专题14因式分解的意义、提取公因式法、用乘法公式分解因式 同步培优讲义2025-2026学年七年级数学下册（浙教版）

专题14因式分解的意义、提取公因式法、用乘法公式分解因式 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 因式分解的概念】 2 【题型2 提公因式法分解因式】 4 【题型3 提公因式法分解因式的应用】 6 【题型4 用平方差公式分解因式】 8 【题型5 平方差公式分解因式的应用】 10 【题型6 完全平方公式分解因式】 14 【题型7 完全平方公式分解因式的应用】 15 【题型8 综合提公因式和公式法分解因式】 19 【题型9 十字相乘法分解因式】 22 【题型10 分组分解法分解因式】 25 · 1. 理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能够准确判断多项式变形是否为因式分解。 · 2. 熟练掌握提公因式法，掌握公因式的查找方法，能规范完成各类多项式的提公因式分解运算。 · 3. 掌握平方差公式、完全平方公式两种公式法因式分解，熟记公式结构特征，能精准匹配公式进行分解。 · 4. 掌握因式分解通用解题步骤，学会综合运用提公因式法和公式法解题，做到分解彻底、结果最简。 03 知识•梳理 知识点1：因式分解的基本概念 1. 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2. 核心本质：因式分解与整式乘法是互逆恒等变形。 整式乘法：几个整式相乘 → 一个多项式（积化和差） 因式分解：一个多项式 → 几个整式相乘（和差化积） 3. 判定三要素 · ① 左边必须是多项式； · ② 右边必须是整式乘积形式，无加减运算； · ③ 变形恒等，且分解彻底，每个因式不能再继续分解。 知识点2：提公因式法 1. 公因式的确定方法 · 系数：取多项式各项系数的最大公因数； · 字母：取各项共同含有的相同字母； · 指数：取相同字母的最低次幂。 2. 运算法则：将多项式的公因式提取出来，原式化为：公因式×剩余多项式。 3. 符号规则 · 多项式首项为负时，先提取负号，括号内所有项全部变号； · 巧用变形：，统一互为相反数的因式，方便提取公因式。 知识点3：公式法因式分解 1. 平方差公式 公式： 适用条件：两项式、两项均为平方形式、两项符号一正一负。 2. 完全平方公式 公式：， 适用条件：三项式，首尾两项为平方项，中间项为首尾底数乘积的2倍，符号匹配公式。 知识点4：因式分解通用步骤（必考口诀） 一提、二套、三查 1. 一提：优先提取公因式（所有分解第一步）； 2. 二套：剩余式子匹配平方差、完全平方公式； 3. 三查：检查是否分解彻底、符号是否正确、有无漏项。 知识点5：拓展分解方法 1. 十字相乘法 适用：二次三项式 方法：拆分常数项，使，则。 2. 分组分解法 适用：四项及以上多项式 方法：两两分组或一三分组，分组后分别提公因式，最终整体提取公因式完成分解。 04 题型•汇总 【题型1 因式分解的概念】 解题技巧： 严格对照定义三要素判断，重点区分因式分解与整式乘法；只要结果不是整式乘积形式、式子仍含加减运算，均不是因式分解，务必保证和差化积、恒等变形。 【典例1】．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A选项，等式左边是单项式，不是多项式，不符合要求，错误； B选项，等式右边是和的形式，不是整式乘积的形式，不符合要求，错误； C选项，，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，正确； D选项，该变形是整式乘法，将积化为多项式，不是因式分解，错误． 【变式1】．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 【变式2】．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 【变式3】．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【答案】 ① ② 【分析】本题考查的是因式分解的定义，根据整式乘法和因式分解的定义：整式乘法是将两个或多个整式相乘得到一个多项式；因式分解是将一个多项式分解为几个整式的乘积，根据定义作出判断即可． 【详解】解：变形①中，左边是整式相乘，右边是多项式，属于整式乘法； 变形②中，左边是多项式，右边是整式乘积，属于因式分解； 变形③中，右边不是整式乘积形式，既不是整式乘法也不是因式分解； 故整式乘法的有①，因式分解的有②， 故答案为：①；②． 【题型2 提公因式法分解因式】 解题技巧： 先精准查找公因式，遵循系数、字母、指数规则；首项为负必提负号，括号内全部变号；提取公因式后，括号内项数与原式保持一致，杜绝漏项、少项。 【典例2】．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按照确定公因式的方法，先求各项系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，将两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：∵多项式的两项为和， ①系数部分，5和10的最大公约数是5， ②字母部分，两项都含字母和，的最低次幂是，的最低次幂是， ∴公因式为． 【变式1】．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【答案】 【详解】解：把多项式分解因式时，应提取的公因式为． 【变式2】．因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）把变形为，再提取公因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型3 提公因式法分解因式的应用】 解题技巧： 用于代数式求值、简便计算、整除证明题型，优先整体提公因式变形，采用整体代入思想，无需单独求解字母数值，大幅简化运算，快速解题。 【典例3】．已知，，则的值是（  ） A．8 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算，用到提取公因式法和整体代入思想． 【详解】解：∵，， ∴． 【变式1】．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 【变式2】．阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【答案】(1)提公因式法，2 (2) (3) 【分析】（1）根据提公因式法分解因式的过程可得答案； （2）根据因式分解的结果可直接得出答案； （3）仿照已知的计算过程进行因式分解即可． 【详解】（1）解：上述因式分解的方法是提公因式法，共用了2次； （2）解：把多项式进行因式分解， 结果是； （3）解： … ． 【变式3】．如图，长方形A的长和宽分别为a，b，长方形B的长和宽分别为，b，面积分别为和． (1)_______，_______．（请用含a，b的代数式表示） (2)试证明． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】本题主要考查了列代数式，因式分解的应用，正确表示出和是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据（1）所求可得，可证明，据此可证明结论． 【详解】（1）解：由题意得，；； （2）证明：， ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型4 用平方差公式分解因式】 解题技巧： 先整理式子为平方减平方的标准形式，严格满足两项、平方、异号条件；底数可为单项式或多项式，分解后若仍含公因式，需继续分解，保证结果彻底。 【典例4】．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】能用平方差公式分解因式的多项式需满足：是二项式，两项都能写成平方的形式，且两项符号相反，据此判断各选项即可． 【详解】解：因为A选项是三项式，不符合平方差公式，不符合题意； 因为，所以B选项符合题意； 因为C选项中不是平方项，不符合平方差公式，不符合题意； 因为D选项中两项符号相同，不符合平方差公式，不符合题意． 【变式1】．分解因式：（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式2】．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式3】．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【题型5 平方差公式分解因式的应用】 解题技巧： 适用于数值简算、图形面积差、整除判断题型，主动凑平方差结构，利用因式拆分简化大数运算；通过公式变形实现整体代换，高效解决计算与证明问题。 【典例5】．嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【答案】B 【分析】根据平方差公式分解因式的特点，多项式需为两个平方项且符号相反，据此逐一判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：能用平方差公式分解因式的多项式需满足：可化为的形式，即两个平方项符号相反． ∵①，符合平方差形式，可以分解； ②，两个平方项符号相同，无法写成平方差的形式，不能分解； ③，符合平方差形式，可以分解； ④，符合平方差形式，可以分解． ∴不能按要求分解因式的是②题． 【变式1】．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 【答案】21 【分析】根据“智慧优数”的定义，利用平方差公式，分别计算不同值下“智慧优数”，并从小到大排列，找到第6个即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：由于，且m，n为正整数，设，则． 当时， ，得到：8，12，16，20，24，28，32，…… 当时，“智慧优数”为，得到：15，21，27，33，39，45，…… 当时，“智慧优数”为，得到：24，32，40，48，56，64，…… 当时，“智慧优数”为，得到：35，45，55，65，75，85，…… 当时，“智慧优数”为，得到：48，60，72，84，96，108，…… 将这些“智慧优数”从小到大排列：8，12，15，16，20，21，24，27，32，35，45，48，60，…… 故第6个“智慧优数”是21， 故答案为：21． 【变式2】．有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)图中阴影部分面积为； (3)代数式的值为． 【分析】（）根据图示面积的表示方法即可求解； （）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解； （）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 【变式3】．我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”． 小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：． 小明做出以下思考： 利用圆的周长公式可得，， 利用圆的面积公式可得，圆环形的面积 …… 请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明．    【答案】见解析 【详解】证明：利用圆的周长公式可得，， 利用圆的面积公式可得， 圆环形的面积 ． 【题型6 完全平方公式分解因式】 解题技巧： 先判断是否为三项平方型，验证首尾平方、中间2倍积结构；严格匹配公式符号，避免乱套公式；注意隐藏系数平方，防止漏算、错算中间项。 【典例6】．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、∵不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解，故 A错误． B、不符合完全平方公式结构，无法用完全平方公式因式分解，故B错误． C、的一次项不是两个平方项底数乘积的倍，不符合完全平方公式结构，故C错误． D、，符合完全平方和公式结构，可分解为，故 D正确． 【变式1】．若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查完全平方式的结构特征，根据完全平方公式的形式，对应系数列方程求解即可得到结果． 【详解】解：先将原式变形可得 ∵该多项式是完全平方式，完全平方公式符合 ∴一次项系数满足 即 分两种情况计算： 当时，解得 当时，解得 ∴的值为或． 【变式2】．把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3】．因式分解： 【答案】 【详解】解：原式 ． 【题型7 完全平方公式分解因式的应用】 解题技巧： 多用于代数式配方、求最值、求参数取值题型，凑完全平方结构，利用平方数非负性分析最值；根据完全平方式结构特征，反向求解未知字母的值。 【典例7】．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，设，根据题意可得，则，根据非负数的性质求出t的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1】．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有广泛的应用．当______时，代数式的最小值是_______． 【答案】 3 3 【分析】本题利用配方法将二次多项式变形为完全平方式与常数的和，再根据平方的非负性求解代数式的最小值及对应的值． 【详解】解：对代数式进行配方，得． ， ∴当，即时，代数式取得最小值，最小值为． 【变式2】．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1) (2) (3)132 (4)，，最小值为2016 【分析】（1）利用完全平方公式的结构特征即可确定出k的值； （2）把化为的形式，先用完全平方公式，再用平方差公式因式分解； （3）首先把y配方写成，根据平方的非负性得y的最大值； （4）用拆项的方法首先把多项式化为的形式，进一步分解因式，再根据平方的非负性求出多项式最小值． 【详解】（1）解：∵是一个完全平方式， ∴． 故答案为：； （2）解： ； （3）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴． ∴当时，y有最大值，最大值为132； （4）解： ， 当，时代数式有最小值， 解得，，最小值为2016． 【变式3】．因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查提公因式法与公式法因式分解的综合运用，解题思路为先观察多项式提取公因式，再运用乘法公式进行二次分解，直至分解彻底． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型8 综合提公因式和公式法分解因式】 解题技巧： 严格遵循“先提公因式，再套公式”的固定顺序，不可直接套用公式；每分解一步都要检查，剩余因式能继续分解的必须分解到底，杜绝分解不彻底。 【典例8】．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2） 【变式1】．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解即可； （3）利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （4）利用平方差公式、合并同类项法则、提取公因数进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再用完全平方公式因式分解； （2）先用平方差公式分解，再用完全平方公式继续分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3】．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先找出公因式，再利用完全平方公式进行分解因式即可； （）利用平方差公式进行分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型9 十字相乘法分解因式】 解题技巧： 针对二次三项式，拆分常数项凑一次项系数；同号因数相加、异号因数相减，精准匹配中间项符号；拆分完成后直接写成两个一次因式的乘积，步骤简洁高效。 【典例9】．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：∵将右侧整式展开得． ∴A错误． 选项B：∵由平方差公式可得分解正确且彻底， ∴B正确． 选项C：∵将右侧展开得． ∴C错误． 选项D：∵分解未彻底，可继续分解为，不符合因式分解要求， ∴D错误． 【变式1】．若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 【变式2】．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】．阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，；②，；③，；④， 【分析】利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】解：①， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ②， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ③， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ④， 因式分解得： ∴或 解得：，． 【题型10 分组分解法分解因式】 解题技巧： 四项式优先两两分组，特殊式子采用一三分组；分组核心是分组后能提取公因式，出现相同整体因式；初次分组失败及时更换分组方式，灵活解题。 【典例10】．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 【变式1】．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，读懂题中的分解方法并熟练掌握整式乘法公式是解题的关键． （1）根据例2的解析过程，通过拆项后提取公因式，括号内应填入二次多项式； （2）运用拆项添项法，将多项式拆成可分组分解的形式，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】（1）例2中，原式， ， 故括号中应填入 ； 故答案为：； （2）解：原式 ， 故答案为： ． 【变式2】．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式3】．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，非负数的性质，解题的关键是掌握分组分解法． （1）根据分组分解法，结合平方差公式和完全平方公式，因式分解即可； （2）根据分组分解法，结合平方差公式和提公因式法，因式分解即可； （3）先将，变形为，然后根据非负数的性质，得出答案即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得：，， ∴． 05 过关•检测 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因式分解要求左边是多项式，结果为几个整式乘积的形式， A 左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意. B 结果为 ，是和的形式，不是整式乘积的形式，不属于因式分解，不符合题意. C 将多项式化为两个整式与的乘积，符合因式分解的定义，符合题意. D 该变形是整式乘法，是将乘积化为多项式，不属于因式分解，不符合题意. 2．将代数式分解为几个整式的积，其中一个整式是（    ） A．a B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴代数式可分解为和，选项中只有符合要求． 3．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题先对所求多项式因式分解，再利用整体代入法代入已知条件计算即可． 【详解】解：， 当，时， ． 4．若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用非负数的性质求解，算术平方根和完全平方都是非负数，若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此求出a，b的值，再计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， 解得 ，， ∴． 5．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将互为相反数的项变形为相同形式，再提取公因式得到结果． 【详解】 ． 6．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：将多项式分解因式，应提取的公因式是． 7．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 【答案】C 【分析】先提取公因式，再利用平方差因式分解，然后结合已知密码手册即可得解． 【详解】解：原式 ， 由题可知，对应“我”，对应“爱”，对应“中”，对应“国”， 则结果呈现的密码信息可能是“我爱中国”． 8．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 【答案】A 【分析】先对密文用提取公因式法和平方差公式因式分解，再对应密码表得到明文即可． 【详解】解：∵ ， ∵8对应明文“我”，对应明文“阴”，对应明文“爱”，对应明文“江”， ∴组合后明文可为“我爱江阴”． 9．已知多项式可以分解成，则m的值是________． 【答案】 【详解】解：， 则m的值是 10．设，，，都是正整数，且，，，则______． 【答案】 【分析】设，（，为正整数），则，，，，根据题意可得，则，然后由为质数，，，为正整数可得，解得，所以，然后求出，，最后代入即可求解． 【详解】解：设，（，为正整数）， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵为质数，，，为正整数， ∴，解得， ∴， ∴，， ∴． 11．若，则____________． 【答案】0 【分析】题目主要考查因式分解，求代数式的值，熟练掌握是解题关键． 先对所求代数式提取公因式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算求解． 【详解】解： 将，代入上式，得 原式 ， 故答案为：0． 12．日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了因式分解的应用，正确分解因式是解答本题的关键． 先把因式分解，再把代入计算出各个因式的值，即可得到一个密码（各因式的排列顺序不同，得到的密码不同）． 【详解】解： ， 当时， ，，， 密码可以是：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 13．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查数的规律探索，关键是根据规律推导得出的表达式，再通过代数运算建立方程求解． 【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，， ； 则， 当时， 整理化简得， 为正整数， ， 解得； 故答案为：． 14．把下列各式因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．因式分解或求值 (1)因式分解：①；②． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)①；② (2)另一个因式是，的值为 【分析】（1）①提公因式，即可求解；②根据平方差公式因式分解即可求解； （2）设另一个因式为 ，根据多项式的乘法计算，对比多项式的各项，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①； ② （2）解：设另一个因式为 由题意得： ∴， 解得：， ∴另一个因式是，的值为 16．在实数范围内分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 17．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，再根据完全平方公式解答即可； （2）令，再根据整式乘法法则整理，然后根据完全平方公式解答． 【详解】（1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ； 将“B”还原，可以得到： ． 18．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：用配方法分解因式：， 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______； (2)用配方法分解因式：． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）利用完全平方公式，加上一次项系数一半的平方即可； （2）利用配方法分解因式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴横线上添加一个常数为； （2）解： ． 19．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)见解析 (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【分析】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【详解】（1）解：． 设， 则，解得， 则，， 即． （2）解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14因式分解的意义、提取公因式法、用乘法公式分解因式 （5知识点+10题型+过关检测） 【题型1 因式分解的概念】 2 【题型2 提公因式法分解因式】 3 【题型3 提公因式法分解因式的应用】 3 【题型4 用平方差公式分解因式】 4 【题型5 平方差公式分解因式的应用】 5 【题型6 完全平方公式分解因式】 7 【题型7 完全平方公式分解因式的应用】 7 【题型8 综合提公因式和公式法分解因式】 8 【题型9 十字相乘法分解因式】 9 【题型10 分组分解法分解因式】 10 · 1. 理解因式分解的概念，明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能够准确判断多项式变形是否为因式分解。 · 2. 熟练掌握提公因式法，掌握公因式的查找方法，能规范完成各类多项式的提公因式分解运算。 · 3. 掌握平方差公式、完全平方公式两种公式法因式分解，熟记公式结构特征，能精准匹配公式进行分解。 · 4. 掌握因式分解通用解题步骤，学会综合运用提公因式法和公式法解题，做到分解彻底、结果最简。 03 知识•梳理 知识点1：因式分解的基本概念 1. 定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。 2. 核心本质：因式分解与整式乘法是互逆恒等变形。 整式乘法：几个整式相乘 → 一个多项式（积化和差） 因式分解：一个多项式 → 几个整式相乘（和差化积） 3. 判定三要素 · ① 左边必须是多项式； · ② 右边必须是整式乘积形式，无加减运算； · ③ 变形恒等，且分解彻底，每个因式不能再继续分解。 知识点2：提公因式法 1. 公因式的确定方法 · 系数：取多项式各项系数的最大公因数； · 字母：取各项共同含有的相同字母； · 指数：取相同字母的最低次幂。 2. 运算法则：将多项式的公因式提取出来，原式化为：公因式×剩余多项式。 3. 符号规则 · 多项式首项为负时，先提取负号，括号内所有项全部变号； · 巧用变形：，统一互为相反数的因式，方便提取公因式。 知识点3：公式法因式分解 1. 平方差公式 公式： 适用条件：两项式、两项均为平方形式、两项符号一正一负。 2. 完全平方公式 公式：， 适用条件：三项式，首尾两项为平方项，中间项为首尾底数乘积的2倍，符号匹配公式。 知识点4：因式分解通用步骤（必考口诀） 一提、二套、三查 1. 一提：优先提取公因式（所有分解第一步）； 2. 二套：剩余式子匹配平方差、完全平方公式； 3. 三查：检查是否分解彻底、符号是否正确、有无漏项。 知识点5：拓展分解方法 1. 十字相乘法 适用：二次三项式 方法：拆分常数项，使，则。 2. 分组分解法 适用：四项及以上多项式 方法：两两分组或一三分组，分组后分别提公因式，最终整体提取公因式完成分解。 04 题型•汇总 【题型1 因式分解的概念】 解题技巧： 严格对照定义三要素判断，重点区分因式分解与整式乘法；只要结果不是整式乘积形式、式子仍含加减运算，均不是因式分解，务必保证和差化积、恒等变形。 【典例1】．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【变式3】．有下列变形：①；②；③．其中是整式乘法的有________，是因式分解的有________． 【题型2 提公因式法分解因式】 解题技巧： 先精准查找公因式，遵循系数、字母、指数规则；首项为负必提负号，括号内全部变号；提取公因式后，括号内项数与原式保持一致，杜绝漏项、少项。 【典例2】．多项式中各项的公因式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．把多项式分解因式时，应提取的公因式是______． 【变式2】．因式分解 (1)； (2)． 【变式3】．因式分解： (1)； (2)． 【题型3 提公因式法分解因式的应用】 解题技巧： 用于代数式求值、简便计算、整除证明题型，优先整体提公因式变形，采用整体代入思想，无需单独求解字母数值，大幅简化运算，快速解题。 【典例3】．已知，，则的值是（  ） A．8 B． C．2 D． 【变式1】．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．阅读下面因式分解的过程，并回答所提出的问题： (1)上述因式分解的方法是______，共用了_____次； (2)把多项式进行因式分解，结果是_____； (3)依照上述方法因式分解：（为正整数）． 【变式3】．如图，长方形A的长和宽分别为a，b，长方形B的长和宽分别为，b，面积分别为和． (1)_______，_______．（请用含a，b的代数式表示） (2)试证明． 【题型4 用平方差公式分解因式】 解题技巧： 先整理式子为平方减平方的标准形式，严格满足两项、平方、异号条件；底数可为单项式或多项式，分解后若仍含公因式，需继续分解，保证结果彻底。 【典例4】．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．分解因式：（   ）． A． B． C． D． 【变式2】．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式3】．把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【题型5 平方差公式分解因式的应用】 解题技巧： 适用于数值简算、图形面积差、整除判断题型，主动凑平方差结构，利用因式拆分简化大数运算；通过公式变形实现整体代换，高效解决计算与证明问题。 【典例5】．嘉嘉借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，淇淇发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 【变式1】．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，则第6个“智慧优数”是________． 【变式2】．有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【变式3】．我国古代数学名著《九章算术》里记载：“圆环形的面积为两圆周长之和的一半与两圆半径的差的积”． 小明设圆环形的面积为S，外圆的半径为R，外圆的周长为p，内圆的半径为r，内圆的周长为q，他想利用相关知识证明：． 小明做出以下思考： 利用圆的周长公式可得，， 利用圆的面积公式可得，圆环形的面积 …… 请根据以上信息，利用因式分解继续补充证明．    【题型6 完全平方公式分解因式】 解题技巧： 先判断是否为三项平方型，验证首尾平方、中间2倍积结构；严格匹配公式符号，避免乱套公式；注意隐藏系数平方，防止漏算、错算中间项。 【典例6】．下列多项式中，能运用完全平方公式因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．若是一个完全平方式，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】．把下列完全平方式因式分解： (1)； (2)． 【变式3】．因式分解： 【题型7 完全平方公式分解因式的应用】 解题技巧： 多用于代数式配方、求最值、求参数取值题型，凑完全平方结构，利用平方数非负性分析最值；根据完全平方式结构特征，反向求解未知字母的值。 【典例7】．已知，则的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【变式1】．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、最值问题、比较大小等方面都有广泛的应用．当______时，代数式的最小值是_______． 【变式2】．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等方面都有着广泛的应用． 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．若，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵，， ∴当时，M有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)是一个完全平方式，求 ； (2)分解因式：； (3)若，求y的最大值； (4)当m，n为何值时，代数式有最小值，并求出这个最小值． 【变式3】．因式分解： (1) (2) 【题型8 综合提公因式和公式法分解因式】 解题技巧： 严格遵循“先提公因式，再套公式”的固定顺序，不可直接套用公式；每分解一步都要检查，剩余因式能继续分解的必须分解到底，杜绝分解不彻底。 【典例8】．分解因式： (1)； (2)． 【变式1】．因式分解： (1) (2) (3) (4) 【变式2】．因式分解： (1)； (2)． 【变式3】．分解因式： (1)； (2)． 【题型9 十字相乘法分解因式】 解题技巧： 针对二次三项式，拆分常数项凑一次项系数；同号因数相加、异号因数相减，精准匹配中间项符号；拆分完成后直接写成两个一次因式的乘积，步骤简洁高效。 【典例9】．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【变式3】．阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【题型10 分组分解法分解因式】 解题技巧： 四项式优先两两分组，特殊式子采用一三分组；分组核心是分组后能提取公因式，出现相同整体因式；初次分组失败及时更换分组方式，灵活解题。 【典例10】．把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．在对某些多项式进行因式分解时，需要把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符号相反的项，这样分解因式的方法称为“拆项添项法”．如： 例1：分解因式： 解：原式 例2：分解因式： 解：原式 请根据以上材料中的方法，解决下列问题： （1）上述材料中例2括号中应填入________； （2）运用拆项添项法分解因式：________． 【变式2】．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【变式3】．请仔细阅读材料，解答下列问题： 要把分解因式，它的各项没有公因式．不能提取公因式．这是四项式．也不能直接用公式法分解因式，可以先把它的前两项分成一组，后两项分成一组，通过分组分解因式．即． 这种因式分解的方法叫做分组分解法．利用分组分解法可以把多项式分解因式．又如： ． (1)分解因式：； (2)分解因式：； (3)已知，求的值． 05 过关•检测 1．下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．将代数式分解为几个整式的积，其中一个整式是（    ） A．a B． C． D． 3．如果，，那么的值是（   ） A． B．1 C．5 D．6 4．若，则的值等于（    ） A． B．0 C．2 D．3 5．多项式因式分解的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 6．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 7．小明是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将彻底因式分解，结果呈现的密码信息可能是（   ） A．我爱美 B．中国美 C．我爱中国 D．中国美丽 8．某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 9．已知多项式可以分解成，则m的值是________． 10．设，，，都是正整数，且，，，则______． 11．若，则____________． 12．日常生活中如取款、上网等经常遇到登录密码的情况，我们可以用因式分解的方法产生密码，如多项式，因式分解的结果是，若取，则各个因式的值是：，于是就可以把“”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取时，用上述方法产生的密码是___________（写出一个即可）． 13．我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 14．把下列各式因式分解： (1) (2) 15．因式分解或求值 (1)因式分解：①；②． (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 16．在实数范围内分解因式 (1) (2) (3) (4) 17．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 18．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法． 如：用配方法分解因式：， 解：原式 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：______； (2)用配方法分解因式：． 19．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $