北京市丰台区2025 ～2026学年度第二学期综合练习(二) 高三数学

北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部是． A. B. C. D. 3. 下列函数中，定义域和值域相同的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 5. 已知圆的圆心为，斜率为的直线与该圆相切且与轴交于点，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 6. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 1 D. 3 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，线段与轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数，，若的最大值为，则（ ） A. ，有2个零点 B. ，有3个零点 C. ，有2个零点 D. ，有3个零点 9. 已知定义域为的函数满足，.若在区间上单调递增，则“在上单调递增”是“是奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知曲线.下列结论正确的是（ ） A. 曲线上的任意一点在圆的内部 B. 曲线上的任意一点在圆的外部 C. 曲线上存在点，使 D. 曲线上存在点，使 第二部分（非选择题110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 不等式的解集是___________. 12. 已知等比数列的前项和为，若，，成等差数列，，则___________. 13. 已知函数的部分图象如图所示，则___________；若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，请写出的图象的一条对称轴方程：___________. 14. 随着科技的不断进步，智能机器人技术已成为推动现代仓储管理领域创新发展的重要力量.如图，某智能仓储机器人在平面直角坐标系中的格点（横、纵坐标均为整数的点）上运动，每步只能向右或向上移动1个单位长度.设该机器人在横坐标为偶数的格点上，向右一步的能耗为3个单位，向上一步的能耗为2个单位；在横坐标为奇数的格点上，向右一步的能耗为2个单位，向上一步的能耗为4个单位.该机器人从出发，先向右移动2个单位长度，再向上移动2个单位长度，到达，则它的总能耗为___________个单位；再从出发运动到，那么它从到的所有路径中，总能耗的最小值为___________个单位. 15. 已知是棱长为2的正方体表面及其内部的点，直线与直线所成的角为，且，给出下列四个结论： ①满足条件的点有无数个； ②点的轨迹是一段圆弧； ③线段长度的最大值为2； ④三棱锥体积的最大值为. 其中正确结论的序号是___________. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求边上的高. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点 . （1）求证： 为的中点； （2）若 是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 18. 某公司为评估员工使用人工智能技术辅助办公的能力，随机抽取了该公司名员工，通过专用系统进行综合评分（满分为100分），得到如下频率分布表. 综合得分 频数 频率 60 0.6 30 （1）求的值； （2）现采用按比例分层抽样的方法从综合得分为和的员工中抽取6人.若从这6名员工中随机选取2人进行座谈，设为选取的2名员工中综合得分不低于60分的人数，求的分布列和数学期望； （3）该公司为了进一步提升员工应用人工智能技术辅助办公的能力，决定聘请某机构对员工进行培训.该机构给出了以下两个方案： 方案一：对该公司所有员工进行培训，保证培训后人均综合得分提高10分； 方案二：只对该公司综合得分低于60分的员工进行培训，保证培训后，原综合得分在的员工人均综合得分提高5分，原综合得分在的员工人均综合得分提高20分. 用样本估计总体.为尽可能提升该公司员工的人均综合得分，应选择哪个方案？（结论不要求证明） 19. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 20. 已知函数是的导函数. （1）若，求的值； （2）若存在最大值，求的取值范围； （3）设在处取得最大值.直线是曲线在点处的切线，且与轴交于点，为坐标原点.是否存在点，使的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 21. 已知无穷正整数数列，满足：①；②对于任意正整数，都有，则称数列具有性质. （1）判断下列无穷数列，是否具有性质. ①； ②. （2）对于任意具有性质的数列，记.求证：； （3）若数列具有性质，证明：集合是无限集. 北京市丰台区2025~2026学年度第二学期综合练习（二） 高三数学 本试卷共7页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 第二部分（非选择题110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 ①. 2 ②. （答案不唯一，满足即可） 【14题答案】 【答案】 ①. 9 ②. 441 【15题答案】 【答案】①③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） （2）若选②，，若选③，， 【17题答案】 【答案】（1）证明：因为平面平面，且平面平面，平面平面， 则，且，可得， 又因为为的中点，所以 为的中点. （2） 【18题答案】 【答案】（1）； （2）的分布列为 0 1 2 （3）应选择方案二 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明：由题意可知：，直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则，， 因为， 整理可得， 即， 整理可得，解得或， 若，则直线过定点，不合题意； 若，则直线过定点，符合题意； 综上所述：直线过定点. 【20题答案】 【答案】（1） （2） （3） 由（1）知，可得 因为在处取得最大值，则是的极大值点， 即是的根，则，解得， 把代入得，可得 ， 则曲线在点处的切线方程为 ， 令 ，可得， 又因为 ， 可得 ， 在中，为原点，， 所以， 当时，，令 ， 可得， 当时，，在单调递增，所以， 即，所以， 因为的面积为，可得，即， 设 ，可得 ， 设 ，可得， 令 ，可得在上单调递增， 所以 ，可得，所以在上单调递增， 所以 ， 可得，所以在上单调递增， 所以， 所以在上无解，即不存在的值，使得的面积为. 【21题答案】 【答案】（1）①具有性质；②不具有性质. （2） 由数列具有性质，得． 因此， 所以，所以． （3） 设数列满足． 由题知，得，即， 假设中满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 即当时，或． ①若满足的项数有限，则存在正整数，使得当时，， 由第二问可知恒成立.(1) 设，由于当时，，又是整数，有， 所以， 所以对满足的正整数，，与(1)式矛盾． ②若满足的项数有限，同理可得矛盾． ③由①②可知，中有无穷多项满足，且有无穷多项满足， 因此，存在正整数，使得且， 因此，存在正整数，使得，且，即且，于是，与矛盾， 所以数列中有无穷多项为0． 即集合是无限集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $