2026四川省成都市中考数学模拟练习（一）

**基本信息** 以春节档票房、陀螺视图、《算法统筹》古题、机器人采购等真实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计适配中考模拟需求，凸显数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题32分|科学记数法、视图、代数式运算等|结合春节档票房数据考查数感，陀螺组合体主视图强化空间观念| |填空题|10题40分|因式分解、位似变换、角平分线作图等|位似图形坐标计算渗透几何直观，分式方程无解问题提升推理能力| |解答题（A卷）|5题48分|统计图表分析、解直角三角形、圆的证明等|水龙头高度计算综合应用三角函数，非遗调查统计培养数据意识| |解答题（B卷）|3题30分|旋转性质、新定义“中项两倍数”、二次函数综合|机器人采购模型体现应用意识，二次函数定点探究发展创新思维|

2026四川省成都市中考数学模拟练习（一） 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 根据国家电影局发布的数据，2026年春节档电影总票房为57.52亿元，总场次435万场，其中《飞驰人生3》以29.27亿元位居票房之首．数据57.52亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：亿 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：陀螺玩具的主视图是： 3. 下列代数式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法则逐一判断选项即可． 【详解】解：对于选项A，∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； 对于选项B，∵，∴B错误； 对于选项C，∵，∴C错误； 对于选项D，∵，∴D正确． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 【答案】C 【分析】先将方程整理为一元二次方程一般形式，通过根的判别式判断根的个数，再根据两根之积判断两根符号，即可得出结论． 【详解】解：将原方程整理为一般形式得 因此方程有两个不相等的实数根 设方程的两根为， 因此方程的两根异号 因此方程有两个不相等的实数根且两根异号． 5. 下列说法正确的是（   ） A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D．一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】A 【详解】解：A、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确； B、一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，原说法错误； C、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，原说法错误； D、一组邻边相等的平行四边形不一定是菱形，原说法错误． 6. 如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先推导出，得到，则 ，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵是的切线，切点为B， ∴， ∴， ∴ ． 7. 《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据题意提取两个等量关系，分别列出方程即可得到方程组. 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， ∵甲得到乙的9只羊后，甲的羊数是乙的2倍，此时甲的羊数为，乙剩余羊数为， ∴可得方程 ； ∵乙得到甲的9只羊后，两家羊数相等，此时乙的羊数为，甲剩余羊数为， ∴可得方程 ； 因此列出的二元一次方程组为 ． 8. 已知二次函数 则下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，y随x增大而增大 C．当和时，函数值相等 D．由 向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，平移的特性，依次判断即可 【详解】解：A、当时，， ∴图象与y轴交点坐标是，选项错误，不符合题意； B、， 对称轴为， ∵， ∴开口向下， 当时，y随x增大而减小，选项错误，不符合题意； C、时，， 时，，故选项正确，符合题意； D、向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到的函数解析式为：，选项错误，不符合题意； 故选：C 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解______． 【答案】 【详解】解：． 10. 已知点，如果点的坐标为，且直线轴，那么点的坐标是___________ 【答案】 【分析】根据平行于轴的直线上点的坐标特征，可得点与点横坐标相等，列方程求出的值，再代入计算得到点的纵坐标即可． 【详解】解：轴， 点和点的横坐标相等， ， 解得， 将代入得 ， 点的坐标为． 11. 若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查了位似变换，由与位似，，得与的相似比为，再根据位似变换的性质即可求解，正确求出相似比是解题的关键． 【详解】， ， ∴与的位似比为， 点的坐标为， 点的坐标为． 13. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为8，则的面积等于_________． 【答案】 16 【分析】根据角平分线的尺规作图可知，平分，结合直角三角形的性质，可得，再利用同高三角形的面积比等于底边长之比，即可由的面积求出的面积． 【详解】解：过点作于点，根据题意，得平分， ， ，， ，， ， 的面积为8， ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算及解不等式 (1)计算：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依次计算零指数幂、特殊角的正切值、负整数指数幂及实数的绝对值，再相加减即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：解不等式①得：； 解不等式②得：； ∴不等式组的解集为：． 15. 河南省某校为调查初中学生对本省非物质文化遗产项目的了解情况，选取“叶雕、剪纸、罗山皮影、淮阳泥泥狗、麦秆画”五项展示类项目，从全校学生中随机抽取部分学生进行了调查，要求每位同学必须且只能选择一个自己最熟悉的非物质文化遗产项目，下面是根据调查结果将数据进行整理后绘制出的不完整的统计图． (1)本次调查中共抽取了______名学生； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，“叶雕”所对应的扇形的圆心角是______； (4)若该学校有2000人，请你估计该学校最熟悉“剪纸”的学生有多少人? 【答案】(1) (2)见解析 (3) (4)约有人 【分析】（1）样本容量等于“麦秆画”的人数除以其人数所占比，即可求解； （2）先计算出“罗山皮影”的人数，再画出图形即可； （3）根据“叶雕”所对应的扇形的圆心角等于其人数所占比，计算即可； （4）根据用样本估计总体，计算即可． 【详解】（1）解：（名）， 则本次调查中共抽取了名学生； （2）解：补全条形统计图，如图所示； 熟悉“罗山皮影”的人数为（名）； （3）解：“叶雕”所对应的扇形的圆心角是； （4）解：（名）， 答：该学校最熟悉“剪纸”的学生约有人． 16. 如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； (2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】(1)A点上升的高度 (2)的长为 【分析】（1）过点A作于G，作于N，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）证明四边形为矩形，得，．解求出，，解，得，由可得结论． 【详解】（1）解：过点A作于G，作于N， 在中，，， 由题意得，． 答：A点上升的高度． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 答：的长为． 17. 如图，为的直径，于点，点，均在上，与交于点． (1)求证；； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了圆的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数的定义以及平行线的判定与性质． （1）先根据垂径定理得到，从而得到，又有（公共角）可判定，根据相似三角形对应边成比例即可得证； （2）先根据圆周角定理得到，再利用平行线得，在中，，设，则，在中，，设，则，，，根据推得，从而得到，，，利用即可解答． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ； （2）解：如图，连接BD， 为的直径， ， 在中，， 设，则， 为的直径，， ，， 在中，， 设，则，，， ， 在中，，即， ，解得， 在中，，， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图像上，为等边三角形，延长与反比例函数的图像在第三象限交于点，连接并延长与反比例函数的图像在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式以及点的坐标； (2)连接，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）作轴于点，根据等边三角形的性质可得，，再根据勾股定理求出，得出，即可求出反比例函数的解析式，根据中心对称的特征可得点，进而求出直线的解析式为，和反比例函数联立，即可求解； （2）连接，并延长交轴于点，求出直线的解析式为，得到，最后根据，即可求解； （3）根据为等边三角形，点与点关于原点对称，可推出，由以，，为顶点的三角形与相似，可分两种情况：当轴时，当时，结合图形求解即可． 【详解】（1）解：如图1，作轴于点， 是等边三角形，， ，， 在中，由勾股定理得， ， 将点代入得：， 解得， 反比例函数的表达式为； 延长与反比例函数的图像在第三象限交于点， 点与点关于原点对称， 点， ， 点， 设直线的解析式为，将点，点代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， 点； （2）解：如图2，连接，并延长交轴于点， 设所在直线的解析式为，将点，点代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ； （3）解：存在， 为等边三角形，点与点关于原点对称， ，， ， ， 当轴时，如图3， ，， ， ， 点； 当时，如图4， ，， ， 点，点， ， ， ， 点； 综上所述，点的坐标为或． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，，若恰好经过点，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据旋转的性质，得出的内角度数，再过点作交于点，由特殊直角三角形得出和的长，即可得出结果． 【详解】解：根据旋转的性质，得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 过点作交于点，如下图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为________． 【答案】2028 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 21. 如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是________． 【答案】 【分析】连接、交于点，设圆的半径为1，可证为等边三角形，先求出，为，分别求出扇形和四边形面积，可求出阴影部分面积，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：连接、交于点，设半径为1， ∵，， ∴为等边三角形， ∵为弦，为半径， ∴垂直平分， 在中，，， ，， ， ， ， ， 故答案是：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质，扇形的弧、弦、圆心角定理，勾股定理，扇形面积公式，几何概率，根据图形作出恰当的辅助线，将不规则的图形拆分为规则图形求出面积是解题的关键． 22. 对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为0，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”·例如：三位数159，，是中项两倍数”；三位数764，，764不是“中项两倍数”．则“中项两倍数”的最小值是_____________，把“中项两倍数”的各个数字之和被3整除的商记为．其中，能被21整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为_____________． 【答案】 111 147 【分析】根据当最小时，百位数字和个位数字都为1，结合“中项两倍数”的定义，即可求出的最小值；由是“中项两倍数”，得，再由能被整除，可得为整数，从而求得的值，再根据为有理数，为有理数，求得的值，最后由求得的值，便可求得． 【详解】解：是“中项两倍数”， 当最小时，百位数字和个位数字都为1，即， 则， ∴的最小值是； 是“中项两倍数”， ， 能被整除， 为整数， ， 为有理数， 为有理数， 或或， 当，时，， 解得（舍）， 当，时，， 解得，此时， 当，时，， 解得（舍）， 综上，． 23. 如图，矩形，点分别在上，，连接，点是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出、等线段长，再通过构造点使且，利用相似三角形证明，从而将转化为，最后由“两点之间线段最短”求出最小值． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴在矩形内部作点，使，且， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴设，则， ∴， ∴在中，， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴作点关于的对称点，连接交于点， ∴， ∴， 当且仅当点与点重合时取等号， ∵点与点关于对称， ∴，且， 过点作，交延长线于点， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴的最小值为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 【答案】(1)A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； (2)最多能买A型机器人台． 【分析】（1）设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元列出方程组即可得到答案； （2）设买A型机器人台，则买B型机器人台，根据总费用不超过1400万元列出不等式，即可得到答案． 【详解】（1）解：设A、B两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得， 解得， 答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为万元； （2）解：设买A型机器人台，则买B型机器人台， 由题意得， 解得， 答：最多能买A型机器人台． 25. 在四边形中，，对角线平分，且，过点作，垂足为点，的度数为． (1)【问题解决】如图，若，则的度数为________，的值为________； (2)【问题探究】如图，若，判断的值是否发生变化，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图，若，，交于点，点在线段上，，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)的值不会发生变化，理由见解析； (3)线段的长为． 【分析】（）由垂直定义可得，则有，通过角平分线定义可得平分，，设，则，再由解直角三角形即可求解； （）延长交的延长线于点，证明，所以，再证明，所以，从而可得； （）过点作，分别交，于点，，则有四边形是矩形，所以，，然后证明，所以，又点是的中点，得，是中位线，根据中位线定理可得，再证明，所以，设，则，所以，，由勾股定理得，即，解得，再通过线段的和与差即可求出线段的长为． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 故答案为：，； （2）解：的值不会发生变化，理由如下： 如图，延长交的延长线于点， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，分别交，于点，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴点是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是的中点， ∴，是中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设则， ∴，， 在中，由勾股定理得， 即，解得， ∴， ∴线段的长为． 26. 已知二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．    (1)直接写出这个二次函数的解析式； (2)如图1，连接，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点，为轴上方的抛物线上两点（点在点的右边），直线、与轴分别交于，两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或； (3)是经过定点，定点为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论，设，当点在射线上时，利用对称的性质得到，列式求得点的坐标，再利用平移的性质即可求得点的坐标；当点在的延长线上时，同理可求； （3）分别求得直线、和的解析式，结合，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，两点， ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为； （2）解：如图，当点在射线上时，连接，交于， 令，则， ∴， ∴设直线的解析式为， 将代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∵点和点关于对称， ∴， 设， 由得，， ∴，（舍去）． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴； 如图，当点在的延长线上时， 由上可知：，同理可得：； 综上所述：点的坐标为或； （3）解：直线经过定点．理由如下： 设，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 直线的解析式为， 令，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 代入直线的解析式得， ∵当时，． ∴直线经过定点． 四、1 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026四川省成都市中考数学模拟练习（一） 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷满分100分，B卷满分50分；考试时间120分钟． 2．考生使用答题卡作答． 3．在作答前，考生务必将自己的姓名、准考证号涂写在答题卡上．考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回． 4．选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 6．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第I卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 根据国家电影局发布的数据，2026年春节档电影总票房为57.52亿元，总场次435万场，其中《飞驰人生3》以29.27亿元位居票房之首．数据57.52亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2. 陀螺是我国民间最早的娱乐工具之一，如图是一个陀螺玩具（上面是圆柱体，下面是圆锥体），它的主视图是（   ） A． B． C． D． 3. 下列代数式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个相等的实数根且两根同号 C．有两个不相等的实数根且两根异号 D．没有实数根 5. 下列说法正确的是（   ） A．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 C．对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 D．一组邻边相等的四边形是菱形 6. 如图，是的直径，B，C是上两点，过点B作的切线与的延长线交于点E，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7. 《算法统筹》中有一道题为“隔沟计算”，其原文是甲乙隔沟放牧，二人暗里参详，甲云得乙九只羊，多你一倍之上；乙说得甲九只，两家之数相当（一样多)．设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出的二元一次方程组为（   ） A． B． C． D． 8. 已知二次函数 则下列说法正确的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，y随x增大而增大 C．当和时，函数值相等 D．由 向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到 第II卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9. 因式分解______． 10. 已知点，如果点的坐标为，且直线轴，那么点的坐标是___________ 11. 若关于的方程无解，则的值为_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，点为位似中心，点，在轴正半轴上，，若点的坐标为，则点的坐标为_____． 13. 如图，在中，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧分别交，于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D．若的面积为8，则的面积等于_________． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14. 计算及解不等式 (1)计算：； (2)解不等式组：． 15. 河南省某校为调查初中学生对本省非物质文化遗产项目的了解情况，选取“叶雕、剪纸、罗山皮影、淮阳泥泥狗、麦秆画”五项展示类项目，从全校学生中随机抽取部分学生进行了调查，要求每位同学必须且只能选择一个自己最熟悉的非物质文化遗产项目，下面是根据调查结果将数据进行整理后绘制出的不完整的统计图． (1)本次调查中共抽取了______名学生； (2)补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，“叶雕”所对应的扇形的圆心角是______； (4)若该学校有2000人，请你估计该学校最熟悉“剪纸”的学生有多少人? 16. 如图1，张老师家的洗手盆上装有一种抬起式水龙头．洗手盆及水龙头示意图如图2，开启前把手与水平线平行，完全开启后，把手与水平线的夹角为，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，且所成的直线与洗手盆底的夹角为，，． (1)水龙头从闭合到完全开启，求A点上升的高度； (2)求的长．（结果精确到，参考数据：，，，） 17. 如图，为的直径，于点，点，均在上，与交于点． (1)求证；； (2)若，求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上，，点在反比例函数的图像上，为等边三角形，延长与反比例函数的图像在第三象限交于点，连接并延长与反比例函数的图像在第一象限交于点． (1)求反比例函数的表达式以及点的坐标； (2)连接，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19. 如图，将绕点逆时针旋转得到，与交于点，，若恰好经过点，且，则_____． 20. 已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为________． 21. 如图，A，B，C为上的三个点，C为的中点，连接，，，，以C为圆心，长为半径的弧恰好经过点O，若要在圆内任取一点，则该点落在阴影部分的概率是________． 22. 对于一个三位正整数，若各个数位上的数字都不为0，且百位数字与个位数字之和恰好等于十位数字的两倍，则称这个三位正整数叫“中项两倍数”·例如：三位数159，，是中项两倍数”；三位数764，，764不是“中项两倍数”．则“中项两倍数”的最小值是_____________，把“中项两倍数”的各个数字之和被3整除的商记为．其中，能被21整除，且为有理数的所有“中项两倍数”的值为_____________． 23. 如图，矩形，点分别在上，，连接，点是线段上的动点，且，则的最小值为___________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24. 2026马年央视春晚中，宇树科技的机器人《武》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需200万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共20台，且总费用不超过1400万元．最多能买A型机器人多少台？ 25. 在四边形中，，对角线平分，且，过点作，垂足为点，的度数为． (1)【问题解决】如图，若，则的度数为________，的值为________； (2)【问题探究】如图，若，判断的值是否发生变化，并说明理由； (3)【拓展延伸】如图，若，，交于点，点在线段上，，，请直接写出线段的长． 26. 已知二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．    (1)直接写出这个二次函数的解析式； (2)如图1，连接，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点，为轴上方的抛物线上两点（点在点的右边），直线、与轴分别交于，两点，若，试探究直线是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $