数学（全国通用02）学易金卷：2026年中考考前最后一卷

**基本信息** 融合嫦娥六号科技前沿、榫卯文化传承与物理光学跨学科情境，梯度覆盖代数几何统计核心知识，突出探究性与综合应用，适配中考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|倒数、科学记数法、轴对称与中心对称、三视图、反比例函数|以安全图标考图形性质，嫦娥六号数据考科学记数法| |填空题|5/15|因式分解、最短路径、方差比较、利润问题、四边形折叠|结合射击成绩扇形图考方差，折叠问题考空间观念| |解答题|8/75|化简与不等式组、统计分析、解直角三角形、旋转探究、抛物线综合|物理光学跨学科求折射角，三等分角折纸操作考推理能力，旋转与抛物线综合考模型意识|

2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ ◆ 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 正确填涂■ 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 错误填涂×！1[/1 4保持卡面而清洁.不要折叠.不要玉破 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A]IB]ICIIDI 5.1AJIBIIC]ID] 9.1AJIBIICIID] 2.JAlIBIICIDI 6.1AIIBIICI[DI 10.[AJIBIICIID] 3.JAlIBIICIIDI 7.JAlBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 17.(8分) VA A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 千10% D 1 C m% 25% B 19.(8分) 挂绳高 左侧耳翼宽 若侧茸翼宽 结体内部高 总高 流苏高 结体内部宽了 总宽 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 信号塔 台阶 1450 21.(8分) 1114 K ③ ⑥ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) D E B B∈ 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) B A 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数为（    ） A． B． C． D． 2．年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬 3．（热点）“嫦娥六号样品首次揭示月背演化历史和巨型撞击效应”是年度“中国科学十大进展”之一，该研究取得多项原创突破，其中一项是识别出具有撞击成因的新型月球岩石，厘定月球最大撞击盆地——盆地及其内部的阿波罗盆地分别形成于亿年前和亿年前，为认识月球早期撞击历史提供关键时标．其中“亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 4．榫卯是两个或多个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出来的部分叫榫（或榫头），凹进去的部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图1，这是某个构件的简图，图2是“卯”部位，则该“卯”的主视图是（    ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 6．已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图像与两坐标轴相交 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象经过点 7．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 8．一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（跨学科融合）在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式：____________． 12．在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 13．如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 14．某商店销售某种商品可获利润40元，若打八折销售，每件商品所获利润比原来减少了20元，则该商品的进价是______元． 15．如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）化简与解不等式组 (1)化简：； (2)解不等式组：． 17．（8分）如图，将正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点，，分别落在坐标轴上． (1)求的值； (2)若，反比例函数的图象恰好经过点，求的值． 18．（7分）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，开展法治知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生法治知识竞赛的成绩较好？说出你的理由（一条理由即可）． (3)该校七年级有学生500人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 19．（8分）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 20．（8分）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 21．（8分）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 22．（13分）综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． (1)【观察猜想】 如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值． 23．（13分）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴上的一个动点，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，过点作于点，作轴交于点，当的周长最大时，求的最小值及此时点的坐标： (3)在（2）中取得最小值的条件下，将抛物线沿射线平移，使得平移后的点与点重合，得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，将点向下平移个单位得到，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $2026年中考考前最后一卷 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂1【W1I/小 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AIIBIICIIDI 5.1AIIBIICIIDI 9.AI[BIICIID] 2.IAIIBIICIIDI 6.IAlIBIICIIDI 10.IAIIBIICIIDI 3.IAIIBIICIIDI 7.AIIBIICIIDI 4.1AIIBIICIIDI 8.1AlIBIICIIDI 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12. 13. 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.(10分) 17.(8分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(7分) 10%/ D C m% 25% B 19.(8分) 下挂绳高 左侧耳翼宽 测 结体内部高 总高 流苏高 结体内部宽 总宽 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 信 号塔 是350 台阶 459 21.(8分) 114 12 K ③ ⑥ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(13分) D M E 图1 图2 图3 图4 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(13分) K B A B D 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数为（    ） A． B． C． D． 2．年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬 3．（热点）“嫦娥六号样品首次揭示月背演化历史和巨型撞击效应”是年度“中国科学十大进展”之一，该研究取得多项原创突破，其中一项是识别出具有撞击成因的新型月球岩石，厘定月球最大撞击盆地——盆地及其内部的阿波罗盆地分别形成于亿年前和亿年前，为认识月球早期撞击历史提供关键时标．其中“亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 4．榫卯是两个或多个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出来的部分叫榫（或榫头），凹进去的部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图1，这是某个构件的简图，图2是“卯”部位，则该“卯”的主视图是（    ） A． B． C． D． 5．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 6．已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图像与两坐标轴相交 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象经过点 7．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 8．一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 9．（跨学科融合）在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式：____________． 12．在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 13．如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 14．某商店销售某种商品可获利润40元，若打八折销售，每件商品所获利润比原来减少了20元，则该商品的进价是______元． 15．如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）化简与解不等式组 (1)化简：； (2)解不等式组：． 17．（8分）如图，将正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点，，分别落在坐标轴上． (1)求的值； (2)若，反比例函数的图象恰好经过点，求的值． 18．（7分）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，开展法治知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生法治知识竞赛的成绩较好？说出你的理由（一条理由即可）． (3)该校七年级有学生500人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 19．（8分）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 20．（8分）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 21．（8分）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 22．（13分）综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． (1)【观察猜想】 如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值． 23．（13分）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴上的一个动点，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，过点作于点，作轴交于点，当的周长最大时，求的最小值及此时点的坐标： (3)在（2）中取得最小值的条件下，将抛物线沿射线平移，使得平移后的点与点重合，得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，将点向下平移个单位得到，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第5页（共10页） 试题 第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考考前最后一卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的倒数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 先利用绝对值的定义计算出绝对值的大小，再去计算其倒数． 【详解】解： ，的倒数为． 故选：C 2．年月日是第个全国中小学生安全教育日，学校高度重视校园安全教育，从认识安全警告标志入手开展了各种形式的安全教育提高学生安全防范意识和自我防护能力，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．注意安全 B．急救中心 C．水深危险 D．禁止攀爬 【答案】B 【详解】解：选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：是轴对称图形同时也是中心对称图形； 选项：是轴对称图形，不是中心对称图形； 选项：不是轴对称图形也不是中心对称图形； 3．（热点）“嫦娥六号样品首次揭示月背演化历史和巨型撞击效应”是年度“中国科学十大进展”之一，该研究取得多项原创突破，其中一项是识别出具有撞击成因的新型月球岩石，厘定月球最大撞击盆地——盆地及其内部的阿波罗盆地分别形成于亿年前和亿年前，为认识月球早期撞击历史提供关键时标．其中“亿”用科学记数法表示应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：亿． 4．榫卯是两个或多个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出来的部分叫榫（或榫头），凹进去的部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到连接作用．如图1，这是某个构件的简图，图2是“卯”部位，则该“卯”的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，该“卯”的主视图是： 5．不等式组的解集是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【详解】解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：； 不等式组的解集是：． 6．已知反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．图像与两坐标轴相交 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象经过点 【答案】B 【详解】解：∵ 反比例函数为，， ∴反比例函数的图像位于第二、四象限，故B符合题意； ∵反比例函数中，，∴图像不可能与坐标轴相交，故A不符合题意； ，∴只有在每个象限内，y随x的增大而增大，故C不符合题意； 当时，， ∴图像不经过点，故D不符合题意． 7．如图，已知是的直径，是的弦，，垂足为．若，，则 （  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：是的直径，， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 8．一个不透明的盒子中有个白球和若干个红球，这些球除颜色外其余均相同．搅匀后每次随机从盒中摸出一球，记下颜色后放回盒中，通过大量重复摸球试验后发现，摸出白球的频率稳定在左右，则盒中红球的个数约有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：∵大量重复试验后，摸出白球的频率稳定在左右， ∴估计摸到白球的概率为， 设盒子中球的总个数为， 可得， 解得， ∴盒中红球个数为（个）． 9．（跨学科融合）在物理光学实验中，小明将一束激光从空气射入上、下表面平行的玻璃砖（如图）．光线从空气射到玻璃砖上表面点B并发生了折射，折射光线射到玻璃砖下表面C处，点D在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，根据题意可得， ， ， ， ． 10．如图，在矩形中，，分别以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，则阴影部分Ⅱ与阴影部分I的面积差为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设矩形中除阴影部分Ⅱ外的部分面积为． ∵，， ∴． ∵以、为圆心，长为半径画弧，，且， ∴一个扇形面积，两个扇形面积 ． 阴影部分Ⅱ与阴影部分Ⅰ的面积差可转化为，即． ∵， ∴． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式：____________． 【答案】 【详解】解： 12．在平面直角坐标系中，若点，，，则的最小值为__________． 【答案】54 【详解】解：根据两点间距离公式，得 则 ； ∴， ∴的最小值为54． 13．如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解： ∵ ∴ 14．某商店销售某种商品可获利润40元，若打八折销售，每件商品所获利润比原来减少了20元，则该商品的进价是______元． 【答案】60 【详解】解：设该商品的进价为x元， 由题意得，，解得， ∴该商品的进价为60元， 故答案为：60． 15．如图，在四边形纸片中，，，，，．折叠四边形纸片，使得点的对应点落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点G，H，与交于点．若，则线段的长为______． 【答案】 【详解】解：过点作于点，则 ∵， ∴ ∴ ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 设 由折叠可得，， ∵， ∴ 同理可设， ∵ ∴， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（10分）化简与解不等式组 (1)化简：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 17．（8分）如图，将正方体的展开图放在平面直角坐标系中，点，，分别落在坐标轴上． (1)求的值； (2)若，反比例函数的图象恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：依题意，， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设坐标为，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 整理得，， 解得（负值舍去），则， ∴， ∵反比例函数的图象恰好经过点， ∴． 18．（7分）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，开展法治知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，86，89，96，97，98，98，99． 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 82 82 中位数 83 众数 84 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中 ， ， ； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生法治知识竞赛的成绩较好？说出你的理由（一条理由即可）． (3)该校七年级有学生500人，八年级有学生520人，请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】(1)，， (2)七年级学生的法治知识竞赛成绩较好，理由见解析 (3)估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是280人 【详解】（1）解：七年级、组的人数为：， 把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84，84， 故中位数， 八年级20名学生的竞赛成绩的众数， ，即， 故答案为：，，； （2）解：七年级学生的法治知识竞赛成绩较好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于八年级， 所以七年级学生的法治知识竞赛成绩较好； （3）解：（人）； 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是280人． 19．（8分）中国结是中国传统的手工编织工艺品．小明编织了一个中国结，如图所示，该中国结由挂绳、结体、流苏三部分构成，其中结体内部的形状是四边形，外侧是环状的耳翼．已知挂绳高、结体内部高、流苏高的比例是，左、右两侧的耳翼宽都是，结体内部高和结体内部宽相等，总高是总宽的1.5倍，求该中国结的总高． 【答案】 【详解】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为，，， 则该中国结的总高为， ∵结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是， ∴结体总宽为， 又∵总高是总宽的1.5倍，∴，解得，∴， 即该中国结的总高为． 20．（8分）综合与实践活动中，要用测角仪测量校园附近一座信号塔的高度． 某校研究性学习小组设计了一个方案：如图，该信号塔垂直于水平地面，其前方有一段台阶，台阶顶端D距离地面的高度，点E，C，A在同一条水平直线上，且．在点C处测得塔顶B的仰角为，又在台阶顶端D处测得塔顶B的仰角为． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1)线段的长为 (2)信号塔的高度约为 【详解】（1）解：由题意得，，∴， 在中，，，， ∴， ∴线段的长为． （2）解：如图，过点D作交于点F， 在中，设， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 即， 解得， 即， ∴信号塔的高度约为． 21．（8分）“三等分角”是两千多年来数学史上最著名的古典四大问题之一，阿基米德等数学家通过巧妙的几何作图得到了解决“三等分角”问题的特例方法．某数学兴趣小组通过折纸与尺规作图相结合的方法探究“三等分锐角”问题的解法，解决过程如下： 操作步骤与演示图形 如图①，已知一个由正方形纸片的边PK与经过顶点P的直线构成的锐角．按照以下步骤进行操作： 任意折出一条水平折痕，与纸片左边交点为Q；再折叠将PK与重合得到折痕，与纸片左边交点为N，如图②． → 折叠使点Q，P分别落在和上，得到折痕m，对应点为，，m交于M，如图③④． → 保持纸片折叠，再沿MN折叠，得到折痕的一部分，如图⑤． → 将纸片展开，再沿折叠得到经过点P的完整折痕，如图⑥． → 将纸片折叠使边PK与重合，折痕为．则直线和就是锐角的三等分线，如用⑦⑧． 解决问题 （1）请依据操作步骤与演示图形，通过尺规作图完成以下两个作图任务：（保留作图痕迹．不写作法） 任务一：在图③中，利用已给定的点作出点； 任务二：在图⑥中作出折痕． （2）若锐角为，则图⑤中与相交所成的锐角是__________． 【答案】（1）见解析；（2）50 【详解】解：（1）任务一：如图，点为所求． 任务二：如图，折痕为所求． （2）如图， 由题意可知，是的三等分线， ∴， ∵， ∴， ∴与相交所成的锐角是． 故答案为：50 22．（13分）综合与实践 图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，在研究三角形的旋转过程中，发现下列问题． (1)【观察猜想】 如图1，在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的值是___________，直线与直线相交所成的较小角的度数是___________； (2)【类比探究】 如图2，点是线段上的动点，分别以，为边在的同侧作正方形与正方形，连接分别交线段于点． ①求的度数； ②连接交于点，若，求； (3)【拓展延伸】 如图3，中，，，，分别是，的中点，连接．如图4，将绕着点顺时针旋转角度交于点，连接，射线交于点．若射线将分成的两个角满足，求的值． 【答案】(1)； (2)①；②； (3) 【详解】（1）解：∵， ∴为等边三角形， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴如图，延长交于点，则直线与直线相交所成的较小角的度数是：． （2）解：①如图，连接，交与点， ∵四边形是正方形， ∴，且，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ②解：补充图，如图所示： ∵是正方形的对角线， ∴， 由①可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：连接，如图所示： ∵，点、分别是、的中点， ∴是的中位线，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 射线将分成的两个角， ， 旋转后，直线交于点，直线交于点，过点作垂线，垂足为，直线交于点，连接，如图所示： ∵， ∴， 又∵，，，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，， ∵ ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍）， ． 23．（13分）已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是直线下方抛物线上的一个动点，点是抛物线对称轴上的一个动点，过点作直线轴，点是直线上的一个动点，过点作于点，作轴交于点，当的周长最大时，求的最小值及此时点的坐标： (3)在（2）中取得最小值的条件下，将抛物线沿射线平移，使得平移后的点与点重合，得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，将点向下平移个单位得到，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个的求解过程． 【答案】(1)； (2)最小值为，； (3)，求解过程见详解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，顶点为， ∴抛物线的顶点式为，将代入得，即， 解得， ∴； （2）解：由题意可知，当时，即，解得， ∴， 当时，，即， ∴，， ∵，轴，∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时， ​最大， 设，则， ∴， ∵，开口向下，且， ∴当时，最大，此时​最大 ∴， ∴点关于直线l的对称点为， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∴， 设直线则，解得 ∴，当时， ​， ∴； （3）解： ∵，， ∴抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到， ， 向下平移个单位为， ∴， ∴， 作，交x轴于E，交于G， 当即， ∴为等腰三角形， 作于F， ∴， ∴， ∵，，∴，，∴， 设，则，解得， ∴， 则，解得或（舍去） 当时，代入得， ∴， 过点作轴，则满足， 解得 (舍) ∴，综上，点的坐标为． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026年中考考前最后一卷 数学·参考答案 第I卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 6 7 10 B C A A B B 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.4(a-3 12.54 13.< 14.60 三、解答题（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(10分) 【解析】(1)解： a+2a÷a+a a-1a-1 _alat2).ala-1) 1(2分) a-1 a-1 -aa+2a2-a+a(3分) a-1 a-1 _a(a+2.a-1(4分) a-1 a2 =0+2 (5分) a [2x+1>x① (2)解： x+5 2 r≥1②' 解不等式①可得：x>-1,(7分) 解不等式②可得：x≤3，(9分) .不等式组的解集为-1<x≤3.（10分) 17.(8分) 【解析】(1)解：依题意，∠BAE=90°=∠AEC, ∴.AB∥EC, .∠BA0=∠ACE,(1分) 1/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :tan∠BA0=tan∠4CE=OB-45=2.(2分) OA EC (2)解：由(1)知， 0B=2 OA ,0A=1, .0B=2,(3分) ,∠A0B=90°， .AB=VOA+OB2=+22=5, .AD=45,(4分) 设D坐标为x,y),过点D作DH⊥x轴于点H, E OA :tan∠DAC=CE-DH1 AE AH2 1 x-12' ∴.x-1=2y,(5分) ,∠AHD=90°，AH2+DH=AD2, .(x-12+y2=AD2=80, 整理得，5y2=80,(6分) 解得y=4(负值舍去)，则x=9, .D(9,4),(7分) :反比例函数y=《(k≠0)的图象恰好经过点D, ∴.k=4×9=36.(8分) 18.(7分) 【解析】(1)解：七年级C、D组的人数为：20×(10%+25%)=7， 把七年级20名学生竞赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是84,84， 2/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故中位数a=84+84=84,(2分) 八年级20名学生的竞赛成绩的众数b=86, m%=1-10%+25%+7%=30%,即m=30, 20 故答案为：a=84,b=86,m=30;(3分) (2)解：七年级学生的法治知识竞赛成绩较好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但七年级学生的中位数大于八年级， 所以七年级学生的法治知识竞赛成绩较好；(5分) (3)解：500×30%+520×5=280（人）： 20 答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共是280人.(7分) 19.(8分) 【解析】解：设挂绳高、结体内部高、流苏高分别为xcm,3xcm,2xcm, 则该中国结的总高为x+3x+2x=6xcm,(2分) ,结体内部高和结体内部宽相等，左、右两侧的耳翼宽都是10cm, ∴.结体总宽为(3x+10+10)=(3x+20)cm,(4分) 又总高是总宽的1.5倍，.1.53x+20)=6x,(6分) 解得x=20,(7分) .6x=120cm, 即该中国结的总高为120cm.(8分) 20.(8分) 【解析】(1)解：由题意得，DE⊥CE,.∠DEC=90°， CE,(2分) 在Rt△CDE中，LDCE=22,DE=2m,tan∠DCE=DE .CE=_ DE DE tan∠CE tan22o ≈5m, '.线段CE的长为5m.(3分) (2)解：如图，过点D作DF⊥AB交AB于点F, 3/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B 信 号 塔 D 135° 台阶h 145 E 在Rt△ABC中，设AB=xm, .∠ACB=45°，∠BAC=90°， ∴.AC=AB=xm,(4分) .∠DEA=∠DFA=∠FAE=90°， .四边形AFDE是矩形，(5分) .'DF=AE=CE+AC=(5+x)m, DE=AF 2m, .'BF=AB-AF=(x-2)m,(6 在R△8DF中，∠BDF=35°，tan∠BDF=BF DF ∴.BF=DF.tan∠BDF, 即x-2=0.75+x,(7分) 解得x≈18， 即AB≈18m, ∴.信号塔AB的高度约为18m.(8分) 21.(8分) 【解析】解：(1)任务一：如图，点P为所求 m (3分) 3 A 任务二：如图，折痕I为所求. 4/11 态学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (6分) ⑥ (2)如图， 1 E 由题意可知乙，I是∠a的三等分线， :∠CPK=2∠a=2x750=50,(7分) 2 3 3 ∥PK, ∴.∠CDE=CPk=50°， ∴.马与4相交所成的锐角是50°.(8分) 22.(13分) 【解析】(1)解：，CA=CB,∠ACB=60°， .ABC为等边三角形， ,线段AP绕点P逆时针旋转60°得到线段DP, .AP=DP,∠PAD=60 ∴.△APD为等边三角形， .∴.∠CAP+∠PAB=∠DAB+∠PAB=60°， .LCAP=∠DAB,(2分) AP=AD,AC=AB .△ACP≌△ABD(SAS, ∴.BD=CP,∠ACP=∠ABD :BD-1,∠ACP+∠PCB=∠ABD+∠PCB=60° CP ∴.∠ABD+∠PCB+∠ABC=120° .如图，延长CP,BD交于点H,则直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是：180°-120°=60°.(3 分) 5/11 画学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B D (2)解：①如图，连接DP,EP,EP交BC与点O, D D ,四边形APCD,BEFP是正方形， .∠DPE=LCPB=90°，且DP=√2CP,PE=V2PB, DP-PE=2 CP PB ∴.△DPEACPB, ∴.∠DEP=∠CBP, 又.∠ME0=∠PB0, .LBME=∠EPB=45°.(5分) ②解：补充图H,如图所示： H M ,AC是正方形ADCP的对角线， ∴.∠DAC=∠PAC=45°， 由①可知，∠BME=∠CMN=45°， ∴.∠DAC=∠PAC=∠CMH=45°， .AC=√2AD,(6分) ,∠HCM=∠BCA, '.∠AHD=∠CHM=∠ABC, ..△ADH∽△ACB, 6/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DH ADAD 'BCAC√2AD2 DH=2, ∴.BC=2√2.(7分) (3)解：连接AE,如图所示： A D B∠ E ,AB=AC=I2,点D、E分别是AB、BC的中点， .DE是ABC的中位线，AE⊥BC,BE=EC, .BD=DE=6,DE∥AC, ,∠BAC=120°， .∠BDE=∠BAC=120°， :∠BED=∠EBD=∠ABC=∠ACB=180120=30°，8分) 2 ,AB=12,∠AEB=90°， AE=AB-6, .BE=AB2-AE2 =63, ∴.BC=2BE=12V5, :射线AD将∠BDE分成的两个角∠BDG:∠EDG=I:3, ∴.∠BDG=30°，∠EDG=90°，(9分) 旋转后，直线AD交BC于点J,直线DE交BC于点F,过点J作BD垂线，垂足为K,直线AD交BE于点 G,连接EC,如图所示： ,∠ABC=∠DBE=30°， ∴.∠ABD=∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC=∠CBE, 又AB=12,BD=6,BE=6V5,BC=125, 7/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BD=BE、1 AB=BC=2' ∴.△ABD∽△CBE, ∴.LBEC=∠BDA, BD AD3 BE EC 3 ,(10分) ∠BDG=30°， ∴.∠BEC=∠BDA=180°-∠BDG=150°， ,∠BDE=120°，∠BED=30°， ∴.∠DEC=∠BDE=120°， 又.LDFB=LEFC, .△BFD∽△CFE,(11分) :CF、EC BF BD .∠BDJ=∠BAJ=30°，∠BJD=∠AJB, .△ABJn△BDJ, .BD=DI_B1 “BRU2(12分) 设DJ=x,则BJ=2x,A=4x,AD=AJ-DJ=3x, :JK⊥BD .∠JKD=∠JKB=90°， 又：LBD1=30°，4D=V3 EC 3 W=.Ec=35 KD=VD-K灯= 2t, ÷BK=BD-KD=6- -x, 2 +=a,69-2 解得：x=-5+5,x,=-5-5(舍)， CFEC35(-5+i_35-3.13分) BF BD 6 23.(13分) 8/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【解析】解：抛物线y=am+加+a学0与x轴交于点4-2,0，顶点为D1》: 越物线的顶点式为y=ax--号a+0,1分) 我4利-201代入得0=a-2--号 9 即0=9a- 2 解得a=号2分) --号-4：8分》 (2)解：由题意可知y=-x-4, 0时，即0=)2-x=4,解得x-2x,4,,8 当x=0时，y=-4,即C(0,-4), ..0B=0C=4,∠0CB=45°， PH⊥BC,PQ⊥x轴，.PQ∥OC, .∠PQH=∠OCB=45°， Hp=№=，PO .C.P0=HP+HO+PO=(2+1)PQ, ∴.当P最大时，CPe最大，(5分) 设Pm-m-4,则0a,m-4, 1 P0=m-4-+m+4=m-2+2, 1 、 20,开口向下，且0<m<4, .当m=2时，PQ最大，此时CP最大 .P2,-4, 点P(2,-4)关于直线1的对称点为P'(2,-5),(6分) 9/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ,点K是抛物线对称轴上的一个动点， .KB=KA, .PT+TK+KB=P'T+TK+KA≥AP'=√4I,(7分) k=- 设直线AP':y=kx+b(k≠0)，则 「-2k+b=0 2k+b=-5’解得 b=- 2 4P=子-当x=1时，y= 4 3)解：(3+5，-6) 5-134V13-62 3’9 (9分) ,A-2,0),C(0,-4), ∴.抛物线先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到y, B y-x1-2-号4=--4,10分 21 KL-)向下平移个单位为K,-6。 BK'=V4-12+[0-(-6]=35, 10/11 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 cOs∠DBK'=DB=3-V5 BK'3551 作∠G,K'B=∠ABK',EK'交x轴于E,交y于G, 当∠G,KB=∠ABK'即EK'=BE, .△BEK'为等腰三角形，(11分) 作EF⊥BK'于F, 六FB=FK'-)BK-35 2 2 BF ·BE= 35xN5- oS∠DBK'-2 3 4-201048=6,4=E-48=E(召02分) 4 7 m=- 0= 3 设EK':y=mx+n,则 m+”,解得 2 14’ -6=m+n n=- 3 414 .EK':y=- 3x-3 4.14 y=- 33x= 、,3’胖待x=二或x=了十V3/全土) 则 1 3 3 当x=5=时，代入y=-4x-14得y-45-62, 3 33 9 G 5-134V13-62 3,9 过点K'作KG,x轴，则满足∠G,KB=∠ABK', y=-6 y-x-4 解得x=3+V5,x,=3-V5(舍) 5-134V3-62 c6+5-小，缘上.点G的坐标为3+5-dB4, (13分) 11/11