A. ，有2个零点 B. ，有3个零点 C. ，有2个零点 D. ，有3个零点 【答案】C 【解析】 【分析】整理可得，换元令，结合二次函数性质可得，令求得，进而分析得零点. 【详解】因为，， 令，可得的图象开口向下，对称轴， 当，即时，则的最大值为，解得； 当，即时，则的最大值为，解得（舍去）； 综上所述：，则， 令，解得或（舍去）， 又因为在有2个解， 所以有2个零点. 9. 已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例说明充分性不成立，根据奇函数的定义和性质判断必要性成立. 【详解】若在上单调递增，例如， 满足，在区间上单调递增，但， 所以函数不是奇函数，所以充分性不成立； 若函数是奇函数，则， 且在区间上单调递增，则在区间上单调递增， 所以在上单调递增，所以必要性成立； 综上所述：“在上单调递增”是“是奇函数”的必要不充分条件. 10. 已知曲线.下列结论正确的是（ ） A. 曲线上的任意一点在圆的内部 B. 曲线上的任意一点在圆的外部 C. 曲线上存在点，使 D. 曲线上存在点，使 【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明AB；根据方程结合基本不等式可得，进而判断CD. 【详解】曲线，圆 因为，， 例如点在曲线上，也在圆上，故AB错误； 由可得， 当且仅当时，等号成立， 设，则， 整理可得，解得， 即，且，， 则，， 所以曲线上存在点，使，不存在点，使，故C正确，D错误. 第二部分（非选择题110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 不等式的解集是___________. 【答案】 【解析】 【分析】把不等式化为，结合指数函数的单调性，即可求解. 【详解】由不等式，可化为， 因为函数为定义域上的单调递增函数，所以 ， 所以不等式的解集为. 12. 已知等比数列的前 项和为，若，，成等差数列，，则___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据等差中项结合前 项和定义可得，即可得公比和. 【详解】因为，，成等差数列，则， 即，则，即， 可得等比数列的公比为， 且，所以. 13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 【答案】 ①. 2 ②. （答案不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】由图可知，即可得；根据图象可知函数的对称轴为，结合图象平行求函数的图象的对称轴方程. 【详解】设函数的最小正周期为 ， 则，即， 且，则，所以； 由图可知：为函数的对称轴， 结合函数的周期可知函数的对称轴为， 又因为将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以函数的图象的对称轴方程为， 所以的图象的一条对称轴方程为 . 14. 随着科技的不断进步，智能机器人技术已成为推动现代仓储管理领域创新发展的重要力量.如图，某智能仓储机器人在平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）上运动，每步只能向右或向上移动1个单位长度.设该机器人在横坐标为偶数的格点上，向右一步的能耗为3个单位，向上一步的能耗为2个单位；在横坐标为奇数的格点上，向右一步的能耗为2个单位，向上一步的能耗为4个单位.该机器人从出发，先向右移动2个单位长度，再向上移动2个单位长度，到达，则它的总能耗为___________个单位；再从出发运动到，那么它从到 的所有路径中，总能耗的最小值为___________个单位. 【答案】 ①. 9 ②. 441 【解析】 【分析】根据题意分步求从到的总能耗；分析可知向右走的能耗是固定的，向上走的能耗最小为偶横坐标格点向上，进而分析求解. 【详解】第一步：（横坐标为偶数）向右移动1个单位长度，能耗为3个单位； 第二步：（横坐标为奇数）向右移动1个单位长度，能耗为2个单位； 第三步：（横坐标为偶数）向上移动1个单位长度，能耗为2个单位； 第四步：（横坐标为偶数）向上移动1个单位长度，能耗为2个单位； 所以总能耗：； 从到共需要向右走98步、向上走98步， 且向右走需要49步奇横坐标格点向右和49步偶横坐标格点，向上走偶横坐标格点向上更便宜， 则向右走的耗能是固定的，为； 且向上走的耗能最小为偶横坐标格点向上，为； 所以最小总耗能为. 15. 已知是棱长为2的正方体表面及其内部的点，直线与直线 所成的角为，且，给出下列四个结论： ①满足条件的点有无数个； ②点的轨迹是一段圆弧； ③线段长度的最大值为2； ④三棱锥体积的最大值为. 其中正确结论的序号是___________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】建系并求出相关点的坐标，设，根据线线夹角和空间中距离公式可得点的轨迹方程，即可判断①②；再根据点的轨迹方程分析可得，进而判断③④. 【详解】以 为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设， 可得，，，， 因为直线与直线 所成的角为， 则，整理可得， 又因为，则，整理可得， 联立可得，即， 可知点的轨迹方程为，， 所以点的轨迹为双曲线的一部分，满足条件的点有无数个，故①正确，②错误； 因为，则，可得，即， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以线段长度的最大值为2，故③正确； 因为点到平面的距离为， 所以三棱锥体积的最大值为，故④正确. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求 边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）若选②，，若选③，， 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意，分别选择条件，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为， 由余弦定理得， 因为，可得. 【小问2详解】 解：选择条件①：，且 由正弦定理，可得， 因为，所以这样的不存在； 选择条件②，因为，且， 所以，则， 由，可得， 因为，所以，解得，所以 由正弦定理，可得， 设 边上的高为 ，可得的面积为，所以， 因为，可得， 又因为 ，可得，所以. 选择条件③：由， 根据向量的数量积的公式，可得，所以， 因为且，所以，解得， 由余弦定理， 可得，所以 设 边上的高为 ，可得的面积为，所以， 所以. 17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点 . （1）求证： 为的中点； （2）若 是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，平面平面， 则，且，可得， 又因为为的中点，所以 为的中点. （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质可得，进而可得，即可得结果； （2）建系并标点的坐标，设，，求平面的法向量，根据线面夹角列式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以 为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则，整理可得，解得 ， 所以. 18. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司 名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 （1）求的值； （2）现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设 为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求 的分布列和数学期望； （3）该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2） 的分布列为 0 1 2 （3）应选择方案二 【解析】 【分析】（1）根据表格中数据结合频率、频数之间的关系运算求解； （2）分析可知随机变量 的可能值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望； （3）以区间的中间值作为估计值，结合题意分别求两种方案的得分平均数，进而对比分析. 【小问1详解】 因为在内频数为60，频率为，则， 且在内频数为30，则， 则在内频数为，频率. 【小问2详解】 因为综合得分为和的人数比为， 则在综合得分为内抽取人数为，在综合得分为内抽取人数为， 可知随机变量 的可能值为0，1，2，则有： ，，， 所以 的分布列为 0 1 2 的期望为. 【小问3详解】 方案一：该公司员工的人均综合得分； 方案二：该公司员工的人均综合得分； 因为，所以应选择方案二. 19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知 为椭圆的左顶点， ， 为椭圆上两个不同的动点（均不与点 重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线 过定点. 【答案】（1） （2）证明：由题意可知：，直线 的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则，， 因为， 整理可得， 即， 整理可得，解得或， 若，则直线过定点，不合题意； 若，则直线过定点，符合题意； 综上所述：直线 过定点. 【解析】 【分析】（1）根据题意结合离心率可得，，即可得和椭圆方程； （2）设直线，，，与椭圆方程联立可得韦达定理，根据斜率关系结合韦达定理可得或，进而分析证明. 【小问1详解】 由题意可得：，，可得，， 所以椭圆的标准方程为 . 【小问2详解】 略 20. 已知函数是的导函数. （1）若，求的值； （2）若存在最大值，求的取值范围； （3）设在 处取得最大值.直线 是曲线在点处的切线，且与 轴交于点 ，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3） 由（1）知，可得 因为在 处取得最大值，则 是的极大值点， 即 是的根，则，解得， 把代入得，可得 ， 则曲线在点处的切线方程为 ， 令 ，可得， 又因为 ， 可得 ， 在中，为原点，， 所以， 当时，，令 ， 可得， 当时，，在单调递增，所以， 即，所以， 因为的面积为，可得，即， 设 ，可得 ， 设 ，可得， 令 ，可得在上单调递增， 所以 ，可得，所以在上单调递增， 所以 ， 可得，所以在上单调递增， 所以， 所以在上无解，即不存在的值，使得的面积为. 【解析】 【分析】（1）求得 ，将 代入和，求得 和，结合 ，即可求解； （2）令，求得，令 ，结合二次函数的性质，分类讨论，求得函数的单调性，进而得到答案. （3）由，得到，根据在 处取得最大值，求得，求得切线方程，求得，得到，再由的面积为，得到，设，利用导数求得在上单调递增，得出在上无解，即可得到答案. 【小问1详解】 由函数，可得 ， 则 ， ， 因为 ，可得，解得. 【小问2详解】 函数的定义域为,因 ， 令，则 令 ， ①当时，即时， 在上恒成立， 即在上恒成立；所以在上单调递增，无最大值,不合题意； ②当时，即时，二次函数 的图象开口向上， 且对称轴，，所以在上恒成立； 即在上恒成立；则在上单调递增，无最大值，不合题意； ③当时，即时，在的根处取得最大值， 由二次函数的图象开口向下，对称轴， 因为，所以存在，， 当时，，即，在上单调递增； 当时，，即，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 21. 已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数 ，都有，则称数列具有性质. （1）判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. （2）对于任意具有性质的数列，记.求证：； （3）若数列具有性质，证明：集合是无限集. 【答案】（1）①具有性质；②不具有性质. （2） 由数列具有性质，得． 因此， 所以，所以． （3） 设数列满足． 由题知，得，即， 假设中满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 即当时，或． ①若满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 由第二问可知恒成立.(1) 设，由于当时，，又是整数，有， 所以， 所以对满足的正整数 ，，与(1)式矛盾． ②若满足的项数有限，同理可得矛盾． ③由①②可知，中有无穷多项满足，且有无穷多项满足， 因此，存在正整数，使得且， 因此，存在正整数，使得，且，即且，于是，与矛盾， 所以数列中有无穷多项为0． 即集合是无限集． 【解析】 【分析】（1）先检查数列是否为严格递增的正整数数列，再代入性质中的等式验证. （2）把与奇数作差，利用性质把换成，再与前个正奇数的和比较. （3）设，将结论转化为证明的项有无穷多个，再用反证法说明若只出现有限次，则最终只能为正或为负，都会与第（2）问得到的恒等关系矛盾． 【小问1详解】 ①当时，显然为正整数，且. 又因为，所以 . 从而. 前个正奇数的和为，所以. 故数列具有性质. ②当时，该数列虽然是严格递增的正整数数列，但取 ，有. 而，同时 . 所以. 不满足性质中的条件②，故数列不具有性质. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是． A. B. C. D. 3. 下列函数中，定义域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知圆的圆心为 ，斜率为的直线 与该圆相切且与 轴交于点 ，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，线段与 轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数，，若的最大值为，则（ ） A. ，有2个零点 B. ，有3个零点 C. ，有2个零点 D. ，有3个零点 9. 已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知曲线.下列结论正确的是（ ） A. 曲线上的任意一点在圆的内部 B. 曲线上的任意一点在圆的外部 C. 曲线上存在点，使 D. 曲线上存在点，使 第二部分（非选择题110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 不等式的解集是___________. 12. 已知等比数列的前 项和为，若，，成等差数列，，则___________. 13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 14. 随着科技的不断进步，智能机器人技术已成为推动现代仓储管理领域创新发展的重要力量.如图，某智能仓储机器人在平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）上运动，每步只能向右或向上移动1个单位长度.设该机器人在横坐标为偶数的格点上，向右一步的能耗为3个单位，向上一步的能耗为2个单位；在横坐标为奇数的格点上，向右一步的能耗为2个单位，向上一步的能耗为4个单位.该机器人从出发，先向右移动2个单位长度，再向上移动2个单位长度，到达，则它的总能耗为___________个单位；再从出发运动到，那么它从到 的所有路径中，总能耗的最小值为___________个单位. 15. 已知是棱长为2的正方体表面及其内部的点，直线与直线 所成的角为，且，给出下列四个结论： ①满足条件的点有无数个； ②点的轨迹是一段圆弧； ③线段长度的最大值为2； ④三棱锥体积的最大值为. 其中正确结论的序号是___________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求 边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点 . （1）求证： 为的中点； （2）若 是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司 名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 （1）求的值； （2）现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设 为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求 的分布列和数学期望； （3）该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知 为椭圆的左顶点， ， 为椭圆上两个不同的动点（均不与点 重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线 过定点. 20. 已知函数是的导函数. （1）若，求的值； （2）若存在最大值，求的取值范围； （3）设在 处取得最大值.直线 是曲线在点处的切线，且与 轴交于点 ，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 21. 已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数 ，都有，则称数列具有性质. （1）判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. （2）对于任意具有性质的数列，记.求证：； （3）若数列具有性质，证明：集合是无限集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $