精品解析：天津市蓟州区2025-2026学年度第二学期期中练习高二数学试题

蓟州区2025~2026学年度第二学期期中练习 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算的值是（ ） A. 65 B. 90 C. 95 D. 115 【答案】C 【解析】 【分析】由组合数、排列数的计算公式即可求解. 【详解】. 2. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，A正确， ，B错误， ，C正确， ，D正确. 3. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得最大值 C. 函数在上单调递减 D. 在区间内的函数值为负 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断. 【详解】由图象可得：当或时，；当或时，； 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 故A错误，C正确； 函数在处取得极大值，不一定是最大值，故B错误； 根据题意只能得到的符号，以及的单调区间，无法判断的符号，故D错误. 4. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ） A. 13种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理可求出结果. 【详解】根据分步乘法计数原理，共有（种）不同的选取方法， 故选：D． 5. 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 6. 最接近下列哪个数字（ ） A. 1.20 B. 1.21 C. 1.22 D. 1.23 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理进行估值即可. 【详解】由题意得， 由二项式定理得， 而从第3项以后，后面的项非常小，我们进行忽略即可， 所以我们得到， 则其与1.22更接近，故C正确. 故选：C 7. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 【答案】B 【解析】 【分析】把甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，而后将丙、丁进行插空，利用乘法原理即可得出答案. 【详解】将甲、乙捆绑，与除丙、丁外的另外一架飞机进行全排列，有种排法， 而后将丙、丁进行插空，有3个空，有种排法，故共有＝24种排法. 故选：B. 8. 已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ） A. 二项展开式中各项系数之和为 B. 二项展开式中二项式系数最大的项为 C. 二项展开式中无常数项 D. 二项展开式中系数最大的项为 【答案】D 【解析】 【分析】由二项式系数之和为64，可得，得，所以二项式为，然后写出二项式展开式的通式公式，然后逐个分析判断． 【详解】因为的二项展开式中二项式系数之和为64， 所以，得，所以二项式为， 则二项式展开式的通式公式， 对于A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，所以A错； 对于B，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，所以B错； 对于C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，所以C错误； 对于D，令第项的系数最大，则，解得， 因为，所以时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为，所以D正确， 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于先求得，然后结合二项式展开式的通式公式． 9. 如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可． 【详解】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得，解得， 故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为． 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．） 10. 已知函数，若的图象在点处的切线经过点，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】由求导得：， 代入得：，即切点为；切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得， 因为该切线经过点，所以将代入切线方程得： ， 整理得：，解得：. 11. 若函数，则___________． 【答案】7 【解析】 【分析】利用求导法则可求答案. 【详解】函数，则， 将代入，即， 所以函数，则. 12. 已知，则___________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】借助赋值法，分别令及计算即可得. 【详解】令，可得，故； 令，可得， 即， 则. 13. “国家中小学智慧教育平台”是教育部面向全国师生免费开放的国家级数字教育平台，某天小华同学利用手机验证码进行登录，平台生成的六位验证码由数字1，1，2，3，4，5组成，为了防止混淆，规定数字1与2不相邻，则本次登录可以生成的验证码个数为________． 【答案】144 【解析】 【分析】先求出六位验证码的总排列数，再分别计算与2相邻的排列数，与2相邻的排列数，，都与2相邻的排列数，通过对立事件求解． 【详解】六位验证码的总排列数种， 我们可以把数字看作， 与2相邻的排列数：， 与2相邻的排列数：， ，与2都相邻（即，2，）的情况有， 当两个1看作不同元素时，1与2相邻的排列数有种， 又因为两个1是相同元素，所以1与2相邻的排列数应为种， 所以符合条件的排列数种． 14. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后解不等式即可. 【详解】由图象得在和上单调递增，在上单调递减， 即当时，当时， 即当时，解得， 当时，解得， 综上可得不等式的解集为. 15. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得在上恒成立，参变分离后利用基本不等式计算即可得. 【详解】由函数在区间上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 由，当且仅当时，等号成立， 由，故的最小值为， 即有，即， 故实数的取值范围为. 三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知函数，当时取得极值． （1）求，的值; （2）求函数在区间上的最大值． 【答案】（1）,. （2） 【解析】 【分析】（1）先对求导得到，利用函数在处取极值的条件，即导数、函数值，列出关于的方程组，解方程即可求出参数的值. （2）根据函数单调性，确定极值点与极值，再计算区间端点函数值，对比极值和端点值就能得出区间上的最大值. 【小问1详解】 对求导得. 因为时取得极值2，所以满足， 代入得， 化简得，解得，， 当时，， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 故满足条件， 【小问2详解】 由（1）得， 当时，单调递减；当时，单调递增. 所以是在上的极小值点，极小值为. 端点处函数值，. 所以在上的最大值为. 17. 某校“反诈宣传志愿服务队”共有7人，其中3名女生，4名男生.现要从中随机选出3人组成一支“反诈先锋小分队”，深入社区开展宣讲活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ （3）如果既有男生又有女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 【答案】（1）35 （2）31 （3）30 【解析】 【分析】（1）根据组合数的含义求解即得； （2）根据“至少有位女生”的反面情况为“没有女生”，运用间接法即得． （3）根据“既有男生又有女生人选”的反面情况为“都是女生”或“都是男生”，运用间接法即得． 【小问1详解】 从位女生，位男生中选出人参加“反诈先锋小分队”的选择方法数为； 【小问2详解】 “至少有位女生”的反面情况为“没有女生” 又没有女生人选的选择方法数为， 由（1）可得，至少有1位女生人选的选择方法数为． 【小问3详解】 “既有男生又有女生人选”的反面情况为“都是女生”或“都是男生” 又因为都是女生人选的选择方法数为，都是男生人选的选择方法数为， 由（1）可得，既有男生又有女生人选的选择方法数为． 18. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． （1）求a； （2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导数，结合导数值和斜率的关系可求答案； （2）设出切点坐标，求导得出切线方程，代入点的坐标可求切点，进而可得方程. 【小问1详解】 ，因为曲线在点处的切线的斜率为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 设切点坐标为，则，切线的方程为， 又点在曲线上，所以，代入得， 即， 整理可得，故l的方程为，即. 19. 设，已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对二项式及其展开式赋值即可得解. （2）由二项式系数和为即可求解. （3）先通过展开式的通项公式得到关于是奇数次方的项的系数为负，是偶数次方的项的系数为正，接着赋值求得，进而去绝对值符号后即可得解. 【小问1详解】 因为 所以令，则有，即. 【小问2详解】 因为的展开式中所有项的二项式系数之和为1024， 所以有， 所以. 【小问3详解】 由（2）可得， 其展开式的通项公式为， 所以是奇数次方的项的系数为负，是偶数次方的项的系数为正， 又当时，， 所以. 20. 已知函数，． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程； （2）求出函数的导数，分类讨论解不等式即可得出函数的单调区间； （3）先根据题意，得到在上恒成立，只需在上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果. 【小问1详解】 若，则，则，. ，所以切点坐标为，切线斜率为， 曲线在点处的切线方程为. 化简可得：. 【小问2详解】 因为，定义域为， 所以， 当时，恒成立， 所以函数在单调递增； 当时，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间；当时，单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 若，都有，即， 即在上恒成立，令，， 由题意，只需当时，即可， 令， 因为当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蓟州区2025~2026学年度第二学期期中练习 高二数学 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算的值是（ ） A. 65 B. 90 C. 95 D. 115 2. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数在处取得最大值 C. 函数在上单调递减 D. 在区间内的函数值为负 4. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”，节约粮食是我国的传统美德．已知学校食堂中午有2种主食、6种素菜、5种荤菜，小华准备从中选取1种主食、1种素菜、1种荤菜作为午饭，并全部吃完，则不同的选取方法有（ ） A. 13种 B. 22种 C. 30种 D. 60种 5. 过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 最接近下列哪个数字（ ） A. 1.20 B. 1.21 C. 1.22 D. 1.23 7. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼­20飞机准备着舰。如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种 8. 已知的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（ ） A. 二项展开式中各项系数之和为 B. 二项展开式中二项式系数最大的项为 C. 二项展开式中无常数项 D. 二项展开式中系数最大的项为 9. 如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分．） 10. 已知函数，若的图象在点处的切线经过点，则实数______． 11. 若函数，则___________． 12. 已知，则___________，________． 13. “国家中小学智慧教育平台”是教育部面向全国师生免费开放的国家级数字教育平台，某天小华同学利用手机验证码进行登录，平台生成的六位验证码由数字1，1，2，3，4，5组成，为了防止混淆，规定数字1与2不相邻，则本次登录可以生成的验证码个数为________． 14. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为______． 15. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 三、解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知函数，当时取得极值． （1）求，的值; （2）求函数在区间上的最大值． 17. 某校“反诈宣传志愿服务队”共有7人，其中3名女生，4名男生.现要从中随机选出3人组成一支“反诈先锋小分队”，深入社区开展宣讲活动. （1）共有多少种不同的选择方法？ （2）如果至少有1位女生人选，共有多少种不同的选择方法？ （3）如果既有男生又有女生人选，共有多少种不同的选择方法？ 18. 已知函数，且曲线在点处的切线的斜率为1． （1）求a； （2）若过点的直线l与的图象相切，求l的方程． 19. 设，已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024. （1）求的值； （2）求的值； （3）求的值. 20. 已知函数，． （1）若，求的图象在点处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）若，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $