精品解析：山东济南市槐荫区2025—2026学年第二学期期中考试八年级数学试题

2025~2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学（2026.04） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是理解因式分解的定义．把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可． 【详解】解：A．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； B．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； C．等式右边不是乘积形式，故选项错误，不合题意； D．符合定义，故选项正确，符合题意． 故选：D． 2. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并正确求解． 【详解】解：∵要使分式有意义， ∴，即， 故选：． 3. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了提取公因式法因式分解，确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂，据此找到答案即可． 【详解】解：∵系数和的最大公因数为，变量和都含有， ∴公因式为． 故选：C． 4. 下列分式与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式的基本性质可判断A；根据当时，式子无意义可判断B；根据当时，，可判断C、D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、当时，式子无意义，故此选项不符合题意； C、当时，，，此时，故此选项不符合题意； D、当时，，，此时，故此选项不符合题意； 5. 如图，在梯形中，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作交于点E，则可证明四边形是平行四边形，得到，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：如图所示，过点A作交于点E， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 6. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，若，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点E， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 轴对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质逐一判断选项，即可找出正确答案． 【详解】解：菱形的性质为：四条边都相等，对角线互相垂直平分，菱形是轴对称图形，仅特殊菱形（正方形）的对角线相等． A 菱形四边一定相等，不符合题目要求； B 菱形对角线一定互相垂直，不符合题目要求； C 菱形对角线不一定相等，符合题目要求； D 菱形一定是轴对称图形，不符合题目要求． 8. 如图，在中，，，，点D、E、F分别是的中点，则四边形的周长是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】由线段中点的定义和三角形中位线定理求出四边形的四条边的长即可得到答案． 【详解】解：∵点D、E、F分别是的中点， ∴都是的中位线，且， ∴， ∴四边形的周长． 9. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，分式的化简．熟练掌握利用平方差公式，提公因式法进行因式分解，分式的化简是解题的关键． 利用平方差公式、提公因式法进行因式分解，然后进行分式的除法运算可得化简结果． 【详解】解：由题意知， 被污染的代数式为， 故选：C． 10. 如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据余角的性质得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，说明①正确；证明，得出，根据平行四边形的性质得出，即可得出，判断②正确；根据，，，即可得出，判断③错误；根据勾股定理得出，根据，得出，即可判断④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在平行四边形中，， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ， ， 在平行四边形中，， ∴，故②正确； ∵在平行四边形中，， ∴， ，， ， ，故③错误； ∵在平行四边形中，， ∴， ， ∵， ，故④正确； 综上，正确的有①②④． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：=； 故答案为 12. 化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 13. 在交通行驶中，看到“停”的标志牌，表示车主需要停下车让行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的外角和与内角的综合应用．根据正多边形的每个外角相等，用外角和除以边数即可求解外角，再进一步求解即可． 【详解】解：正八边形的每个外角等于， ∴其中一个内角度数为； 故答案为：． 14. 已知，则的值为________． 【答案】2 【解析】 【分析】先对所求分式进行通分变形，再将已知等式整体代入化简求值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴． 15. 如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质可得，，，然后再根据勾股定理计算出长，进而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直且平分． 16. 如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上一动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意分析可知，点F为主动点，点G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值． 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动． 如图，将绕E点沿顺时针方向旋转，使与重合，得 则是等边三角形， ∴，， 又∵， ∴H点在上，且， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于K点， 则G点在线段上运动，且， 又∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 作， 则的长就是的最小值， ∴， ∴， ， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 18. 解方程： 【答案】 【解析】 【详解】解： 方程两边同时乘以得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先把除法变成乘法后约分化简，再计算同分母分式加法，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 已知：如图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先证明，再结合即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， 四边形是平行四边形． 21. 已知：如图，在菱形中，E、F分别是边、的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】先证明，，，再进一步证明即可． 【详解】证明：四边形是菱形， ，， ，F分别是边、的中点， ，， ， ， ∴． 22. 如图，的对角线与相交于点O，点E为线段的中点，，，．求和的长度． 【答案】， 【解析】 【分析】利用平行四边形证明，，结合中位线的性质可得，进一步利用勾股定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ，， ∵点E为线段的中点， ∴， ， ， ∴． 23. 时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 【答案】任务1：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元；任务2：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法是解题的关键． （1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台，根据题意列关于m的一元一次不等式并求其解集，确定当m的最大值，再求解即可． 【详解】解：（1）设型机器人模型单价是元，型机器人模型单价是元． 根据题意，，解得， 经检验，是原方程的根， ． 答：型机器人模型单价是500元，型机器人模型单价是300元． （2）设购买型机器人模型台，购买型机器人模型台， ， 解得． 又型机器人模型要尽可能的多， 取最大值15，此时． 答：满足条件的购买方案是：购买型机器人模型15台，型机器人模型25台． 24. 【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________ ②________ （2）【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 【答案】（1）①否；②是 （2） （3）或 【解析】 【分析】（）根据“关联数对”定义分别判断即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后求解即可； （）根据“关联数对”定义得到，然后根据k为整数求解即可． 【小问1详解】 解：当，时，分式方程无解，不符合“关联数对”的定义， ∴不是关于的分式方程的“关联数对”； ②当，时，解分式方程得：， 又，符合“关联数对”的定义， ∴是关于的分式方程的“关联数对”； 【小问2详解】 解：∵数对是关于的分式方程的“关联数对”， ∴， ∴， 整理得：， 解得：； 【小问3详解】 解：∵数对（且，）是关于的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵k为整数，m为待求的整数， ∴为整数， ∴或， 解得或或0或1． ∵， ∴， ∵且， ∴或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． （1）写出点D的坐标________，点E的坐标________； （2）求直线的表达式； （3）平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）结合四边形是平行四边形，，，，可得，，求解，可得． （2）设直线的关系式为：，再利用待定系数法可得直线的关系式：； （3）求解直线为，，分三种情况讨论：①如图所示，当为平行四边形的对角线时，②如图所示，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴，， ∵点C是线段的中点， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：设直线的关系式为：， ∵直线经过点A，点E， ∴， 解得，， ∴直线的关系式：； 【小问3详解】 解：∵，设直线为， ∴， 解得：，即直线为， ∴，解得：， ∴， ①如图所示，当为平行四边形的对角线时， ，， ∴结合平移的性质可得：， ②如图所示，当为平行四边形的对角线时， 则，轴， 即点的坐标为：， ③当为平行四边形的对角线时， 同理可得：． 综上，点G的坐标为：或或． 26. 【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． （1）如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 （2）如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，，由折叠的性质可得，，再由平行线的性质求出的度数即可得到答案； （2）由平行四边形的性质得到，，由三等分点的性质得到，由折叠可知：，，则可证明，得到，再证明，进而可证明四边形是平行四边形，得到，据此可得结论； （3）可证明为等腰直角三角形，得到；延长交于点，则，可证明，根据平行四边形的面积公式可推出，则，． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵E，F为边的三等分点， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴，则， ∴； 【小问3详解】 解：由折叠可知：，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； 如图所示，延长交于点，则   ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，即， ∴ ∵的面积为24，， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期中质量检测 八年级数学（2026.04） 本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷满分为40分；第Ⅱ卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使分式有意义，应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 把多项式分解因式，应提取的公因式是（ ） A. B. C. D. 4. 下列分式与一定相等的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在梯形中，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，若，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如果一个四边形是菱形，则这个四边形不一定具有的性质是（ ） A. 四边相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 轴对称图形 8. 如图，在中，，，，点D、E、F分别是的中点，则四边形的周长是（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 9. 美琪在做数学作业时，不小心将式子中除号后面的式子污染，即，通过查看答案，得知答案为，则被污染的式子为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，为平行四边形的对角线，，于点，于点，，相交于点，射线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 因式分解：__________． 12. 化简的结果是________． 13. 在交通行驶中，看到“停”的标志牌，表示车主需要停下车让行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角度数为___________． 14. 已知，则的值为________． 15. 如图，四边形是边长为的菱形，其中对角线长．则菱形的面积为________． 16. 如图，菱形的边长为2，，点E为边的中点，点F为边上一动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 因式分解： 18. 解方程： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知：如图，在四边形中，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 已知：如图，在菱形中，E、F分别是边、的中点．求证：． 22. 如图，的对角线与相交于点O，点E为线段的中点，，，．求和的长度． 23. 时代飞速发展，科技日新月异，人工智能技术应用已经成为目前的主流．某校为了丰富学生学习内容，开设智能机器人编程的校本课程，拟购买两种型号的机器人模型． 根据以下素材，探索解决任务： 机器人模型购买方案设计 素材1 型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元 素材2 用2000元购买型机器人模型和用1200元购买型机器人模型的数量相同 素材3 学校准备购买型和型机器人模型共40台，购买的总费用预算不超过15000元 问题解决 任务1 确定模型单价 A型，B型机器人模型的单价分别是多少元？ 任务2 拟定购买方案 若要型机器人模型尽可能的多，求满足条件的购买方案． 24. 【先导问题】 通过计算我们发现，关于x的分式方程，当，时，使得关于x的分式方程的解为成立，那么我们称数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． 【提炼模型】 我们定义：如果两个实数a、b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a、b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）【识别模型】 判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”（请在横线上填“是”或“否”）． ①________ ②________ （2）【应用模型】 若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． （3）【总结提升】 若数对（且，）是关于x的分式方程的“关联数对”．当k为整数时，求整数m的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点B、C都在x轴上，，，，点C是线段的中点，直线交线段于点F，交x轴于点E． （1）写出点D的坐标________，点E的坐标________； （2）求直线的表达式； （3）平面内是否存在一点G，使以A、D、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 【问题情境】在综合实践活动课上，同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，点E为边上任意一点，将沿折叠，点D的对应点为． （1）如图1，当，点恰好落在边上时，的度数是________度． 【问题解决】 （2）如图2，当点E、F为边的三等分点时，连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，时，连接并延长，交边于点H．若平行四边形的面积为24，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $