河南省许昌市襄城县名校联考2025-2026学年高三下学期4月期中数学试题

高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，{质数}，则（ ） A. B. C. D. 2. 虚数满足等式是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列不等式不成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知抛物线的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线的距离是M到C的准线距离的2倍，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 6. 若既能被整除又能被整除，则正整数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数，并且满足，则下列一定正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 是奇函数 D. 是偶函数 8. 已知为无穷递增数列，为递减数列，则下列选项中正确的是（ ） A. ，使得 B. ，都有 C. ，都有 D. ，使得 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 下列论述正确的是（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的下四分位数为3.5 C. 记两个变量的样本相关系数为，若越接近0，线性相关程度越强 D. 对某两个分类变量进行独立性检验时，若，则有的把握能推断零假设成立．其中表示概率值0.05所对应的临界值 10. 若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有下界，其中为函数的一个下界；若存在，使得对任意恒成立，则函数在上有上界，其中为函数的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是（ ） A. 是函数的一个下界 B. 函数有下界，无上界 C. 函数有下界，无上界 D. 函数有界 11. 已知双曲线，，为C的左、右焦点，点，，过作实轴的垂线l与C从下到上依次交于A，B两点，线段与C的虚轴长相等．则（ ） A. 双曲线C的离心率 B. 以为直径的圆与C的渐近线相切 C. 若点P是C上任意一点，则直线，的斜率之积的范围是 D. 若点P是C上任意一点，l分别与，交于点E，F，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的单调减区间是_____． 13. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则平面向量和的夹角为___________． 14. 如图，已知正四棱锥中，在平面内，正四棱锥可绕着任意旋转，平面．若，则正四棱锥在平面内的投影面积的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角的对边分别为. （1）若，求角； （2）若的面积为，且为锐角，求的值. 16. 如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. （1）当时，证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求异面直线与所成角的大小. 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 18. 若函数在开区间I内满足：，在处的切线的斜率均为，则称为I内的“缘分函数”． （1）判断是否为内的“缘分函数”，并说明理由； （2）若为内的“缘分函数”，求实数a的取值范围； （3）证明：不是内的“缘分函数”． 19. 在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值． （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）． （i）求的取值范围； （ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积． 高三数学试卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 在直棱柱中，令，则是的中点， 由，，得是的中点， 而点为的中点，则， 即，而平面，平面， 平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 3 【18题答案】 【答案】（1）不是，理由如下： 求导得， 为内的“缘分函数”当且仅当方程在内有两个不同的解， 而在上单调递减，即在上单调递减， 故方程在内最多有一个解， 从而不是内的“缘分函数”； （2） （3） 由题意只需证明在内最多有1个根， 令， 即证最多有一根， 求导得， 当时，在上都单调递增， 设，注意到， 从而当时，存在唯一的，使得，即有成立， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有最小值， 这表明最多有一根， 综上所述，命题得证. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $