1.5 列方程解决简单实际问题（2）（导学案）-2025-2026学年苏教版数学五年级下册

《列方程解决简单实际问题（2）》导学案 ——苏教版数学五年级下册 第一单元 第5课时 【学习内容】 苏教版五年级数学下册教材第9～10页，例8及“练一练”，练习二第5～8题。 本课时教学内容为：列两步计算方程解决实际问题，即形如 ax ± b = c 的方程的实际应用。 【学习目标】 1. 能在解决实际问题的过程中，理解并掌握形如 ax ± b = c 的方程的解法，会列上述方程解决两步计算的实际问题。 2. 经历将实际问题抽象成方程的过程，能根据题中等量关系列出方程并求解，积累列方程解决实际问题的经验。 3. 感受方程在解决实际问题中的价值，增强用数学知识解决实际问题的意识。 【学习重点与难点】 学习重点： 掌握形如 ax + b = c或ax - b = c 的方程的解法，能根据等量关系列方程解决两步计算的实际问题。 学习难点： 正确设未知数并找出题中的等量关系，理解实际问题的检验方法。 【学法指导】 1. 画图辅助分析。 可画线段图表示数量之间的关系，帮助找等量关系。 2. 找关键句。 读题时圈出“一共”“剩下”“比…多/少”等关键词语，据此列出等量关系。 3. 检验有方法。 把求得的结果代入原题，检查是否符合所有条件，不能只代回方程。 4. 对比归纳。 完成课本练习后，尝试用自己喜欢的方式整理列方程解决实际问题的步骤和窍门。 【课前预习】 预习要求： 认真阅读教材P9-10例8，并完成以下问题。 预习思考题： 1. 例8告诉我们哪些已知条件？要求的问题是什么？ 2. 题目中的“用去____元”与“还剩____元”合起来就是什么？你能根据这个等量关系列出方程吗？ 3. 列方程解决问题一般有哪几个步骤？你在预习中有什么疑问？ 【新知讲授】 知识点一：列形如 ax + b = c 的方程解决实际问题 知识要点： 1. 列方程解应用题的一般步骤： （1）弄清题意，找出未知数，并用 x 表示； （2）找出题中数量间的等量关系，列出方程； （3）解方程； （4）检验作答。 2. ax ± b = c 型方程的解法： 第一步，两边同时减去 b：ax = c − b 第二步，两边同时除以 a：x = (c − b) ÷ a 3. 等量关系的梳理。 形如“每件单价×数量＋找回（或还剩）＝付出的钱（或总价）”， 4. 可根据具体题意调整。 4. 检验方法。 把方程的解代入原题中检验，判断结果是否符合题意，再作答。 例题 1（基础）——求每件物品的单价 题目：食堂买了8千克黄瓜，付出15元，找回1.4元，每千克黄瓜是多少元？（列方程解答） 【解析】 第一步：找出未知数。设：每千克黄瓜 x 元。（通常设“每…”的未知量为 x） 第二步：找等量关系。付出的钱 − 用去的钱 = 找回的钱。 第三步：列出方程。15 − 8x = 1.4。 第四步：解方程。 8x = 15 − 1.4 8x = 13.6 x = 13.6 ÷ 8 x = 1.7 第五步：检验。把 x = 1.7 代入原题：8 × 1.7 = 13.6（元），15 − 13.6 = 1.4（元），符合条件。 【答案】 每千克黄瓜 1.7 元。 变式训练 1-1 奶奶买了5千克梨，付出50元，找回26元，每千克梨多少元？（列方程解答） 【答案】 4.8元 【解析】设每千克梨 x 元。 50 − 5x = 26， 5x = 24， x = 4.8。 检验：5 × 4.8 = 24，50 − 24 = 26，正确。 变式训练1-2 王老师买了4本同样的笔记本，付出40元，找回4.8元，每本笔记本多少元？（列方程解答） 【答案】 8.8元 【解析】设每本笔记本 x 元。 40 − 4x = 4.8， 4x = 35.2， x = 8.8。 检验：4 × 8.8 = 35.2，40 − 35.2 = 4.8，正确。 知识点二：列形如 ax − b = c 的方程解决实际问题 知识要点： 1. 总数 − 倍数 × 某量 = 剩余（差值）。 形如“总数 − 倍数 × 某量 = 剩余”的问题。 2. ax − b = c 型方程的解法： 第一步，两边同时加上 b：ax = c + b 第二步，两边同时除以 a：x = (c + b) ÷ a 例题 2（中等）——实际情境中的方程建模 题目：在“学习强国”活动中，李妍的爸爸昨天获得积分51分，比前天的1.6倍少5分。李妍的爸爸前天获得多少分？（列方程解答） 【解析】 设：李妍的爸爸前天获得 x 分。 找等量关系：昨天的积分 = 前天的积分 × 1.6 − 5。 列方程：1.6x − 5 = 51。 解方程：1.6x − 5 + 5 = 51 + 5 → 1.6x = 56 → x = 56 ÷ 1.6 = 35。 检验：35 × 1.6 = 56，56 − 5 = 51，与昨天积分一致。 【答案】 李妍的爸爸前天获得 35 分。 变式训练 2-1 水果店运来苹果150千克，比运来的梨的2倍少30千克。水果店运来梨多少千克？（列方程解答） 【答案】 90千克 【解析】设运来梨 x 千克。 2x − 30 = 150， 2x = 180， x = 90。 变式训练 2-2 学校合唱队有女生36人，比男生的3倍多6人，合唱队有男生多少人？（列方程解答） 【答案】 10人 【解析】设男生 x 人。 3x + 6 = 36， 3x = 30， x = 10。 变式训练 2-3 （2025·苏州昆山期末）一本书有182页，张华已经看了5天，还剩52页。设张华平均每天看 x 页，可列方程为__________。 【答案】 5x + 52 = 182 【解析】已看页数 + 还剩页数 = 总页数，即 5x + 52 = 182。 知识点三：列方程解决“和倍”问题 知识要点： 1. 和倍问题特征： 已知两个量的和以及它们之间的倍数关系，求这两个量。常设“较小的量”为 x，用 x 表示“较大的量”，利用“和”建立方程。 2. ax ± bx = c 型（合并含 x 的项）： （1） x + nx = 总数 → (n+1)x = 总数 （2）注意：本课时以 ax ± b = c 为主，但当倍数关系涉及两个未知量且给出和时，方程形式可能涉及合并。 3. 分析技巧： 画线段图直观表示两个量之间的关系。 例题 3（提优）——复杂和倍关系的实际应用 题目：有两桶油，第一桶油是第二桶油的1.5倍。如果从第一桶中倒入第二桶2千克，两桶油相等。第一桶油原来有多少千克？（列方程解答） 【解析】 设：第二桶油原来有 x 千克，则第一桶油原来有 1.5x 千克。 分析：第一桶倒给第二桶 2 千克后，第一桶剩下 (1.5x − 2) 千克，第二桶变为 (x + 2) 千克。 关键条件：此时两桶相等。 列方程：1.5x − 2 = x + 2。 解方程：1.5x − x = 2 + 2 → 0.5x = 4 → x = 8。 第一桶：1.5 × 8 = 12（千克）。 检验：12 − 2 = 10（千克），8 + 2 = 10（千克），相等。第一桶是第二桶的 12 ÷ 8 = 1.5 倍，符合条件。 【答案】 第一桶油原来有 12 千克。 变式训练 3-1 小明和小红共有42张邮票，小明的邮票张数是小红的2倍。小明和小红各有多少张邮票？（列方程解答） 【答案】 小明28张，小红14张 【解析】设小红有 x 张，则小明有 2x 张。 x + 2x = 42， 3x = 42， x = 14， 小明的邮票张数2x = 28。 变式训练3-2 粮店运来大米和面粉一共480袋，大米的袋数是面粉的3倍。大米和面粉各运来多少袋？（列方程解答） 【答案】 面粉120袋，大米360袋 【解析】设面粉 x 袋，则大米 3x 袋。 x + 3x = 480， 4x = 480， x = 120， 大米的袋数3x = 360。 变式训练3-3 甲桶有油45千克，乙桶有油36千克。要使甲桶的油是乙桶的2倍，应从乙桶中倒出多少千克给甲桶？（列方程解答） 【答案】 9千克 【解析】应从乙桶中倒出 x 千克给甲桶。倒后甲桶有 (45 + x) 千克，乙桶有 (36 − x) 千克。 45 + x = 2(36 − x)， 45 + x = 72 − 2x， x + 2x = 72 − 45， 3x = 27， x = 9。 知识点四：列方程解决行程问题 知识要点： 1. 行程三要素： 路程 = 速度 × 时间。 2. 相遇问题： 路程和 = 速度和 × 时间。 3. 追及问题： 甲的路程 − 乙的路程 = 相差距离（或：速度差 × 时间 = 相差距离 ，仅同向而行）。 4. 注意点： 行程问题中读题要注意单位，设未知数要结合“路程”“速度”“时间”之一。 例题 4（提优）——稍复杂的相遇问题 题目：（2024·徐州期中改编）甲、乙两地间的铁路长 480 千米。客车和货车同时从两地相对开出，经过 4 小时相遇。已知客车每小时行 65 千米，货车每小时行多少千米？（列方程解答） 【解析】 行程问题等量关系：相遇问题 → 客车行驶路程 + 货车行驶路程 = 总路程。 设货车每小时行 x 千米，则 65 × 4 + 4x = 480。 解方程：260 + 4x = 480 → 4x = 480 − 260 → 4x = 220 → x = 220 ÷ 4 = 55。 检验：65 × 4 = 260（千米），55 × 4 = 220（千米），260 + 220 = 480（千米），符合。 【答案】 货车每小时行 55 千米。 变式训练 4-1 甲、乙两辆汽车同时从南京开往上海，经过4小时后，甲车落在乙车后面28千米。甲车每小时行34千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】 41千米 【解析】同向行驶，乙比甲多行28千米。设乙车每小时行 x 千米， 则 4x − 34 × 4 = 28， 4x − 136 = 28， 4x = 164， x = 41。 变式训练 4-2 两地间的路程是210千米，甲、乙两辆汽车同时从两地相向开出，3.5小时相遇。甲车每小时行28千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】 32千米 【解析】设乙车每小时行 x 千米。 3.5 × 28 + 3.5x = 210， 98 + 3.5x = 210， 3.5x = 112， x = 32。 变式训练 4-3 一列货车和一列客车从相距 462 千米的两地同时相对开出，经过 4.2 小时两车相遇。客车每小时行 65 千米，货车每小时行多少千米？（列方程解答） 【答案】 45千米 【解析】设货车每小时行 x 千米。 4.2 × 65 + 4.2x = 462， 273 + 4.2x = 462， 4.2x = 189， x = 45。 【课堂小结】 请同学们回顾并填写： 1. 列方程解决实际问题的基本步骤是：（　）→（　）→（　）→（　）。 2. 形如 ax ± b = c 的方程，先把（　）看作一个整体，通过加减消去（　），再通过除法求出（　）的值。 3. 检验时，要把求出的解代入（　）中检查，不能只代回方程。 【我的收获】 通过本节课的学习，我知道了：___________________________________________ 【我的疑问】 ___________________________________________ 【知识框架与拓展指南】 本节知识结构： 题型 常见等量关系 方程形式（示例） 购物找零 付出的钱 − 单价×数量 = 找回 a − nx = c 倍数差（比……少） 小数×倍数 − 差值 = 大数 nx − b = a 倍数差（比……多） 小数×倍数 + 差值 = 大数 nx + b = a 和倍问题 小数 + 小数×倍数 = 总数 x + nx = S（合并为 mx = S） 相遇行程 速度和 × 时间 = 路程和 (v₁ + v₂)t = S 转移相等 甲 − 转移量 = 乙 + 转移量 nx − m = x + m 易错提醒： 区分“求一倍量”与“求总量”。已知倍数关系，求小数时通常设小数（1倍数）为 x；求大数则先用小数表示再计算。检验时多用“代入原题”而不是仅仅看方程算对没有，确保结果符合生活实际。 学习意义： 形如 ax ± b = c 的方程是后续学习复杂方程（如 ax ± bx = c）的基础。掌握列方程解决问题的一般策略，对初中学习用一元一次方程解应用题具有重要的衔接作用。 课外拓展： 尝试收集生活中用形如 ax ± b = c 方程解决的实际问题（如计算电话费阶梯收费、购物分期付款、用水电费等），制作成“生活中的方程”小报。 【随堂检测】 基础巩固 1. 解方程：3X + 8 = 26。 2. 判断题：含有未知数的式子叫做方程。（　） 3. 选择题：解方程 4x + 5 = 49 时，第一步应（　）。 A. 两边同时除以4　　B. 两边同时减去5　　C. 两边同时加上5 4. 小丽买了5本笔记本，每本x元，付出20元，找回3元。下面方程正确的是（　）。 A. 5x + 3 = 20　　B. 5x − 3 = 20　　C. 20 − 5x = 3　　D. A和C都对 5. （2025·盐城期末）一件上衣198元，比一条裤子的2倍少12元。设一条裤子x元，可列方程为__________。 能力提升 6. （2025·宿迁期末）解方程：6X + 0.7 = 12.7。 7. （2024·南京江宁）“学习强国”活动中，张叔叔昨天获得积分51分，比前天的1.6倍少5分。前天获得多少分？（列方程解答） 8. （2025·苏州昆山期中改编）食堂运来150千克大米，比运来的面粉的3倍少30千克。食堂运来面粉多少千克？（列方程解答） 9. （2025·南通启东期末）学校买了4张桌子和9把椅子，共用504元。1张桌子和3把椅子的价钱正好相等。桌子和椅子的单价各是多少元？（列方程解答） 10.小明和小红共有 240 枚邮票，小明的邮票数是小红的 2 倍，他们各有多少枚邮票？（列方程解答） 提优拓展 11. 有两桶油，第一桶油是第二桶油的1.5倍。如果从第一桶中倒入第二桶2千克，两桶油相等。第一桶油原来有多少千克？（列方程解答） 12. 甲村到乙村共有 720 千米。一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相对开出，4 小时相遇。客车的速度是货车的1.25倍，客车和货车每小时各行多少千米？（列方程解答） 13.王老师带了一些钱去买足球。如果买4个足球，还剩36元；如果买6个足球，则还差12元。每个足球多少元？（列方程解答） 14. 父亲比儿子大 30 岁，5 年后父亲的年龄正好是儿子的 3 倍。今年儿子多少岁？（列方程解答） 15. 甲仓库存粮 68 吨，乙仓库存粮 55.6 吨。每天从甲仓库运出 6 吨粮食，从乙仓库运出多少吨粮食，5天后两个仓库剩下的粮食相等？（列方程解答） 【答案解析】 基础巩固 1. x = 6 【解析】3x + 8 = 26 → 3x = 26 − 8 → 3x = 18 → x = 6。 2. × 【解析】含有未知数的等式才叫方程。式子不一定是等式。 3. B 【解析】两边同时减去5，化为 4x = 44，这是利用等式性质依次消去已知数的正确步骤。 4. D 【解析】等量关系：付出的钱 − 5本总价 = 找回的钱（20 − 5x = 3），选项C正确。也可以写成：5本总价 + 找回 = 付出的钱（5x + 3 = 20），选项A正确。所以A和C都对。 5. 2x − 12 = 198 【解析】上衣 = 裤子 × 2 − 12，即 2x − 12 = 198。 能力提升 6. x = 2 【解析】6x + 0.7 = 12.7 → 6x = 12.7 − 0.7 → 6x = 12 → x = 2。 7. 35分 【解析】设前天得 x 分。1.6x − 5 = 51，1.6x = 56，x = 35。 8. 60千克 【解析】设运来面粉 x 千克。3x − 30 = 150，3x = 180，x = 60。 9. 桌子72元，椅子24元 【解析】设椅子单价为 x 元，则桌子单价为 3x 元。4 × 3x + 9x = 504，12x + 9x = 504，21x = 504，x = 24，3x = 72。 10. 小明160枚，小红80枚 【解析】设小红有 x 枚，则小明有 2x 枚。x + 2x = 240，3x = 240，x = 80。小明有 160 枚。 提优拓展 11. 12千克 【解析】见例题3详解。 12. 客车 100 千米/时，货车 80 千米/时 【解析】设货车速度为 x，则客车为 1.25x。4(1.25x + x) = 720，2.25x = 180，x = 80。 13. 24元 【解析】设每个足球 x 元。等量关系：总钱数相等。4x + 36 = 6x − 12，36 + 12 = 6x − 4x，48 = 2x，x = 24。 14. 10岁 【解析】设今年儿子 x 岁，则父亲今年为 (x + 30) 岁。5年后父亲 (x + 35) 岁，儿子 (x + 5) 岁。x + 35 = 3(x + 5)，x + 35 = 3x + 15，35 − 15 = 3x − x，20 = 2x，x = 10。 15. 3.52吨 【解析】设每天从乙仓库运出 x 吨。68 − 6 × 5 = 55.6 − 5x，38 = 55.6 − 5x，5x = 55.6 − 38，5x = 17.6，x = 3.52。 学科网（北京）股份有限公司 $