河南省许昌市襄城县名校联考2025-2026学年高三下学期4月期中数学试题

数学参考答案 [f(x)]'也是偶函数，即[f(-x)]=[f(x)].∴f(-x)= 高三·数学· 参考答案 f八x),即f(x)是偶函数，对于函数g(x)无法判断画数的奇偶 性.故选B. 选择题 1.A 2.B 3.D 4.C 5.c 6.D 8.{a,}为无穷递增数列，a+1一a,>0①：由(a,·2"}为递减 7.B 8.C 9.AB 10.BD 11.ABD 数列，a+1·2+1-a.·2”<0,即2a+1<a,②：联立不等式①和 填空题 ②，可得a.<a1<受③，因此yn∈N,都有a,<0,A错误： 12.(-∞，-6] 18等 14.[3,4) 对③两边取相反数得：YnEN,一a>一a1>-之，即a,l 提示： 1.A={1,2,3,4,5},A∩B={2,3,5.故选A. 之a1>1学，由递推关系得1a>1学1>l>lg。 5 2=3+0小品=8+2品百=a B错误：由Vn∈N”,la+1|>2|,两边同时乘以(n+1)得 -3+2)(-3-20=-3-2i=-故选B. 13(-3-2i) lal(n+1)>1%1(n+1)>la.)n,C正骑：1al 2 3对于A日-言-的由子e>0,故a6>0,b-g<0心日 >号>lgla>lga<号D错溪载选C -一-2<0，即日<A，时子B于e>6>0,故 .:XB(6:之E(X)=6×合=3，周此A选项论递正确： la>lbl,B正确，对于C,由于a>b>0,故a+b>2√ab,C正 数据1,3,9,4,5,16,7,11从小到大排列为1,3,4,5,7,9,11， 确，时于D.y=(宁”在R上单调递减，又>6>0（宁” 16,8×25%=2,.数据1,3,9,4,5,16,7,11的下四分位数 为3士-3.5，国光B递项论达运确：缘据相关系数的性质可如 <(受，D错读，故选D |r越接近1，线性相关程度越强，∴C选项论迷不正确：当X≥ 4.选项A,x2+2x+3=(x+1)2+2,(x+1)2≥0恒成立，.(x x0.5,有95%的把握能推断零假设不成立，.D选项论迷不正 +1)+2≥2>0，即x2+2x+3>0恒成立，故不存在实数x使 确，故选AB. 原式小于0，p1为假命题，A错误；选项B,当x=0时，|x|=0, 不满足|z>0,p:为假命题，B错误；选项C,Z是整数集，自然 10.对子选项A,当<0时，一x)=-(红+宁)=(-)+专 数集N是非负整数集，故p为真命题，C正确：选项D,一元二 ≥2，当且仅当x=-1时，等号成立，可得f八x)≤-2恒成主， 次方程的△=(-5)2-4×1×10=-15<0，方程无实数根，不 可知一2是f八x)的一个上界，故A错误；对于选项B,f(x)的 存在实数工使方程成立，力：为假命题，D错误.故选C. 定义城为(0，+∞)，且∫(x)=lnr+3,当x∈(0，e3)时， 5.设Mzww),准线为y=一专，由抛物线的定义可知点M到 f(x)<0:当x∈(e3,十o),f(x)>0,可知f(x)在(0，e) 上单调递减，在(c3,十o)上单调递增，则f(x)>f(e3)= 准线距离为yM十专=MF到=6，M到直线y=一2p的距离是 一c,可知f(x)有下界，且当x趋近于十∞时，f(x)趋向于 +∞，可知f(x)无上界，综上所述：f(x)有下界，无上界，故B M到C的准线距离的2倍，六w十2p=12,即6-号+2p= 正确；对于选项C,当x<0,x趋近于0时，f(x)趋向于一， 12,得到p=4,故选C. 可知f(x)无下界，故C错误；对于选项D,:sinx∈[一l,l], 6.:2十a既能被9整除又能被7整除，故2十a能被63整除， 1 1 2+a=(2)卢×2+a=8×645+a=8(63+1)5+a=8(63 +C·63+C号·63+Cg·632+Cg·63+1)+u=8(63/+C 甲一令<)号)一有界，故D正确故选 ·63+C号·633十C房·632+Cg·63)+a+8,且8(635+Cg· 11.由题设F2(c,0),则l:x=c代入双 63+C·63+C·632+C心·63)能被63整除，故a十8能被 63垫除，设a+8=63k(k∈N),可得a=63k-8(k∈N'),故a 曲线，有一=1，可得y 的最小值为55.故选D 士名1AB=2=26，可得a= a 7.由函数f(x),g(x)为定义在R上的函数，故函数[f(x)]= g(r2)的定义城也是R,令[(x)]3=g(x2)=h(x),则h(-x) =g(-x)2)=g(x2)=h(x),即(x)为偶函数，h(x)= 对；以AB为直径的国的圈心为 扫描全能王创建 F,(c.0,丰径为r=名=b,且渐近线为y=土合F,(,0) ABV与单面。所成角为∠VEH=-日-弩-号-.对5= 列士ay=0的是务d元-6，即d=B对：个Pm 4cos9+7×2×2cos(5-m=5sing+3coyg=2Bsin(g+ n)且g-若=1=Ea=b:剥PAy--6,PAy 骨)[5,2B),回当受<号时，此时底面ABCD与例西 =+6m-=bnn-=12器又 VAB在平面a的投影在同一侧，若底面ABCD在平面a授影 m 面积为S,,侧面VAB在平面a的授影面积为S:,重叠部分面 ≥1，b>0,则km,km,<1,显然取不到1，C错：令x=c,则yE =C+c-hr=c二c+b,又y=byn=-h,则1AB?- 积为S:由HE=VEcos(经-B)=2cos(-B)=5ing m 4W,AF=(c=c)产，IBEP=("+)产，1AE+ cos明，CD在平面a上投影与AB距离d=BCcos(π-B)= IBF1=(m):+(套)=2tE-4n=. -2o4,剥5i5=HE=4=5sing±o3.§-S HE 3sing-cosg'S:-S m m2 m 4c0s23 -2c0s3 ∴AB=|AF2+IBE2,D对.故选ABD. ‘a=5gr98 52,S= √3sin3-cos3 12.由x2+5x-6≥0，得：x≥1或x≤-6，函数的定义城为 2cos3+ (-∞，-6]U[1,+∞)，函数y=x2+5x-6的单调递减区间 -2c0952,则5=S,-5,+S,=(1- √3sinB+cos3 √3sin3+cos3 是(-0，-吕]，再和定义城求交集得(-0，-6]. g2os-3mcoB·5-音×2x2ao号 3 √3sin3-cos3 1.b在a上的授影向量为一子a,对1B1cosa,b),司=-子，因 -)=2cos(2经-8)，S=3/3sing-cos2= 3 3 3sin2B-cos2B √3sin3+cos3 1a=2.1=1,则1b1cosa,b)·向=合cos(a,b)=- 3 一∈(W尽，3]，综上，正四棱锥V-ABCD在平面a的 则cos(a,b)=- ,因a,b∈[0，]，则a,b=牙，则平面向量a 2sin(g+音) 投影面积的取值范围是[V5,4). 和B的夫角为三 解答题 14.如图，正四棱维V一ABCD,点O为地 15.cosB=-号∴B∈（受snB=V-cosB=专 面中心，连接VO,则VO⊥平面 ABCD,取AB的中点E,连接VE, .4 0 OE,易得VE⊥AB,OE⊥AB,则 由品品得A=.X 8 2 ∠VEO为侧面与底面所成的角，在 Be(受，mA∈(0，受) Rt△VAE中，VE=WA-AE=√5-I=2,OE=1,在 Rt△VOE中，由cos∠VEO= OE A=晋(6分) 一乞可得侧面与底面所成角 (2y△ABC的面积为5V万∴-absinC-55, 为受.当正四被 维绕者AB旋转 .8.x5x8xsinc-5 5, 时，设底面 解得snC= ABCD与平面a 所成角为B,此 图1 图2 C为模角d0C=V=mC=合， 时正四校维V-ABCD在平面a内的投影面积为S,分别过点 c=a2+8-2a6cosC=25+64-2X5x8x=69, C,D作平面a的垂线，垂足分别为C,,D,连接BC,CD, .c=√69.(13分) D,A,则∠CBC,=A①当0<≤答时，知图1，投影为矩形 16.(1)在直棱柱ABC-AB,C中，令AB∩AB=O,则O是 ABC,D,因BC,=BCcos.∠CBC=2cos9,则S=2×2cos3 AB的中点， 4cos3e[25,4):②当晋<≤受时，作VH1a于点H,连接 由A市=ABA=子，得D是OB,中点，而点E为BB,的 AH,BH,如图2，投影为矩形ABC1D和△ABH,此时，平面 中点，则DE∥OB, 2 扫描全能王创建 即DE∥A,B,而DE丈平面A,BC,A,BC平面A,BC (2)由条件概率公式可得 ∴DE∥平面ABC.(6分) 3 P(MI D)P(MD) 5 (2)分别取AB,A,B,的中点M,M, P(D) 3 则MM∥AA, 20 又AA,⊥平面ABC 分) MM⊥平面ABC,由AC=BC, (3)设A,B,C三款模型能成功上线为事件Q,W,R, 得CM⊥AB,则直线MA,CM, 则PQ@=×号-名P(w)-号×-，PR)= MM两两垂直， 以点M为原点，向量M才，C成，M不的方向分别为x,y,z ×号- 轴的正方向，建立空间直角坐标系， X的可能取值为0,1,2,3， 令AA,=AB=2,CM=a, 则P(X=0)=1-之×1-名)X1-号=品. 则A(t,0,0),C(0,-a,0),C(0,-a,2),B(-t,0,2), E(-t,0,t), P(x=1=×1-之1-0+1-)×× Ci=(t,a,0).CC=(0,0,2),AB=(-21,0,2),AC= (-t,-a,21), +1-×1-×号-品 设平面AA,C与平面ABC:的法向量分别为n=(x,y, PX=2)=×号×1-号+1-x×号+ ),m=(x1), n·Ci=tx+ay=0 ×1-)x号品 则 n.CC=21z=0 P(X=3)=合×号×号-号 2 25=25 令y=t,得n=(-at.0), ∴X的分布列如下： (m·AB=-2x+2tz1=0 m…AC=-tm-ay+2x1=0 X 0 2 3 13 19 37 令y=t,得m=(a,t,a), 100 50 100 由平面A,G与平面A品G所度角的余弦值为晋 ,(10 数学期望为E(X)=0× 品+1×号+2×品+3× 10 分 得1esm1-调-干，层7 1-a2+21 5 器15分) = = 15 18.求导得了)=士-2+2， 解得d2=2r2或13a2=7t, 由△ABC是锐角三角形，得CM>AM,即a>t,则a2 f(x)=lnx-x2+2x为(0，+oo)内的“2-3缘分函数"当 2r2,即a=√2t. 且仅当方程f(x)=-2x+2=3在(0，十四)内有两个 x Ct=(-1反，0，则os(,C正)=A A成·CE 不同的解， m”.而竖.1分 42 7y=-2x+2在(0，+c0)上单调递诚，即f(x) 而y= =1-2x十2=3在(0，+∞)上单调递减， 而0<(A成，CE)≤x,因此(A,使)=年， 放方程f(x)=-2x+2=3在(0，十∞)内最多有一个 x “异面直线AB,与CE所成的角为平，(15分) 解， 17.(1)设A,B,C三款模型通过算法设计评审为事件M,N,T, 从而f(x)=lnx-x2+2x不是(0，+o)内的“2-3缘分函 A,B,C三款中怡有一款通过算法设计评审为事件D, 数”.(5分) P(D)=P(MN T)+P(MN T)+P(MNT) (2)原条件等价于g(x)=--2x+a=3在（合D内有两 =是×1-号)×1-号)+1-)×号×1-)+ 个不同的解，即“=3+2x+上在（号1）内有两个不同的 1-x1-号x-易6分) 解， 扫描全能王创建 设ux=3+2z+e[g1. (a2=2+c2 a=2 又：a2=+2,联立bc=5 ,解得6=3， 由对勾函数性质可知()=3+2红+在[片，号1上单 (a=2c c=1 调递诚：在[竖1止单湖递增。 锅圆C的标准方程听+苦=1.65分) 注意到宁)=201)=6（号）=3+2V2. (2(1)如图，直线1的方程为y= 0时，△OBM,△OBN不存在， 故所求为(3+2√2,6).(11分) 不满足题意， M30 (3)由题意只需证明h'(x)=(x2-2x+2+2x-2)c-x一 设直线1的方程为x=y十3， 2lnx-2+2=x2c'-x-2lnx=1在(0，+∞)内最多有1 (x=ty+3 个根， 服芹+号-消去将到 令(x)=h'(x)-1=x2e-x-2lnx-1,x∈(0，+∞)， 即证(x)=h'(x)-1=x2e'-x-2lnx-1,x∈(0，+o∞) 时》+芳-1 4 最多有一根， 整理得(32+4)y2+18y+15=0, 求导得)=(2+2x0e-1-是=xz+2(e-宁. 设Mx1y),N(x2y),y1≠为y≠0，y≠0， x :过点B(3,0)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N x∈(0，+∞)， 当>0时+2>0y=心y=-是在0，+∞)止都 a=1802-43r+40×15>0,>号 18t 单调递增， y+为=一37年4 设mz)=e-子x0,+o),注意到m(分)=E-4 15 yy=32+4 0,m(1)=e-1>0, 18t 从而当>0时，存在唯一的∈（分，），使得m()- +业=-3+<0 y为同号 15 =3+4>0 C一子=0，即有xo=二21n。成立 当0<x<。时，v'(x)<0,当x>xo时，'(x)>0, Saw三之KOBX Iy1,Saav=7 1×OBX|, (x)在(0，x)上单调递减，在(x,十∞)上单调递增， 号×OBX11 ∴(x)有最小值v(x)n=o(xo)=xe一x-2nz-1 S△(HN xOBXIy:I Iy: 2 =1-x0-(-x0)-1=0, 这表明v(x)=h'(x)-1=x2e-x-2lnx-1,x∈(0， 同号，=业」 SAOBN y: 十∞)最多有一根， 综上所述，命题得证.(17分) y+y:=- 18t 32+4 19.(1)设P(xo,y),则一b≤y%≤b,设c为椭圆C的半焦距，则 15 y=3+4 F,F2=2c, 18: :565m,=之R,R1=合×2%=cl, :y+2)（ 3+ (18)2 108 yiy 15 15(3+4)= 3r+4 53+哥) 当|取最大值时，S,m,的面积取得最大值时， 一b≤y%≤b,y=士b时，%|取最大值，此时，P(0,b) “出+当+2= 108 y:y 或P(0,-b), 53+ Sa,Pm,的最大面积为cb, 36 S6,m,的最大面积为5，h=√尽， 53+) 5 此时∠FPF=号，则F,P=FF, 4K+兴+2<0， y FP=a,F F:=2c,a=2c, 设A=兰，：点M在点B,N之间，则0<A<1, y: ▣ 扫描全能王创建 4<兰+兰+2<转化为4++2<0。 y:y a+片>2 (A2-2A+1>0 A+1<55-26a+5<0, (0<A<1 0<1<1 A≠1 0<A<1 y2 ,1SmM<1, SNy2 一二的取价指周是兮.分 ()如图，作出符台题意的图 形， M(h),N(x2,y),∴O MB3,0 =(x1y),Oi=(x2y), 0i=0i+0i,0=(x +2,y十)，且四边形OMQN为平行四边形， ”y+y=一 181 32+4 24 3+,=(+)+6=(二3年)+6=3+4 24 18t 六Q37+43牛 0为椭圆C上二点，3P千一3+=1 4 3 12=32 3 :IMN=V+为-4w·√+F MNI=√- 15 18)2-4× 15 .IMNI= 3×3号+4 3 十4 3×3 32 3 √屬， 设点O到直线1的距离为d, d=- 3 3 3 =3W3' 8ew=1Nd-√僵x3V幂-3g5.分高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟， 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.设集合A=(x|0<x<6},B=(质数)，则A∩B= A.(2,3,5} B.(1,2,3,5)} C.(1,3,5} D.{3,5} 2.复数x=3十2i满足等式是 A B=- 3.若a>b>0,则下列不等式不成立的是 A日号 B.lal>bl C.a+b>2√ab D.> 4.下列命题中为真命题的是 A.p1:3x∈R,x2+2x+3<0 B.p2:Vx∈R,lx|>0 C.pa:Vx∈Z,lxl∈N D.p4:3x∈R,x2-5x+10=0 5.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M是C上的一点，M到直线y=一2p的距离是M 到C的准线距离的2倍，且IMF=6,则p= T,A.8 B.6 C.4.D.2 6.若23+a既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为 A.18 B.19 C.54 D.55 -且51物点 7.若定义在R上的函数f(x),g(x)满足：[f(x)]3=g(x2),则 图发： A.f(x)是奇函数， B.f(x)是偶函数 ,C.g(x)是奇函数 D.g(x)是偶函数 8.若{an}为无穷递增数列，{am·2m}为递减数列，则 A.]n∈N·,使得an≥1 B.Vn∈N',都有a+2<la 5 C.Vn∈N·,都有1a+1l·(n+1)>an·” 2 D.3n∈N,使得a+1>号 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分， 9.下列正确的是 A已知随机变量X~B(6,号)，则E(X)=3 B.数据1,3,9,4,5,16,7,11的下四分位数为3.5 C.记两个变量的样本相关系数为r,若引r越接近0，线性相关程度越强 D,对某两个分类变量进行独立性检验时，若X≥x.s,则有95%的把握能推断零假设成立.其中 x0.s表示概率值0.05所对应的临界值 10.若存在m,使得f(x)≥m对任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有下界，其中m为函数f(x) 的一个下界；若存在M,使得f(x)≤M对任意x∈D恒成立，则函数f(x)在D上有上界，其中 高三·数学· [第1页] M为函数f(x)的一个上界，如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界.下列正确的是 A.一2是函数f(x)=x十1(x<0)的一个下界 B.函数f(x)=xlnx十2x有下界，无上界 C函数f八x)-有下界，无上界 D.函数f)-平有界 1.已知双曲线C等-苦=1a>0,6>0),R,R为C的左右焦点，点B0-),品0,6，过三 作实轴的垂线1与C从下到上依次交于A,B两点，线段AB与C的虚轴长相等.则 A.双曲线C的离心率e=√2 B.以AB为直径的圆与C的渐近线相切 C.若点P是C上任意一点，则直线PB1,PB2的斜率之积的范围是[一1,1] D.若点P是C上任意一点，I分别与PB1,PB2交于点E,F,则IAB2=|AF2+IBEI2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数y=√x2+5x一6的单调减区间是 13.已知平面向量a,b满足|a=2,b-1,且b在a上的投影向量为-a,则平面向量a和b的夹 角为 14.如图，已知正四棱锥V-ABCD中，AB在平面a内，正四棱锥可绕着AB 任意旋转，CD∥平面&.若AB=2,VA=√5，则正四棱锥V一ABCD在平面 α内的投影面积的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=5,b=8. （1)若cosB=-号，求角A: (2)若△ABC的面积为5√15，且C为锐角，求c的值， 高三·数学· [第2页] 16.(本小题满分15分) 如图，底面为锐角三角形的直棱柱ABC-AB,C,中，AC=BC,AA,= AB,点D在线段AB1上，且满足AD=λAB1,点E为BB1的中点. (1)当X=是时，证明：DE∥平面ABC: (2若平面AAG,与平面AB,C所成角的余弦值为晋，求异面直线AB, 与CE所成角的大小. 17.(本小题满分15分) 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与 工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型A,B,C.每款模型的研发分 为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进人工程部署 验收，两个阶段相互独立，只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知A,B,C三款 模型通过算法设计评审的概率依次为，号合，通过工程都署验收的概率依次为号，是号 (1)求A,B,C三款中恰有一款通过算法设计评审的概率； (2)若已知A,B,C三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为A的概率； (3)经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，A,B,C三款模型能成功上线的数量为随机 变量X,求X的分布列及数学期望E(X). 高三·数学， [第3页] 18.(本小题满分17分) 若函数F(x)在开区间I内满足：3x,∈I(i=1,2,…,n)(n≥2，n∈N·),y=F(x)在x=x 处的切线的斜率均为m(m∈R),则称F(x)为I内的“n一m缘分函数”. (1)判断f(x)=lnr一x2十2x是否为(0，十∞)内的“2一3缘分函数”，并说明理由； (2)者g(x)=-lr-2十ax为（兮，l)内的2-3缘分函数”，求实数a的取值范围； (3)证明：h(x)=(x-2x十2)c-言-2xlnr+2x不是(0，十o∞)内的“n-1缘分函数”(n≥2， n∈N'). 19.(本小题满分17分) 在平面直角坐标系x0中，已知椭圆C:+芳-1(@>6>0)的两个焦点分别为R,R,P 为椭圆C上一动点，设∠FPP=0,当0=号时，△F,PP的面积取得最大值3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点B(3,O)的直线L与椭圆C交于不同的两点M,N(点M在点B,N之间). (1)求等0的取值范国： (i)若Q为椭圆C上一点，且O项=OM+ON,求四边形OMQN的面积. 高三·数学· [第4页]